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Équations du second degré. Guide complet (2019)

Dans le terme « quadratique », le mot clé est « quadratique ». Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x au troisième (ou plus) degré.

La solution de nombreuses équations se réduit à la solution d'équations quadratiques.

Apprenons à déterminer que nous avons une équation quadratique, et pas une autre.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Déplacez tout vers la gauche et rangez les termes par ordre décroissant des degrés de x

Maintenant, nous pouvons dire avec confiance que cette équation est quadratique !

Exemple 2.

Multiplions les côtés gauche et droit par :

Cette équation, bien qu'elle y figurât à l'origine, n'est pas carrée !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Craintivement? Quatrième et deuxième degrés ... Cependant, si nous faisons une substitution, alors nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Il semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, il a rétréci - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquelles des équations suivantes sont quadratiques et lesquelles ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

1. carré;
2. carré;
3. pas carré;
4. pas carré;
5. pas carré;
6. carré;
7. pas carré;
8. carré.

Les mathématiciens divisent conditionnellement toutes les équations quadratiques sous la forme suivante :

• Équations quadratiques complètes- les équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que le terme libre c ne sont pas égaux à zéro (comme dans l'exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation de l'exemple un est non seulement complète, mais aussi réduite !)

• Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

  Ils sont incomplets, car il leur manque un élément. Mais l'équation doit toujours avoir un x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus un carré, mais une autre équation.

Pourquoi avez-vous imaginé une telle division ? Il semblerait qu'il y ait un X au carré, et d'accord. Cette division est due aux méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d'abord, attardons-nous sur la résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont beaucoup plus simples !

Les équations quadratiques incomplètes sont des types suivants :

1. , dans cette équation le coefficient est.
2. , dans cette équation le terme libre est.
3. , dans cette équation le coefficient et l'interception sont égaux.

1.et. Puisque nous savons prendre la racine carrée, exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Le nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler qu'il ne peut pas y en avoir moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il reste maintenant à extraire la racine des côtés gauche et droit. Vous souvenez-vous comment extraire les racines?

Réponse:

N'oubliez jamais les racines négatives !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Réponse:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Aie! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour les équations qui n'ont pas de racines, les mathématiciens ont mis au point une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s'écrire ainsi :

Réponse:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Retirons le facteur commun entre parenthèses :

De cette façon,

Cette équation a deux racines.

Réponse:

Le type le plus simple d'équations quadratiques incomplètes (bien qu'elles soient toutes simples, n'est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n'a toujours qu'une seule racine :

On se passera ici d'exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

On rappelle qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles données.

Rappelles toi, n'importe quelle équation quadratique peut être résolue en utilisant le discriminant ! Même incomplet.

Le reste des méthodes vous aidera à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, commencez par apprendre la solution à l'aide du discriminant.

1. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du discriminant.

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est très simple, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l'équation a une racine.Vous devez porter une attention particulière à l'étape. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule à l'étape sera réduite à. Ainsi, l'équation aura la racine entière.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 sauter.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

L'équation a donc deux racines.

Étape 3.

Réponse:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous la forme standard, donc Étape 1 sauter.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

L'équation a donc une racine.

Réponse:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous la forme standard, donc Étape 1 sauter.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Par conséquent, nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n'y a pas de racines de l'équation.

Maintenant, nous savons comment écrire correctement de telles réponses.

Réponse: Pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous en souvenez, il existe un type d'équations que l'on appelle réduites (lorsque le coefficient a est égal) :

De telles équations sont très faciles à résoudre en utilisant le théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est, et le produit des racines est.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation convient à la résolution en utilisant le théorème de Vieta, puisque ...

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal.

et sont la solution du système :

Réponse: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Réponse:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est réduite, ce qui signifie :

Réponse:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme, où est l'inconnue, sont des nombres, et.

Le numéro est appelé l'aîné ou premières chanceséquation quadratique, - deuxième coefficient, une - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si, l'équation deviendra immédiatement linéaire, parce que disparaître.

De plus, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, c'est-à-dire que l'équation est complète.

Solutions à divers types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Pour commencer, analysons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On distingue les types d'équations suivants :

I., dans cette équation, le coefficient et l'intersection sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est.

III. , dans cette équation le terme libre est.

Voyons maintenant une solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n'a toujours qu'une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. Alors:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si, nous avons deux racines

Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être moins.

Exemples:

Solutions:

Réponse:

N'oubliez jamais les racines négatives !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour enregistrer brièvement que le problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône de jeu vide.

