irratsionaalne arv- see tegelik arv, mis ei ole ratsionaalne, st seda ei saa esitada murdena, kus on täisarvud, . Irratsionaalarvu saab esitada lõpmatu mittekorduva kümnendkohana.
Irratsionaalsete arvude kogumit tähistatakse tavaliselt paksu ladina tähega ilma varjutamata. Seega: , st. irratsionaalarvude hulk on reaal- ja ratsionaalarvude hulkade erinevus.
Irratsionaalarvude olemasolust täpsemalt lõigud, mis pole ühikpikkuse lõiguga võrreldavad, teadsid juba muistsed matemaatikud: nad teadsid näiteks diagonaali ja ruudu külje võrreldamatust, mis võrdub arvu irratsionaalsusega.
Omadused
- Iga reaalarvu saab kirjutada lõpmatu kümnendmurruna, irratsionaalarvud ja ainult need aga mitteperioodiliste lõpmatute kümnendmurdena.
- Irratsionaalarvud defineerivad Dedekindi kärpeid ratsionaalarvude komplektis, millel pole alumises klassis suurimat ja ülemises klassis väikseimat arvu.
- Iga tõeline transtsendentaalne arv on irratsionaalne.
- Iga irratsionaalne arv on kas algebraline või transtsendentaalne.
- Irratsionaalarvude hulk on reaaljoonel kõikjal tihe: mis tahes kahe arvu vahel on irratsionaalarv.
- Irratsionaalarvude hulga järjekord on isomorfne reaalsete transtsendentaalsete arvude hulga järjestusega.
- Irratsionaalarvude hulk on loendamatu, on teise kategooria hulk.
Näited
| Irratsionaalsed arvud - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Irratsionaalsed on:
Irratsionaalsust tõendavad näited
2 juur
Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud taandamatu murruna, kus on täisarv ja on naturaalarv. Võrdleme oletatava võrdsuse:
.Sellest järeldub, et isegi, seega isegi ja . Las kus tervik. Siis
Seetõttu isegi, seega isegi ja . Oleme saanud selle ja on paaris, mis on vastuolus murdosa taandatamatusega. Seega oli esialgne oletus vale ja on irratsionaalne arv.
Arvu 3 kahendlogaritm
Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud murdena, kus ja on täisarvud. Alates , ja seda võib võtta positiivselt. Siis
Aga see on selge, see on veider. Saame vastuolu.
e
Ajalugu
Irratsionaalarvude kontseptsiooni võtsid India matemaatikud kaudselt kasutusele 7. sajandil eKr, kui Manawa (umbes 750 eKr – umbes 690 eKr) leidis, et mõne naturaalarvu, näiteks 2 ja 61 ruutjuuri ei saa otseselt väljendada.
Esimeseks tõendiks irratsionaalsete arvude olemasolu kohta omistatakse tavaliselt Hippasusele Metapontosest (umbes 500 eKr), Pythagorase'le, kes leidis selle tõendi pentagrammi külgede pikkusi uurides. Pythagoreanide ajal usuti, et on olemas üks pikkusühik, piisavalt väike ja jagamatu, mis on igasse lõiku kaasatud täisarv kordade arv. Hippasus väitis aga, et ühest pikkuseühikut pole olemas, kuna selle olemasolu oletus toob kaasa vastuolu. Ta näitas, et kui võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus sisaldab täisarvu ühikulisi lõike, siis peab see arv olema korraga nii paaris kui paaritu. Tõestus nägi välja selline:
- Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse ja jala pikkuse suhet saab väljendada järgmiselt a:b, kus a Ja b valitud võimalikult väikseks.
- Pythagorase teoreemi järgi: a² = 2 b².
- Sest a² ühtlane, a peab olema paaris (kuna paaritu arvu ruut oleks paaritu).
- Niivõrd kui a:b taandamatu b peab olema veider.
- Sest a isegi, tähistama a = 2y.
- Siis a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y² seega b on siis ühtlane b isegi.
