Sans savoir comment réduire une fraction et sans avoir une compétence stable pour résoudre de tels exemples, il est très difficile d'étudier l'algèbre à l'école. Plus vous avancez, plus cela interfère avec vos connaissances de base sur les fractions réductrices. nouvelle information. D’abord apparaissent des puissances, puis des facteurs, qui deviennent ensuite des polynômes.
Comment pouvez-vous éviter de vous perdre ici ? Consolider en profondeur les compétences dans les matières précédentes et se préparer progressivement à la connaissance de la réduction d'une fraction, qui devient plus complexe d'année en année.
Notions de base
Sans eux, vous ne pourrez pas faire face à des tâches de quelque niveau que ce soit. Pour comprendre, vous devez comprendre deux points simples. Premièrement : vous ne pouvez réduire que les facteurs. Cette nuance s’avère très importante lorsque des polynômes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, vous devez clairement distinguer où se trouve le multiplicateur et où se trouve l’addition.
Le deuxième point dit que n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de facteurs. De plus, le résultat de la réduction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent plus être réduits.
Règles de réduction des fractions communes
Tout d’abord, vous devez vérifier si le numérateur est divisible par le dénominateur ou vice versa. Alors c’est précisément ce nombre qu’il faut réduire. C'est l'option la plus simple.
La seconde est l’analyse apparence Nombres. Si les deux se terminent par un ou plusieurs zéros, ils peuvent alors être raccourcis de 10, 100 ou mille. Ici, vous pouvez remarquer si les nombres sont pairs. Si oui, vous pouvez le couper par deux en toute sécurité.
La troisième règle pour réduire une fraction consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. À l’heure actuelle, vous devez utiliser activement toutes vos connaissances sur les signes de divisibilité des nombres. Après cette décomposition, il ne reste plus qu'à trouver tous les répétitifs, à les multiplier et à les réduire par le nombre obtenu.
Et s’il existait une expression algébrique dans une fraction ?
C'est là qu'apparaissent les premières difficultés. Car c’est là qu’apparaissent des termes qui peuvent être identiques à des facteurs. Je veux vraiment les réduire, mais je ne peux pas. Avant de pouvoir réduire une fraction algébrique, elle doit être convertie pour qu’elle comporte des facteurs.
Pour ce faire, vous devrez effectuer plusieurs étapes. Vous devrez peut-être les parcourir tous, ou peut-être que le premier offrira une option appropriée.
Vérifiez si le numérateur et le dénominateur ou toute expression qu'ils contiennent diffèrent par leur signe. Dans ce cas, il suffit de mettre moins un entre parenthèses. Cela produit des facteurs égaux qui peuvent être réduits.
Voyez s'il est possible de supprimer le facteur commun du polynôme entre parenthèses. Peut-être que cela entraînera une parenthèse, qui peut également être raccourcie, ou un monôme supprimé.
Essayez de regrouper les monômes afin de leur ajouter ensuite un facteur commun. Après cela, il se peut que certains facteurs puissent être réduits, ou encore que la mise entre parenthèses d'éléments communs soit répétée.
Essayez d'envisager des formules de multiplication abrégées par écrit. Avec leur aide, vous pouvez facilement convertir des polynômes en facteurs.
Séquence d'opérations avec des fractions avec des puissances
Afin de comprendre facilement la question de savoir comment réduire une fraction avec des puissances, vous devez vous rappeler fermement les opérations de base avec elles. Le premier d’entre eux est lié à la multiplication des pouvoirs. Dans ce cas, si les bases sont les mêmes, il faut additionner les indicateurs.
La seconde est la division. Encore une fois, pour ceux qui ont les mêmes raisons, les indicateurs devront être soustraits. De plus, vous devez soustraire du nombre qui figure dans le dividende, et non l'inverse.
La troisième est l'exponentiation. Dans cette situation, les indicateurs sont multipliés.
Une réduction réussie nécessitera également la capacité de réduire les pouvoirs à des bases égales. Autrement dit, voir que quatre fait deux au carré. Ou 27 - le cube de trois. Parce que réduire 9 au carré et 3 au cube est difficile. Mais si nous transformons la première expression comme (3 2) 2, alors la réduction sera réussie.
