Pour simplifier la division des nombres naturels, les règles de division par les nombres des dix premiers et les nombres 11, 25 ont été dérivées, qui sont combinées dans une section signes de divisibilité des nombres naturels. Voici les règles selon lesquelles l'analyse d'un nombre sans le diviser par un autre nombre naturel répondra à la question, est un nombre naturel un multiple des nombres 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 et un peu l'unité ?
Les nombres naturels qui ont des chiffres (se terminant par) 2,4,6,8,0 dans le premier chiffre sont appelés pairs.
Signe de divisibilité des nombres par 2
Tous les nombres naturels pairs sont divisibles par 2, par exemple : 172, 94,67 838, 1670.
Signe de divisibilité des nombres par 3
Tous les nombres naturels dont la somme des chiffres est un multiple de 3 sont divisibles par 3. Par exemple :
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Signe de divisibilité des nombres par 4
Tous les nombres naturels sont divisibles par 4, dont les deux derniers chiffres sont des zéros ou un multiple de 4. Par exemple :
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Signe de divisibilité des nombres par 5
Signe de divisibilité des nombres par 6
Les nombres naturels qui sont divisibles par 2 et 3 en même temps sont divisibles par 6 (tous les nombres pairs qui sont divisibles par 3). Par exemple : 126 (b - pair, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).
Signe de divisibilité des nombres par 9
Ces nombres naturels sont divisibles par 9, dont la somme des chiffres est un multiple de 9. Par exemple :
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Signe de divisibilité des nombres par 10
Signe de divisibilité des nombres par 11
Seuls les nombres naturels sont divisibles par 11, dans lesquels la somme des chiffres occupant des places paires est égale à la somme des chiffres occupant des places impaires, ou la différence entre la somme des chiffres des places impaires et la somme des chiffres des places paires est un multiple de 11. Par exemple :
105787 (1 + 5 + 8 = 14 et 0 + 7 + 7 = 14) ;
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 et 1 + 3 + 2 = 6) ;
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Signe de divisibilité des nombres par 25
Ces nombres naturels sont divisibles par 25, dont les deux derniers chiffres sont des zéros ou sont un multiple de 25. Par exemple :
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Signe de divisibilité des nombres par une unité de bit
Ces nombres naturels sont divisés en une unité de bit, dans laquelle le nombre de zéros est supérieur ou égal au nombre de zéros de l'unité de bit. Par exemple : 12 000 est divisible par 10, 100 et 1 000.
Une série d'articles sur les signes de divisibilité continue signe de divisibilité par 3. Cet article donne d'abord la formulation du critère de divisibilité par 3, et donne des exemples d'application de ce critère pour déterminer lesquels des nombres entiers donnés sont divisibles par 3 et lesquels ne le sont pas. De plus, la preuve du test de divisibilité par 3 est donnée. Des approches pour établir la divisibilité par 3 de nombres donnés comme valeur d'une expression sont également considérées.
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Signe de divisibilité par 3, exemples
Commençons avec formulations du test de divisibilité par 3: un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 , si la somme de ses chiffres n'est pas divisible par 3 , alors le nombre lui-même n'est pas divisible par 3 .
D'après la formulation ci-dessus, il est clair que le signe de divisibilité par 3 ne peut pas être utilisé sans la possibilité d'effectuer l'addition de nombres naturels. Aussi, pour l'application réussie du signe de divisibilité par 3, vous devez savoir que de tous les nombres naturels à un chiffre, les nombres 3, 6 et 9 sont divisibles par 3, et les nombres 1, 2, 4, 5, 7 et 8 ne sont pas divisibles par 3.
On peut maintenant considérer le plus simple exemples d'application du test de divisibilité par 3. Voyons si le nombre est divisible par 3 ? 42. Pour ce faire, on calcule la somme des chiffres du nombre ?42, il est égal à 4+2=6. Puisque 6 est divisible par 3, alors, en vertu du signe de divisibilité par 3, on peut affirmer que le nombre ? 42 est également divisible par 3. Mais l'entier positif 71 n'est pas divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 7+1=8, et 8 n'est pas divisible par 3.
0 est-il divisible par 3 ? Pour répondre à cette question, le critère de divisibilité par 3 n'est pas nécessaire, nous devons ici rappeler la propriété correspondante de divisibilité, qui stipule que zéro est divisible par tout entier. Donc 0 est divisible par 3.
Dans certains cas, pour montrer qu'un nombre donné a ou n'a pas la capacité d'être divisible par 3, le test de divisibilité par 3 doit être appliqué plusieurs fois de suite. Prenons un exemple.
Montrez que le nombre 907444812 est divisible par 3.
La somme des chiffres de 907444812 est 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Pour savoir si 39 est divisible par 3 , on calcule sa somme de chiffres : 3+9=12 . Et pour savoir si 12 est divisible par 3, on trouve la somme des chiffres du nombre 12, on a 1+2=3. Puisque nous avons obtenu le nombre 3, qui est divisible par 3, alors, en raison du signe de divisibilité par 3, le nombre 12 est divisible par 3. Par conséquent, 39 est divisible par 3, puisque la somme de ses chiffres est 12, et 12 est divisible par 3. Enfin, 907333812 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 39 et 39 est divisible par 3.
Pour consolider le matériel, nous allons analyser la solution d'un autre exemple.
Le nombre est-il divisible par 3 ? 543 205 ?
