Si nous devons diviser 497 par 4, alors lors de la division, nous verrons que 497 n'est pas également divisible par 4, c'est-à-dire le reste de la division demeure. Dans de tels cas, on dit que c'est terminé division avec reste, et la solution s'écrit comme suit :
497 : 4 = 124 (1 reste).
Les composantes de division du côté gauche de l'égalité sont appelées de la même manière que dans la division sans reste : 497 - dividende, 4 - diviseur. Le résultat de la division divisée par un reste est appelé privé incomplet. Dans notre cas, il s’agit du nombre 124. Et enfin, la dernière composante, qui n’est pas en division ordinaire, est reste. Dans les cas où il n’y a pas de reste, on dit qu’un nombre est divisé par un autre. sans laisser de trace, ou entièrement. On pense qu'avec une telle division, le reste est nul. Dans notre cas, le reste est 1.
Le reste est toujours inférieur au diviseur.
La division peut être vérifiée par multiplication. Si, par exemple, il existe une égalité 64 : 32 = 2, alors la vérification peut se faire comme ceci : 64 = 32 * 2.
Souvent, dans les cas où une division avec un reste est effectuée, il est pratique d'utiliser l'égalité
une = b * n + r,
où a est le dividende, b est le diviseur, n est le quotient partiel, r est le reste.
Diviser le quotient nombres naturels peut être écrit sous forme de fraction.
Le numérateur d'une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur.
Puisque le numérateur d’une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur, croire que la ligne d'une fraction signifie l'action de division. Parfois, il est pratique d’écrire la division sous forme de fraction sans utiliser le signe « : ».
Le quotient de la division des nombres naturels m et n peut s'écrire sous la forme d'une fraction \(\frac(m)(n)\), où le numérateur m est le dividende et le dénominateur n est le diviseur :
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Les règles suivantes sont vraies :
Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser l'unité en n parties égales (actions) et prendre m de ces parties.
Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser le nombre m par le nombre n.
Pour trouver une partie d'un tout, il faut diviser le nombre correspondant au tout par le dénominateur et multiplier le résultat par le numérateur de la fraction qui exprime cette partie.
Pour trouver un tout à partir de sa partie, il faut diviser le nombre correspondant à cette partie par le numérateur et multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction qui exprime cette partie.
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Cette propriété est appelée propriété principale d'une fraction.
Les deux dernières transformations sont appelées réduire une fraction.
Si les fractions doivent être représentées comme des fractions avec le même dénominateur, alors cette action est appelée amener les fractions à un dénominateur commun.
Fractions propres et impropres. Numéros mixtes
Vous savez déjà qu'une fraction peut être obtenue en divisant un tout en parties égales et en prenant plusieurs de ces parties. Par exemple, la fraction \(\frac(3)(4)\) signifie trois quarts de un. Dans de nombreux problèmes du paragraphe précédent, les fractions étaient utilisées pour représenter des parties d’un tout. Bon sens suggère que la partie doit toujours être inférieure au tout, mais qu'en est-il des fractions telles que, par exemple, \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\) ? Il est clair que cela ne fait plus partie de l'unité. C'est probablement pourquoi les fractions dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur sont appelées fractions impropres. Les fractions restantes, c'est-à-dire les fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur, sont appelées fractions correctes.
Comme vous le savez, n'importe quel fraction commune, à la fois correct et incorrect, peut être considéré comme le résultat de la division du numérateur par le dénominateur. Ainsi, en mathématiques, contrairement à langage ordinaire, le terme « fraction impropre » ne signifie pas que nous avons fait quelque chose de mal, mais seulement que le numérateur de cette fraction est supérieur ou égal au dénominateur.
Si un nombre est constitué d'une partie entière et d'une fraction, alors tel les fractions sont appelées mixtes.
Par exemple:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - partie entière, et \(\frac(2)(3)\) est la partie fractionnaire.
Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b)\) est divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut diviser son numérateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b)\) n'est pas divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut multiplier son dénominateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Notez que la deuxième règle est également vraie lorsque le numérateur est divisible par n. On peut donc l’utiliser lorsqu’il est difficile de déterminer au premier coup d’œil si le numérateur d’une fraction est divisible par n ou non.