- Siiski on tõestatud, et b kummaline. Vastuolu.
Kreeka matemaatikud nimetasid seda võrreldamatute suuruste suhet alogos(väljestamatu), kuid legendide järgi ei avaldatud Hippasusele nõuetekohast austust. On legend, et Hippasus tegi avastuse merereisil ja teised Pythagorased viskasid ta üle parda "universumi elemendi loomise pärast, mis eitab doktriini, et kõiki universumi üksusi saab taandada täisarvudeks ja nende suheteks. " Hippasuse avastamine tekitas Pythagorase matemaatika jaoks tõsise probleemi, hävitades kogu teooria aluseks oleva eelduse, et arvud ja geomeetrilised objektid on üks ja lahutamatud.
Irratsionaalsed arvud on inimestele teada juba iidsetest aegadest. Mõni sajand enne meie ajastut sai India matemaatik Manava teada, et mõne arvu (näiteks 2) ruutjuuri ei saa selgesõnaliselt väljendada.
See artikkel on omamoodi sissejuhatav õppetund teemal "Irratsionaalsed numbrid". Anname irratsionaalarvude definitsiooni ja näiteid koos selgitusega ning saame ka teada, kuidas teha kindlaks, kas antud arv on irratsionaalne.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Irratsionaalsed arvud. Definitsioon
Juba nimi "irratsionaalsed arvud" näib viitavat meile määratlusele. Irratsionaalne arv on reaalarv, mis ei ole ratsionaalne. Teisisõnu, sellist arvu ei saa esitada murruna m n , kus m on täisarv ja n on naturaalarv.
Definitsioon. Irratsionaalsed arvud
Irratsionaalsed arvud on need arvud, mis kümnendsüsteemis on lõpmatud mittekorduvad kümnendmurrud.
Irratsionaalarvu saab esitada lõpmatu mitteperioodilise murruna. Irratsionaalarvude hulk on tähistatud $I$ ja see on võrdne: $I=R / Q$ .
Näiteks. Irratsionaalsed arvud on järgmised:
Tehted irratsionaalarvudega
Irratsionaalarvude hulgal saab sisse viia neli aritmeetilist põhitehet: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine; kuid ühegi loetletud tehte puhul ei ole irratsionaalarvude hulgal sulgemisomadust. Näiteks kahe irratsionaalarvu summa võib olla ratsionaalarv.
Näiteks. Leidke kahe irratsionaalarvu $0,1010010001 \ldots$ ja $0,0101101110 \ldots$ summa. Esimene neist arvudest moodustatakse ühtede jadaga, mis on eraldatud vastavalt ühe nulliga, kahe nulliga, kolme nulliga jne, teine - nullide jadaga, mille vahel on üks, kaks ühte, kolm ühte jne. on paigutatud:
$0,1010010001 $$ \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Seega on kahe antud irratsionaalarvu summaks arv $\frac(1)(9)$ , mis on ratsionaalne.
Näide
Ülesanne. Tõesta, et arv $\sqrt(3)$ on irratsionaalne.
Tõestus. Kasutame tõestamise meetodit vastuoluga. Oletame, et $\sqrt(3)$ on ratsionaalarv, st seda saab esitada murruna $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , kus $m$ ja $n$ on koaprime naturaalarvude arvud.
Me saame võrdsuse mõlemad pooled ruudus
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \vasakparemnool 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Arv 3$\cdot n^(2)$ jagub 3-ga. Seega $m^(2)$ ja seega $m$ jagub 3-ga. Kui panna $m=3 \cdot k$, siis võrdus $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ saab kirjutada kujul
$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightnarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Viimasest võrrandist järeldub, et $n^(2)$ ja $n$ jaguvad 3-ga, seega saab murdosa $\frac(m)(n)$ vähendada 3-ga. Kuid eeldusel, et murdosa $\ frac(m)( n)$ on taandamatu. Saadud vastuolu tõestab, et arvu $\sqrt(3)$ ei saa esitada murdosana $\frac(m)(n)$ ja seepärast on see irratsionaalne.