Calculons la somme des chiffres de ce nombre : 5+4+3+2+0+5=19 . À son tour, la somme des chiffres du nombre 19 est 1+9=10 , et la somme des chiffres du nombre 10 est 1+0=1 . Puisque nous avons obtenu le nombre 1, qui n'est pas divisible par 3, il résulte du critère de divisibilité par 3 que 10 n'est pas divisible par 3. Par conséquent, 19 n'est pas divisible par 3, car la somme de ses chiffres est 10, et 10 n'est pas divisible par 3. Par conséquent, le nombre d'origine ?543205 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres, égale à 19, n'est pas divisible par 3.
Il convient de noter que la division directe d'un nombre donné par 3 nous permet également de conclure si le nombre donné est divisible par 3 ou non. Par là nous voulons dire qu'il ne faut pas négliger la division au profit du signe de divisibilité par 3. Dans le dernier exemple, en divisant 543 205 par 3 par une colonne, on s'assurerait que 543 205 n'est pas divisible par 3, d'où l'on pourrait dire que 543 205 n'est pas divisible par 3 non plus.
Preuve du test de divisibilité par 3
La représentation suivante du nombre a nous aidera à prouver le signe de divisibilité par 3. On peut décomposer tout nombre naturel a en chiffres, après quoi la règle de multiplication par 10, 100, 1000 et ainsi de suite permet d'obtenir une représentation de la forme a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , où a n , a n?1 , …, a 0 sont des chiffres de gauche à droite dans le nombre a . Pour plus de clarté, nous donnons un exemple d'une telle représentation : 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Écrivons maintenant un certain nombre d'égalités assez évidentes : 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 et ainsi de suite.
En substituant dans l'équation a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 au lieu de 10 , 100 , 1 000 et ainsi de suite les expressions 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 et ainsi de suite, on obtient
.
Les propriétés d'addition des nombres naturels et les propriétés de multiplication des nombres naturels permettent de réécrire l'égalité résultante comme suit :
Expression 
est la somme des chiffres de a. Désignons-le par souci de brièveté et de commodité par la lettre A, c'est-à-dire que nous acceptons . Ensuite, nous obtenons une représentation du nombre a de la forme, que nous utiliserons pour prouver le test de divisibilité par 3.
De plus, pour prouver le test de divisibilité par 3, nous avons besoin des propriétés de divisibilité suivantes :
- que l'entier a soit divisible par l'entier b soit nécessaire et suffisant que le module du nombre a soit divisible par le module du nombre b ;
- si dans l'égalité a=s+t tous les termes, sauf un, sont divisibles par un entier b, alors ce seul terme est aussi divisible par b.
Maintenant, nous sommes parfaitement préparés et pouvons effectuer preuve de divisibilité par 3, par commodité, nous formulons cette caractéristique comme une condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité par 3 .
Pour qu'un entier a soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3.
Pour a=0 le théorème est évident.
Si a est différent de zéro, alors le module de a est un entier naturel, alors une représentation est possible, où est la somme des chiffres de a.
Puisque la somme et le produit des nombres entiers est un nombre entier, alors est un nombre entier, puis par la définition de la divisibilité, le produit est divisible par 3 pour tout a 0 , a 1 , …, a n .
Si la somme des chiffres du nombre a est divisible par 3, c'est-à-dire que A est divisible par 3, alors, en raison de la propriété de divisibilité indiquée avant le théorème, il est divisible par 3, donc a est divisible par 3. Cela prouve la suffisance.
Si a est divisible par 3, alors il est aussi divisible par 3, alors en raison de la même propriété de divisibilité, le nombre A est divisible par 3, c'est-à-dire que la somme des chiffres du nombre a est divisible par 3. Cela prouve la nécessité.
Autres cas de divisibilité par 3
Parfois, les entiers ne sont pas spécifiés explicitement, mais comme la valeur d'une expression avec une variable pour une valeur donnée de la variable. Par exemple, la valeur d'une expression pour un n naturel est un nombre naturel. Il est clair qu'avec une telle spécification des nombres, la division directe par 3 n'aidera pas à établir leur divisibilité par 3, et le signe de divisibilité par 3 ne pourra pas toujours être appliqué. Nous allons maintenant considérer plusieurs approches pour résoudre de tels problèmes.
L'essence de ces approches est de représenter l'expression originale comme un produit de plusieurs facteurs, et si au moins un des facteurs est divisible par 3, alors, en raison de la propriété de divisibilité correspondante, il sera possible de conclure que le produit entier est divisible par 3.
Parfois, cette approche peut être mise en œuvre en utilisant le binôme de Newton. Prenons un exemple de solution.
La valeur de l'expression est-elle divisible par 3 pour tout n naturel ?
L'égalité est évidente. Utilisons la formule binomiale de Newton : 
Dans la dernière expression, nous pouvons retirer 3 entre parenthèses, et nous obtenons. Le produit résultant est divisible par 3, car il contient un facteur 3, et la valeur de l'expression entre parenthèses pour n naturel est un nombre naturel. Par conséquent, est divisible par 3 pour tout n naturel.
Dans de nombreux cas, la divisibilité par 3 peut être prouvée par la méthode de l'induction mathématique. Analysons son application dans la résolution d'un exemple.
Montrer que pour tout naturel n la valeur de l'expression est divisible par 3 .
Pour la preuve, nous utilisons la méthode d'induction mathématique.
Pour n=1, la valeur de l'expression est , et 6 est divisible par 3 .
Supposons que la valeur de l'expression est divisible par 3 lorsque n=k , c'est-à-dire divisible par 3 .
Tenant compte du fait qu'il est divisible par 3 , nous montrerons que la valeur de l'expression pour n=k+1 est divisible par 3 , c'est-à-dire que nous montrerons que 
est divisible par 3.
