Dans cette leçon, nous examinerons diverses inégalités de démonstration et les apprenons à décider, sur la base de la méthode de résolution des inégalités de démonstration les plus simples.
1. Définition et propriétés de la fonction indicative
Rappelez-vous la définition et les propriétés de base de la fonction indicative. Il est sur les propriétés que la solution de toutes les équations indicatives et inégalités est basée.
Fonction exponentielle - Ceci est une fonction du formulaire où la base du degré et ici est une variable indépendante, un argument; Y - Variable dépendante, fonction.
Figure. 1. Planifier la fonction indicative
Le graphique indique l'augmentation et la diminution des exposants illustrant une fonction indicative à la base d'une unité plus grande et d'une unité plus petite, mais un grand zéro, respectivement.
Les deux courbes passent à travers le point (0; 1)
Propriétés de la fonction indicative:
Domaine :;
Surface de la valeur:;
La fonction de la monotonne, avec une diminution de la diminution.
La fonction monotone prend chacune de ses propres valeurs avec la seule valeur de l'argument.
Lorsque l'argument augmente de moins à plus d'infini, la fonction augmente de zéro non incluse à plus d'infini, c'est-à-dire avec ces valeurs d'argumentation, nous avons une fonction croissante monotone (). Dans le contraire, lorsque l'argument augmente de moins à l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro n'est pas inclusive, c'est-à-dire avec ces valeurs de l'argument, nous avons une fonction décroissante monotone ().
2. Les inégalités de démonstration les plus simples, la technique de décision, l'exemple
Sur la base de ce qui précède, nous donnons la méthode de résolution des inégalités de démonstration les plus simples:
Méthodes de solutions d'inégalité:
Égaliser les bases de degrés;
Comparer des indicateurs, sauvegarder ou changer dans le signe opposé de l'inégalité.
La solution des inégalités de démonstration complexes est en règle générale dans leurs informations aux inégalités indicatives les plus simples.
La fondation du degré est supérieure à l'unité, cela signifie que le signe d'inégalité est maintenu:
Nous transformons le côté droit en fonction des propriétés degré:
La fondation du degré est inférieure à l'unité, le signe d'inégalité doit être changé à l'inverse:
Pour résoudre les inégalités carrées, l'équation carrée correspondante est résolue:
Sur le théorème Vieta Trouver des racines:
Les branches de Parabola sont dirigées.
Ainsi, nous avons la solution d'inégalité:
Il est facile de deviner que la partie droite peut être représentée comme un degré avec un indicateur zéro:
La fondation du diplôme est plus unie, le signe d'inégalité ne change pas, nous obtenons:
Rappeler la méthode de résolution de telles inégalités.
Nous considérons une fonction rationnelle fractionnaire:
Trouver la zone de définition:
Nous trouvons les racines de la fonction:
La fonction a la seule racine, 
Sélectionnez les intervalles de l'alignement et déterminez les signes de la fonction à chaque intervalle:
Figure. 2. Intervalles de signalisation
Ainsi, ils ont reçu la réponse.
Répondre: 
3. Solution des inégalités indicatives typiques
Envisagez des inégalités avec les mêmes indicateurs, mais diverses bases.
L'une des propriétés de la fonction indicative - il prend des valeurs strictement positives avec toutes les valeurs de l'argument, cela signifie qu'une fonction indicative peut être divisée. Effectuer la division d'une inégalité donnée à la bonne partie de celui-ci:
La fondation du diplôme est plus unie, le signe d'inégalité est préservé.
Nous illustrons la solution:
La figure 6.3 montre des graphiques de fonctions et. De toute évidence, lorsque l'argument est supérieur à zéro, le graphique de fonction est situé au-dessus, cette fonctionnalité est plus grande. Lorsque les valeurs de l'argument sont négatives, la fonction passe ci-dessous, elle est inférieure. La valeur de l'argument de la fonction est égale, cela signifie que ce point est également une solution à l'inégalité spécifiée.
Figure. 3. Illustration de l'exemple 4
Nous convertissons l'inégalité prédéterminée selon les propriétés degré:
Nous donnons des membres similaires:
Nous avons divisé les deux parties sur:
Maintenant, nous continuons à résoudre de manière analogue à l'exemple 4, nous divisons les deux parties sur:
La fondation du diplôme est plus unie, le signe d'inégalité est maintenu:
4. Solution graphique des inégalités indicatives
Exemple 6 - Résoudre les inégalités graphiquement:
Considérez les fonctions dans la partie gauche et droite et créer un horaire de chacun d'eux.
La fonction est un exposant, augmente tout au long de sa zone de définition, c'est-à-dire avec toutes les valeurs valides de l'argument.
La fonction est linéaire, diminue tout au long de sa zone de définition, c'est-à-dire avec toutes les valeurs valides de l'argument.
Si ces fonctions se croisent, c'est-à-dire que le système a une solution, une telle solution est la seule solution et il est facile de deviner. Pour ce faire, passez par des entiers ()
Il est facile de voir que la racine de ce système est:
Ainsi, les graphiques des fonctions se croisent à un point avec un argument égal à un.
Maintenant, vous devez obtenir la réponse. La signification de l'inégalité spécifiée est que l'exposant doit être supérieur ou égal à la fonction linéaire, c'est-à-dire plus élevé ou coïncidé avec celui-ci. Réponse évidente: (Figure 6.4)
Figure. 4. Illustration de l'exemple 6
Nous avons donc examiné la solution de diverses inégalités indicatives typiques. Ensuite, nous procédons à la prise en compte des inégalités de démonstration plus complexes.
Bibliographie
Mordkovitch A. G. Algebra et a commencé une analyse mathématique. - M.: mnemozin. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra et a commencé une analyse mathématique. - M.: DROP. Kolmogorov A.n., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et autres. Algèbre et a commencé une analyse mathématique. - M.: l'illumination.
Math. MARYLAND. Répétition des mathématiques. Com. Diffurez-le. kemsu. Ru.
Devoirs
1. Algèbre et analyse de début, 10-11 classe (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, n ° 472, 473;
2. Résoudre les inégalités:
3. Résoudre les inégalités.
Les équations et inégalités indicatives considèrent les équations et les inégalités dans lesquelles l'inconnu est contenu dans l'indicateur de diplôme.
La solution d'équations indicatives est souvent réduite à la résolution de l'équation A x \u003d A B, où a\u003e 0, et 1, x - inconnu. Cette équation a la seule racine X \u003d B, puisque le théorème suivant est vrai:
Théorème. Si A\u003e 0, A ≠ 1 et A x 1 \u003d A x 2, puis x 1 \u003d x 2.
Justifier l'approbation considérée.
Supposons que l'égalité x 1 \u003d x 2 n'est pas effectuée, c'est-à-dire x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, alors la fonction indicative Y \u003d A x augmente et donc inégalité et x 1 doit être effectuée< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > et x 2. Dans les deux cas, nous avons obtenu une contradiction condition A x 1 \u003d A x 2.
Considérez plusieurs tâches.
Solvez l'équation 4 ∙ 2 x \u003d 1.
Décision.
Nous écrivons l'équation dans le formulaire 2 2 2 x \u003d 2 0 - 2 x + 2 \u003d 2 0, de l'endroit où nous obtenons x + 2 \u003d 0, c'est-à-dire x \u003d -2.
Répondre. x \u003d -2.
Solvez l'équation 2 3x ∙ 3 x \u003d 576.
Décision.
Depuis 2 3 x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, l'équation peut être écrite comme 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 ou sous la forme de 24 x \u003d 24 2.
De là, nous obtenons x \u003d 2.
Répondre. x \u003d 2.
Résolvez l'équation 3 x + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200bx - 2 \u003d 25.
Décision.
Dans le côté gauche des crochets, un multiplicateur total de 3 x-2, nous obtenons 3 x-2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
où 3 x - 2 \u003d 1, c'est-à-dire x - 2 \u003d 0, x \u003d 2.