Q.E.D.
Kõiki ratsionaalseid arve saab esitada hariliku murruna. See kehtib täisarvude (näiteks 12, -6, 0) ja lõplike kümnendmurdude (näiteks 0,5; -3,8921) ja lõpmatu perioodilise kümnendmurdu (näiteks 0,11(23); -3 , (87) kohta )).
aga lõpmatu arv korduvaid kümnendkohti ei saa esitada tavaliste murdudena. Seda nad on irratsionaalsed arvud(st irratsionaalne). Sellise arvu näide on π, mis on ligikaudu võrdne 3,14-ga. Millega see aga täpselt võrdub, ei ole võimalik kindlaks teha, sest pärast arvu 4 on lõputu rida muid numbreid, milles korduvaid perioode ei saa eristada. Samas, kuigi arvu π ei saa täpselt väljendada, on sellel spetsiifiline geomeetriline tähendus. Arv π on mis tahes ringi pikkuse ja selle läbimõõdu pikkuse suhe. Seega eksisteerivad looduses irratsionaalarvud, nagu ka ratsionaalarvud.
Teine näide irratsionaalsetest arvudest on positiivsete arvude ruutjuur. Mõnest arvust juurte eraldamine annab ratsionaalsed väärtused, teistest - irratsionaalsed. Näiteks √4 = 2, st 4 juur on ratsionaalne arv. Kuid √2, √5, √7 ja paljud teised annavad irratsionaalarvud, see tähendab, et neid saab eraldada ainult ligikaudselt, ümardatuna teatud kümnendkohani. Sel juhul saadakse murdosa mitteperioodiline. See tähendab, et on võimatu täpselt ja kindlalt öelda, mis on nende arvude juur.
Seega on √5 arv vahemikus 2 kuni 3, kuna √4 = 2 ja √9 = 3. Samuti võime järeldada, et √5 on lähemal 2-le kui 3-le, kuna √4 on lähemal √5-le kui √9 √5. Tõepoolest, √5 ≈ 2,23 või √5 ≈ 2,24.
Irratsionaalarvud saadakse ka teistes arvutustes (ja mitte ainult juurte eraldamisel), need on negatiivsed.
Seoses irratsionaalarvudega võime öelda, et ükskõik millise ühikulõigu me sellise arvuga väljendatud pikkuse mõõtmiseks võtame, ei saa me seda kindlalt mõõta.
Aritmeetilistes tehetes võivad koos ratsionaalsete arvudega osaleda ka irratsionaalarvud. Samas on mitmeid seaduspärasusi. Näiteks kui aritmeetilises tehes on kaasatud ainult ratsionaalarvud, siis on tulemuseks alati ratsionaalarv. Kui operatsioonis osalevad ainult irratsionaalsed, siis on võimatu ühemõtteliselt öelda, kas selgub ratsionaalne või irratsionaalne arv.
Näiteks kui korrutate kaks irratsionaalarvu √2 * √2, saate 2 - see on ratsionaalne arv. Teisest küljest on √2 * √3 = √6 irratsionaalne arv.
Kui aritmeetiline tehe hõlmab ratsionaal- ja irratsionaalarvu, siis saadakse irratsionaalne tulemus. Näiteks 1 + 3,14... = 4,14... ; √17–4.
Miks on √17 - 4 irratsionaalne arv? Kujutage ette, et saate ratsionaalarvu x. Siis √17 = x + 4. Aga x + 4 on ratsionaalne arv, kuna eeldasime, et x on ratsionaalne. Ka arv 4 on ratsionaalne, seega x + 4 on ratsionaalne. Siiski ei saa ratsionaalne arv olla võrdne irratsionaalarvuga √17. Seetõttu on vale eeldus, et √17 - 4 annab ratsionaalse tulemuse. Aritmeetilise tehte tulemus on irratsionaalne.
Sellest reeglist on aga erand. Kui korrutame irratsionaalarvu 0-ga, saame ratsionaalarvu 0.