Actions avec des fractions. Additionner des fractions.
Vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres fractionnaires, tout comme avec des nombres naturels. Voyons d'abord ajouter des fractions. Il est facile d’additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Trouvons, par exemple, la somme de \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3)(7)\). Il est facile de comprendre que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
À l'aide de lettres, la règle d'addition de fractions ayant des dénominateurs similaires peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Si vous devez ajouter des fractions avec différents dénominateurs, alors il faut d’abord les ramener à un dénominateur commun. Par exemple:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et associatives de l'addition sont valables.
Ajouter des fractions mixtes
Les notations telles que \(2\frac(2)(3)\) sont appelées fractions mélangées. Dans ce cas, le chiffre 2 est appelé partie entière fraction mixte, et le nombre \(\frac(2)(3)\) est son partie fractionnaire. L’entrée \(2\frac(2)(3)\) se lit comme suit : « deux et deux tiers ».
En divisant le nombre 8 par le nombre 3, vous pouvez obtenir deux réponses : \(\frac(8)(3)\) et \(2\frac(2)(3)\). Ils expriment le même nombre fractionnaire, c'est-à-dire \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Ainsi, la fraction impropre \(\frac(8)(3)\) est représentée comme une fraction mixte \(2\frac(2)(3)\). Dans de tels cas, on dit qu'à partir d'une fraction impropre a mis en évidence toute la partie.
Soustraire des fractions (nombres fractionnaires)
Soustraction nombres fractionnaires, comme les nombres naturels, est déterminé sur la base de l'action d'addition : en soustraire un autre à un nombre signifie trouver un nombre qui, ajouté au second, donne le premier. Par exemple:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) puisque \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
La règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs similaires est similaire à la règle pour additionner de telles fractions :
Pour trouver la différence entre des fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique.
En utilisant des lettres, cette règle s'écrit ainsi :
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Multiplier des fractions
Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur.
À l'aide de lettres, la règle de multiplication des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
À l'aide de la règle formulée, vous pouvez multiplier une fraction par un nombre naturel, par une fraction mixte, ainsi que multiplier des fractions mixtes. Pour ce faire, vous devez écrire un nombre naturel sous forme de fraction avec un dénominateur 1, une fraction mixte - sous forme de fraction impropre.
Le résultat de la multiplication doit être simplifié (si possible) en réduisant la fraction et en isolant toute la partie de la fraction impropre.
Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et combinatoires de la multiplication, ainsi que la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, sont valables.
Division de fractions
Prenons la fraction \(\frac(2)(3)\) et « retournons-la », en échangeant le numérateur et le dénominateur. On obtient la fraction \(\frac(3)(2)\). Cette fraction est appelée inverse fractions \(\frac(2)(3)\).
Si nous « inversons » maintenant la fraction \(\frac(3)(2)\), nous obtiendrons la fraction originale \(\frac(2)(3)\). Par conséquent, des fractions telles que \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(3)(2)\) sont appelées mutuellement inverse.
Par exemple, les fractions \(\frac(6)(5) \) et \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) et \(\frac (18 )(7)\).
À l'aide de lettres, les fractions réciproques peuvent s'écrire comme suit : \(\frac(a)(b) \) et \(\frac(b)(a) \)
Il est clair que le produit des fractions réciproques est égal à 1. Par exemple : \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
En utilisant des fractions réciproques, vous pouvez réduire la division de fractions à la multiplication.
La règle pour diviser une fraction par une fraction est :
Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier le dividende par l’inverse du diviseur.
À l'aide de lettres, la règle de division des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Si le dividende ou le diviseur est un nombre naturel ou une fraction mixte, alors pour utiliser la règle de division des fractions, il doit d'abord être représenté comme une fraction impropre.