Répondre. x \u003d 2.
Solvez l'équation 3 x \u003d 7 x.
Décision.
Depuis 7 x ≠ 0, l'équation peut être écrite sous la forme de 3 x / 7 x \u003d 1, de l'endroit où (3/7) x \u003d 1, x \u003d 0.
Répondre. x \u003d 0.
Solvez l'équation 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 \u003d 0.
Décision.
Remplacement 3 x \u003d et cette équation est réduite à une équation carrée A 2 - 4A - 45 \u003d 0.
Résoudre cette équation, nous trouvons ses racines: a 1 \u003d 9, et 2 \u003d -5, de l'endroit où 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
L'équation 3 x \u003d 9 a une racine 2 et l'équation 3 x \u003d -5 n'a pas de racines, car la fonction indicative ne peut pas prendre de valeurs négatives.
Répondre. x \u003d 2.
La solution des inégalités indicatives est souvent réduite à la résolution des inégalités A x\u003e A B ou A x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Considérer certaines tâches.
Résoudre les inégalités 3 x< 81.
Décision.
Nous écrivons l'inégalité sous la forme de 3 x< 3 4 . Так как 3 > 1, alors la fonction y \u003d 3 x augmente.
Par conséquent, à x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Ainsi, à x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Répondre. H.< 4.
Résoudre les inégalités 16 x +4 x - 2\u003e 0.
Décision.
Note 4 x \u003d t, puis nous obtenons une inégalité carrée T2 + T - 2\u003e 0.
Cette inégalité est effectuée à T< -2 и при t > 1.
Depuis t \u003d 4 x, nous obtenons deux inégalités 4 x< -2, 4 х > 1.
La première inégalité n'est pas des solutions, depuis 4 x\u003e 0 pour tous x € R.
La deuxième inégalité est enregistrée sous la forme de 4 x\u003e 4 0, où x\u003e 0.
Répondre. x\u003e 0.
Résoudre graphiquement l'équation (1/3) x \u003d x - 2/3.
Décision.
1) Nous construisons des graphiques de fonctions Y \u003d (1/3) x et y \u003d x - 2/3.
2) se fondant sur notre dessin, on peut conclure que les graphiques des fonctions considérées se coupent au point avec l'abscisse X ≈ 1. Vérifier prouve que
x \u003d 1 - racine de cette équation:
(1/3) 1 \u003d 1/3 et 1 - 2/3 \u003d 1/3.
En d'autres termes, nous avons trouvé l'une des racines de l'équation. 
3) Nous trouvons d'autres racines ou prouvons qu'il n'y a pas de tel. Fonction (1/3) x Diminution et la fonction Y \u003d X-2/3 augmente. Par conséquent, à x\u003e 1, les valeurs de la première fonction sont inférieures à 1/3, et la seconde est supérieure à 1/3; à x.< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 et H.< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Répondre. x \u003d 1.
Notez que de résoudre ce problème, en particulier, il s'ensuit que les inégalités (1/3) x\u003e x - 2/3 sont effectuées à x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
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Beaucoup pensent que les inégalités de démonstration sont quelque chose de tel complexe et incompréhensible. Et que les apprendre à décider - presque de grands arts, ce qui ne peut être capable que de comprendre ...
Culotte complète! Les inégalités indicatives sont faciles. Et ils sont toujours résolus simplement. Eh bien, presque toujours. :)
Aujourd'hui, nous analyserons ce sujet et traverserons. Cette leçon sera très utile pour ceux qui viennent de commencer à comprendre cette section des mathématiques scolaires. Commençons par des tâches simples et nous allons passer à des problèmes plus complexes. Il n'y aura plus d'étain aujourd'hui, mais ce que vous allez lire maintenant suffira à résoudre la plupart des inégalités sur tout contrôle et travail indépendant. Et sur ce ton examen aussi.
Comme toujours, commençons par la définition. L'inégalité indicative est toute inégalité contenant une fonction indicative. En d'autres termes, il peut toujours être réduit à l'inégalité de l'espèce
\\ [((a) ^ (x)) \\ gt b \\]
Lorsque le rôle de $ B $ peut être un nombre commun, et peut-être autre chose. Exemples? Oui s'il te plaît:
\\ [\\ commencez (aligner (aligner) & (((2) ^ (x)) \\ gt 4; \\ quad (((x-1) ^ (x - 1)) \\ LE \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\ Quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16; \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01; \\ quad ((2) ^ (\\ frac (X) (2))) \\ ll ((4) ^ (\\ frac (4) ( X))). \\\\\\ fin (aligner) \\]
Je pense que la signification est claire: il y a une fonction indicative $ ((a) ^ (x)) $, par rapport à quelque chose, puis a demandé à trouver $ x $. Dans les cas cliniques particuliers, au lieu d'une variable $ x $, une fonction $ F \\ left (X \\ droite) $ et devenant ainsi un peu l'inégalité de peu. :)
Bien sûr, dans certains cas, l'inégalité peut sembler plus sévère. Par example:
\\ [(((((9) ^ (x)) + 8 \\ gt ((3) ^ (x + 2)) \\]
Ou même ici:
En général, la complexité de telles inégalités peut être la plus différente, mais à la fin, elles sont toujours réduites à une conception simple de $ ((a) ^ (x)) \\ gt b $. Et avec une telle conception, nous comprenons en quelque sorte (dans des cas cliniques particuliers, lorsque rien ne vient à l'esprit, les logarithmes nous aideront). Par conséquent, nous mentionnons maintenant de telles conceptions simples.
La solution des inégalités de démonstration les plus simples
Considérer quoi que ce soit assez simple. Par exemple, c'est:
\\ [(((2) ^ (x)) \\ GT 4 \\]
De toute évidence, le nombre de droite peut être réécrit sous la forme d'un degré de deux: 4 $ \u003d ((2) ^ (2)) $. Ainsi, l'inégalité initiale réécrirea de manière très pratique:
\\ [(((2) ^ (x)) \\ GT ((2) ^ (2)) \\]
Et maintenant, les mains vont se gratter "croix" les deux debout dans les terrains de degrés afin d'obtenir la réponse x \\ gt 2 $. Mais avant quoi tricher là-bas, rappelons-nous des diplômes:
\\ [((2) ^ (1)) \u003d 2; \\ quad (((2) ^ (2)) \u003d 4; \\ quad ((2) ^ (3)) \u003d 8; \\ quad ((2) ^ (4)) \u003d 16; ... \\]
Comme on le voit, le plus grand nombre est d'un indicateur de la mesure, plus le nombre à la sortie. "Merci, bonnet!" - Eclima quelqu'un des disciples. Est-ce différent? Malheureusement, cela arrive. Par example:
\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (2) \\ right)) ^ (1)) \u003d \\ frac (1) (2); \\ quad ((\\ left (\\ frac (1) (2) \\ droite)) ^ (2)) \u003d \\ frac (1) (4); \\ quad ((\\ left (\\ frac (1) (2) \\ right)) ^ (3)) \u003d \\ frac (1) (8 ); ... \\]
Ici aussi, tout est logique: plus le degré, le plus de fois le nombre est multiplié par 0,5 (lui-même qui est, il est divisé en deux). Ainsi, la séquence de nombres résultante diminue et la différence entre la première et la deuxième séquence consiste uniquement à la base:
- Si la base du degré $ A \\ gt 1 $ 1, alors que l'indicateur augmente la norme $ N $ ((a) ^ (n)) $ augmentera également;
- Et au contraire, si $ 0 \\ lt a \\ lt $ 1 $, comme l'indicateur augmente le nombre de $ n $ ((a) ^ (n)) $ diminuera.
Somme à ces faits, nous obtenons la déclaration la plus importante sur laquelle toute la solution des inégalités indicatives est fondée:
Si $ A \\ GT 1 $, le $ de l'inégalité ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ équivaut à l'inégalité de $ x \\ gt n $. Si $ 0 \\ lt a \\ lt 1 $, alors l'inégalité est $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ équivalent à l'inégalité de $ x \\ lt n $.