Dans cette leçon, nous étudierons la propriété fondamentale d'une fraction et découvrirons quelles fractions sont égales les unes aux autres. Nous apprendrons à réduire des fractions, à déterminer si une fraction est réductible ou non, à nous entraîner à réduire des fractions et à apprendre quand utiliser une contraction et quand ne pas le faire.
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La propriété principale d'une fraction
Imaginez cette situation.
À la table 3 personne et 5 pommes Partager 5 pommes pour trois. Tout le monde reçoit des pommes \(\mathbf(\frac(5)(3))\).
Et à la table suivante 3 personne et aussi 5 pommes Chacun encore \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Au total 10 pommes 6 Humain. Chaque \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Mais c'est la même chose.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Ces fractions sont équivalentes.
Vous pouvez doubler le nombre de personnes et doubler le nombre de pommes. Le résultat sera le même.
En mathématiques, cela se formule ainsi :
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre (différent de 0), alors la nouvelle fraction sera égale à l'originale..
Cette propriété est parfois appelée " propriété principale d'une fraction ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Par exemple, Le chemin de la ville au village - 14 km.
Nous marchons le long de la route et déterminons la distance parcourue par des bornes kilométriques. Après avoir parcouru six colonnes, six kilomètres, nous comprenons que nous avons parcouru \(\mathbf(\frac(6)(14))\) distance.
Mais si nous ne voyons pas les poteaux (peut-être qu’ils n’ont pas été installés), nous pouvons calculer le chemin à l’aide des poteaux électriques le long de la route. Leur 40 pièces pour chaque kilomètre. C'est-à-dire au total 560 tout le. Six kilomètres - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) piliers. Autrement dit, nous avons dépassé 240 depuis 560 piliers-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Exemple 1
Marquez un point avec des coordonnées ( 5; 7 ) sur le plan de coordonnées XOOui. Cela correspondra à la fraction \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Connectez l'origine des coordonnées au point résultant. Construisez un autre point dont les coordonnées sont deux fois supérieures aux précédentes. Quelle fraction as-tu obtenu ? Seront-ils égaux ?
Solution
Une fraction sur le plan de coordonnées peut être marquée par un point. Pour représenter la fraction \(\mathbf(\frac(5)(7))\), marquez le point avec la coordonnée 5 le long de l'axe Oui Et 7 le long de l'axe X. Traçons une ligne droite depuis l'origine jusqu'à notre point.
Le point correspondant à la fraction \(\mathbf(\frac(10)(14))\) se trouvera également sur la même ligne
Ils sont équivalents : \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Cet article continue le sujet de la conversion de fractions algébriques : considérons une action telle que la réduction de fractions algébriques. Définissons le terme lui-même, formulons une règle de réduction et analysons des exemples pratiques.
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La signification de réduire une fraction algébrique
Dans les documents sur les fractions communes, nous avons examiné sa réduction. Nous avons défini la réduction d'une fraction comme la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun.
Réduire une fraction algébrique est une opération similaire.
Définition 1
Réduire une fraction algébrique est la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun. Dans ce cas, contrairement à la réduction d'une fraction ordinaire (le dénominateur commun ne peut être qu'un nombre), le facteur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique peut être un polynôme, notamment un monôme ou un nombre.
Par exemple, la fraction algébrique 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 peut être réduite du nombre 3, ce qui donne : x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Nous pouvons réduire la même fraction par la variable x, et cela nous donnera l'expression 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Il est également possible de réduire une fraction donnée par un monôme 3 fois ou l'un des polynômes x + 2 ans, 3 x + 6 oui , x 2 + 2 x oui ou 3 x 2 + 6 x y.
Le but ultime de la réduction d'une fraction algébrique est une fraction supérieure à type simple, au mieux, est une fraction irréductible.
Toutes les fractions algébriques sont-elles sujettes à réduction ?
Encore une fois, à partir de matériaux sur des fractions ordinaires, nous savons qu'il existe des fractions réductibles et irréductibles. Les fractions irréductibles sont des fractions qui n'ont pas de facteur commun au numérateur et au dénominateur autre que 1.