Fractions
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Les fractions ne sont pas vraiment une nuisance au lycée. Pour le moment. Jusqu'à ce que vous rencontriez des puissances avec des exposants rationnels et des logarithmes. Et là... Vous appuyez et appuyez sur la calculatrice, et elle affiche un affichage complet de certains nombres. Il faut penser avec sa tête comme en troisième année.
Trouvons enfin les fractions ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre !? De plus, tout est simple et logique. Donc, quels sont les types de fractions ?
Types de fractions. Transformations.
Il y a des fractions trois types.
1. Fractions communes , Par exemple:
Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, enfin, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut est appelé numérateur, inférieur - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase : " Zzzzz souviens-toi! Zzzzz dénominateur - regarde zzzzz euh!" Écoutez, tout sera rappelé zzzz.)
Le tiret, qu'il soit horizontal ou incliné, signifie division le nombre du haut (numérateur) vers le bas (dénominateur). C'est tout! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.
Lorsqu’une division complète est possible, cela doit être fait. Ainsi, au lieu de la fraction « 32/8 », il est bien plus agréable d'écrire le chiffre « 4 ». Ceux. 32 est simplement divisé par 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Je ne parle même pas de la fraction « 4/1 ». Ce qui est aussi juste "4". Et si ce n’est pas complètement divisible, on le laisse sous forme de fraction. Parfois il faut faire l’opération inverse. Convertissez un nombre entier en fraction. Mais plus là-dessus plus tard.
2. Décimales , Par exemple:
C'est sous cette forme que vous devrez noter les réponses aux tâches « B ».
3. Numéros mixtes , Par exemple:
Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour pouvoir travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Mais il faut absolument être capable de le faire ! Sinon, vous rencontrerez un tel numéro dans un problème et vous vous figerez... Sorti de nulle part. Mais on retiendra cette procédure ! Un peu plus bas.
Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. D'ailleurs, si une fraction contient toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!
La propriété principale d'une fraction.
Alors allons-y! Pour commencer, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est assurée par une seule propriété ! C'est comme ça que ça s'appelle propriété principale d'une fraction. Souviens-toi: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne change pas. Ceux:
Il est clair que vous pouvez continuer à écrire jusqu’à ce que vous ayez le visage bleu. Ne vous laissez pas dérouter par les sinus et les logarithmes, nous y reviendrons plus loin. L'essentiel est de comprendre que toutes ces diverses expressions sont la même fraction . 2/3.
En avons-nous besoin, toutes ces transformations ? Et comment! Maintenant, vous verrez par vous-même. Pour commencer, utilisons la propriété de base d'une fraction pour fractions réductrices. Cela semblerait être une chose élémentaire. Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Il est impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire une erreur n’importe où ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.
Comment réduire correctement et rapidement des fractions sans effectuer de travail supplémentaire peut être lu dans la section spéciale 555.
Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il raye simplement tout ce qui est pareil en haut et en bas ! C'est là que ça se cache erreur typique, un bêtisier, si vous voulez.
Par exemple, vous devez simplifier l'expression :
Il n’y a rien à penser ici, rayez la lettre « a » en haut et le « 2 » en bas ! On a:
Tout est correct. Mais en réalité tu es divisé tous numérateur et tous le dénominateur est "a". Si vous avez l'habitude de simplement rayer, vous pouvez rapidement rayer le « a » dans l'expression
et récupère-le à nouveau
Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici tous le numérateur sur "a" est déjà non partagé! Cette fraction ne peut pas être réduite. D'ailleurs, une telle réduction est, euh... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Vous souvenez-vous? Lors de la réduction, vous devez diviser tous numérateur et tous dénominateur!
Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Comment puis-je continuer à travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, mettez au carré !? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, et réduisez-le soigneusement de cinq, et de cinq encore, et même... pendant qu'on le raccourcit, bref. Prenons 3/8 ! Beaucoup plus sympa, non ?
La propriété principale d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen d'État unifié, n'est-ce pas ?
Comment convertir des fractions d'un type à un autre.
Avec les fractions décimales, tout est simple. Comme on l’entend, ainsi c’est écrit ! Disons 0,25. C'est zéro virgule vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (on divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tous. Cela arrive et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.
