Cercle. Angle central et inscrit. Angle inscrit, théorie et problèmes

L'angle ABC est un angle inscrit. Il repose sur l'arc AC, enfermé entre ses côtés (fig. 330).

Théorème. Un angle inscrit se mesure par la moitié de l'arc sur lequel il sous-tend.

Il faut comprendre cela ainsi : un angle inscrit contient autant de degrés angulaires, de minutes et de secondes qu'il y a de degrés d'arc, de minutes et de secondes contenus dans la moitié de l'arc sur laquelle il repose.

Pour prouver ce théorème, trois cas doivent être considérés.

Premier cas. Le centre du cercle se trouve du côté de l'angle inscrit (Fig. 331).

Soit ∠ABC un angle inscrit et le centre du cercle O se trouve du côté BC. Il faut prouver qu'il se mesure par un demi-arc AC.

Relions le point A au centre du cercle. On obtient un \(\Delta\)AOB isocèle, dans lequel AO = OB, comme les rayons du même cercle. Par conséquent, ∠A = ∠B.

∠AOC est externe au triangle AOB, donc ∠AOC = ∠A + ∠B, et puisque les angles A et B sont égaux, alors ∠B est 1/2 ∠AOC.

Mais ∠AOC est mesuré par l'arc AC, donc ∠B est mesuré par la moitié de l'arc AC.

Par exemple, si \(\breve(AC)\) contient 60°18', alors ∠B contient 30°9'.

Deuxième cas. Le centre du cercle se situe entre les côtés de l'angle inscrit (Fig. 332).

Soit ∠ABD un angle inscrit. Le centre du cercle O se situe entre ses côtés. Nous devons prouver que ∠ABD est mesuré par la moitié de l’arc AD.

Pour le prouver, dessinons le diamètre BC. L'angle ABD est divisé en deux angles : ∠1 et ∠2.

∠1 est mesuré par un demi-arc AC, et ∠2 est mesuré par un demi-arc CD, donc l'ensemble ∠ABD est mesuré par 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), soit un demi-arc AD.

Par exemple, si \(\breve(AD)\) contient 124°, alors ∠B contient 62°.

Troisième cas. Le centre du cercle se trouve en dehors de l'angle inscrit (Fig. 333).

Soit ∠MAD un angle inscrit. Le centre du cercle O est à l’extérieur du coin. Nous devons prouver que ∠MAD est mesuré par la moitié de l’arc MD.

Pour le prouver, dessinons le diamètre AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Mais ∠MAB mesure 1 / 2 \(\breve(MB)\), et ∠DAB mesure 1 / 2 \(\breve(DB)\).

Par conséquent, ∠MAD mesure 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), soit 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Par exemple, si \(\breve(MD)\) contient 48° 38", alors ∠MAD contient 24° 19' 8".

Conséquences
1. Tous les angles inscrits sous-tendant le même arc sont égaux entre eux, puisqu'ils sont mesurés par la moitié du même arc. (Fig. 334, a).

2. Un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est un angle droit, puisqu'il sous-tend un demi-cercle. Un demi-cercle contient 180 degrés d'arc, ce qui signifie que l'angle basé sur le diamètre contient 90 degrés d'arc (Fig. 334, b).

Le plus souvent, le processus de préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques commence par une répétition de définitions, de formules et de théorèmes de base, notamment sur le thème « Angles centraux et inscrits dans un cercle ». Généralement, cette section la planimétrie est étudiée depuis lycée. Il n'est pas surprenant que de nombreux étudiants soient confrontés à la nécessité de revoir les concepts et théorèmes de base sur le thème « Angle central d'un cercle ». Après avoir compris l'algorithme permettant de résoudre de tels problèmes, les écoliers pourront compter sur des scores compétitifs basés sur les résultats de la réussite de l'examen d'État unifié.

Comment se préparer facilement et efficacement à la réussite du test de certification ?

Lorsqu'ils étudient avant de réussir l'examen d'État unifié, de nombreux lycéens sont confrontés au problème de trouver les informations nécessaires sur le thème « Angles centraux et inscrits dans un cercle ». Il n’est pas toujours possible de disposer d’un manuel scolaire. Et chercher des formules sur Internet prend parfois beaucoup de temps.