Faisons quelques transformations : 
L'expression est divisée par 3 et l'expression 
est divisible par 3, donc leur somme est divisible par 3.
Ainsi, la méthode d'induction mathématique a prouvé la divisibilité par 3 pour tout n naturel.
Montrons une autre approche de la preuve de la divisibilité par 3 . Si nous montrons que pour n=3 m , n=3 m+1 et n=3 m+2 , où m est un entier arbitraire, la valeur d'une expression (avec la variable n) est divisible par 3 , alors cela prouvera divisibilité de l'expression par 3 pour tout entier n . Considérez cette approche lors de la résolution de l'exemple précédent.
Montrez ce qui est divisible par 3 pour tout n naturel.
Pour n=3 m on a. Le produit résultant est divisible par 3 car il contient un facteur 3 divisible par 3 .
Le produit obtenu est également divisible par 3.
Et ce produit est divisible par 3.
Par conséquent, est divisible par 3 pour tout n naturel.
En conclusion, nous présentons la solution d'un autre exemple.
est la valeur de l'expression divisible par 3 
pour certains n naturels.
Pour n=1 on a. La somme des chiffres du nombre résultant est 3, donc le signe de divisibilité par 3 nous permet d'affirmer que ce nombre est divisible par 3.
Pour n=2 on a. La somme des chiffres et de ce nombre est 3 , il est donc divisible par 3 .
Il est clair que pour tout autre n naturel nous aurons des nombres dont la somme des chiffres est 3, donc ces nombres sont divisibles par 3.
De cette façon, car tout naturel n est divisible par 3.
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Mathématiques, 6e année, manuel pour les étudiants des organisations éducatives, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Mathématiques, 6e année, manuel pour les étudiants des organisations éducatives, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Le matériel théorique du manuel est présenté de manière à ce que l'enseignant puisse appliquer une approche d'enseignement basée sur les problèmes. A l'aide du système de notation, on distingue des exercices de quatre niveaux de complexité. Dans chaque paragraphe, des tâches de contrôle sont formulées en fonction de ce que les élèves doivent savoir et être capables de réaliser pour atteindre le niveau du standard de l'enseignement mathématique. Il y a des tests à domicile et des réponses à la fin du manuel. Les illustrations en couleur (dessins et diagrammes) fournissent un haut niveau de clarté du matériel pédagogique.
Conforme aux exigences de GEF LLC.
Tâches.
4. Dessinez un triangle ABC et marquez un point O à l'extérieur (comme sur la figure 11). Construire une figure symétrique au triangle ABC par rapport au point O.
5. Dessinez le triangle KMN et construisez une figure symétrique à ce triangle par rapport à :
a) ses sommets - points M ;
b) points O - les milieux du côté MN.
6. Construis une figure symétrique :
a) rayon OM par rapport au point O ; notez quel point est symétrique au point O;
b) le rayon OM par rapport à un point quelconque A n'appartenant pas à ce rayon ;
c) droite AB par rapport au point O, n'appartenant pas à cette droite ;
d) la ligne AB par rapport au point O appartenant à cette ligne ; notez quel point est symétrique au point O.
Dans chaque cas, décrivez la position relative des figures à symétrie centrale.
Table des matières
Chapitre I. Nombres positifs et négatifs. Coordonnées
§ 1. Rotation et symétrie centrale
§ 2. Nombres positifs et négatifs. Ligne de coordonnées
§ 3. Module de nombre. Numéros opposés
§ 4. Comparaison des nombres
§ 5. Parallélisme des lignes
§ 6. Expressions numériques contenant les signes "+", "-"
§ 7. Somme algébrique et ses propriétés
§ 8. La règle de calcul de la valeur de la somme algébrique de deux nombres
§ 9. Distance entre les points de la ligne de coordonnées
§ 10. Symétrie axiale
§ 11. Lacunes numériques
§ 12. Multiplication et division des nombres positifs et négatifs
§ 13. Coordonnées
§ 14. Plan de coordonnées
§ 15. Multiplication et division de fractions ordinaires
§ 16. Règle de multiplication pour les problèmes combinatoires
Chapitre II. Conversion d'expressions littérales
§ 17. Expansion du support
§ 18. Simplification des expressions
§ 19. Solution des équations
§ 20. Résolution de problèmes pour compiler des équations
§ 21. Deux problèmes principaux sur les fractions
§ 22. Cercle. Circonférence
§ 23. Cercle. Aire d'un cercle
§ 24. Balle. Sphère
Chapitre III. Divisibilité des nombres naturels
§ 25. Diviseurs et multiples
§ 26. Divisibilité d'une œuvre
§ 27. Divisibilité de la somme et de la différence des nombres
§ 28. Signes de divisibilité par 2, 5, 10, 4 et 25
§ 29. Signes de divisibilité par 3 et 9
§ 30. Nombres premiers. Décomposer un nombre en facteurs premiers
§ 31. Plus grand diviseur commun
§ 32. Nombres premiers entre eux. Signe de divisibilité par un produit. Multiple moins commun
Chapitre IV. Les mathématiques autour de nous
§ 33. Le rapport de deux nombres
§ 34. Diagrammes
§ 35. Proportionnalité des quantités
§ 36. Résolution de problèmes à l'aide de proportions
§ 37. Tâches diverses
§ 38. Première connaissance du concept de "probabilité"
§ 39. Première connaissance du calcul de probabilité
Essais à domicile
Thèmes des activités du projet
Réponses
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Addition de nombres.
- a+b=c, où a et b sont des termes, c est la somme.
- Pour trouver le terme inconnu, soustrayez le terme connu de la somme.
Soustraction de nombres.