Réponse:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Réponse:

Tirez le facteur commun hors des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisez le côté gauche de l'équation et trouvez les racines :

Réponse:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discrimination

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue en utilisant le discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule de racine ? Mais le discriminant peut être négatif. Que faire? Il faut porter une attention particulière à l'étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors l'équation a une racine :
• Si, alors l'équation a la même racine, mais en fait, une racine :

  De telles racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n'est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi y a-t-il un nombre différent de racines? Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique. Le graphe de la fonction est une parabole :

Dans le cas particulier, qui est une équation quadratique,. Et cela signifie que les racines de l'équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axe). La parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si - alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Réponse:

Réponse: .

Réponse:

Il n'y a donc pas de solutions.

Réponse: .

2. Le théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir un couple de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est le deuxième coefficient, pris avec le signe opposé.

Il est important de se rappeler que le théorème de Vieta ne peut être appliqué que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation convient à la résolution en utilisant le théorème de Vieta, puisque ... Autres coefficients : ; ...

La somme des racines de l'équation est :

Et le produit est égal à :

Choisissons de telles paires de nombres, dont le produit est égal, et vérifions si leur somme est égale :

• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal.

et sont la solution du système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Réponse: ; ...

Exemple #2 :

Solution:

Choisissons de telles paires de nombres qui donnent dans le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : additionner.

et : additionner. Pour l'obtenir, il suffit de changer les signes des prétendues racines : et, après tout, le produit.

Réponse:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l'équation est négatif, ce qui signifie que le produit des racines est un nombre négatif. Ceci n'est possible que si l'une des racines est négative et l'autre positive. Par conséquent, la somme des racines est différence de leurs modules.

Choisissons de telles paires de nombres qui donnent dans le produit, et dont la différence est égale à :

et: leur différence est égale - ne correspond pas;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - s'adapte. Il ne reste plus qu'à se rappeler que l'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, alors la racine du plus petit en valeur absolue doit être négative :. Nous vérifions:

Réponse:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est réduite, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, ce qui signifie que le produit des racines est négatif. Et cela n'est possible que lorsqu'une racine de l'équation est négative et l'autre positive.

Sélectionnons de telles paires de nombres, dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Réponse:

Exemple #5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est réduite, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu'au moins une des racines est négative. Mais puisque leur produit est positif, alors les deux racines sont avec un signe moins.

Sélectionnons de telles paires de nombres, dont le produit est égal à :

De toute évidence, les racines sont les nombres et.

Réponse:

Avouez-le, c'est très pratique de faire des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche de racines. Pour rentabiliser son utilisation, vous devez amener les actions à l'automatisme. Et pour cela, décidez de cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser le discriminant ! Théorème de Vieta uniquement :

Solutions pour les tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Par le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par un morceau :

Ne convient pas, car le montant ;

: le montant est ce dont vous avez besoin.

Réponse: ; ...

Tâche 2.

Et encore, notre théorème de Vieta préféré : la somme devrait fonctionner, mais le produit est égal.

Mais puisqu'il ne devrait pas l'être, mais, nous changeons les signes des racines : et (dans la somme).

Réponse: ; ...

Tâche 3.

Hum... Où est-ce ?

Il est nécessaire de transférer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Alors arrêtez! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations ci-dessus. Donc, vous devez d'abord apporter l'équation. Si vous ne pouvez pas l'évoquer, abandonnez cette aventure et résolvez-la d'une autre manière (par exemple, via le discriminant). Permettez-moi de vous rappeler qu'apporter une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal à :

Amende. Alors la somme des racines est égale, et le produit.

C'est facile à saisir ici : après tout - un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Réponse: ; ...

Tâche 4.

Le terme libre est négatif. Qu'est-ce qu'il a de si spécial ? Et le fait que les racines seront de signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais le produit.

Ainsi, les racines sont égales et, mais l'une d'elles est avec un moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Réponse: ; ...

Tâche 5.

Quelle est la première chose à faire ? C'est vrai, donnez l'équation:

Encore une fois : nous sélectionnons les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales et, mais l'une d'elles est avec un moins. Qui? Leur somme doit être égale, ce qui signifie qu'avec un moins il y aura une racine plus grande.

Réponse: ; ...

Résumer:

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou s'il n'y a pas une seule paire appropriée de multiplicateurs de termes libres, alors il n'y a pas de racines entières, et il est nécessaire de résoudre d'une autre manière (par exemple, via le discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus des formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors, après avoir changé les variables, l'équation peut être représentée comme une équation quadratique incomplète du type.

