Quelle forme appelle-t-on une pyramide ? Premièrement, c'est un polyèdre. Deuxièmement, à la base de ce polyèdre se trouve un polygone arbitraire et les côtés de la pyramide (faces latérales) ont nécessairement la forme de triangles convergeant vers un sommet commun. Maintenant, après avoir traité le terme, découvrons comment trouver la surface de la pyramide.
Il est clair que la surface d'un tel corps géométrique est constituée de la somme des surfaces de la base et de toute sa surface latérale.
Calcul de l'aire de la base de la pyramide
Le choix de la formule de calcul dépend de la forme du polygone situé à la base de notre pyramide. Il peut être correct, c'est-à-dire avec des côtés de même longueur, ou incorrect. Considérons les deux options.
A la base se trouve un polygone régulier
Du cours de l'école, il est connu:
- l'aire du carré sera égale à la longueur de son côté au carré;
- L'aire d'un triangle équilatéral est égale au carré de son côté divisé par 4 fois la racine carrée de trois.
Mais il existe également une formule générale pour calculer l'aire de tout polygone régulier (Sn): vous devez multiplier la valeur du périmètre de ce polygone (P) par le rayon du cercle qui y est inscrit (r), et puis divisez le résultat par deux : Sn=1/2P*r .
La base est un polygone irrégulier.
Le schéma pour trouver son aire consiste d'abord à diviser tout le polygone en triangles, à calculer l'aire de chacun d'eux à l'aide de la formule : 1/2a * h (où a est la base du triangle, h est la hauteur abaissé à cette base), additionnez tous les résultats.
Surface latérale de la pyramide
Calculons maintenant l'aire de la surface latérale de la pyramide, c'est-à-dire la somme des aires de tous ses côtés. Il y a aussi 2 options ici.
- Prenons une pyramide arbitraire, c'est-à-dire celui dont la base est un polygone irrégulier. Ensuite, vous devez calculer séparément la surface de chaque face et ajouter les résultats. Puisque les côtés de la pyramide, par définition, ne peuvent être que des triangles, le calcul est basé sur la formule mentionnée ci-dessus : S=1/2a*h.
- Que notre pyramide soit correcte, c'est-à-dire à sa base se trouve un polygone régulier, et la projection du sommet de la pyramide est en son centre. Ensuite, pour calculer l'aire de la surface latérale (Sb), il suffit de trouver la moitié du produit du périmètre du polygone de base (P) et de la hauteur (h) du côté (la même pour toutes les faces) : Sb \u003d 1/2 P * h. Le périmètre d'un polygone est déterminé en additionnant les longueurs de tous ses côtés.
La surface totale d'une pyramide régulière se trouve en additionnant l'aire de sa base avec l'aire de toute la surface latérale.
Exemples
Par exemple, calculons algébriquement les surfaces de plusieurs pyramides.
Superficie d'une pyramide triangulaire
A la base d'une telle pyramide se trouve un triangle. Selon la formule So \u003d 1 / 2a * h, on trouve l'aire de la base. On applique la même formule pour trouver l'aire de chaque face de la pyramide, qui a aussi une forme triangulaire, et on obtient 3 aires : S1, S2 et S3. L'aire de la surface latérale de la pyramide est la somme de toutes les aires: Sb \u003d S1 + S2 + S3. En ajoutant les aires des côtés et de la base, on obtient la surface totale de la pyramide souhaitée : Sp \u003d So + Sb.
Superficie d'une pyramide quadrangulaire
La surface latérale est la somme de 4 termes: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, chacun étant calculé à l'aide de la formule de la surface du triangle. Et l'aire de la base devra être recherchée, en fonction de la forme du quadrilatère - correcte ou irrégulière. La surface totale de la pyramide est à nouveau obtenue en additionnant la surface de base et la surface totale de la pyramide donnée.
Avant d'étudier des questions sur cette figure géométrique et ses propriétés, il est nécessaire de comprendre certains termes. Lorsqu'une personne entend parler de la pyramide, elle imagine d'énormes bâtiments en Égypte. Voici à quoi ressemblent les plus simples. Mais ils se présentent sous différents types et formes, ce qui signifie que la formule de calcul des formes géométriques sera différente.
Pyramide - figure géométrique, désignant et représentant plusieurs visages. En fait, c'est le même polyèdre, à la base duquel se trouve un polygone, et sur les côtés il y a des triangles qui se connectent en un point - le sommet. La figure est de deux types principaux :
- correct;
- tronqué.
Dans le premier cas, la base est un polygone régulier. Ici toutes les surfaces latérales sont égales entre eux et la figure elle-même plaira à l'œil d'un perfectionniste.
Dans le second cas, il y a deux bases - une grande tout en bas et une petite entre le haut, répétant la forme de la principale. En d'autres termes, une pyramide tronquée est un polyèdre dont la section est formée parallèlement à la base.