- a-b=c, où a est la diminution, b est la soustraction, c est la différence.
- Pour trouver la diminution inconnue, vous devez ajouter la soustraction à la différence.
- Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la diminution de la fin.
Multiplication de nombres.
- un b=c, où a et b sont des facteurs, c est le produit.
- Pour trouver le facteur inconnu, vous devez diviser le produit par le facteur connu.
Division des nombres.
- a:b=c, où a est le dividende, b est le diviseur, c est le quotient.
- Pour trouver le dividende inconnu, vous devez multiplier le diviseur par le quotient.
- Pour trouver un diviseur inconnu, il faut diviser le dividende par le quotient.
Les lois de l'addition.
- a+b=b+a(déplacement : la somme ne change pas du fait du réarrangement des termes).
- (a+b)+c=a+(b+c)(associatif : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux termes, on peut additionner la somme du deuxième et du troisième au premier nombre).
Tableau d'addition.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Lois de la multiplication.
- une b=b une(déplacement : la permutation des facteurs ne change pas le produit).
- (a b) c=a (b c)(combinatif : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, on peut multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième).
- (a+b) c=a c+b c(loi distributive de la multiplication par rapport à l'addition : pour multiplier la somme de deux nombres par un troisième nombre, on peut multiplier chaque terme par ce nombre et additionner les résultats).
- (a-b) c=a c-b c(loi distributive de la multiplication par rapport à la soustraction : pour multiplier la différence de deux nombres par un troisième nombre, on peut multiplier par ce nombre réduit et soustrait séparément et soustraire le second du premier résultat).
Table de multiplication.
2 1=2 ; 3 1=3 ; 4 1=4 ; 5 1=5 ; 6 1=6 ; 7 1=7 ; 8 1=8 ; 9 1=9.
2 2=4 ; 3 2=6 ; 4 2=8 ; 5 2=10 ; 6 2=12 ; 7 2=14 ; 8 2=16 ; 9 2=18.
2 3=6 ; 3 3=9 ; 4 3=12 ; 5 3=15 ; 6 3=18 ; 7 3=21 ; 8 3=24 ; 9 3=27.
2 4=8 ; 3 4=12 ; 4 4=16 ; 5 4=20 ; 6 4=24 ; 7 4=28 ; 8 4=32 ; 9 4=36.
2 5=10 ; 3 5=15 ; 4 5=20 ; 5 5=25 ; 6 5=30 ; 7 5=35 ; 8 5=40 ; 9 5=45.
2 6=12 ; 3 6=18 ; 4 6=24 ; 5 6=30 ; 6 6=36 ; 7 6=42 ; 8 6=48 ; 9 6=54.
2 7=14 ; 3 7=21 ; 4 7=28 ; 5 7=35 ; 6 7=42 ; 7 7=49 ; 8 7=56 ; 9 7=63.
2 8=16 ; 3 8=24 ; 4 8=32 ; 5 8=40 ; 6 8=48 ; 7 8=56 ; 8 8=64 ; 9 8=72.
2 9=18 ; 3 9=27 ; 4 9=36 ; 5 9=45 ; 6 9=54 ; 7 9=63 ; 8 9=72 ; 99=81.
2 10=20 ; 3 10=30 ; 4 10=40 ; 5 10=50 ; 6 10=60 ; 7 10=70 ; 8 10=80 ; 9 10=90.
Diviseurs et multiples.
- diviseur entier naturel un nommer l'entier naturel par lequel un divisé sans reste. (Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sont des diviseurs du nombre 24, puisque 24 est divisible par chacun d'eux sans reste) 1-diviseur de tout nombre naturel. Le plus grand diviseur de tout nombre est le nombre lui-même.
- Plusieurs entier naturel b est un nombre naturel divisible sans reste par b. (Les nombres 24, 48, 72, ... sont des multiples du nombre 24, puisqu'ils sont divisibles par 24 sans reste). Le plus petit multiple d'un nombre est le nombre lui-même.
Signes de divisibilité des nombres naturels.
- Les nombres utilisés lors du comptage d'objets (1, 2, 3, 4, ...) sont appelés nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels est désigné par la lettre N.
- Nombres 0, 2, 4, 6, 8 appelé même Nombres. Les nombres qui se terminent par des chiffres pairs sont appelés nombres pairs.
- Nombres 1, 3, 5, 7, 9 appelé étrange Nombres. Les nombres qui se terminent par des chiffres impairs sont appelés nombres impairs.
- Signe de divisibilité par le nombre 2. Tous les nombres naturels qui se terminent par un chiffre pair sont divisibles par 2.
- Signe de divisibilité par le nombre 5. Tous les nombres naturels qui se terminent par 0 ou 5 sont divisibles par 5.
- Signe de divisibilité par le nombre 10. Tous les nombres naturels qui se terminent par 0 sont divisibles par 10.
- Signe de divisibilité par le nombre 3. Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3.
- Signe de divisibilité par le nombre 9. Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 9, alors le nombre lui-même est divisible par 9.
- Signe de divisibilité par le nombre 4. Si le nombre composé des deux derniers chiffres d'un nombre donné est divisible par 4, alors le nombre donné lui-même est divisible par 4.
- Signe de divisibilité par le nombre 11. Si la différence entre la somme des chiffres aux places impaires et la somme des chiffres aux places paires est divisible par 11, alors le nombre lui-même est divisible par 11.
- Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs : un et le nombre lui-même.
- Un nombre composé est un nombre qui a plus de deux diviseurs.
- Le nombre 1 n'est ni un nombre premier ni un nombre composé.