C’est la même chose avec les fractions algébriques : elles peuvent avoir des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ou non. La présence de facteurs communs permet de simplifier la fraction originale par réduction. Lorsqu’il n’y a pas de facteurs communs, il est impossible d’optimiser une fraction donnée par la méthode de réduction.
DANS cas généraux Par type donné Il est assez difficile pour une fraction de comprendre si elle peut être réduite. Bien entendu, dans certains cas, la présence d’un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur est évidente. Par exemple, dans la fraction algébrique 3 x 2 3 y, il est clair que le facteur commun est le nombre 3.
Dans la fraction - x · y 5 · x · y · z 3 on comprend aussi immédiatement qu'elle peut être réduite de x, ou y, ou x · y. Et pourtant, il existe bien plus souvent des exemples de fractions algébriques, où le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas si facile à voir, et encore plus souvent, il est tout simplement absent.
Par exemple, nous pouvons réduire la fraction x 3 - 1 x 2 - 1 de x - 1, alors que le facteur commun spécifié n'est pas présent dans l'entrée. Mais la fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ne peut pas être réduite, puisque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun.
Ainsi, la question de déterminer la réductibilité d'une fraction algébrique n'est pas si simple, et il est souvent plus facile de travailler avec une fraction d'une forme donnée que d'essayer de savoir si elle est réductible. Dans ce cas, de telles transformations ont lieu qui permettent dans des cas particuliers de déterminer le facteur commun du numérateur et du dénominateur ou de tirer une conclusion sur l'irréductibilité d'une fraction. Nous examinerons cette question en détail dans le prochain paragraphe de l'article.
Règle de réduction des fractions algébriques
Règle de réduction des fractions algébriques se compose de deux actions séquentielles :
- trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur ;
- s'il y en a, l'action de réduction de la fraction est réalisée directement.
La méthode la plus pratique pour trouver des dénominateurs communs consiste à factoriser les polynômes présents dans le numérateur et le dénominateur d’une fraction algébrique donnée. Cela vous permet de voir immédiatement et clairement la présence ou l'absence de facteurs communs.
L'action même de réduire une fraction algébrique repose sur la propriété principale d'une fraction algébrique, exprimée par l'égalité indéfinie, où a, b, c sont des polynômes et b et c sont non nuls. La première étape consiste à réduire la fraction à la forme a · c b · c, dans laquelle on remarque immédiatement le facteur commun c. La deuxième étape consiste à effectuer une réduction, c'est-à-dire transition vers une fraction de la forme a b .
Exemples typiques
Malgré quelques évidences, clarifions cas particulier lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont égaux. Les fractions similaires sont identiquement égales à 1 sur l'ensemble de l'ODZ des variables de cette fraction :
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; xx = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Parce que le fractions communes sont un cas particulier des fractions algébriques, rappelons comment s'effectue leur réduction. Les nombres naturels écrits au numérateur et au dénominateur sont pris en compte en facteurs premiers, puis les facteurs communs sont annulés (le cas échéant).
Par exemple, 24 1 260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Le produit de facteurs simples et identiques peut être écrit sous forme de puissances et, dans le processus de réduction d'une fraction, utiliser la propriété de diviser des puissances avec des bases identiques. Alors la solution ci-dessus serait :
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(numérateur et dénominateur divisés par un facteur commun 2 2 3). Ou pour plus de clarté, en fonction des propriétés de multiplication et de division, nous donnons à la solution la forme suivante :
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Par analogie, on effectue la réduction de fractions algébriques, dans lesquelles le numérateur et le dénominateur ont des monômes à coefficients entiers.
Exemple 1
La fraction algébrique est donnée - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Il faut le réduire.
Solution
Il est possible d'écrire le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée comme un produit de facteurs et de variables simples, puis d'effectuer la réduction :
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 une 3 2 c 6
Cependant, une manière plus rationnelle serait d’écrire la solution sous la forme d’une expression avec des puissances :
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · une 3 2 · c 6 = · - 9 · une 3 2 · c 6 .