En d'autres termes, si la base est supérieure à l'unité, elle peut être simplement supprimée - le signe d'inégalité ne changera pas. Et si la base est inférieure à une, elle peut également être supprimée, mais vous devez en même temps changer le signe de l'inégalité.
Remarque: nous n'avons pas tenu compte des options $ A \u003d 1 $ et $ A \\ LE 0 $. Parce que dans ces cas l'incertitude se pose. Supposons comment résoudre l'inégalité du type $ ((1) ^ (x)) \\ gt 3 $? L'unité dans une certaine mesure donnera une unité à nouveau - nous n'aurons jamais triplé ou plus. Ceux. Il n'y a pas de solution.
Avec des motifs négatifs, il est encore plus intéressant. Pensez à l'exemple ici de cette inégalité:
\\ [((\\ gauche (-2 \\ \\ droite)) ^ (x)) \\ gt 4 \\]
À première vue, tout est simple:
Droite? Et voici pas! Il suffit de substituer au lieu de $ x $ deux d'un certain nombre de numéros impairs pour s'assurer que la décision est incorrecte. Regarde:
\\ [\\ Begin (align) & x \u003d 4 \\ rightarrow ((\\ gauche (-2 \\ right)) ^ (4)) \u003d 16 \\ gt 4; \\\\ & x \u003d 5 \\ RightArrore ((\\ gauche (-2 \\ \\ droite)) ^ (5)) \u003d - 32 \\ lt 4; \\\\ & x \u003d 6 \\ RightARrow ((\\ gauche (-2 \\ \\ droite)) ^ (6)) \u003d 64 \\ GT 4; \\\\ & x \u003d 7 \\ rightarrow ((\\ left (-2 \\ droite)) ^ (7)) \u003d - 128 \\ lt 4. Fin \\\\\\ (Aligner) \\]
Comme vous pouvez le constater, signes alterner. Mais il y a plus de degrés fractionnaires et d'autres étains. Comment, par exemple, pour compter $ ((\\ left (-2 \\ droite)) ^ (\\ sqrt (7))) $ (moins deux fois au degré de la racine de sept)? Oui, rien!
Par conséquent, pour la certitude, on pense que, dans toutes les inégalités indicatives (et équations, à la manière générale) 1 \\ NE NE A \\ GT 0 $. Et puis tout est résolu tout simplement:
\\ [((((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) \\ RightARrow \\ Gauche [\\ Begn (Aligner) & X \\ GT N \\ quad \\ gauche (A \\ GT 1 \\ Right), \\\\ & X \\ lt n \\ quad \\ gauche (0 \\ lt a \\ lt 1 \\ droite). \\\\\\ fin (aligner) \\ droite. \\]
En général, rappelez-vous encore une fois la règle principale: si la base de l'équation indicative est supérieure à une, elle peut être simplement supprimée; Et si la base est inférieure à une, elle peut également être supprimée, mais le signe d'inégalité changera.
Exemples de solutions
Alors, considérons certaines inégalités de démonstration simples:
\\ [\\ Begin (Aligner) et ((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ SQRT (2)); \\\\ & (0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01; \\\\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16; \\\\ & ((0.2) ^ (1 + (x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25). \\\\\\ fin (aligner) \\]
La tâche principale dans tous les cas est la même: réduire les inégalités du type le plus simple de $ ((a) ^ (x)) \\ GT (a) ^ (n)) $. C'est ce que nous faisons maintenant avec chaque inégalité et nous répétons en même temps que les propriétés des degrés et la fonction indicative. Alors allons-y!
\\ [(((2) ^ (x - 1)) \\ LE \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\]
Que puis-je faire ici? Eh bien, à gauche, nous avons une expression de démonstration, il n'est pas nécessaire de changer quoi que ce soit. Mais à droite, il y a une sorte de merde: la fraction et même dans la racine de dénominateur!
Cependant, nous nous souvenons des règles de travail avec des fractions et des diplômes:
\\ [\\ Begin (Aligner) & \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((a) ^ (- n)); \\\\ \\ sqrt [k] (a) \u003d ((a) ^ (\\ frac (1) (k))). \\\\\\ fin (aligner) \\]
Qu'est-ce que ça veut dire? Tout d'abord, nous pouvons facilement vous débarrasser de la fraction en la transformant en un degré avec un indicateur négatif. Et deuxièmement, étant donné que la racine se trouve dans le dénominateur, il serait agréable de la transformer en degré - cette fois avec un indicateur fractionnaire.
Appliquez ces actions de manière cohérente sur le côté droit de l'inégalité et voyez ce qui se passe:
\\ [\\ Frac (1) (\\ sqrt (2)) \u003d ((\\ gauche (\\ sqrt (2) \\ droite)) ^ (- 1)) \u003d ((((((((\\ (\\ frac) 1) (3))) \\ right)) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (\\ frac (1) (3) \\ cdot \\ LEFT (-1 \\ right))) \u003d ((2) ^ (- \\ frac (1) (3))) \\]
N'oubliez pas que lorsque vous édubliez le degré dans le degré d'indicateurs de ces degrés, additionnez. En général, lorsque vous travaillez avec des équations et des inégalités indicatives, il est absolument nécessaire de connaître au moins les règles les plus simples de travailler avec des degrés:
\\ [\\ Begin (align) et ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x + y)); \\\\ \\ frac (((a) ^ (x))) ((a) ^ (y))) \u003d (a) ^ (x-y)); \\\\ & ((\\ left ((((a) ^ (x)) \\ droite)) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x \\ cdot y)). \\\\\\ fin (aligner) \\]
En fait, la dernière règle que nous venons d'appliquer. Par conséquent, notre inégalité initiale réécrirea comme suit:
\\ [((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\ rightarrow ((2) ^ (x - 1)) \\ le ((2) ^ (- \\ Frac (1) (3))) \\]
Maintenant, éloignez-vous de deux à la base. Depuis 2\u003e 1, le signe des inégalités restera la même chose:
\\ [\\ Begin (align) & x-1 \\ le - \\ frac (1) (3) \\ rightarrow x \\ le 1- \\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (2) (3); \\\\ & x \\ in \\ Gauche (- \\ \\ frac (2) (3) \\ droite]. \\\\\\ fin (alignement) \\]
C'est toute la décision! La principale difficulté n'est pas du tout dans la fonction d'impact, mais dans la transformation compétente de l'expression originale: vous devez le préciser et le maximiser pour l'amener à l'esprit le plus simple.
Considérons la deuxième inégalité:
\\ [((0.1) ^ (1-x)) \\ lt 0.01 \\]
Comme ci comme ça. Ici, nous attendrons des fractions décimales. Comme je l'ai déjà parlé de plusieurs reprises, dans toutes les expressions avec degrés, vous devriez vous débarrasser des fractions décimales - il est souvent possible de voir une solution simple et rapide. Nous allons donc nous débarrasser de:
\\ [\\ Begin (align) & 0,1 \u003d \\ frac (1) (10); \\ quad 0,01 \u003d \\ frac (1) (100) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (10) \\ right) ) ^ (2)); \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ LT 0,01 \\ rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \\ ll ((\\ left ( \\ Frac (1) (10) \\ droite)) ^ (2)). \\\\\\ fin (aligner) \\]
Nous avons récemment l'inégalité la plus simple et même avec la base de 1/10, c'est-à-dire. Petits unités. Eh bien, nous enlevons les fondations, passant le signe avec le "moins" à "plus" et nous obtenons:
\\ [\\ commencez (aligner) & 1-x \\ gt 2; \\\\ & -x \\ gt 2-1; \\\\ & -x \\ gt 1; \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Reçu la réponse finale: $ x \\ in \\ gauche (- \\ \\ \\ \\ -1 \\ droite) $. Remarque: la réponse est précisément un ensemble et en aucun cas la conception du $ X \\ LT -1 $. Parce que formellement une telle conception n'est pas beaucoup et que l'inégalité par rapport à la variable $ x $. Oui, c'est très simple, mais ce n'est pas une réponse!