- Écrire un nombre composé comme un produit de nombres premiers seulement s'appelle factoriser un nombre composé en facteurs premiers. Tout nombre composé peut être représenté de manière unique comme un produit de facteurs premiers.
- Le plus grand diviseur commun de nombres naturels donnés est le plus grand nombre naturel par lequel chacun de ces nombres est divisible.
- Le plus grand diviseur commun de ces nombres est égal au produit des facteurs premiers communs dans les expansions de ces nombres. Exemple. PGCD(24, 42)=2 3=6, puisque 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, leurs facteurs premiers communs sont 2 et 3.
- Si les nombres naturels n'ont qu'un seul diviseur commun - un, alors ces nombres sont appelés premiers entre eux.
- Le plus petit commun multiple de nombres naturels donnés est le plus petit nombre naturel qui est un multiple de chacun des nombres donnés. Exemple. LCM(24, 42)=168. C'est le plus petit nombre divisible par 24 et 42.
- Pour trouver le PPCM de plusieurs nombres naturels donnés, il faut : 1) décomposer chacun des nombres donnés en facteurs premiers ; 2) écrivez le développement du plus grand des nombres et multipliez-le par les facteurs manquants des développements des autres nombres.
- Le plus petit multiple de deux nombres premiers est égal au produit de ces nombres.
b- dénominateur d'une fraction, indique combien de parties égales sont divisées ;
un-le numérateur de la fraction, montre combien de telles parties ont été prises. La barre fractionnaire signifie le signe de division.
Parfois, au lieu d'une ligne fractionnaire horizontale, ils mettent une barre oblique, et une fraction ordinaire s'écrit comme ceci : un B.
- À fraction propre le numérateur est inférieur au dénominateur.
- À fraction impropre le numérateur est supérieur au dénominateur ou égal au dénominateur.
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, une fraction égale à celle-ci sera obtenue.
La division du numérateur et du dénominateur d'une fraction par leur diviseur commun autre que un est appelée réduction de fraction.
- Un nombre composé d'une partie entière et d'une partie fractionnaire est appelé un nombre fractionnaire.
- Afin de représenter une fraction impropre comme un nombre fractionnaire, il faut diviser le numérateur de la fraction par le dénominateur, alors le quotient incomplet sera la partie entière du nombre fractionnaire, le reste sera le numérateur de la partie fractionnaire , et le dénominateur restera le même.
- Pour représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre, vous devez multiplier la partie entière du nombre fractionnaire par le dénominateur, ajouter le numérateur de la partie fractionnaire au résultat et l'écrire au numérateur de la fraction impropre, et laisser le dénominateur le même.
- Rayon Oh avec origine au point O, sur lequel coupe simple vers et direction, appelé faisceau de coordonnées.
- Le nombre correspondant au point du rayon de coordonnées est appelé coordonner ce point. Par exemple , A(3). Lire : point A de coordonnée 3.
- Le plus petit dénominateur commun ( NOZ) de ces fractions irréductibles est le plus petit commun multiple ( CNO) dénominateurs de ces fractions.
- Pour ramener des fractions au plus petit dénominateur commun, il faut : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera le plus petit dénominateur commun. 2) trouver un facteur supplémentaire pour chacune des fractions, pour lequel on divise le nouveau dénominateur par le dénominateur de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur additionnel.
- De deux fractions avec le même dénominateur, celle avec le plus grand numérateur est la plus grande, et celle avec le plus petit numérateur est la plus petite.
- De deux fractions avec le même numérateur, celle avec le plus petit dénominateur est la plus grande et celle avec le plus grand dénominateur est la plus petite.
- Pour comparer des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs, vous devez réduire les fractions au plus petit dénominateur commun, puis comparer les fractions avec les mêmes dénominateurs.
Opérations sur les fractions ordinaires.
- Pour ajouter des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez ajouter leurs numérateurs et laisser le même dénominateur.
- Si vous devez additionner des fractions avec des dénominateurs différents, réduisez d'abord les fractions au plus petit dénominateur commun, puis additionnez les fractions avec les mêmes dénominateurs.
- Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, le numérateur de la deuxième fraction est soustrait du numérateur de la première fraction, et le dénominateur reste le même.
- Si vous devez soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, elles sont d'abord amenées à un dénominateur commun, puis les fractions avec les mêmes dénominateurs sont soustraites.
- Lors de l'exécution d'opérations d'addition ou de soustraction de nombres mixtes, ces opérations sont effectuées séparément pour les parties entières et pour les parties fractionnaires, puis le résultat est écrit sous la forme d'un nombre mixte.
- Le produit de deux fractions ordinaires est égal à une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs des fractions données.
- Pour multiplier une fraction ordinaire par un nombre naturel, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le même dénominateur.
- Deux nombres dont le produit est égal à un sont appelés nombres mutuellement réciproques.
- Lors de la multiplication de nombres mixtes, ils sont d'abord convertis en fractions impropres.
- Pour trouver une fraction d'un nombre, vous devez multiplier le nombre par cette fraction.
- Pour diviser une fraction commune par une fraction commune, il faut multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.
- Lors de la division de nombres mixtes, ils sont d'abord convertis en fractions impropres.
- Pour diviser une fraction ordinaire par un nombre naturel, vous devez multiplier le dénominateur de la fraction par ce nombre naturel et laisser le numérateur inchangé. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- Pour trouver un nombre par sa fraction, il faut diviser par cette fraction le nombre qui lui correspond.
- Une fraction décimale est un nombre écrit dans le système décimal et ayant des chiffres inférieurs à un. (3,25 ; 0,1457, etc.)
- Les décimales après la virgule sont appelées décimales.