Et si les entiers ne sont pas nuls ? C'est bon. Nous écrivons la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois virgule dix-sept centièmes. On écrit 317 au numérateur et 100 au dénominateur. On obtient 317/100. Rien n'est réduit, cela veut dire tout. C'est la réponse. Watson élémentaire ! De tout ce qui a été dit, une conclusion utile : n'importe quelle fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .
Mais certaines personnes ne peuvent pas effectuer la conversion inverse de l’ordinaire en décimal sans calculatrice. Et c'est nécessaire ! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen d'État unifié !? Lisez attentivement et maîtrisez ce processus.
Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est Toujours coûte 10, ou 100, ou 1000, ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. Et si la réponse à la tâche de la section « B » s'avérait être 1/2 ? Qu’écrirons-nous en réponse ? Les décimales sont obligatoires...
Souvenons-nous propriété principale d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent avantageusement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. N'importe quoi, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Alors utilisons cette propriété à notre avantage ! Par quoi le dénominateur peut-il être multiplié, c'est-à-dire 2 pour que ça devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? A 5 heures, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais alors le numérateur doit également être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques demandes! Nous obtenons 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. C'est tout.
Cependant, toutes sortes de dénominateurs apparaissent. Vous rencontrerez par exemple la fraction 3/16. Essayez de trouver par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite, vous pourrez simplement diviser 3 par 16. En l’absence de calculatrice, vous devrez diviser avec un coin, sur une feuille de papier, comme on l’enseignait à l’école primaire. Nous obtenons 0,1875.
Et il y a aussi de très mauvais dénominateurs. Par exemple, il n’existe aucun moyen de transformer la fraction 1/3 en une bonne décimale. À la fois sur la calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333... Cela signifie que 1/3 est une fraction décimale exacte ne traduit pas. Identique à 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Il y en a beaucoup, intraduisibles. Cela nous amène à une autre conclusion utile. Toutes les fractions ne peuvent pas être converties en nombre décimal !
D'ailleurs, ceci information utile pour un auto-test. Dans la section « B », vous devez écrire une fraction décimale dans votre réponse. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimale. Cela signifie que vous avez fait une erreur quelque part en cours de route ! Revenez en arrière et vérifiez la solution.
Nous avons donc compris les fractions ordinaires et décimales. Il ne reste plus qu'à traiter des nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Comment faire? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais un élève de sixième ne sera pas toujours à portée de main... Vous devrez le faire vous-même. Ce n'est pas difficile. Vous devez multiplier le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajouter le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur de la fraction commune. Et le dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais en réalité tout est simple. Regardons un exemple.
Supposons que vous soyez horrifié de voir le numéro dans le problème :
Calmement, sans panique, réfléchissons-nous. La partie entière est 1. Unité. La partie fractionnaire est 3/7. Le dénominateur de la partie fractionnaire est donc 7. Ce dénominateur sera le dénominateur de la fraction ordinaire. On compte le numérateur. On multiplie 7 par 1 (la partie entière) et on ajoute 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur d'une fraction commune. C'est tout. Cela semble encore plus simple en notation mathématique :
Est-ce clair? Alors assurez votre succès ! Convertissez en fractions ordinaires. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.
L’opération inverse – convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire – est rarement requise au lycée. Eh bien, si c'est le cas... Et si vous n'êtes pas au lycée, vous pouvez consulter l'article spécial 555. À propos, vous y découvrirez également les fractions impropres.
Eh bien, c'est pratiquement tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris Comment les transférer d'un type à un autre. La question demeure : Pour quoi fais-le? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?
Je réponds. N'importe quel exemple vous le dira actions nécessaires. Si dans l’exemple des fractions ordinaires, des décimales et même des nombres fractionnaires sont mélangés, nous convertissons le tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si cela dit quelque chose comme 0,8 + 0,3, alors nous le comptons de cette façon, sans aucune traduction. Pourquoi avons-nous besoin de travail supplémentaire ? Nous choisissons la solution qui vous convient nous !