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation:.

Solution:

Réponse:

Exemple 2 :

Résous l'équation:.

Solution:

Réponse:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Ça ne ressemble à rien ? C'est un discriminant ! C'est vrai, nous avons la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. BREF SUR LE PRINCIPAL

Équation quadratique est une équation de la forme, où est l'inconnue, sont les coefficients de l'équation quadratique, est le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dont les coefficients ne sont pas nuls.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, c'est-à-dire :.

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation a la forme :,
• si le terme libre, l'équation a la forme :,
• si et, l'équation a la forme :.

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnue :,

2) Vérifier le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Tirez le facteur commun hors des parenthèses :,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L'équation a donc deux racines :

1.3. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine :.

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Décision utilisant le discriminant

1) Réduisons l'équation à la forme standard :,

2) On calcule le discriminant par la formule :, qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équations de la forme, où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , une.

2.3. Solution carré complet

Les problèmes de l'équation quadratique sont étudiés dans les programmes scolaires et dans les universités. Ils sont compris comme des équations de la forme a * x ^ 2 + b * x + c = 0, où X - variable, a, b, c - constantes; une<>0. La tâche consiste à trouver les racines de l'équation.

La signification géométrique de l'équation quadratique

Le graphique d'une fonction représentée par une équation quadratique est une parabole. Les solutions (racines) de l'équation quadratique sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (x). Il en résulte qu'il y a trois cas possibles :
1) la parabole n'a pas de points d'intersection avec l'axe des abscisses. Cela signifie qu'il est dans le plan supérieur avec des branches vers le haut ou inférieur avec des branches vers le bas. Dans de tels cas, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles (elle a deux racines complexes).

2) la parabole a un point d'intersection avec l'axe Ox. Un tel point est appelé le sommet de la parabole, et l'équation quadratique qu'il contient acquiert sa valeur minimale ou maximale. Dans ce cas, l'équation quadratique a une racine réelle (ou deux racines identiques).

3) Le dernier cas est plus intéressant en pratique - il y a deux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Cela signifie qu'il y a deux racines réelles de l'équation.

Sur la base de l'analyse des coefficients aux degrés des variables, des conclusions intéressantes peuvent être tirées sur le placement de la parabole.

1) Si le coefficient a est supérieur à zéro, alors la parabole est dirigée vers le haut, s'il est négatif, les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

2) Si le coefficient b est supérieur à zéro, alors le sommet de la parabole se situe dans le demi-plan gauche, s'il prend une valeur négative, alors dans le droit.

Dérivation d'une formule pour résoudre une équation quadratique

Déplacer la constante de l'équation quadratique

pour le signe égal, on obtient l'expression

Multipliez les deux côtés par 4a

Pour obtenir un carré complet à gauche, ajoutez b ^ 2 dans les deux parties et effectuez la transformation

De là, nous trouvons

Formule pour le discriminant et les racines d'une équation quadratique

Le discriminant est appelé la valeur de l'expression radicale S'il est positif alors l'équation a deux racines réelles, calculées par la formule Lorsque le discriminant est nul, l'équation quadratique a une solution (deux racines coïncidentes), qui peut être facilement obtenue à partir de la formule ci-dessus lorsque D = 0. Lorsque le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de racines réelles. Cependant, les solutions d'une équation quadratique dans le plan complexe sont trouvées et leur valeur est calculée par la formule

Le théorème de Vieta

Considérons deux racines d'une équation quadratique et construisons une équation quadratique sur leur base. Le théorème de Vieta découle facilement de la notation : si nous avons une équation quadratique de la forme alors la somme de ses racines est égale au coefficient p, pris de signe opposé, et le produit des racines de l'équation est égal au terme libre q. La notation formelle de ce qui précède ressemblera à Si dans l'équation classique la constante a est non nulle, alors vous devez diviser l'équation entière par elle, puis appliquer le théorème de Vieta.

Planifier une équation quadratique pour les facteurs

Posons le problème : factoriser une équation quadratique. Pour le réaliser, nous résolvons d'abord l'équation (trouver les racines). Ensuite, nous substituons les racines trouvées dans la formule pour le développement de l'équation quadratique.Cela résoudra le problème.

Problèmes d'équation quadratique

Objectif 1. Trouver les racines d'une équation quadratique

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Solution : Nous écrivons les coefficients et les substituons dans la formule discriminante

La racine de cette valeur est 14, il est facile de la trouver avec une calculatrice, ou de s'en souvenir avec une utilisation fréquente, cependant, pour plus de commodité, à la fin de l'article je vous donnerai une liste de carrés de nombres qui peuvent souvent être rencontrés dans de telles tâches.
Nous substituons la valeur trouvée dans la formule racine

et on obtient

Objectif 2. Résous l'équation

2x 2 + x-3 = 0.