Note importante. Cette inégalité pourrait être résolue de manière différente - en apportant les deux parties au degré de base, la grande unité. Regarde:
\\ [\\ Frac (1) (10) \u003d ((((10) ^ (- 1)) \\ Rightarrow (((((((((((10) ^ (- 1)) \\ droite) ^ (1-x)) ^ (1-x)) ^ (1-x)) \\ LT ((\\ left (((10) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (2)) \\ Rightarrow ((10) ^ (- 1 \\ cdot \\ gauche (1-X \\ right))) \\ lt ((10) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \\]
Après une telle transformation, nous obtenons à nouveau une inégalité démontrative, mais avec la base 10\u003e 1. Et cela signifie que vous pouvez simplement traverser le top dix - le signe d'inégalité ne changera pas. On a:
\\ [\\ commencez (aligner) & -1 \\ CDOT \\ gauche (1-x \\ droite) \\ lt -1 \\ CDOT 2; \\\\ & x-1 \\ lt -2; \\\\ & x \\ lt -2 + 1 \u003d -1; \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Comme vous pouvez le constater, la réponse s'est avérée être la même. Dans le même temps, nous nous sommes sauvés de la nécessité de changer le signe et de me souvenir généralement des règles là-bas. :)
\\ [(((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16 \\]
Cependant, laissez-le effrayé. Donc, cela n'est pas non plus dans les indicateurs, la technologie de résolution de l'inégalité elle-même reste la même. Par conséquent, nous notions pour commencer avec ce 16 \u003d 2 4. Je réécris l'inégalité d'origine, en tenant compte de ce fait:
\\ [\\ Begin (align) et ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ ll ((2) ^ (4)); \\\\ & (x) ^ (2)) - 7x + 14 \\ lt 4; \\\\ & (x) ^ (2)) - 7x + 10 \\ lt 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Hourra! Nous avons eu l'inégalité carrée habituelle! Le signe n'a pas changé nulle part, car à la base il y a une fois deux fois - un nombre, plus d'unités.
Zéro fonction sur un direct numérique
Nous avons mis les signes de la fonction $ f \\ left (x \\ droite) \u003d ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - De toute évidence, ce sera une parabol avec des branches, donc il y aura des "points positifs" . Nous sommes intéressés par la zone où la fonction est inférieure à zéro, c'est-à-dire $ X \\ in \\ Gauche (2; 5 \\ droite) $ est la réponse à la tâche initiale.
Enfin, considérons une autre inégalité:
\\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\]
Encore une fois, nous voyons une fonction indicative avec une fraction décimale à la base. Transférer cette fraction à l'ordinaire:
\\ [\\ Begin (Aligner) et 0,2 \u003d \\ frac (2) (10) \u003d \\ frac (1) (5) \u003d ((5) ^ (- 1)) \\ Rightarrow \\\\ & \\ Rightarrow ((0, 2 ) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \u003d ((\\ left ((((5) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (1 + (((x) ^ (2) ))) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1 + ((x) ^ (2)) \\ right))) \\ End (Aligner) \\]
Dans ce cas, nous avons profité des remarques précédemment données - la base a été réduite au nombre 5\u003e 1 afin de simplifier la décision ultérieure. De la même manière et avec la droite:
\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (((5) ^ (- 1)) \\ À droite)) ^ (2)) \u003d (((-5) ^ (- 1 \\ CDOT 2)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
Je réécris l'inégalité d'origine en tenant compte des deux transformations:
\\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ GE \\ frac (1) (25) \\ rightarrow ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ left (1+ ( (x) ^ (2)) \\ droite)) \\ ge ((5) ^ (- 2)) \\]
Les bases des deux côtés sont les mêmes et supérieures à une. Il n'y a pas d'autres termes à droite et à gauche, ils "resserrent" cinq et obtiennent une expression simple:
\\ [\\ commencez (aligner (Aligner) et -1 \\ CDTO \\ Gauche (1 + (x) ^ (2) ^ (2)) \\ Right) \\ GE -2; \\\\ & -1 - (x) ^ (2)) \\ ge -2; \\\\ & - (x) ^ (2)) \\ GE -2 + 1; \\\\ & - (x) ^ (2)) \\ ge -1; \\ quad \\ gauche | \\ CDOT \\ Gauche (-1 \\ Droite) \\ Droite. \\\\ & (x) ^ (2)) \\ le 1. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Ici, il est nécessaire de faire attention. De nombreux étudiants comme pour extraire seulement la racine carrée de leurs deux parties de l'inégalité et écrire quelque chose dans l'esprit de $ x \\ le 1 \\ rightarrow x \\ in \\ left (- \\ infty;. -1 \\ right] $ Pour ce faire, en aucun cas, puisque la racine d'un carré précis est un module, et en aucun cas est la variable d' origine:
\\ [\\ Sqrt (((x) ^ (2))) \u003d \\ gauche | X \\ droite | \\]
Cependant, travailler avec des modules n'est pas l'occupation la plus agréable, non? Donc, nous ne travaillerons pas. Et au lieu de cela, nous déplacons simplement toutes les conditions à gauche et résolvons l'inégalité habituelle d'intervalles:
$ \\ commencer (aligner) & (x) ^ (2)) - 1 \\ le 0; \\\\ \\ left (x-1 \\ right) \\ left (x + 1 \\ right) \\ le 0 \\\\ \\ ((x) _ (1)) \u003d 1; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d -1; \\\\\\ fin (aligner) $
Nous notons à nouveau les points obtenus sur la droite numérique et regardez les signes:
Remarque: les points sont peints Depuis que nous avons résolu l'incroyable inégalité, tous les points du graphique sont peints. Par conséquent, la réponse sera comme ceci: $ x \\ in \\ Gauche [-1; 1 \\ droite] $ - pas l'intervalle, nommément le segment.
En général, je voudrais remarquer qu'il n'y a rien de compliqué dans les inégalités indicatives. La signification de toutes les transformations que nous avons effectuées aujourd'hui est réduite à un simple algorithme:
- Trouver la base à laquelle nous résoudraons tous les degrés;
- Effectuez délicatement la conversion de sorte que l'inégalité du type $ ((a) ^ (x)) \\ gt (a) ^ (n)) est obtenue. Bien sûr, au lieu des variables $ $ et N $ N $, des fonctions beaucoup plus complexes peuvent se tenir debout, mais cela ne sera pas modifié de celui-ci;
- Frapper la fondation de degrés. Dans le même temps, le signe d'inégalité peut changer si la base est $ A \\ LT 1 $.
En substance, il s'agit d'un algorithme universel pour résoudre toutes ces inégalités. Et tout ce que vous vous direz sur ce sujet - uniquement des techniques et des astuces spécifiques, permettant de simplifier et d'accélérer la transformation. Ici, nous parlerons d'une de ces techniques. :)
Méthode de rationalisation
Considérez un autre lot d'inégalités:
\\ [\\ Begin (Aligner) et ((\\ Text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ Text () \\! \\! \\ PI \\! \\! \\ text ()) ^ ((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\\\ & ((\\ gauche (2 \\ sqrt (3) -3 \\ droite) ^ ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1; \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ left (\\ frac (1) (9) \\ Droite)) ^ (16-x)); \\\\ & ((\\ left (3-2 \\ RACINE (2) \\ DROITE)) ^ (3 x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1. End \\\\\\ (Aligner) \\]
Alors, qu'est-ce qui est si spécial à leur sujet? Ce sont des poumons. Bien que, arrêtez! Le nombre π est érigé dans n'importe quel degré? Quelle absurdité?