Répondre:- 27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 9 une 3 2 c 6
Lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique contiennent des coefficients numériques fractionnaires, il existe deux manières possibles d'agir : soit diviser ces coefficients fractionnaires séparément, soit d'abord se débarrasser des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un certain entier naturel. La dernière transformation est effectuée en raison de la propriété fondamentale d'une fraction algébrique (vous pouvez en lire plus dans l'article « Réduire une fraction algébrique à un nouveau dénominateur »).
Exemple 2
La fraction donnée est 2 5 x 0, 3 x 3. Il faut le réduire.
Solution
Il est possible de réduire la fraction de cette façon :
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Essayons de résoudre le problème différemment, en nous débarrassant d'abord des coefficients fractionnaires - multiplions le numérateur et le dénominateur par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces coefficients, c'est-à-dire sur LCM (5, 10) = 10. On obtient alors :
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Réponse : 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Quand on réduit des fractions algébriques vue générale, dans lequel les numérateurs et les dénominateurs peuvent être soit des monômes, soit des polynômes, il peut y avoir un problème lorsque le facteur commun n'est pas toujours immédiatement visible. Ou d’ailleurs, cela n’existe tout simplement pas. Ensuite, pour déterminer le facteur commun ou enregistrer le fait de son absence, le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique sont factorisés.
Exemple 3
La fraction rationnelle 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 est donnée. Il faut le réduire.
Solution
Factorisons les polynômes au numérateur et au dénominateur. Mettons-le entre parenthèses :
2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49)
On voit que l'expression entre parenthèses peut être convertie à l'aide de formules de multiplication abrégées :
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
On voit bien qu'il est possible de réduire une fraction d'un facteur commun b 2 (a + 7). Faisons une réduction :
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Écrivons une solution courte sans explication sous la forme d'une chaîne d'égalités :
2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Répondre: 2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 une + 14 une b - 7 b.
Il arrive que des facteurs communs soient masqués par des coefficients numériques. Ensuite, lors de la réduction de fractions, il est optimal de mettre entre parenthèses les facteurs numériques aux puissances supérieures du numérateur et du dénominateur.
Exemple 4
Étant donné la fraction algébrique 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Il faut le réduire si possible.
Solution
À première vue, le numérateur et le dénominateur n’ont pas de dénominateur commun. Cependant, essayons de convertir la fraction donnée. Retirons le facteur x au numérateur :
1 5 x - 2 7 x 3 oui 5 x 2 oui - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 oui 5 x 2 oui - 3 1 2
Vous pouvez maintenant voir une certaine similitude entre l'expression entre parenthèses et l'expression au dénominateur en raison de x 2 y . Retirons les coefficients numériques des puissances supérieures de ces polynômes :
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10
Maintenant que le facteur commun devient visible, on effectue la réduction :
2 7 x - 7 10 + x 2 oui 5 x 2 oui - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Répondre: 1 5 x - 2 7 x 3 oui 5 x 2 oui - 3 1 2 = - 2 35 x .
Soulignons que l'habileté à réduire des fractions rationnelles dépend de la capacité à factoriser des polynômes.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
Nous sommes donc arrivés à la réduction. La propriété fondamentale d’une fraction est appliquée ici. MAIS! Pas si simple. Avec de nombreuses fractions (y compris celles du cursus scolaire), il est tout à fait possible de s'en sortir. Et si nous prenions des fractions « plus abruptes » ? Regardons de plus près! Je recommande de regarder les matériaux avec des fractions.Ainsi, nous savons déjà que le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés et divisés par le même nombre, la fraction ne changera pas. Considérons trois approches :
Approchez-en un.
Pour réduire, divisez le numérateur et le dénominateur par diviseur commun. Regardons des exemples :
Raccourcissons :
Dans les exemples donnés, on voit immédiatement quels diviseurs prendre pour la réduction. Le processus est simple : nous passons par 2,3,4,5 et ainsi de suite. Dans la plupart des exemples de cours scolaires, cela suffit amplement. Mais si c'est une fraction :
Ici, le processus de sélection des diviseurs peut prendre beaucoup de temps ;). Bien sûr, de tels exemples ne font pas partie du programme scolaire, mais il faut être capable d'y faire face. Ci-dessous, nous verrons comment cela se fait. Pour l'instant, revenons au processus de réduction des effectifs.