Si la tâche est entièrement décimales, mais euh... des sortes de méchants, allez aux ordinaires, essayez-le ! Écoute, tout s'arrangera. Par exemple, vous devrez mettre au carré le nombre 0,125. Ce n’est pas si simple si on n’a pas l’habitude d’utiliser une calculatrice ! Non seulement il faut multiplier les nombres dans une colonne, mais il faut aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionnera certainement pas dans votre tête ! Et si on passait à une fraction ordinaire ?
0,125 = 125/1000. On le réduit de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois à 5 heures. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit encore ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Nous le mettons facilement au carré (dans nos esprits !) et obtenons 1/64. Tous!
Résumons cette leçon.
1. Il existe trois types de fractions. Nombres communs, décimaux et mixtes.
2. Décimaux et nombres fractionnaires Toujours peut être converti en fractions ordinaires. Transfert inversé pas toujours disponible.
3. Le choix du type de fractions à utiliser avec une tâche dépend de la tâche elle-même. En présence de différents types fractions dans une tâche, le plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.
Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d’abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (dans le désordre !) :
Finissons ici. Dans cette leçon, nous avons rafraîchi notre mémoire sur les points clés concernant les fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de particulier à rafraîchir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Alors vous pouvez vous rendre dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont abordées en détail. Beaucoup soudainement comprend tout commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).
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Un bon nombre de personnes se posent des questions sur la façon de convertir une fraction en fraction décimale. Il existe plusieurs façons. Le choix d'une méthode spécifique dépend du type de fraction qui doit être convertie sous une autre forme, ou plus précisément, du nombre dans son dénominateur. Cependant, pour des raisons de fiabilité, il est nécessaire d'indiquer qu'une fraction ordinaire est une fraction qui s'écrit avec un numérateur et un dénominateur, par exemple 1/2. Le plus souvent, la ligne entre le numérateur et le dénominateur est tracée horizontalement plutôt qu’obliquement. Une fraction décimale s'écrit sous la forme d'un nombre ordinaire avec une virgule : par exemple, 1,25 ; 0,35, etc.
Ainsi, pour convertir une fraction en nombre décimal sans calculatrice, vous devez :
Faites attention au dénominateur de la fraction commune. Si le dénominateur peut être facilement multiplié jusqu'à 10 par le même nombre que le numérateur, alors vous devez utiliser cette méthode comme la plus simple. Par exemple, la fraction commune 1/2 est facilement multipliée au numérateur et au dénominateur par 5, ce qui donne le nombre 5/10, qui peut déjà s'écrire sous forme de fraction décimale : 0,5. Cette règle est basée sur le fait qu'une fraction décimale a toujours un dénominateur numéro rond: 10, 100, 1000 et similaire. Par conséquent, si vous multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction, il est alors nécessaire d'obtenir exactement le même nombre au dénominateur à la suite de la multiplication, quel que soit ce qui est obtenu au numérateur.
Il existe des fractions ordinaires dont le calcul après multiplication présente certaines difficultés. Par exemple, il est assez difficile de déterminer de combien la fraction 5/16 doit être multipliée pour obtenir l'un des nombres ci-dessus au dénominateur. Dans ce cas, vous devez utiliser la division habituelle, qui se fait en colonne. La réponse doit être une fraction décimale, qui marquera la fin de l'opération de transfert. Dans l'exemple ci-dessus, le nombre résultant est 0,3125. Si les calculs en colonnes sont difficiles, vous ne pouvez pas vous passer de l'aide d'une calculatrice.
Enfin, il existe des fractions ordinaires qui ne peuvent pas être converties en décimales. Par exemple, lors de la conversion de la fraction commune 4/3, le résultat est 1,33333, où les trois sont répétés à l'infini. La calculatrice ne supprimera pas non plus les trois répétitifs. Il existe plusieurs fractions de ce type, il suffit de les connaître. Un moyen de sortir de la situation ci-dessus peut être l'arrondi, si les conditions de l'exemple ou du problème à résoudre permettent l'arrondi. Si les conditions ne le permettent pas et que la réponse doit être écrite exactement sous la forme d'une fraction décimale, cela signifie que l'exemple ou le problème a été mal résolu et vous devez revenir en arrière de plusieurs étapes pour trouver l'erreur.