Solution : Nous avons une équation quadratique complète, écrivons les coefficients et trouvons le discriminant


En utilisant les formules bien connues, nous trouvons les racines de l'équation quadratique

Objectif 3. Résous l'équation

9x 2 -12x + 4 = 0.

Solution : Nous avons une équation quadratique complète. Déterminer le discriminant

Nous avons un cas où les racines sont les mêmes. On retrouve les valeurs des racines par la formule

Tâche 4. Résous l'équation

x ^ 2 + x-6 = 0.

Solution : Dans les cas où il y a de petits coefficients en x, il est conseillé d'appliquer le théorème de Vieta. Par sa condition, on obtient deux équations

De la deuxième condition, on obtient que le produit doit être égal à -6. Cela signifie que l'une des racines est négative. On a le couple de solutions possibles suivant (-3; 2), (3; -2). Compte tenu de la première condition, nous rejetons la deuxième paire de solutions.
Les racines de l'équation sont égales

Problème 5. Trouver les longueurs des côtés d'un rectangle si son périmètre est de 18 cm et son aire est de 77 cm 2.

Solution : La moitié du périmètre du rectangle est la somme des côtés adjacents. Notons x - le grand côté, alors 18-x est son plus petit côté. L'aire du rectangle est égale au produit de ces longueurs :
x (18-x) = 77 ;
ou
x 2 -18x + 77 = 0.
Trouver le discriminant de l'équation

Calculer les racines de l'équation

Si x = 11, ensuite 18 ans = 7, au contraire, c'est aussi vrai (si x = 7, alors 21-x = 9).

Problème 6. Factoriser les équations carrées 10x 2 -11x + 3 = 0.

Solution : On calcule les racines de l'équation, pour cela on trouve le discriminant

Remplacez la valeur trouvée dans la formule racine et calculez

On applique la formule pour le développement d'une équation quadratique en racines

En élargissant les parenthèses, on obtient une identité.

Équation quadratique avec paramètre

Exemple 1. Pour quelles valeurs du paramètre une , l'équation (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 a-t-elle une racine ?

Solution : Par substitution directe de la valeur a = 3, on voit qu'elle n'a pas de solution. Ensuite, nous utiliserons le fait que pour un discriminant nul l'équation a une racine de multiplicité 2. Écrivons le discriminant

simplifiez-le et égalisez-le à zéro

A reçu une équation quadratique pour le paramètre a, dont la solution est facile à obtenir par le théorème de Vieta. La somme des racines est 7 et leur produit est 12. Par simple énumération, on établit que les nombres 3,4 seront les racines de l'équation. Puisque nous avons déjà rejeté la solution a = 3 au début des calculs, la seule correcte sera - a = 4. Ainsi, pour a = 4, l'équation a une racine.

Exemple 2. Pour quelles valeurs du paramètre une , l'équation a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 a plus d'une racine ?

Solution : Considérons d'abord les points singuliers, ce seront les valeurs a = 0 et a = -3. Lorsque a = 0, l'équation sera simplifiée sous la forme 6x-9 = 0 ; x = 3/2 et il y aura une racine. Pour a = -3, on obtient l'identité 0 = 0.
On calcule le discriminant

et trouver les valeurs de a auxquelles il est positif

A partir de la première condition, on obtient a> 3. Pour la seconde, on trouve le discriminant et les racines de l'équation


Définissons les intervalles où la fonction prend des valeurs positives. En substituant le point a = 0, on obtient 3>0 . Ainsi, en dehors de l'intervalle (-3 ; 1/3), la fonction est négative. N'oubliez pas le point a = 0, qui devrait être exclu, puisque l'équation d'origine en elle a une racine.
En conséquence, nous obtenons deux intervalles qui satisfont la condition du problème

Il y aura de nombreuses tâches similaires dans la pratique, essayez de comprendre les tâches vous-même et n'oubliez pas de prendre en compte les conditions qui s'excluent mutuellement. Apprenez les formules pour bien résoudre les équations quadratiques, elles sont souvent nécessaires dans les calculs de divers problèmes et sciences.

Description bibliographique : Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. Méthodes de résolution d'équations quadratiques // Jeune scientifique. - 2016. - N°6.1. - S. 17-20..02.2019).