Notre équipe vous aidera à « gonfler » vos compétences et à améliorer vos connaissances dans une section de géométrie aussi difficile que la planimétrie. portail éducatif. « Shkolkovo » offre aux lycéens et à leurs professeurs une nouvelle façon de construire le processus de préparation à l'examen d'État unifié. Tout le matériel de base est présenté dans la mesure du possible par nos spécialistes. formulaire accessible. Après avoir lu les informations de la section « Contexte théorique », les élèves apprendront quelles sont les propriétés de l'angle central d'un cercle, comment trouver sa valeur, etc.

Ensuite, pour consolider les connaissances acquises et les compétences pratiques, nous recommandons de réaliser des exercices adaptés. Grand choix les tâches permettant de trouver la valeur d'un angle inscrit dans un cercle et d'autres paramètres sont présentées dans la section « Catalogue ». Pour chaque exercice, nos experts ont rédigé une solution détaillée et indiqué la bonne réponse. La liste des tâches sur le site est constamment complétée et mise à jour.

Les lycéens peuvent se préparer à l'examen d'État unifié en pratiquant des exercices, par exemple pour déterminer la grandeur d'un angle central et la longueur d'un arc de cercle, en ligne, dans n'importe quelle région de Russie.

Si nécessaire, la tâche réalisée peut être sauvegardée dans la rubrique « Favoris » afin d'y revenir ultérieurement et d'analyser à nouveau le principe de sa résolution.

Angle central est un angle dont le sommet est au centre du cercle.
Angle inscrit- un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés le coupent.

La figure montre les angles centraux et inscrits, ainsi que leurs propriétés les plus importantes.

Donc, la grandeur de l'angle central est égale à la grandeur angulaire de l'arc sur lequel il repose. Cela signifie qu'un angle au centre de 90 degrés reposera sur un arc égal à 90°, c'est-à-dire un cercle. L'angle au centre, égal à 60°, repose sur un arc de 60 degrés, c'est-à-dire sur la sixième partie du cercle.

La grandeur de l'angle inscrit est deux fois plus petite que l'angle central basé sur le même arc.

De plus, pour résoudre des problèmes, nous aurons besoin du concept « d’accord ».

Des angles centraux égaux sous-tendent des accords égaux.

1. Quel est l’angle inscrit sous-tendu par le diamètre du cercle ? Donnez votre réponse en degrés.

Un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est un angle droit.

2. L'angle au centre est 36° plus grand que l'angle aigu inscrit sous-tendu par le même arc de cercle. Trouvez l’angle inscrit. Donnez votre réponse en degrés.

Soit l'angle au centre égal à x, et l'angle inscrit sous-tendu par le même arc soit égal à y.

On sait que x = 2y.
Donc 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Le rayon du cercle est égal à 1. Trouvez la valeur de l'angle inscrit obtus sous-tendu par la corde, égal à . Donnez votre réponse en degrés.

Soit la corde AB égale à . L'angle inscrit obtus basé sur cette corde sera noté α.
Dans le triangle AOB, les côtés AO et OB sont égaux à 1, le côté AB est égal à . Nous avons déjà rencontré de tels triangles. Évidemment, le triangle AOB est rectangulaire et isocèle, c'est-à-dire que l'angle AOB est de 90°.
Alors l'arc ACB est égal à 90°, et l'arc AKB est égal à 360° - 90° = 270°.
L'angle inscrit α repose sur l'arc AKB et est égal à la moitié de la valeur angulaire de cet arc, soit 135°.

Réponse : 135.

4. L'accord AB divise le cercle en deux parties dont les valeurs en degrés sont dans le rapport 5:7. Sous quel angle cette corde est-elle visible depuis le point C, qui appartient au plus petit arc de cercle ? Donnez votre réponse en degrés.

L'essentiel dans cette tâche est le dessin et la compréhension corrects des conditions. Comment comprenez-vous la question : « Sous quel angle la corde est-elle visible depuis le point C ?
Imaginez que vous êtes assis au point C et que vous avez besoin de voir tout ce qui se passe sur l'accord AB. C'est comme si l'accord AB était un écran dans une salle de cinéma :-)
Évidemment, vous devez trouver l’angle ACB.
La somme des deux arcs en lesquels la corde AB divise le cercle est égale à 360°, soit
5x + 7x = 360°
Donc x = 30°, et alors l'angle inscrit ACB repose sur un arc égal à 210°.
La grandeur de l'angle inscrit est égale à la moitié de la grandeur angulaire de l'arc sur lequel il repose, ce qui signifie que l'angle ACB est égal à 105°.