- La fraction décimale ne changera pas si des zéros sont ajoutés ou supprimés à la fin de la fraction décimale.
Pour additionner des fractions décimales, vous devez : 1) égaliser le nombre de décimales dans ces fractions ; 2) écrivez-les l'un sous l'autre de manière à ce que la virgule soit écrite sous la virgule; 3) effectuer l'addition, en ignorant la virgule, et mettre une virgule sous les virgules dans les fractions additionnées de la somme.
Pour effectuer la soustraction de fractions décimales, vous devez : 1) égaliser le nombre de décimales dans la diminution et la soustraction ; 2) signer le soustrait sous le réduit pour que la virgule soit sous la virgule ; 3) effectuer la soustraction, en ignorant la virgule, et dans le résultat, mettre la virgule sous les virgules de la diminution et de la diminution.
- Pour multiplier une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez le multiplier par ce nombre, en ignorant la virgule, et dans le produit résultant, séparez autant de chiffres à droite qu'il y en avait après la virgule décimale dans la fraction donnée.
- Pour multiplier une fraction décimale par une autre, vous devez effectuer la multiplication en ignorant les virgules et, dans le résultat obtenu, séparer autant de chiffres avec une virgule à droite qu'il y en avait après les virgules dans les deux facteurs ensemble.
- Pour multiplier une décimale par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule vers la droite de 1, 2, 3, etc. chiffres.
- Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule vers la gauche de 1, 2, 3, etc. chiffres.
- Pour diviser une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez diviser la fraction par ce nombre, car les nombres naturels sont divisés et placés dans une virgule privée lorsque la division de la partie entière est terminée.
- Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule vers la gauche de 1, 2, 3, etc. chiffres.
- Pour diviser un nombre par une décimale, vous devez déplacer les virgules dans le dividende et le diviseur d'autant de chiffres vers la droite qu'ils le sont après la virgule décimale dans le diviseur, puis diviser par un nombre naturel.
- Diviser un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule vers la droite de 1, 2, 3, etc. chiffres. (Diviser un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc. revient à multiplier ce nombre décimal par 10, 100, 1000, etc.)
Pour arrondir un nombre à un certain chiffre, nous soulignons le chiffre de ce chiffre, puis nous remplaçons tous les chiffres derrière celui souligné par des zéros, et s'ils sont après la virgule décimale, nous les supprimons. Si le premier chiffre remplacé par zéro ou supprimé est 0, 1, 2, 3 ou 4, le chiffre souligné reste inchangé. Si le premier chiffre remplacé par zéro ou supprimé est 5, 6, 7, 8 ou 9, le chiffre souligné est augmenté de 1.
Moyenne arithmétique de plusieurs nombres.
La moyenne arithmétique de plusieurs nombres est le quotient de la division de la somme de ces nombres par le nombre de termes.
La plage d'une série de nombres.
La différence entre les valeurs les plus grandes et les plus petites de la série de données s'appelle la plage de la série de nombres.
Mode de série de nombres.
Le nombre qui apparaît avec la plus grande fréquence parmi les nombres donnés de la série est appelé le mode de la série de nombres.
- Un centième s'appelle un pourcentage. Achetez un livre qui enseigne "Comment résoudre les problèmes de pourcentage".
- Pour exprimer des pourcentages sous forme de fraction ou de nombre naturel, vous devez diviser le pourcentage par 100 %. (4 % = 0,04 ; 32 % = 0,32).
- Pour exprimer un nombre en pourcentage, vous devez le multiplier par 100 %. (0,65=0,65 100 %=65 % ; 1,5=1,5 100 %=150 %).
- Pour trouver un pourcentage d'un nombre, vous devez exprimer le pourcentage sous forme de fraction ordinaire ou décimale et multiplier la fraction résultante par le nombre donné.
- Pour trouver un nombre par son pourcentage, vous devez exprimer le pourcentage sous forme de fraction ordinaire ou décimale et diviser le nombre donné par cette fraction.
- Pour trouver le pourcentage du premier nombre par rapport au second, vous devez diviser le premier nombre par le second et multiplier le résultat par 100 %.
- Le quotient de deux nombres s'appelle le rapport de ces nombres. un B ou un B est le rapport des nombres a et b, de plus, a est le terme précédent, b est le terme suivant.
- Si les termes de cette relation sont réarrangés, alors la relation résultante est appelée l'inverse de cette relation. Les relations b/a et a/b sont mutuellement inverses.
- Le ratio ne changera pas si les deux termes du ratio sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul.
- L'égalité de deux rapports s'appelle proportion.
- a:b=c:d. C'est la proportion. Lis: un s'applique donc à b, comment c fait référence à ré. Les nombres a et d sont appelés les membres extrêmes de la proportion, et les nombres b et c sont les membres intermédiaires de la proportion.
- Le produit des termes extrêmes d'une proportion est égal au produit de ses termes moyens. Pour les proportions a:b=c:d ou a/b=c/d la propriété principale s'écrit ainsi : un ré = b c.
- Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, vous devez diviser le produit des termes moyens de la proportion par le terme extrême connu.
- Pour trouver le moyen terme inconnu de la proportion, vous devez diviser le produit des termes extrêmes de la proportion par le moyen terme connu. Tâches de proportion.
Laissez la valeur y dépend de la taille X. Si avec une augmentation X plusieurs fois la taille à augmente du même facteur, alors ces valeurs X et à sont dits directement proportionnels.
Si deux quantités sont directement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitraires de la première quantité est égal au rapport des deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité.
Le rapport de la longueur du segment sur la carte à la longueur de la distance correspondante au sol est appelé l'échelle de la carte.