Irratsionaalarvu definitsioon
Irratsionaalsed arvud on need arvud, mis kümnendsüsteemis on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud.
Näiteks naturaalarvude ruutjuure võtmisel saadud arvud on irratsionaalsed ega ole naturaalarvude ruudud. Kuid mitte kõiki irratsionaalseid arve ei saada ruutjuurte eraldamisega, sest jagamisel saadud arv "pi" on samuti irratsionaalne ja tõenäoliselt ei saa te seda, kui proovite naturaalarvust ruutjuurt eraldada.
Irratsionaalarvude omadused
Erinevalt lõpmatute kümnendmurdudega kirjutatud arvudest kirjutatakse mitteperioodiliste lõpmatute kümnendmurdudega ainult irratsionaalarvud.
Kahe mittenegatiivse irratsionaalarvu summa võib lõpuks olla ratsionaalne arv.
Irratsionaalarvud defineerivad ratsionaalarvude hulgas Dedekindi lõigud, mille alumises klassis pole suurimat arvu ja ülemises klassis pole väiksemat arvu.
Iga tõeline transtsendentaalne arv on irratsionaalne.
Kõik irratsionaalsed arvud on kas algebralised või transtsendentaalsed.
Irratsionaalarvude hulk real on tihedalt pakitud ja selle mis tahes kahe arvu vahel peab olema irratsionaalarv.
Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu, loendamatu ja on 2. kategooria hulk.
Ratsionaalarvudega mis tahes aritmeetilise toimingu sooritamisel, välja arvatud 0-ga jagamine, on selle tulemuseks ratsionaalarv.
Lisades irratsionaalarvule ratsionaalarvu, on tulemuseks alati irratsionaalarv.
Irratsionaalarvude liitmisel saame tulemuseks ratsionaalarvu.
Irratsionaalarvude hulk pole paaris.
Numbrid ei ole irratsionaalsed
Mõnikord on üsna raske vastata küsimusele, kas arv on irratsionaalne, eriti juhtudel, kui arv on kümnendmurru või arvavaldise, juure või logaritmi kujul.
Seetõttu ei ole üleliigne teada, millised arvud pole irratsionaalsed. Kui järgida irratsionaalarvude definitsiooni, siis me juba teame, et ratsionaalarvud ei saa olla irratsionaalsed.
Irratsionaalsed arvud ei ole:
Esiteks kõik naturaalarvud;
Teiseks täisarvud;
Kolmandaks harilikud murrud;
Neljandaks erinevad seganumbrid;
Viiendaks, need on lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.
Lisaks kõigele ülaltoodule ei saa mis tahes ratsionaalarvude kombinatsioon, mida sooritavad aritmeetiliste tehete märgid, nagu +, -, , :, olla irratsionaalarv, kuna sel juhul on kahe ratsionaalarvu tulemus ka olla ratsionaalne arv.
Nüüd vaatame, millised arvud on irratsionaalsed:
Kas teate fänniklubi olemasolust, kus selle salapärase matemaatilise nähtuse fännid otsivad Pi kohta üha rohkem teavet, püüdes selle saladust lahti harutada? Selle klubi liikmeks võib saada igaüks, kes teab peast teatud arvu Pi-arvu pärast koma;
Kas teadsite, et Saksamaal asub UNESCO kaitse all Castadel Monte palee, tänu mille proportsioonidele saab arvutada Pi. Kuningas Frederick II pühendas sellele numbrile terve palee.
Selgub, et nad üritasid Paabeli torni ehitamisel kasutada numbrit Pi. Kuid meie suureks kahetsusega viis see projekti kokkuvarisemiseni, kuna tol ajal ei uuritud Pi väärtuse täpset arvutamist piisavalt.
Laulja Kate Bush salvestas oma uuele plaadile laulu nimega "Pi", milles kõlas sada kakskümmend neli numbrit kuulsast numbriseeriast 3, 141 ... ..
Laadimine...