Termes et notation
Termes de base :
- Triangle régulier (équilatéral) Une figure avec trois angles identiques et des côtés égaux. Dans ce cas, tous les angles sont de 60 degrés. La figure est la plus simple des polyèdres réguliers. Si cette figure se trouve à la base, alors un tel polyèdre sera appelé triangulaire régulier. Si la base est un carré, la pyramide sera appelée pyramide quadrangulaire régulière.
- Sommet- le point le plus élevé où les bords se rencontrent. La hauteur du sommet est formée par une ligne droite allant du sommet à la base de la pyramide.
- bord est l'un des plans du polygone. Elle peut être en forme de triangle dans le cas d'une pyramide triangulaire, ou en forme de trapèze pour une pyramide tronquée.
- la Coupe transversale- une figure plate formée à la suite d'une dissection. À ne pas confondre avec une section, car une section montre également ce qui se cache derrière la section.
- Apothème- un segment tracé du sommet de la pyramide à sa base. C'est aussi la hauteur du visage où se trouve le deuxième point de hauteur. Cette définition n'est valable que par rapport à un polyèdre régulier. Par exemple - si ce n'est pas une pyramide tronquée, alors le visage sera un triangle. Dans ce cas, la hauteur de ce triangle deviendra un apothème.
Formules de surface
Trouver l'aire de la surface latérale de la pyramide tout type peut être fait de plusieurs manières. Si la figure n'est pas symétrique et est un polygone avec des côtés différents, alors dans ce cas, il est plus facile de calculer la surface totale à travers la totalité de toutes les surfaces. En d'autres termes, vous devez calculer la surface d'un visage de plage et les additionner.
Selon les paramètres connus, des formules de calcul d'un carré, d'un trapèze, d'un quadrilatère arbitraire, etc. peuvent être nécessaires. Les formules elles-mêmes dans différents cas sera également différent.
Dans le cas d'une figure régulière, trouver la zone est beaucoup plus facile. Il suffit de connaître quelques paramètres clés. Dans la plupart des cas, des calculs sont nécessaires précisément pour de tels chiffres. Par conséquent, les formules correspondantes seront données ci-dessous. Sinon, vous auriez à tout peindre sur plusieurs pages, ce qui ne ferait que confondre et confondre.
Formule de base pour le calcul la surface latérale d'une pyramide régulière ressemblera à ceci :
S \u003d ½ Pa (P est le périmètre de la base et est l'apothème)
Prenons l'un des exemples. Le polyèdre a une base avec des segments A1, A2, A3, A4, A5, et ils sont tous égaux à 10 cm. Laissez l'apothème être égal à 5 cm. Vous devez d'abord trouver le périmètre. Comme les cinq faces de la base sont identiques, on peut la trouver comme suit : P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Ensuite, nous appliquons la formule de base : S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm au carré .
Surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière le plus facile à calculer. La formule ressemble à ceci :
S =½* ab *3, où a est l'apothème, b est la facette de la base. Le facteur trois signifie ici le nombre de faces de la base, et la première partie est la surface de la surface latérale. Prenons un exemple. Soit une figure avec un apothème de 5 cm et une face de base de 8 cm On calcule : S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm au carré.
Surface latérale d'une pyramide tronquée c'est un peu plus difficile à calculer. La formule ressemble à ceci: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, où p_01 et p_02 sont les périmètres des bases, et est l'apothème. Prenons un exemple. Supposons, pour une figure quadrangulaire, que les dimensions des côtés des bases soient de 3 et 6 cm, l'apothème est de 4 cm.
Ici, pour commencer, vous devriez trouver les périmètres des bases : p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Il reste à substituer les valeurs dans la formule principale et obtenir : S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm au carré.
Ainsi, il est possible de trouver la surface latérale d'une pyramide régulière de toute complexité. Attention à ne pas confondre ces calculs avec la surface totale de l'ensemble du polyèdre. Et si vous avez encore besoin de le faire, il suffit de calculer l'aire de la plus grande base du polyèdre et de l'ajouter à l'aire de la surface latérale du polyèdre.
Vidéo
Pour consolider les informations sur la façon de trouver la surface latérale des différentes pyramides, cette vidéo vous aidera.
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Les problèmes géométriques typiques dans le plan et dans l'espace tridimensionnel sont les problèmes de détermination des surfaces de différentes figures. Dans cet article, nous présentons la formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière.
Qu'est-ce qu'une pyramide ?
Donnons une définition géométrique stricte d'une pyramide. Supposons qu'il existe un polygone à n côtés et n coins. Nous choisissons un point arbitraire dans l'espace qui ne sera pas dans le plan du n-gone spécifié et le connectons à chaque sommet du polygone. Nous obtiendrons une figure qui a un certain volume, qui s'appelle une pyramide n-gonale. Par exemple, montrons dans la figure ci-dessous à quoi ressemble une pyramide pentagonale.