Laissez la valeur à dépend de la taille X. Si avec une augmentation X plusieurs fois la taille à diminue du même facteur, alors ces valeurs X et à sont dits inversement proportionnels.
Si deux quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs prises arbitrairement d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes de l'autre quantité.
- Un ensemble est une collection d'objets ou de nombres compilés selon certaines propriétés ou lois générales (beaucoup de lettres sur une page, beaucoup de fractions régulières avec un dénominateur de 5, beaucoup d'étoiles dans le ciel, etc.).
- Les ensembles sont composés d'éléments et sont soit finis soit infinis. Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide et est noté Oh
- Beaucoup de À appelé un sous-ensemble de l'ensemble MAIS si tous les éléments de l'ensemble À sont des éléments de l'ensemble MAIS.
- Définir l'intersection MAIS et À est un ensemble dont les éléments appartiennent à l'ensemble MAIS et beaucoup À.
- Union d'ensembles MAIS et À est un ensemble dont les éléments appartiennent à au moins un des ensembles donnés MAIS et À.
Ensembles de nombres.
- N– ensemble de nombres naturels : 1, 2, 3, 4,…
- Z– ensemble d'entiers : …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q est l'ensemble des nombres rationnels représentables sous forme de fraction m/n, où m- ensemble, n– naturel (-2 ; 3/5 ; v9 ; v25, etc.)
- Une droite de coordonnées est une droite sur laquelle sont donnés une direction positive, un point de référence (point O) et un segment unité.
- Chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un certain nombre, qui est appelé la coordonnée de ce point. Par exemple, UN(5). Lire : point A de coordonnée cinq. À 3). Lire : point B avec coordonnée moins trois.
- Le module du nombre a (notez |a|) est appelée la distance de l'origine au point correspondant au nombre donné un. La valeur du module de tout nombre est non négative. |3|=3 ; |-3|=3, car la distance de l'origine au nombre -3 et au nombre 3 est égale à trois segments unitaires. |0|=0 .
- Par définition du module d'un nombre : |une|=une, si un?0 et |a|=-a, si un B.
- Si, en comparant les nombres a et b, la différence un B est un nombre négatif, alors a , alors elles sont appelées inégalités strictes.
- Si les inégalités s'écrivent en signes ? ou ?, alors elles sont appelées inégalités non strictes.
Propriétés des inégalités numériques.
G) 
Une inégalité de la forme x?a. Réponse:
L'utilisation des compétences de divisibilité simplifie les calculs et augmente proportionnellement la vitesse de leur exécution. Analysons en détail la principale caractéristique fonctions de divisibilité.
Le critère de divisibilité le plus simple pour unités: tous les nombres sont divisibles par un. Il est tout aussi élémentaire et avec des signes de divisibilité par deux, cinq, Dix. Un nombre pair peut être divisé par deux, ou un avec un chiffre final de 0, par cinq - un nombre avec un chiffre final de 5 ou 0. Seuls les nombres avec un chiffre final de 0 seront divisés par dix, par 100 - seuls les nombres dont les deux derniers chiffres sont des zéros, sur 1000 - seulement ceux avec trois zéros finaux.
Par exemple:
Le nombre 79516 peut être divisé par 2, puisqu'il se termine par 6, un nombre pair ; 9651 n'est pas divisible par 2, puisque 1 est un chiffre impair ; 1790 est divisible par 2 car le dernier chiffre est zéro. 3470 sera divisé par 5 (le dernier chiffre est 0); 1054 n'est pas divisible par 5 (4 final). 7800 sera divisé par 10 et 100 ; 542000 est divisible par 10, 100, 1000.
Caractéristique moins connue, mais très facile à utiliser fonctions de divisibilité sur le 3 et 9 , 4 , 6 et 8, 25 . Il existe également des traits caractéristiques de divisibilité par 7, 11, 13, 17, 19 et ainsi de suite, mais ils sont beaucoup moins utilisés dans la pratique.
Un trait caractéristique de la division par 3 et par 9.
Sur le Trois et/ou sur neuf sans reste, seront divisés les nombres pour lesquels le résultat de l'addition des chiffres est un multiple de trois et/ou de neuf.
Par exemple:
Le nombre 156321, résultat de l'addition 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 sera respectivement divisé par 3 et divisé par 9, le nombre lui-même pouvant être divisé par 3 et 9. Le nombre 79123 ne sera pas divisé par 3 ou 9, de sorte que la somme de ses chiffres (22) n'est pas divisible par ces nombres.
Un trait caractéristique de la division par 4, 8, 16 et ainsi de suite.
Un nombre peut être divisé sans reste par quatre, si ses deux derniers chiffres sont des zéros ou un nombre divisible par 4. Dans tous les autres cas, la division sans reste n'est pas possible.
Par exemple:
Le nombre 75300 est divisible par 4, puisque les deux derniers chiffres sont des zéros ; 48834 n'est pas divisible par 4 car les deux derniers chiffres donnent 34, qui n'est pas divisible par 4 ; 35908 est divisible par 4, puisque les deux derniers chiffres de 08 donnent le nombre 8 divisible par 4.
Un principe similaire est applicable au critère de divisibilité par huit. Un nombre est divisible par huit si ses trois derniers chiffres sont des zéros ou forment un nombre divisible par 8. Sinon, le quotient obtenu par division ne sera pas un entier.
Mêmes propriétés pour la division par 16, 32, 64 etc., mais ils ne sont pas utilisés dans les calculs quotidiens.
Un trait caractéristique de la divisibilité par 6.
Le nombre est divisible par six, s'il est divisible à la fois par deux et par trois, avec toutes les autres options, la division sans reste est impossible.