C'est l'angle formé par deux accords, originaire d'un point du cercle. Un angle inscrit est dit repose sur l'arc enfermé entre ses côtés.

Angle inscritégal à la moitié de l'arc sur lequel il repose.

Autrement dit, angle inscrit comprend autant de degrés angulaires, de minutes et de secondes que degrés d'arc, les minutes et les secondes sont contenues dans la moitié de l'arc sur lequel il repose. Pour justifier cela, analysons trois cas :

Premier cas :

Le centre O est situé sur le côté angle inscrit ABC. En traçant le rayon AO, nous obtenons ΔABO, dedans OA = OB (en rayons) et, par conséquent, ∠ABO = ∠BAO. Par rapport à cela Triangle, angle AOC - externe. Et cela signifie qu’il est égal à la somme des angles ABO et BAO, ou égal au double angle ABO. Donc ∠ABO est égal à la moitié angle central AOC. Mais cet angle se mesure par l'arc AC. Autrement dit, l’angle inscrit ABC est mesuré par la moitié de l’arc AC.

Deuxième cas :

Le centre O est situé entre les côtés angle inscrit ABC Après avoir tracé le diamètre BD, on divise l'angle ABC en deux angles dont, selon le premier cas, l'un est mesuré par la moitié arcs AD, et l’autre moitié de l’arc CD. Et en conséquence, l'angle ABC est mesuré (AD+DC) /2, c'est-à-dire 1/2 CA.

Troisième cas :

Le Centre O est situé à l'extérieur angle inscrit ABC. En traçant le diamètre BD, on aura :∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Mais les angles ABD et CBD sont mesurés sur la base de la moitié précédemment justifiée arc AD et CD. Et puisque ∠ABC est mesuré par (AD-CD)/2, soit la moitié de l'arc AC.

Corollaire 1. Tous ceux basés sur le même arc sont identiques, c’est-à-dire égaux les uns aux autres. Puisque chacun d’eux est mesuré par la moitié du même arcs .

Corollaire 2. Angle inscrit, basé sur le diamètre - angle droit. Puisque chacun de ces angles est mesuré par un demi-cercle et contient donc 90°.

Aujourd'hui, nous examinerons un autre type de problèmes 6 - cette fois avec un cercle. De nombreux étudiants ne les aiment pas et les trouvent difficiles. Et c'est complètement en vain, puisque de tels problèmes sont résolus élémentaire, si vous connaissez quelques théorèmes. Ou alors ils n’osent pas du tout si vous ne les connaissez pas.

Avant de parler des principales propriétés, permettez-moi de vous rappeler la définition :

Un angle inscrit est un angle dont le sommet se trouve sur le cercle lui-même et dont les côtés découpent une corde sur ce cercle.

Un angle central est n’importe quel angle dont le sommet est au centre du cercle. Ses côtés coupent également ce cercle et y tracent une corde.

Ainsi, les concepts d'angles inscrits et centraux sont inextricablement liés au cercle et aux accords à l'intérieur de celui-ci. Et maintenant la déclaration principale :

Théorème. L'angle au centre est toujours le double de l'angle inscrit, basé sur le même arc.

Malgré la simplicité de l'énoncé, il existe toute une classe de problèmes 6 qui peuvent être résolus en l'utilisant - et rien d'autre.

Tâche. Trouvez un angle aigu inscrit sous-tendu par une corde égale au rayon du cercle.

Soit AB la corde considérée, O le centre du cercle. Construction supplémentaire : OA et OB sont les rayons du cercle. On a:

Considérons le triangle ABO. Dans celui-ci AB = OA = OB - tous les côtés sont égaux au rayon du cercle. Par conséquent, le triangle ABO est équilatéral et tous ses angles mesurent 60°.

Soit M le sommet de l'angle inscrit. Puisque les angles O et M reposent sur le même arc AB, l'angle inscrit M est 2 fois plus petit que l'angle au centre O. Nous avons:

M = O : 2 = 60 : 2 = 30

Tâche. L'angle au centre est 36° plus grand que l'angle inscrit sous-tendu par le même arc de cercle. Trouvez l’angle inscrit.