Ainsi, convertir une fraction en décimal est assez simple et cette tâche n'est pas difficile à réaliser sans l'aide d'une calculatrice. Il est encore plus facile de convertir des fractions décimales en fractions ordinaires en effectuant les étapes inverses décrites dans la méthode 1.
Vidéo : 6e année. Conversion d'une fraction en nombre décimal.
Calculatrice mathématique en ligne v.1.0
La calculatrice effectue opérations suivantes: addition, soustraction, multiplication, division, travail avec les décimales, extraction de racine, exponentiation, calcul de pourcentage et autres opérations.
Solution:
Comment utiliser une calculatrice mathématique
| Clé | Désignation | Explication |
|---|---|---|
| 5 | chiffres 0-9 | chiffres arabes. Saisie d'entiers naturels, zéro. Pour obtenir un entier négatif, vous devez appuyer sur la touche +/- |
| . | point-virgule) | Séparateur pour indiquer une fraction décimale. S'il n'y a pas de chiffre avant le point (virgule), la calculatrice substituera automatiquement un zéro avant le point. Par exemple : .5 - 0.5 sera écrit |
| + | signe plus | Addition de nombres (entiers, décimaux) |
| - | signe moins | Soustraire des nombres (entiers, décimaux) |
| ÷ | signe de division | Division de nombres (entiers, décimaux) |
| X | signe de multiplication | Multiplication de nombres (entiers, décimaux) |
| √ | racine | Extraire la racine d'un nombre. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton « racine », la racine du résultat est calculée. Par exemple : racine de 16 = 4 ; racine de 4 = 2 |
| x2 | la quadrature | Mettre un nombre au carré. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton « carré », le résultat est au carré. Par exemple : carré 2 = 4 ; carré 4 = 16 |
| 1 fois | fraction | Sortie en fractions décimales. Le numérateur est 1, le dénominateur est le nombre saisi |
| % | pour cent | Obtenir un pourcentage d'un nombre. Pour travailler, vous devez saisir : le nombre à partir duquel le pourcentage sera calculé, le signe (plus, moins, diviser, multiplier), combien de pour cent sous forme numérique, le bouton "%" |
| ( | parenthèse ouverte | Une parenthèse ouverte pour préciser la priorité du calcul. Une parenthèse fermée est obligatoire. Exemple : (2+3)*2=10 |
| ) | parenthèse fermée | Une parenthèse fermée pour préciser la priorité du calcul. Une parenthèse ouverte est obligatoire |
| ± | plus moins | Inverse le signe |
| = | équivaut à | Affiche le résultat de la solution. Également au-dessus du calculateur, dans le champ « Solution », les calculs intermédiaires et le résultat sont affichés. |
| ← | supprimer un personnage | Supprime le dernier caractère |
| AVEC | réinitialiser | Bouton de réinitialisation. Réinitialise complètement la calculatrice en position "0" |
Algorithme du calculateur en ligne à l'aide d'exemples
Ajout.
Addition d'entiers naturels (5 + 7 = 12)
Ajout de produits entièrement naturels et nombres négatifs { 5 + (-2) = 3 }
Addition de fractions décimales (0,3 + 5,2 = 5,5)
Soustraction.
Soustraire des entiers naturels ( 7 - 5 = 2 )
Soustraire des entiers naturels et négatifs ( 5 - (-2) = 7 )
Soustraire des fractions décimales ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Multiplication.
Produit d'entiers naturels (3 * 7 = 21)
Produit d'entiers naturels et négatifs ( 5 * (-3) = -15 )
Produit de fractions décimales ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Division.
Division d'entiers naturels (27 / 3 = 9)
Division d'entiers naturels et négatifs (15 / (-3) = -5)
Division de fractions décimales (6,2 / 2 = 3,1)
Extraire la racine d'un nombre.