Par exemple:
126 est divisible par 6, puisqu'il est divisible à la fois par 2 (le nombre pair final est 6) et 3 (la somme des chiffres 1 + 2 + 6 = 9 est divisible par trois)
Un trait caractéristique de la divisibilité par 7.
Le nombre est divisible par Sept si la différence entre son double dernier nombre et "le nombre restant sans le dernier chiffre" est divisible par sept, alors le nombre lui-même est divisible par sept.
Par exemple:
Le nombre est 296492. Prenez le dernier chiffre "2", doublez-le, cela donne 4. Soustrayez 29649 - 4 = 29645. Il est problématique de savoir s'il est divisible par 7, donc à analyser à nouveau. Ensuite, nous doublons le dernier chiffre "5", il sort 10. Nous soustrayons 2964 - 10 = 2954. Le résultat est le même, on ne sait pas s'il est divisible par 7, donc on continue l'analyse. Nous analysons avec le dernier chiffre "4", double, il sort 8. Soustrayez 295 - 8 = 287. Nous comparons deux cent quatre-vingt-sept - il n'est pas divisible par 7, en relation avec cela nous continuons la recherche. Par analogie, le dernier chiffre "7", doublé, sort 14. Soustrayez 28 - 14 \u003d 14. Le nombre 14 est divisible par 7, donc le nombre d'origine est divisible par 7.
Un trait caractéristique de la divisibilité par 11.
Sur le Onze seuls sont divisibles les nombres pour lesquels le résultat de l'addition des chiffres placés aux places impaires est soit égal à la somme des chiffres placés aux places paires, soit différent d'un nombre divisible par onze.
Par exemple:
Le nombre 103 785 est divisible par 11, puisque la somme des chiffres aux places impaires, 1 + 3 + 8 = 12, est égale à la somme des chiffres aux places paires, 0 + 7 + 5 = 12. Le nombre 9 163 627 est divisible par 11, puisque la somme des chiffres aux places impaires est 9 + 6 + 6 + 7 = 28, et la somme des chiffres aux places paires est 1 + 3 + 2 = 6; la différence entre les nombres 28 et 6 est 22, et ce nombre est divisible par 11. Le nombre 461 025 n'est pas divisible par 11, puisque les nombres 4 + 1 + 2 = 7 et 6 + 0 + 5 = 11 ne sont pas égaux à entre eux, et leur différence 11 - 7 = 4 n'est pas divisible par 11.
Un trait caractéristique de la divisibilité par 25.
Sur le vingt cinq divisera des nombres dont les deux derniers chiffres sont des zéros ou formera un nombre qui peut être divisé par vingt-cinq (c'est-à-dire des nombres se terminant par 00, 25, 50 ou 75). Dans d'autres cas, le nombre ne peut pas être divisé entièrement par 25.
Par exemple:
9450 est divisible par 25 (se termine par 50); 5085 n'est pas divisible par 25.
signe de divisibilité
Signe de divisibilité- une règle qui vous permet de déterminer relativement rapidement si un nombre est un multiple d'un nombre prédéterminé sans avoir à effectuer une division réelle. En règle générale, il est basé sur des actions avec une partie des chiffres de la notation d'un nombre dans un système de nombres positionnels (généralement décimal).
Il existe plusieurs règles simples qui vous permettent de trouver les petits diviseurs d'un nombre dans le système de numération décimale :
Signe de divisibilité par 2
Signe de divisibilité par 3
Divisibilité par 4 signe
Signe de divisibilité par 5
Signe de divisibilité par 6
Signe de divisibilité par 7
Signe de divisibilité par 8
Signe de divisibilité par 9
Signe de divisibilité par 10
Signe de divisibilité par 11
Signe de divisibilité par 12
Signe de divisibilité par 13
Signe de divisibilité par 14
Signe de divisibilité par 15
Signe de divisibilité par 17
Signe de divisibilité par 19
Signe de divisibilité par 23
Signe de divisibilité par 25
Signe de divisibilité par 99
Nous divisons le nombre en groupes de 2 chiffres de droite à gauche (le groupe le plus à gauche peut avoir un chiffre) et trouvons la somme de ces groupes, en les considérant comme des nombres à deux chiffres. Cette somme est divisible par 99 si et seulement si le nombre lui-même est divisible par 99.
Signe de divisibilité par 101
Nous divisons le nombre en groupes de 2 chiffres de droite à gauche (le groupe le plus à gauche peut avoir un chiffre) et trouvons la somme de ces groupes avec des signes variables, en les considérant comme des nombres à deux chiffres. Cette somme est divisible par 101 si et seulement si le nombre lui-même est divisible par 101. Par exemple, 590547 est divisible par 101, puisque 59-05+47=101 est divisible par 101).
Signe de divisibilité par 2 n
Un nombre est divisible par la nième puissance de deux si et seulement si le nombre formé par ses n derniers chiffres est divisible par la même puissance.
Signe de divisibilité par 5 n
Un nombre est divisible par la nième puissance de 5 si et seulement si le nombre formé par ses n derniers chiffres est divisible par la même puissance.
Signe de divisibilité par 10 n − 1
Divisons le nombre en groupes de n chiffres de droite à gauche (le groupe le plus à gauche peut contenir de 1 à n chiffres) et trouvons la somme de ces groupes, en les considérant comme des nombres à n chiffres. Ce montant est divisible par 10 n− 1 si et seulement si le nombre lui-même est divisible par 10 n − 1 .
Signe de divisibilité par 10 n
Un nombre est divisible par la nième puissance de dix si et seulement si ses n derniers chiffres sont
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