Et comment construire un certain nombre de $ 2 \\ sqrt (3) -3 $? Ou 3-2 \\ SQRT (2) $? Les défis ont évidemment combattu "Hawthorn" avant de s'asseoir au travail. :)
En fait, rien de terrible dans ces tâches. Permettez-moi de vous rappeler: une fonction indicative s'appelle l'expression du type $ ((a) ^ (x)) $, où la base $ A $ est un nombre positif, à l'exception de l'unité. Le nombre π positivement est que nous savons aussi. Numéros 2 \\ SQRT (3) -3 $ et 3-2 $ \\ SQRT (2) $ sont également positifs - il est facile de vous assurer que si vous les comparez à zéro.
Il s'avère que toutes ces inégalités "effrayantes" ne diffèrent pas des simples, discutées ci-dessus? Et sont résolus de la même manière? Oui, bien juste. Cependant, sur leur exemple, je voudrais envisager une acceptation qui économise grandement du temps sur des travaux et des examens indépendants. Ce sera sur la méthode de rationalisation. Donc, attention:
Toute inégalité indicative du type $ ((a) ^ (x)) \\ GT ((a) ^ (n)) est équivalente à l'inégalité de $ \\ gauche (xn \\ droite) \\ CDOT \\ gauche (A-1 \\ droite) \\ gt 0 $.
C'est toute la méthode. :) Et vous pensiez qu'il y aurait un autre jeu? Rien de tel! Mais ce fait simple enregistré littéralement dans une ligne vous simplifiera grandement le travail américain. Regarde:
\\ [\\ début (matrice) ((\\ texte () \\! \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (x + 7)) \\ GT ((\\ Text () \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! ! \\! \\ Text ()) ^ ((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\\\ \\ avancée \\\\ \\ \\ gauche (x + 7- \\ gauche (((x) ^ (2)) -3x + 2 \\ droite) \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT \\ Gauche (\\ Text () \\! \\! \\ PI \\! \\! \\ Text () -1 \\ droite) \\ GT 0 \\\\\\ fin (matrice) \\]
Donc, pas de fonctions indicatives plus! Et ne vous souvenez pas: le signe change ou non. Mais un nouveau problème se pose: Que faire avec le facteur de peur \\ [\\ Gauche (\\ Text () \\! \\! \\ PI \\! \\! \\ Text () -1 \\ Right) \\]? Nous ne savons pas ce qui est égal à la valeur exacte du nombre π. Cependant, le capitaine est évident car il s'agit:
\\ [\\ Text () \\! \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () \\ environ 3,14 ... \\ GT 3 \\ Drive Dight \\ Text () \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\ Text ( ) -1 \\ GT 3-1 \u003d 2 \\]
En général, la valeur exacte de π est particulièrement différente et non si ce n'est pas si important pour nous de comprendre que dans tout cas \\ Text () \\! \\! \\! \\! \\! \\ Text () -1 \\ gt $ 2, t .. C'est une constante positive et nous pouvons diviser à la fois une partie de l'inégalité dessus:
\\ [\\ commencez (Aligner (Aligner) \\ Gauche (x + 7- \\ gauche ((((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ droite) \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT (\\ Text () \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! Pi \\! \\! \\ Text () -1 \\ droite) \\ gt 0 \\\\ & x + 7- \\ gauche (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ droite) \\ GT 0; \\\\ & x + 7 - (x) ^ (2)) + 3x-2 \\ gt 0; \\\\ & - (x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ gt 0; \\ quad \\ gauche | \\ CDOT \\ Gauche (-1 \\ Droite) \\ Droite. \\\\ & (x) ^ (2)) - 4x-5 \\ lt 0; \\\\ & \\ gauche (x-5 \\ droite) \\ gauche (x + 1 \\ droite) \\ lt 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Comme vous pouvez le constater, à un moment donné, je devais diviser l'unité au moins - en même temps que le signe d'inégalité a été changé. En fin de compte, j'ai décomposé le carré triple sur le théorème Vieta - il est évident que les racines sont égales à $ ((x) _ (1)) \u003d 5 $ et $ ((x) _ (2) _ (2)) \u003d - $ 1. Plus, tout est résolu par une méthode d'intervalle classique:
Résoudre l'inégalité par intervalles Tous les points sont en question, car l'inégalité initiale est stricte. Nous sommes intéressés par une zone avec des valeurs négatives, de sorte que la réponse est la suivante: $ x \\ in \\ gauche (-1; 5 \\ droite) $. C'est toute la solution. :)
Passons à la tâche suivante:
\\ [(((gauche (2 \\ sqrt (3) -3 \\ droite) ^ ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \\]
Ici, tout est simple, car le droit vaut la peine. Et nous nous souvenons que l'unité est un nombre à zéro. Même si ce nombre est une expression irrationnelle, debout au bas de la gauche:
\\ [\\ commencez (aligner) & (((\\ gauche (2 \\ sqrt (3) -3 \\ droite) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \u003d (( 2 \\ sqrt (3) -3 \\ droite) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ Gauche (2 \\ sqrt (3) -3 \\ droite)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt ((\\ gauche (2 \\ sqrt (3) -3 \\ À droite) ^ (0)); \\\\\\ fin (aligner) \\]
Eh bien, nous effectuons une rationalisation:
\\ [\\ commencez (aligner (aligner) \\ gauche (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT \\ Gauche (2 \\ sqrt (3) -3-1 \\ droite) \\ lt 0; \\\\ \\ \\ gauche ((((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ droite) \\ CDOT \\ gauche (2 \\ sqrt (3) -4 \\ droite) \\ lt 0; \\\\ \\ gauche ((((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ droite) \\ CDOT 2 \\ gauche (\\ sqrt (3) -2 \\ droite) \\ lt 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Il ne reste que de traiter des signes. Le multiplicateur de 2 \\ \\ gauche (\\ sqrt (3) -2 \\ \\ \\ droite) $ ne contient pas de variable x $ $ est juste une constante et nous devons comprendre son signe. Pour ce faire, nous notons ce qui suit:
\\ [\\ commencements (matrice) \\ sqrt (3) \\ lt \\ sqrt (4) \u003d 2 \\\\ \\ avancée \\\\ 2 \\ gauche (\\ sqrt (3) -2 \\ droite) \\ lt 2 \\ CDOT \\ GAUCHE (2 -2 \\ droite) \u003d 0 \\\\\\ fin (matrice) \\]
Il s'avère que le deuxième facteur n'est pas juste une constante, mais une constante négative! Et lors de la division dessus, le signe de l'inégalité initiale changera au contraire:
\\ [\\ commencez (aligner (aligner) \\ gauche (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ droite) \\ CDOT 2 \\ gauche (\\ sqrt (3) -2 \\ droite) \\ lt 0; \\\\ & (x) ^ (2)) - 2x-0 \\ gt 0; \\\\ & x \\ gauche (x-2 \\ droite) \\ gt 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Maintenant, tout devient complètement évident. Les racines du carré triple, debout à droite: $ ((x) _ (1)) \u003d 0 $ et $ (x) _ (2)) \u003d 2 $. Nous les notons sur une droite numérique et voyons les signes de la fonction $ F \\ gauche (x \\ droite) \u003d x \\ gauche (x-2 \\ droite) $:
Le cas est quand nous sommes intéressés par des intervalles latéraux Nous sommes intéressés par les intervalles marqués par le signe "Plus". Il ne reste plus qu'à écrire la réponse:
Allez à l'exemple suivant:
\\ [(((\\ gauche (\\ frac (1) (3) \\ droite)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ gaucher (1) (1) \\ À droite)) ^ (16-x)) \\]
Eh bien, tout est complètement évident ici: dans le motif, il y a des degrés du même nombre. Par conséquent, je vais tout écrire brièvement:
\\ [\\ commencements (matrice) \\ frac (1) (3) \u003d (((3) ^ (- 1)); \\ quad \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (1) ((((3) ^ ( 2)) \u003d (((3) ^ (- 2)) \\\\ \\ avancée \\\\ (((\\ gauche ((((((3) ^ (- 1)) \\ droite) ^ ((x) ^ (2) ) + 2x)) \\ gt ((\\ gauche ((((((3) ^ (- 2)) \\ à droite) ^ (16-x)) \\\\\\ fin (matrice) \\]