Comme indiqué ci-dessus, afin de réduire une fraction, nous avons divisé par le(s) diviseur(s) commun(s) que nous avons déterminé. Tout est correct! Il suffit d'ajouter des signes de divisibilité des nombres :
- si le nombre est pair, alors il est divisible par 2.
- si un nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 4, alors le nombre lui-même est divisible par 4.
— si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3. Par exemple, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Douze est divisible par 3, donc 123031 est divisible par 3.
- si le nombre se termine par 5 ou 0, alors le nombre est divisible par 5.
— si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 9, alors le nombre lui-même est divisible par 9. Par exemple, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Dix-huit est divisible par 9, ce qui signifie que 623032 est divisible par 9.
Deuxième approche.
Pour le dire brièvement, en fait, toute l'action se résume à factoriser le numérateur et le dénominateur puis à réduire des facteurs égaux au numérateur et au dénominateur (cette approche est une conséquence de la première approche) :
Visuellement, afin d'éviter toute confusion et erreur, les facteurs égaux sont simplement barrés. Question : comment factoriser un nombre ? Il est nécessaire de déterminer tous les diviseurs par recherche. C'est un sujet à part, ce n'est pas compliqué, recherchez les informations dans un manuel ou sur Internet. Vous ne rencontrerez pas de gros problèmes avec la factorisation des nombres présents dans les fractions scolaires.
Formellement, le principe de réduction peut s’écrire comme suit :
Approchez-en trois.
Voici la chose la plus intéressante pour les avancés et ceux qui veulent le devenir. Réduisons la fraction 143/273. Essayez-le vous-même ! Eh bien, comment est-ce arrivé rapidement ? Maintenant regarde !
On le retourne (on change les places du numérateur et du dénominateur). Nous divisons la fraction résultante par un coin et la convertissons en un nombre fractionnaire, c'est-à-dire que nous sélectionnons la partie entière :
C'est déjà plus facile. On voit que le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits par 13 :
Maintenant, n'oubliez pas de retourner la fraction, écrivons toute la chaîne :
Vérifié - cela prend moins de temps que de rechercher et de vérifier les diviseurs. Revenons à nos deux exemples :
D'abord. En divisant avec un coin (pas sur une calculatrice), on obtient :
Cette fraction est bien sûr plus simple, mais la réduction pose encore une fois un problème. Maintenant, nous analysons séparément la fraction 1273/1463 et la retournons :
C'est plus facile ici. On peut considérer un diviseur tel que 19. Le reste ne convient pas, c'est clair : 190 :19 = 10, 1273 :19 = 67. Hourra ! Écrivons :
Exemple suivant. Raccourcissons 88179/2717.
Divisons, on obtient :
Séparément, nous analysons la fraction 1235/2717 et la retournons :
On peut considérer un diviseur tel que 13 (jusqu'à 13 ne convient pas) :
Numérateur 247:13=19 Dénominateur 1235:13=95
*Au cours du processus, nous avons vu un autre diviseur égal à 19. Il s'avère que :
Maintenant, nous notons le numéro d'origine :
Et peu importe ce qui est le plus grand dans la fraction - le numérateur ou le dénominateur, si c'est le dénominateur, alors nous le retournons et agissons comme décrit. De cette façon, nous pouvons réduire n'importe quelle fraction ; la troisième approche peut être qualifiée d'universelle.
Bien entendu, les deux exemples évoqués ci-dessus ne sont pas des exemples simples. Essayons cette technologie sur les fractions « simples » que nous avons déjà envisagées :
Deux quarts.
Soixante-douze années soixante. Le numérateur est supérieur au dénominateur, il n'est pas nécessaire de l'inverser :
Bien entendu, la troisième approche a été appliquée à des exemples aussi simples simplement à titre alternatif. La méthode, comme déjà dit, est universelle, mais pas pratique ni correcte pour toutes les fractions, en particulier les plus simples.