Extraire la racine d'un entier ( root(9) = 3)
Extraire la racine des fractions décimales (root(2.5) = 1.58)
Extraire la racine d'une somme de nombres ( root(56 + 25) = 9)
Extraire la racine de la différence entre les nombres (racine (32 – 7) = 5)
Mettre un nombre au carré.
Mettre au carré un entier ( (3) 2 = 9 )
Nombres décimaux au carré ((2,2)2 = 4,84)
Conversion en fractions décimales.
Calculer les pourcentages d'un nombre
Augmentez le nombre 230 de 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Réduisez le nombre 510 de 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
18% du nombre 140 est (140 * 0,18 = 25,2)
Matériel sur les fractions et étude séquentielle. Ci-dessous pour vous des informations détaillées avec des exemples et des explications.
1. Nombre mixte en une fraction commune.Écrivons-le vue générale nombre:
Nous nous souvenons d'une règle simple : nous multiplions la partie entière par le dénominateur et ajoutons le numérateur, c'est-à-dire :
Exemples:
2. Au contraire, une fraction ordinaire en un nombre fractionnaire. *Bien sûr, cela ne peut être fait qu'avec fraction impropre(lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur).
Avec les « petits » nombres, en général, aucune action n'est à entreprendre ; le résultat est « visible » immédiatement, par exemple les fractions :
*Plus de détails:
15h13 = 1 reste 2
4:3 = 1 reste 1
9:5 = 1 reste 4
Mais si les chiffres sont plus nombreux, vous ne pouvez pas vous passer de calculs. Tout est simple ici : divisez le numérateur par le dénominateur avec un coin jusqu'à ce que le reste soit inférieur au diviseur. Schéma de division :
Par exemple:
*Notre numérateur est le dividende, le dénominateur est le diviseur.
On obtient la partie entière (quotient incomplet) et le reste. On note un entier, puis une fraction (le numérateur contient le reste, mais le dénominateur reste le même) :
3. Convertissez le décimal en ordinaire.
En partie dans le premier paragraphe, où nous parlions des fractions décimales, nous en avons déjà parlé. Nous l'écrivons au fur et à mesure que nous l'entendons. Par exemple - 0,3 ; 0,45 ; 0,008 ; 4,38 ; 10.00015
Nous avons les trois premières fractions sans partie entière. Et les quatrième et cinquième l'ont, convertissons-les en ordinaires, nous savons déjà comment faire ça :
*On voit que les fractions peuvent aussi être réduites, par exemple 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 et autres, mais nous ne le ferons pas ici. Concernant la réduction, vous trouverez ci-dessous un paragraphe séparé, où nous analyserons tout en détail.
4. Convertissez l'ordinaire en décimal.
Ce n'est pas aussi simple. Avec certaines fractions, il est immédiatement évident et clair quoi en faire pour qu'elle devienne une décimale, par exemple :
Nous utilisons notre merveilleuse propriété de base d'une fraction - nous multiplions le numérateur et le dénominateur par 5, 25, 2, 5, 4, 2, respectivement, et nous obtenons :
S’il y a une partie entière, alors ce n’est pas compliqué non plus :
On multiplie la partie fractionnaire par 2, 25, 2 et 5, respectivement, et on obtient :
Et il y a ceux pour lesquels sans expérience il est impossible de déterminer s'ils peuvent être convertis en nombres décimaux, par exemple :
Par quels nombres devons-nous multiplier le numérateur et le dénominateur ?
Ici encore une méthode éprouvée vient à la rescousse - la division par un coin, une méthode universelle, vous pouvez toujours l'utiliser pour convertir une fraction commune en décimal :
De cette façon, vous pouvez toujours déterminer si une fraction est convertie en nombre décimal. Le fait est que toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être converties en nombre décimal, par exemple 1/9, 3/7, 7/26 ne sont pas converties. Quelle est alors la fraction obtenue en divisant 1 par 9, 3 par 7, 5 par 11 ? Ma réponse est décimale infinie (nous en avons parlé au paragraphe 1). Divisons :
C'est tout! Bonne chance à toi!
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
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