\\ [\\ commencez (aligner) & ((((((- - 1 \\ CDOT \\ gauche ((((x) ^ (2)) + 2x \\ droite))) \\ GT ((3) ^ (- 2 \\ CDOT \\ gauche (16-x \\ droite))); \\\\ & (((((- - (- (x) ^ (2)) - 2x)) \\ GT ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\\\ \\ gauche (- (((x) ^ (2)) - 2x- \\ gauche (-32 + 2x \\ droite) \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT \\ gauche (3-1 \\ droite) \\ GT 0; \\\\ & - (x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \\ gt 0; \\\\ & - (x) ^ (2)) - 4x + 32 \\ gt 0; \\ quad \\ gauche | \\ CDOT \\ Gauche (-1 \\ Droite) \\ Droite. \\\\ & (x) ^ (2)) + 4x-32 \\ lt 0; \\\\ & \\ gauche (x + 8 \\ droite) \\ gauche (x-4 \\ droite) \\ lt 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Comme vous pouvez le constater, dans le processus de transformation, je devais multiplier le nombre négatif, le signe d'inégalité a donc été changé. À la toute fin, j'ai réappliqué le théorème de la Vieta pour se décomposer sur les multiplicateurs du triple carré. En conséquence, la réponse sera la suivante: $ x \\ in \\ Gauche (-8; 4 \\ droite) $ - ceux qui veulent s'assurer que, en tirant un direct numérique, notant le point et compter les signes. Et entre-temps, nous allons passer à la dernière inégalité de notre "Set":
\\ [(((gauche (3-2 \\ sqrt (2) \\ droite)) ^ (3x - (x) ^ (2)))) \\ lt 1 \\]
Comme vous pouvez le constater, au bas, il y a un nombre irrationnel à nouveau, et l'unité est à nouveau à droite. Par conséquent, nous réécrivons notre inégalité indicative comme suit:
\\ [((\\ Gauche (3-2 \\ SQRT (2) \\ droite)) ^ (3x - (x) ^ (2)))) \\ lt ((\\ gauche (3-2 \\ sqrt (2) \\ À droite) ^ (0)) \\]
Nous appliquons la rationalisation:
\\ [\\ commencez (aligner (aligner) \\ Gauche (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT \\ GAUCHE (3-2 \\ SQRT (2) -1 \\ droite) \\ lt 0; \\\\ \\ gauche (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT \\ GAUCHE (2-2 \\ SQRT (2) \\ droite) \\ lt 0; \\\\ \\ gauche (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ droite) \\ CDOT 2 \\ gauche (1- \\ sqrt (2) \\ droite) \\ lt 0. \\\\ fin (alignement) \\]
Cependant, il est assez évident que 1 $ \\ sqrt (2) \\ lt 0 $, depuis $ \\ sqrt (2) \\ environ 1,4 ... \\ gt $ 1. Par conséquent, le deuxième facteur est une constante récemment négative pour laquelle une partie des inégalités peut être divisée:
\\ [\\ début (matrice) \\ gauche (3x - (((x) ^ (2)) - 0 \\ droite) \\ CDOT 2 \\ gauche (1- \\ sqrt (2) \\ droite) \\ lt 0 \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ Briarrow \\ \\\\ fin (matrice) \\]
\\ [\\ commencez (aligner) et 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ gt 0; \\\\ & 3x - (x) ^ (2)) \\ gt 0; \\ quad \\ gauche | \\ CDOT \\ Gauche (-1 \\ Droite) \\ Droite. \\\\ & (x) ^ (2)) - 3x \\ lt 0; \\\\ & X \\ Gauche (x-3 \\ droite) \\ lt 0. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Transition vers une autre base
Un problème distinct dans la résolution des inégalités indicatives est la recherche de la base "correcte". Malheureusement, pas toujours quand je regarde pour la première fois la tâche, il est évident que de prendre pour la fondation et de quoi faire le degré de cette fondation.
Mais ne vous inquiétez pas: il n'y a pas de technologies magiques et "secrètes". En mathématiques, toute compétence, qui ne peut être algorithmise, peut être facilement développée par la pratique. Mais pour cela devra résoudre des problèmes de différents niveaux de complexité. Par exemple, voici:
\\ [\\ commencez (aligner) & ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))); \\\\ & ((\\ gauche (\\ frac (1) (3) \\ droite)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)); \\\\ & ((\\ gauche (0,16 \\ droite)) ^ (1 + 2x)) \\ CDOT ((\\ gauche (6.25 \\ droite)) ^ (x)) \\ ge 1; \\\\ & ((\\ gauche (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ droite)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x)) \\ CDOT 81. \\\\\\ Fin (aligner) \\]
Compliqué? Angoissant? Oui, c'est plus facile que le poulet sur l'asphalte! Essayons. Première inégalité:
\\ [((((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))) \\]
Eh bien, je pense que tout est clair ici:
Nous réécrivons l'inégalité d'origine, ce qui réduit tout à la base "Deux":
\\ [((((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((2) ^ (\\ frac (8) (x))) \\ RightARrow \\ GAUCHE (X) (2) - \\ Frac (8) (x) \\ droite) \\ CDOT \\ gauche (2-1 \\ droite) \\ lt 0 \\]
Oui, oui, vous avez tous compris tout: je viens d'appliquer la méthode de rationalisation décrite ci-dessus. Maintenant, vous devez travailler avec précaution: nous avions une inégalité rationnelle fractionnée (il s'agit donc d'une telle variable dans le dénominateur) avant d'assimiler quelque chose à zéro, il est nécessaire de tout amener au dénominateur général et de se débarrasser du multiplicateur constant.
\\ [\\ commencez (Aligner (Aligner) et \\ Gauche (\\ frac (x) (2) - \\ frac (8) (x) \\ droite) \\ CDOT \\ CDOT \\ GAUCHE (2-1 \\ ROIGE) \\ LT 0; \\\\ \\ \\ gauche (\\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ droite) \\ CDOT 1 \\ lt 0; \\\\ \\ frac ((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ lt 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Maintenant, nous utilisons la méthode d'intervalle standard. Nutrisseur Zeros: $ x \u003d \\ pm $ 4. Le dénominateur fait référence à zéro uniquement à $ x \u003d 0 $. Total de trois points à noter sur la ligne droite numérique (tous les points d'otkoloté, car le signe d'inégalité est strict). On a:
Cas plus difficile: Trois racines Comme il n'est pas difficile de deviner, l'éclosion est notée ces intervalles sur lesquels l'expression de gauche prend des valeurs négatives. Par conséquent, la réponse finale ira à une fois deux intervalles:
La fin des intervalles ne répond pas, car l'inégalité initiale était stricte. Aucun contrôle supplémentaire n'est requis de cette réponse. À cet égard, les inégalités indicatives sont beaucoup plus faciles que la logarithmique: il n'y a pas de restrictions, etc.
Aller à la tâche suivante:
\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x)) \\]
Ici aussi, pas de problèmes, puisque nous savons déjà que $ \\ frac (1) (3) \u003d (((((((- 1) ^ (- 1)) $, donc toute inégalité peut être réécrite afin:
\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((3) ^ (- 1)) \\ droite)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x )) \\ Rightarrow ((3) ^ (- \\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)); \\\\ \\ \\ gauche (- \\ frac (3) (x) - \\ gauche (2 + x \\ droite) \\ droite) \\ CDOT \\ gauche (3-1 \\ droite) \\ ge 0; \\\\ & \\ Gauche (- \\ frac (3) (x) -2-x \\ droite) \\ CDOT 2 \\ GE 0; \\ quad \\ gauche | : \\ Gauche (-2 \\ \\ droite) \\ Droite. \\\\ \\ frag (3) (x) + 2 + x \\ le 0; \\\\ \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \\ le 0. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Veuillez noter: Dans la troisième ligne, j'ai décidé de ne pas bien diviser tout (-2). Le premier support passé (maintenant, il y a des plus partout) et les deux ont diminué avec le facteur constant. C'est exactement la manière dont il est nécessaire d'agir lorsque vous effectuez des calculs réels sur des travaux indépendants et de test - il n'est pas nécessaire de peindre toutes les actions et toutes les transformations.