Notre projet est dédié aux moyens de résoudre des équations quadratiques. Objectif du projet : apprendre à résoudre des équations quadratiques d'une manière qui n'est pas incluse dans le programme scolaire. Tâche : trouvez toutes les façons possibles de résoudre des équations quadratiques et apprenez à les utiliser vous-même et présentez ces méthodes à vos camarades de classe.

Que sont les « équations quadratiques » ?

Équation quadratique- une équation de la forme hache2 + bx + c = 0, où une, b, c- quelques chiffres ( un 0), X- l'inconnu.

Les nombres a, b, c sont appelés les coefficients de l'équation quadratique.

• a est appelé le premier coefficient ;
• b est appelé le deuxième coefficient ;
• c - membre gratuit.

Qui a été le premier à « inventer » des équations quadratiques ?

Certaines techniques algébriques pour résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4000 ans dans l'ancienne Babylone. D'anciennes tablettes d'argile babyloniennes, datées quelque part entre 1800 et 1600 avant JC, sont les premières preuves de l'étude des équations quadratiques. Les méthodes de résolution de certains types d'équations quadratiques sont présentées sur les mêmes tablettes.

La nécessité de résoudre les équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones de terres et de terrassements à caractère militaire, ainsi qu'au développement de l'astronomie et mathématiques elles-mêmes.

La règle pour résoudre ces équations, énoncée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens en sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne posent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans instructions sur la manière dont elles ont été trouvées. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept d'un nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

Mathématiciens babyloniens du IVe siècle av. utilisé la méthode du complément du carré pour résoudre des équations à racines positives. Vers 300 av. Euclide a proposé une méthode de résolution géométrique plus générale. Le premier mathématicien à trouver des solutions à une équation avec des racines négatives sous la forme d'une formule algébrique était un scientifique indien Brahmagupta(Inde, VIIe siècle après JC).

Brahmagupta a exposé la règle générale de résolution des équations du second degré, réduite à une seule forme canonique :

ax2 + bx = c, a> 0

Dans cette équation, les coefficients peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

En Inde, la concurrence publique pour des problèmes difficiles était courante. L'un des anciens livres indiens dit à propos de telles compétitions : "Comme le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi l'homme érudit éclipsera la gloire dans les assemblées populaires, proposant et résolvant des problèmes algébriques." Les tâches étaient souvent revêtues d'une forme poétique.

Dans un traité algébrique Al-Khwarizmi la classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations qu'il exprime ainsi :

1) "Les carrés sont égaux aux racines", c'est-à-dire ax2 = bx.

2) "Les carrés sont égaux au nombre", c'est-à-dire ax2 = c.

3) "Les racines sont égales au nombre", c'est-à-dire ax2 = c.

4) "Les carrés et les nombres sont égaux aux racines", c'est-à-dire ax2 + c = bx.

5) "Les carrés et les racines sont égaux au nombre", c'est-à-dire ax2 + bx = c.

6) "Les racines et les nombres sont égaux à des carrés", c'est-à-dire bx + c == ax2.

Pour Al-Khwarizmi, qui a évité l'utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustractions. Dans ce cas, les équations qui n'ont pas de solutions positives ne sont certainement pas prises en compte. L'auteur expose les moyens de résoudre ces équations, en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabal. Sa décision, bien sûr, ne coïncide pas complètement avec la nôtre. Sans parler du fait qu'elle est purement rhétorique, il convient de noter, par exemple, que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, Al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens jusqu'au 17ème siècle, ne prend pas en compte le zéro solution, probablement parce que dans des tâches pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, Al-Khwarizmi, à l'aide d'exemples numériques particuliers, énonce les règles de résolution, puis leurs preuves géométriques.

Les formes de résolution d'équations quadratiques sur le modèle d'Al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le "Livre de l'Abacus", écrit en 1202. mathématicien italien Léonard Fibonacci... L'auteur a développé indépendamment quelques nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs.

Ce livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreuses tâches de ce livre ont été transférées à presque tous les manuels européens des XIV-XVII siècles. La règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2 + bх = c avec toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c a été formulée en Europe en 1544. M. Shtifel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous sa forme générale est disponible en Viet, cependant, Viet n'a reconnu que les racines positives. mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli parmi les premiers au XVIe siècle. prendre en compte, en plus des racines positives et négatives. Seulement au 17ème siècle. grâce aux travaux Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Considérons plusieurs façons de résoudre des équations quadratiques.