Introduisons la notation suivante :

AB est la corde du cercle ;
Le point O est le centre du cercle, donc l'angle AOB est l'angle au centre ;
Le point C est le sommet de l'angle inscrit ACB.

Puisque nous recherchons l'angle inscrit ACB, notons-le ACB = x. Alors l’angle au centre AOB est x + 36. Par contre, l’angle au centre est 2 fois l’angle inscrit. Nous avons:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Nous avons donc trouvé l'angle inscrit AOB - il est égal à 36°.

Un cercle est un angle de 360°

Après avoir lu le sous-titre, les lecteurs avertis diront probablement : « Ugh ! » En effet, comparer un cercle avec un angle n’est pas tout à fait correct. Pour comprendre de quoi nous parlons, jetez un œil au cercle trigonométrique classique :

A quoi sert cette photo ? Et en plus, une rotation complète correspond à un angle de 360 degrés. Et si vous le divisez, disons, en 20 parties égales, alors la taille de chacune d'elles sera de 360 : 20 = 18 degrés. C’est exactement ce qu’il faut pour résoudre le problème B8.

Les points A, B et C se trouvent sur le cercle et le divisent en trois arcs dont les mesures en degrés sont dans le rapport 1 : 3 : 5. Trouvez le plus grand angle du triangle ABC.

Tout d’abord, trouvons la mesure en degré de chaque arc. Soit le plus petit x. Sur la figure cet arc est désigné AB. Ensuite, les arcs restants - BC et AC - peuvent être exprimés en termes de AB : arc BC = 3x ; CA = 5x. Au total, ces arcs donnent 360 degrés :

AB + BC + AC = 360 ;
x + 3x + 5x = 360 ;
9x = 360 ;
x = 40.

Considérons maintenant un grand arc AC qui ne contient pas le point B. Cet arc, comme l'angle au centre correspondant AOC, est 5x = 5 40 = 200 degrés.

L'angle ABC est le plus grand de tous les angles d'un triangle. C'est un angle inscrit sous-tendu par le même arc que l'angle central AOC. Cela signifie que l'angle ABC est 2 fois inférieur à l'angle AOC. Nous avons:

ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100

Ce sera la mesure en degrés du plus grand angle du triangle ABC.

Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Beaucoup de gens oublient ce théorème. Mais en vain, car certains problèmes du B8 ne peuvent être résolus sans lui. Plus précisément, ils sont résolus, mais avec un tel volume de calculs qu'on préfère s'endormir plutôt que d'atteindre la réponse.

Théorème. Centre du cercle circonscrit triangle rectangle, se situe au milieu de l'hypoténuse.

Que découle de ce théorème ?

Le milieu de l’hypoténuse est équidistant de tous les sommets du triangle. C'est une conséquence directe du théorème ;
La médiane tracée jusqu'à l'hypoténuse divise le triangle d'origine en deux triangles isocèles. C’est exactement ce qu’il faut pour résoudre le problème B8.

Dans le triangle ABC on trace la médiane CD. L'angle C est de 90° et l'angle B est de 60°. Trouvez l'angle ACD.

Puisque l’angle C est de 90°, le triangle ABC est un triangle rectangle. Il s'avère que CD est la médiane tirée vers l'hypoténuse. Cela signifie que les triangles ADC et BDC sont isocèles.

En particulier, considérons le triangle ADC. Dedans AD = CD. Mais dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux - voir « Problème B8 : segments de droite et angles dans les triangles ». Par conséquent, l’angle souhaité ACD = A.

Reste donc à savoir pourquoi égal à l'angle UN. Pour ce faire, revenons au triangle ABC original. Notons l'angle A = x. Puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°, on a :

A + B + BCA = 180 ;
x + 60 + 90 = 180 ;
x = 30.

Bien entendu, le dernier problème peut être résolu différemment. Par exemple, il est facile de prouver que le triangle BCD n’est pas seulement isocèle, mais équilatéral. L'angle BCD est donc de 60 degrés. L’angle ACD est donc de 90 − 60 = 30 degrés. Comme vous pouvez le constater, vous pouvez utiliser différents triangles isocèles, mais la réponse sera toujours la même.