En outre, la méthode d'intervalle familière pour nous entrera. Zéros du chiffre: et ils ne le sont pas. Parce que le discriminant sera négatif. À son tour, le dénominateur est réinitialisé uniquement à $ x \u003d 0 $ - comme la dernière fois. Eh bien, il est clair que à droite de $ x \u003d 0 $ La fraction prendra des valeurs positives et la gauche est négative. Puisque nous sommes intéressés des valeurs précisement négatives, la réponse finale: $ x \\ in \\ gauche (- \\ \\ pieds; 0 \\ droite) $.
\\ [((\\ Left (0,16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ left (6,25 \\ right)) ^ (x)) \\ GE 1 \\]
Et que devrait-on faire avec des fractions décimales dans des inégalités indicatives? Droite: éloignez-vous d'eux, traduire en ordinaire. Nous allons donc transférer:
\\ [\\ Begin (align) & 0,16 \u003d \\ frac (16) (100) \u003d \\ frac (4) (25) \\ rightarrow ((\\ left (0,16 \\ right)) ^ (1 + 2x)) \u003d ((\\ gauche (\\ frac (4) (25) \\ droite)) ^ (1 + 2x)); \\\\ & 6,25 \u003d \\ frac (625) (100) \u003d \\ frac (25) (4) \\ rightarrow ((\\ GAUCHE (6,25 \\ right)) ^ (x)) \u003d ((\\ left (\\ frac ( 25) (4) \\ droite)) ^ (x)). \\\\\\ fin (aligner) \\]
Alors, qu'avons-nous commencé dans le motif des fonctions indicatives? Et nous avons reçu deux nombres inversés mutuellement:
\\ [\\ Frac (25) (4) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (- 1)) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (25) (4) \\ droite)) ^ (x)) \u003d ((\\ left (((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (- 1)) \\ right)) ^ (x)) \u003d ((gauche (\\ Frac (4) (25) \\ droite) ^ (- x)) \\]
Ainsi, l'inégalité initiale peut être réécrite afin:
\\ [\\ Begnt (Align) & ((\\ Gauche (\\ frac (4) (25) \\ Right)) ^ (1 + 2x)) \\ CDOT ((\\ frac (4) (25) \\ Right) ) ^ (- x)) \\ ge 1; \\\\ & ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (1 + 2x + \\ left (-x \\ right))) \\ GE ((\\ left (\\ frac (4) (25 ) \\ right)) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0)) . \\\\\\ fin (aligner) \\]
Bien sûr, lors de la multiplication de degrés avec la même base, leurs indicateurs sont pliés, ce qui s'est passé dans la deuxième ligne. En outre, nous avons présenté une unité debout à droite, également sous la forme d'un degré basé sur 4/25. Il n'en reste que de la rationalisation:
\\ [((\\ Left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ right)) ^ (0)) \\ RightARrow \\ Gauche (x + 1-0 \\ droite) \\ CDOT \\ Gauche (\\ frac (4) (25) -1 \\ droite) \\ ge 0 \\]
Notez que $ \\ frac (4) (25) -1 \u003d \\ frac (4-25) (25) \\ lt 0 $, c'est-à-dire Le deuxième facteur est une constante négative, et lors de la division, le signe d'inégalité changera:
\\ [\\ begin (Align) & X + 1-0 \\ Le 0 \\ RightArrorrow X \\ Le -1; \\\\ & x \\ in \\ Gauche (- \\fty; -1 \\ droite]. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Enfin, la dernière inégalité du "kit" actuel:
\\ [((\\ Gauche (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ Right)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x)) \\ CDOT 81 \\]
En principe, l'idée de la solution ici est également claire: toutes les fonctions indicatives incluses dans l'inégalité doivent être réduites à la base de "3". Mais pour cela devra bricoler des racines et des diplômes:
\\ [\\ Begin (align) \\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\\ frac (1) (3))) ) \u003d ((3) ^ (3- \\ frac (1) (3))) \u003d ((3) ^ (\\ frac (8) (3))); \\\\ & 9 \u003d (((3) ^ (2)); \\ Quad 81 \u003d ((3) ^ (4)). \\\\\\ fin (aligner) \\]
Compte tenu de ces faits, l'inégalité initiale peut être réécrite afin:
\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((3) ^ (\\ frac (8) (3))) \\ droite)) ^ (- x)) \\ lt ((\\ left (((3) ^ (2)) \\ droite)) ^ (4-2x)) \\ CDOT ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8X) (3))) \\ ll ((3) ^ (8-4x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8X) (3))) \\ ll ((3) ^ (8-4x + 4)); \\\\ & (((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\\\\ fin (aligner) \\]
Faites attention aux 2e et 3ème ligne de calcul: Avant de faire quelque chose avec inégalité, assurez-vous de l'amener à la même chose à propos de laquelle nous avons parlé du tout début de la leçon: $ (a) ^ (x)) \\ lt ((a) ^ (n)) $. Tant que vous êtes parti ou à droite, il y a des multiplicateurs gauche, des constantes supplémentaires, etc., aucune raison de rationalisation et de "broyage" ne peut être effectuée! D'innombrables tâches n'étaient pas correctement en raison du malentendu de ce fait simple. Je regarde moi-même constamment ce problème chez mes étudiants, lorsque nous passons à l'analyse des inégalités indicatives et logarithmiques.
Mais revenons à notre tâche. Essayons ce temps à faire sans rationalisation. Nous nous rappelons: la base du degré est plus que l'unité, la troïka peut simplement pousser - le signe d'inégalité ne changera pas. On a:
\\ [\\ begnt (Align) & - \\ frac (8x) (3) \\ lt 4-4x; \\\\ & 4x- \\ frac (8x) (3) \\ lt 4; \\\\ \\ frac (4x) (3) \\ lt 4; \\\\ & 4x \\ lt 12; \\\\ & x \\ lt 3. \\\\\\ fin (aligner) \\]
C'est tout. Réponse finale: $ x \\ in \\ Gauche (- \\ \\fty; 3 \\ droite) $.
Sélection d'une expression stable et de remplacement de la variable
En conclusion, je propose de résoudre quatre autres inégalités de démonstration déjà assez complexes pour les étudiants non préparés. Pour les faire face, vous devez vous rappeler les règles de travail avec des degrés. En particulier, la délivrance de facteurs généraux pour les crochets.