Méthodes standard pour résoudre les équations quadratiques du programme scolaire :

1. Factorisation du côté gauche de l'équation.
2. Méthode de sélection des carrés complets.
3. Résoudre des équations du second degré à l'aide de la formule.
4. Solution graphique d'une équation quadratique.
5. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Arrêtons-nous plus en détail sur la solution des équations quadratiques réduites et non réduites par le théorème de Vieta.

Rappelons que pour résoudre les équations quadratiques ci-dessus, il suffit de trouver deux nombres tels que le produit soit égal au terme libre et que la somme soit au deuxième coefficient de signe opposé.

Exemple.X 2 -5x + 6 = 0

Vous devez trouver les nombres dont le produit est 6 et la somme 5. Ces nombres seront 3 et 2.

Réponse : x 1 = 2, x 2 =3.

Mais vous pouvez utiliser cette méthode pour les équations dont le premier coefficient n'est pas égal à un.

Exemple.3x 2 + 2x-5 = 0

On prend le premier coefficient et on le multiplie par le terme libre : x 2 + 2x-15 = 0

Les racines de cette équation seront les nombres dont le produit est - 15 et la somme est - 2. Ces nombres sont 5 et 3. Pour trouver les racines de l'équation d'origine, les racines résultantes sont divisées par le premier coefficient .

Réponse : x 1 = -5 / 3, x 2 =1

6. Résolution d'équations par la méthode du "transfert".

Considérons l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0.

En multipliant les deux membres par a, nous obtenons l'équation a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y / a ; alors nous arrivons à l'équation y 2 + par + ac = 0, qui est équivalente à celle donnée. On trouve ses racines en 1 et en 2 en utilisant le théorème de Vieta.

Enfin, on obtient x 1 = y 1 / a et x 2 = y 2 / a.

Avec cette méthode, le coefficient a est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était "jeté", c'est pourquoi on l'appelle la méthode "lancer". Cette méthode est utilisée lorsque vous pouvez facilement trouver les racines de l'équation en utilisant le théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Jetons le coefficient 2 au terme libre et en faisant la substitution, nous obtenons l'équation y 2 - 11y + 30 = 0.

D'après le théorème inverse de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 ; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Réponse : x 1 = 2,5 ; X 2 = 3.

7. Propriétés des coefficients de l'équation quadratique.

Soit une équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, et 0.

1. Si a + b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients de l'équation est égale à zéro), alors x 1 = 1.

2. Si a - b + c = 0, ou b = a + c, alors x 1 = - 1.

Exemple.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Puisque a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), alors x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Réponse : x 1 = 1 ; X 2 = -208/345 .

Exemple.132x 2 + 247x + 115 = 0

Parce que a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), alors x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Réponse : x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Il existe d'autres propriétés des coefficients d'une équation quadratique. mais leur utilisation est plus compliquée.

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Fig 1. Nomogramme

Il s'agit d'une ancienne façon désormais oubliée de résoudre les équations du second degré, placée à la p.83 de la collection : Bradis V.M. Tables mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation z 2 + pz + q = 0... Ce nomogramme permet, sans résoudre l'équation quadratique, par ses coefficients de déterminer les racines de l'équation.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 1) :

En supposant OC = p, ED = q, OE = a(tout en cm), de la Fig. 1 similitude des triangles SAN et CDF on obtient la proportion

d'où, après substitutions et simplifications, l'équation suit z 2 + pz + q = 0, et la lettre z désigne la marque de n'importe quel point de l'échelle courbe.

Riz. 2 Résoudre des équations du second degré à l'aide d'un nomogramme

Exemples.

1) Pour l'équation z 2 - 9z + 8 = 0 le nomogramme donne les racines z 1 = 8,0 et z 2 = 1,0

Réponse : 8,0 ; 1.0.

2) Résoudre l'équation à l'aide du nomogramme

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divisez les coefficients de cette équation par 2, nous obtenons l'équation z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Le nomogramme donne les racines z 1 = 4 et z 2 = 0,5.

Réponse : 4 ; 0,5.

9. Méthode géométrique pour résoudre les équations quadratiques.

Exemple.X 2 + 10x = 39.

Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : « Les racines carrées et dix sont égales à 39 ».

Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de sorte que l'autre côté de chacun d'eux soit de 2,5, par conséquent, l'aire de chacun est de 2,5x. Le chiffre résultant est ensuite complété par un nouveau carré ABCD, complétant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25

Riz. 3 Manière graphique de résoudre l'équation x 2 + 10x = 39

L'aire S du carré ABCD peut être représentée comme la somme des aires : le carré initial x 2, quatre rectangles (4 2,5x = 10x) et quatre carrés attachés (6,25 ∙ 4 = 25), c'est-à-dire S = x 2 + 10x = 25. En remplaçant x 2 + 10x par 39, on obtient S = 39 + 25 = 64, d'où il suit que le côté du carré est ABCD, c'est-à-dire segment AB = 8. Pour le côté x désiré du carré d'origine, on obtient

10. Résolution d'équations à l'aide du théorème de Bezout.

Le théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P (x) par le binôme x - α est égal à P (α) (c'est-à-dire la valeur de P (x) à x = α).

Si le nombre α est une racine du polynôme P (x), alors ce polynôme est divisible par x -α sans reste.

Exemple.x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, : ± 1, ± 3, = 1, 1-4 + 3 = 0. Diviser P (x) par (x-1) :( x²-4x + 3) / (x-1) = x-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

x-1 = 0 ; x = 1, ou x-3 = 0, x = 3 ; Réponse : x1 = 2, x2 =3.

Conclusion: La capacité à résoudre rapidement et rationnellement des équations quadratiques est simplement nécessaire pour résoudre des équations plus complexes, par exemple, des équations rationnelles fractionnaires, des équations de degrés supérieurs, des équations biquadratiques et au lycée, des équations trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. Ayant étudié toutes les manières trouvées de résoudre les équations du second degré, nous pouvons conseiller aux camarades de classe, en plus des méthodes standards, de résoudre par la méthode de transfert (6) et de résoudre les équations par la propriété des coefficients (7), car elles sont plus accessibles pour compréhension.

Littérature:

1. Bradis V.M. Tables mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.
2. Algèbre 8e année : manuel pour 8e année. enseignement général. institutions Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorov S. B. ed. S.A. Telyakovsky 15e éd., Rév. - M. : Éducation, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 % B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Vitrier G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Un guide pour les enseignants. / Éd. V.N. Plus jeune. - M. : Éducation, 1964.

On sait qu'il s'agit d'une version particulière de l'égalité ax 2 + bx + c = o, où a, b et c sont des coefficients réels pour un x inconnu, et où a o, et b et c seront des zéros - simultanément ou séparément. Par exemple, c = o, dans o ou vice versa. On se souvenait presque de la définition d'une équation quadratique.

Le trois-terme du deuxième degré est égal à zéro. Son premier coefficient a ≠ o, b et c peut prendre n'importe quelle valeur. La valeur de la variable x sera alors lorsque, lors de la substitution, elle la transformera en une véritable égalité numérique. Attardons-nous sur les racines réelles, bien que les solutions de l'équation puissent être et Complète est généralement appelée une équation dans laquelle aucun des coefficients n'est égal à o, mais ≠ o, dans ≠ o, avec ≠ o.
Résolvons un exemple. 2x 2 -9x-5 = oh, on trouve
D = 81 + 40 = 121,
D est positif, donc il y a des racines, x 1 = (9 + 121) : 4 = 5, et la seconde x 2 = (9-√121) : 4 = -o, 5. La vérification aidera à s'assurer qu'ils sont corrects.

Voici une solution étape par étape à une équation quadratique

Grâce au discriminant, vous pouvez résoudre n'importe quelle équation du côté gauche de laquelle il existe un trinôme quadratique bien connu pour a o. Dans notre exemple. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 + bx + c = o)

Considérez quelles sont les équations incomplètes du second degré

1. hache 2 + in = o. Le terme libre, le coefficient c en x 0, est ici égal à zéro, en o.
   Comment résoudre une équation quadratique incomplète de ce genre ? Déplacez x hors des parenthèses. Rappelez-vous quand le produit de deux facteurs est égal à zéro.
   x (ax + b) = o, cela pourrait être quand x = o ou quand ax + b = o.
   Ayant résolu le 2ème, nous avons x = -v / a.
   En conséquence, nous avons les racines x 1 = 0, selon les calculs x 2 = -b / a.
2. Or le coefficient en x est égal à o, et c n'est pas égal à (≠) o.
   x 2 + c = o. En transférant с au côté droit de l'égalité, nous obtenons x 2 = -с. Cette équation n'a de racines réelles que lorsque -c est un nombre positif (c x 1 est alors égal à (-s), respectivement x 2 - -√ (-s). Sinon, l'équation n'a pas de racines du tout.
3. La dernière option : b = c = o, c'est-à-dire ax 2 = o. Naturellement, une équation aussi simple a une racine, x = o.

Cas spéciaux

Nous avons examiné comment résoudre une équation quadratique incomplète, et maintenant nous allons prendre n'importe quel type.