La variété des fractions est grande. Il est important que vous compreniez les principes. Il n’existe tout simplement pas de règle stricte pour travailler avec des fractions. Nous avons regardé, compris comment il serait plus pratique d'agir et sommes allés de l'avant. Avec la pratique, l’habileté viendra et vous les casserez comme des graines.
Conclusion:
Si vous voyez un ou plusieurs diviseurs communs pour le numérateur et le dénominateur, utilisez-les pour réduire.
Si vous savez comment factoriser rapidement un nombre, factorisez le numérateur et le dénominateur, puis réduisez.
Si vous ne parvenez pas à déterminer le diviseur commun, utilisez la troisième approche.
*Pour réduire des fractions, il est important de maîtriser les principes de réduction, de comprendre la propriété de base d'une fraction, de connaître les approches de résolution et d'être extrêmement prudent lors des calculs.
Et rappelez-vous! Il est d'usage de réduire une fraction jusqu'à ce qu'elle s'arrête, c'est-à-dire de la réduire tant qu'il existe un diviseur commun.
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
Elle est basée sur leur propriété fondamentale : si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même polynôme non nul, alors une fraction égale sera obtenue.
Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs !
Les membres des polynômes ne peuvent pas être abrégés !
Pour réduire une fraction algébrique, les polynômes du numérateur et du dénominateur doivent d’abord être factorisés.
Regardons des exemples de fractions réductrices.
Le numérateur et le dénominateur de la fraction contiennent des monômes. Ils représentent travail(nombres, variables et leurs puissances), multiplicateurs nous pouvons réduire.
On réduit les nombres par leur plus grand diviseur commun, c'est-à-dire par le plus grand nombre, par lequel chacun de ces nombres est divisé. Pour 24 et 36, cela fait 12. Après réduction, il reste 2 de 24 et 3 de 36.
On réduit les degrés du degré ayant l'indice le plus bas. Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par le même diviseur et soustraire les exposants.
a² et a⁷ se réduisent à a². Dans ce cas, il reste un au numérateur de a² (on écrit 1 seulement dans le cas où, après réduction, il ne reste plus d'autres facteurs. De 24, il reste 2, donc on n'écrit pas 1 restant de a²). De a⁷, après réduction, a⁵ reste.
b et b sont réduits de b ; les unités résultantes ne sont pas écrites.
c³º et c⁵ sont raccourcis en c⁵. De c³º il reste c²⁵, de c⁵ c'est un (on ne l'écrit pas). Ainsi,
Le numérateur et le dénominateur de cette fraction algébrique sont des polynômes. Vous ne pouvez pas annuler les termes des polynômes ! (vous ne pouvez pas réduire, par exemple, 8x² et 2x !). Pour réduire cette fraction, il vous faut . Le numérateur a un facteur commun de 4x. Sortons-le des parenthèses :
Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur (2x-3). Nous réduisons la fraction de ce facteur. Au numérateur, nous avons 4x, au dénominateur - 1. Selon 1 propriété des fractions algébriques, la fraction est égale à 4x.
Vous ne pouvez réduire que des facteurs (vous ne pouvez pas réduire cette fraction de 25x² !). Par conséquent, les polynômes du numérateur et du dénominateur de la fraction doivent être factorisés.
Le numérateur est le carré complet de la somme, le dénominateur est la différence des carrés. Après décomposition par formules de multiplication abrégées, on obtient :
On réduit la fraction de (5x+1) (pour ce faire, rayez les deux au numérateur comme exposant, laissant (5x+1)² (5x+1)) :
Le numérateur a un facteur commun de 2, retirons-le des parenthèses. Le dénominateur est la formule de la différence des cubes :
À la suite de l'expansion, le numérateur et le dénominateur ont reçu le même facteur (9+3a+a²). On en réduit la fraction :
Le polynôme au numérateur est composé de 4 termes. le premier terme avec le deuxième, le troisième avec le quatrième, et supprimez le facteur commun x² des premières parenthèses. Nous décomposons le dénominateur en utilisant la formule de la somme des cubes :
Au numérateur, retirons le facteur commun (x+2) entre parenthèses :
Réduisez la fraction de (x+2) :
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