Deux éléments importants de toute pyramide sont sa base (n-gon) et son sommet. Ces éléments sont reliés entre eux par n triangles, qui en général ne sont pas égaux entre eux. La perpendiculaire tombée du haut à la base s'appelle la hauteur de la figure. Si elle coupe la base au centre géométrique (coïncide avec le centre de masse du polygone), une telle pyramide est appelée une ligne droite. Si, en plus de cette condition, la base est un polygone régulier, alors toute la pyramide est dite régulière. La figure ci-dessous montre à quoi ressemblent les pyramides régulières avec des bases triangulaires, quadrangulaires, pentagonales et hexagonales.
La surface de la pyramide
Avant d'aborder la question de l'aire de la surface latérale d'une pyramide quadrangulaire régulière, il convient de s'attarder plus en détail sur le concept de surface elle-même.
Comme mentionné ci-dessus et représenté sur les figures, toute pyramide est formée par un ensemble de faces ou de côtés. Un côté est la base et n côtés sont des triangles. La surface de la figure entière est la somme des aires de chacun de ses côtés.
Il convient d'étudier la surface à l'aide de l'exemple d'une figure qui se déroule. Un balayage pour une pyramide quadrangulaire régulière est illustré dans les figures ci-dessous.
On voit que sa surface est égale à la somme de quatre aires de triangles isocèles identiques et à l'aire d'un carré.
L'aire totale de tous les triangles qui forment les côtés de la figure s'appelle l'aire de la surface latérale. Ensuite, nous montrons comment le calculer pour une pyramide quadrangulaire régulière.
Surface latérale d'une pyramide régulière rectangulaire
Pour calculer la surface latérale de la figure spécifiée, nous nous tournons à nouveau vers le balayage ci-dessus. Supposons que nous connaissions le côté de la base carrée. Désignons-le par le symbole a. On voit que chacun des quatre triangles identiques a une base de longueur a. Pour calculer leur surface totale, vous devez connaître cette valeur pour un triangle. D'après le cours de géométrie, on sait que l'aire du triangle S t est égale au produit de la base et de la hauteur, qui doit être divisée en deux. C'est-à-dire:
Où h b est la hauteur du triangle isocèle dessiné à la base a. Pour une pyramide, cette hauteur est l'apothème. Il reste maintenant à multiplier l'expression résultante par 4 pour obtenir l'aire S b de la surface latérale de la pyramide en question :
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Cette formule contient deux paramètres : l'apothème et le côté de la base. Si ce dernier est connu dans la plupart des conditions du problème, alors le premier doit être calculé en connaissant d'autres quantités. Voici les formules pour calculer apotema h b pour deux cas :
- lorsque la longueur de la nervure latérale est connue ;
- lorsque la hauteur de la pyramide est connue.
Si nous notons la longueur du bord latéral (le côté d'un triangle isocèle) avec le symbole L, alors l'apotème h b est déterminé par la formule :
h b \u003d √ (L 2 - une 2 / 4).
Cette expression est le résultat de l'application du théorème de Pythagore pour le triangle de surface latérale.
Si la hauteur h de la pyramide est connue, alors l'apotème h b peut être calculé comme suit :
h b = √(h 2 + une 2 /4).
Il n'est pas non plus difficile d'obtenir cette expression si l'on considère un triangle rectangle à l'intérieur de la pyramide formée par les jambes h et a/2 et l'hypoténuse h b.
Nous allons montrer comment appliquer ces formules en résolvant deux problèmes intéressants.
Problème avec la surface connue
On sait que l'aire de la surface latérale d'un quadrangulaire est de 108 cm 2 . Il faut calculer la valeur de la longueur de son apothème h bsi la hauteur de la pyramide est de 7 cm.
Nous écrivons la formule de l'aire S b de la surface latérale passant par la hauteur. On a:
S b = 2*√(h 2 + une 2 /4) *a.
Ici, nous avons simplement remplacé la formule d'apotéma correspondante dans l'expression de S b . Mettons au carré les deux côtés de l'équation :
S b 2 \u003d 4 * une 2 * h 2 + une 4.
Pour trouver la valeur de a, on fait un changement de variables :
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Nous substituons maintenant les valeurs connues et résolvons l'équation quadratique :
t2 + 196*t - 11664 = 0.
Nous n'avons écrit que la racine positive de cette équation. Alors les côtés de la base de la pyramide seront égaux à :
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Pour obtenir la longueur d'apoteme, il suffit d'utiliser la formule :
h b \u003d √ (h 2 + une 2/4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.
Face latérale de la pyramide de Khéops
Déterminons la valeur de la surface latérale de la plus grande pyramide égyptienne. On sait qu'à sa base se trouve un carré d'une longueur de côté de 230,363 mètres. La hauteur de la structure était à l'origine de 146,5 mètres. Remplacez ces nombres dans la formule correspondante pour S b , nous obtenons :
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
La valeur trouvée est légèrement supérieure à la superficie de 17 terrains de football.
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