• Dans une équation quadratique complète, le deuxième coefficient en x est un nombre pair.
  Soit k = o, 5b. Nous avons des formules pour calculer le discriminant et les racines.
  D / 4 = k 2 - ac, les racines sont calculées comme x 1,2 = (-k ± (D / 4)) / a pour D ›o.
  x = -k / a lorsque D = o.
  Pas de racines à D ‹o.
• On donne des équations quadratiques, lorsque le coefficient à x au carré est 1, il est d'usage de les écrire x 2 + px + q = o. Toutes les formules ci-dessus s'appliquent à eux, les calculs sont un peu plus simples.
  Exemple, x 2 -4x-9 = 0. Calculer D : 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2 + 13, x 2 = 2-√13.
• De plus, il est facile à appliquer à ceux donnés.Il dit que la somme des racines de l'équation est égale à -p, le deuxième coefficient avec un moins (ce qui signifie le signe opposé), et le produit de ces racines sera être égal à q, le terme libre. Vérifiez à quel point il serait facile de déterminer oralement les racines de cette équation. Pour les non réduits (pour tous les coefficients non nuls), ce théorème s'applique comme suit : la somme x 1 + x 2 est égale à -v / a, le produit x 1 x 2 est égal à c / a.

La somme de l'interception c et du premier coefficient a est égale au coefficient b. Dans cette situation, l'équation a au moins une racine (facile à prouver), la première est nécessairement égale à -1, et la seconde -c/a, si elle existe. Comment résoudre une équation quadratique incomplète, vous pouvez le vérifier vous-même. Peasy facile. Les coefficients peuvent être dans certains rapports entre eux

• x 2 + x = o, 7x 2 -7 = o.
• La somme de tous les coefficients est o.
  Les racines d'une telle équation sont 1 et s / a. Exemple, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Il existe un certain nombre d'autres façons de résoudre différentes équations du second degré. Voici, par exemple, une méthode pour extraire un carré complet d'un polynôme donné. Il existe plusieurs manières graphiques. Lorsque vous traiterez souvent de tels exemples, vous apprendrez à « cliquer » dessus comme des graines, car toutes les méthodes vous viennent automatiquement à l'esprit.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ou x - 4 = 0

x = ± 25/4

Ayant appris à résoudre des équations du premier degré, bien sûr, je veux travailler avec d'autres, en particulier, avec des équations du second degré, qu'on appelle d'une autre manière quadratiques.

Les équations quadratiques sont des équations du type ax ² + bx + c = 0, où la variable est x, les nombres seront - a, b, c, où a n'est pas égal à zéro.

Si dans une équation quadratique l'un ou l'autre coefficient (c ou b) est égal à zéro, alors cette équation fera référence à une équation quadratique incomplète.

Comment pouvez-vous résoudre une équation quadratique incomplète si les élèves n'ont pu jusqu'à présent résoudre que des équations du premier degré ? Considérez des équations quadratiques incomplètes de différents types et des moyens simples de les résoudre.

a) Si le coefficient c est égal à 0 et que le coefficient b n'est pas égal à zéro, alors ax ² + bx + 0 = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + bx = 0.

Pour résoudre une telle équation, vous devez connaître la formule de résolution d'une équation quadratique incomplète, qui consiste à factoriser le membre gauche de celle-ci et à utiliser plus tard la condition d'égalité du produit à zéro.

Par exemple, 5x ² - 20x = 0. On factorise le côté gauche de l'équation, tout en effectuant l'opération mathématique habituelle : sortir le facteur commun des parenthèses

5x (x - 4) = 0

Nous utilisons la condition que les produits soient égaux à zéro.

5 x = 0 ou x - 4 = 0

La réponse sera : la première racine est 0 ; la deuxième racine est 4.

b) Si b = 0, et que le terme libre n'est pas égal à zéro, alors l'équation ax ² + 0x + c = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + c = 0. Les équations se résolvent de deux manières : a) en développant le polynôme de l'équation de gauche en facteurs ; b) en utilisant les propriétés de la racine carrée arithmétique. Une telle équation est résolue par l'une des méthodes, par exemple :

x = ± 25/4

x = ± 5/2. La réponse est : la première racine est 5/2 ; la seconde racine est - 5/2.

c) Si b est égal à 0 et c est égal à 0, alors ax ² + 0 + 0 = 0 est réduit à une équation de la forme ax ² = 0. Dans une telle équation, x sera égal à 0.

Comme vous pouvez le voir, les équations quadratiques incomplètes ne peuvent pas avoir plus de deux racines.