Mais la chose la plus importante est d'apprendre à comprendre: ce qui peut être retiré exactement des crochets. Une telle expression s'appelle stable - il peut être noté par une nouvelle variable et se débarrasser ainsi de la fonction indicative. Alors, regardons les tâches:
\\ [\\ commencez (aligner ((((((((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6; \\\\ & (((((((((((((x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90; \\\\ & (((((25) ^ (x + 1.5)) - (((5) ^ (2x + 2)) \\ GT 2500; \\\\ \\ (\\ gauche (0.5 \\ droite)) ^ (- 4x-8)) - (((16) ^ (x + 1,5)) \\ GT 768. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Commençons par la toute première ligne. Nous écrivons séparément cette inégalité:
\\ [(((X + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6 \\]
Notez que $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((((((x + 1 + 1 + 1)) \u003d (((((((x + 1) \\ CDOT 5 $, donc la droite -Le partie peut réécrire:
Notez qu'il n'y a pas d'autres fonctions indicatives sauf $ ((5) ^ (x + 1)) $, il n'y a pas d'inégalité. Et en général, nulle part ailleurs d'ailleurs est une variable $ x $ $, donc nous introduisons une nouvelle variable: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d T $. Nous obtenons la conception suivante:
\\ [\\ commencez (aligner) et 5t + t \\ ge 6; \\\\ & 6T \\ ge 6; \\\\ & t \\ ge 1. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Nous revenons à la variable initiale ($ t \u003d (((((5) ^ (x + 1)) $), et nous nous souvenons en même temps que 1 \u003d 5 0. On a:
\\ [\\ commencez (aligner ((((((5) ^ (x + 1)) \\ ge ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 1 \\ ge 0; \\\\ & x \\ ge -1. \\\\\\ fin (aligner) \\]
C'est toute la décision! Réponse: $ x \\ in \\ Gauche [-1; + \\fty \\ droite) $. Aller à la deuxième inégalité:
\\ [(((((((X) ^ (x)) + (((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90 \\]
Voici tous les mêmes. Notez que $ ((3) ^ (x + 2)) \u003d (((((3) ^ (x)) \\ CDOT ((((3) ^ (2)) \u003d 9 \\ CDOT ((3) ^ (x)) $. Ensuite, la partie gauche peut être réécrite:
\\ [\\ Commencez (Aligner (Aligner) & ((((x) ^ (x)) + 9 \\ CDOT ((3) ^ (x)) \\ GE 90; \\ quad \\ gauche | ((3) ^ (x)) \u003d t \\ droite. \\\\ & t + 9t \\ ge 90; \\\\ & 10t \\ ge 90; \\\\ & t \\ ge 9 \\ researrow (((3) ^ (x)) \\ ge 9 \\ RightArrore (((3) ^ (x)) \\ ge ((3) ^ (2)); \\\\ & X \\ ge 2 \\ RightARrow x \\ in \\ Gauche [2; + \\ \\ \\ droite). \\\\\\ fin (aligner) \\]
C'est ainsi qu'il est nécessaire de prendre une décision sur le contrôle réel et le travail indépendant.
Eh bien, essayons quelque chose de plus compliqué. Par exemple, voici l'inégalité:
\\ [((((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ GT 2500 \\]
Quel est le problème ici? Tout d'abord, les bases des fonctions indicatives debout sur la gauche, différentes: 5 et 25. Cependant, 25 \u003d 5 2, le premier terme peut donc être converti:
\\ [\\ commencez (aligner (aligner) & (((25) ^ (x + 1.5)) \u003d ((((((((((((((((((((5) \\ \\ droite)) ^ (x + 1.5)) \u003d ((((5 ) ^ (2x + 3)); \\\\ & ((((2x) ^ (2x + 3)) \u003d (((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d (((5) ^ (2x + 2)) \\ CDOT 5. \\\\ fin (alignement) \\]
Comme vous pouvez le constater, nous avons tous conduit à la même base, puis nous avons constaté que le premier terme revient facilement au second - décompose juste l'indicateur. Maintenant, vous pouvez introduire en toute sécurité une nouvelle variable: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d T $, et toute inégalité va réécrire:
\\ [\\ commencez (aligner) & 5T-t \\ ge 2500; \\\\ & 4T \\ ge 2500; \\\\ & t \\ ge 625 \u003d ((5) ^ (4)); \\\\ & (((5) ^ (2x + 2)) \\ ge ((5) ^ (4)); \\\\ & 2x + 2 \\ ge 4; \\\\ & 2x \\ ge 2; \\\\ & x \\ ge 1. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Et encore une fois pas de difficultés! Réponse finale: $ x \\ in \\ Gauche [1; + \\ \\ droite \\ droite) $. Allez à l'inégalité finale de la leçon d'aujourd'hui:
\\ [((\\ gauche (0.5 \\ droite)) ^ (- 4x-8)) - (((16) ^ (x + 1.5)) \\ GT 768 \\]
La première chose à faire attention est, bien sûr, la fraction décimale à la base du premier degré. Il est nécessaire de s'en débarrasser, tout en apportant toutes les fonctions indicatives à la même base - le nombre "2":
\\ [\\ begin (alignement (alignement) & 0.5 \u003d \\ frac (1) (2) \u003d ((((- 1) ^ (- 1)) \\ Rightarrow ((\\ "gauche (0.5 \\ droite)) ^ (- 4x- 8)) \u003d ((\\ gauche (((((((((2) ^ (- 1)) \\ droite)) ^ (- 4x-8)) \u003d ((((4) ^ (4x + 8)); \\\\ & 16 \u003d ((2) ^ (4)) \\ Rightarrow ((16) ^ (x + 1.5)) \u003d (((((((((((((2) ^ (4)) \\ droite) ^ (x + 1.5)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)); \\\\ & ((((((4) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt 768. \\\\\\ fin (alignement) \\]
Excellent, nous avons fait la première étape - tout a conduit à la même base. Maintenant, il est nécessaire d'allouer une expression stable. Notez que $ (((2) ^ (4x + 8)) \u003d (((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d (((2) ^ (4x + 6)) \\ CDOT $ 4. Si vous entrez une nouvelle variable $ ((2) ^ (4x + 6)) \u003d T $, l'inégalité initiale peut être réécrite comme suit:
\\ [\\ begnt (Align) & 4T-T \\ GT 768; \\\\ & 3T \\ GT 768; \\\\ & t \\ gt 256 \u003d ((2) ^ (8)); \\\\ & (((2) ^ (4x + 6)) \\ GT ((2) ^ (8)); \\\\ & 4x + 6 \\ gt 8; \\\\ & 4x \\ gt 2; \\\\ & X \\ GT \\ frac (1) (2) \u003d 0.5. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Naturellement, la question peut survenir: comment avons-nous trouvé que 256 \u003d 2 8? Malheureusement, il vous suffit de connaître les déductions de diplômes (et au même moment le degré de triples et cinq). Bien, ou divisez 256 à 2 (il est possible de diviser, depuis un numéro de 256 points) jusqu'à ce que nous obtenions le résultat. Il ressemblera à ceci:
\\ [\\ Commencez (Aligner (Aligner) & 256 \u003d 128 \\ CDTOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 16 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 8 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d ((2) ^ (8)). \\ Eng (alignement) \\ ]
La même chose avec un triple (nombre 9, 27, 81 et 243 sont ses degrés), et avec sept (nombres 49 et 343 également, serait également bon à retenir). Et les sommets ont aussi des "beaux" degrés à savoir:
\\ [\\ commencez (aligner) & (((5) ^ (2)) \u003d 25; \\\\ & (((5) ^ (3)) \u003d 125; \\\\ & (5) ^ (4)) \u003d 625; \\\\ & ((5) ^ (5)) \u003d 3125. \\\\\\ fin (aligner) \\]
Bien sûr, tous ces chiffres peuvent être restaurés dans l'esprit si vous le souhaitez, le multipliez simplement les uns aux autres. Cependant, lorsque vous devez résoudre plusieurs inégalités de démonstration, et chacune est plus compliquée que la précédente, alors ce dernier, ce que je veux penser - c'est quelques chiffres là-bas. Et en ce sens, ces tâches sont plus complexes que les inégalités «classiques» résolues par la méthode d'intervalle.
et x \u003d b est l'équation indicative la plus simple. En lui uNE. Plus zéro I. mais Pas égal à un.
Solution d'équations indicatives
Sur les propriétés de la fonction indicative, nous savons que sa zone de valeurs est limitée par des nombres réels positifs. Ensuite, si b \u003d 0, l'équation n'a pas de solutions. La même situation a lieu dans l'équation où b
Maintenant, nous mettons cela b\u003e 0. Si dans la fonction indicative uNE. Plus d'unités, la fonction augmentera dans toute la zone de définition. Si dans une fonction indicative pour la base mais La condition suivante est terminée 0 Sur la base de cela et appliquer le théorème sur la racine, nous obtenons que l'équation A x \u003d B a une seule racine, avec B\u003e 0 et positif uNE. Pas égal à un. Pour le trouver, il est nécessaire de représenter B sous la forme B \u003d A c. Considérez l'exemple suivant: Résolvez l'équation 5 (x 2 - 2 * x - 1) \u003d 25. Imaginez 25 comme 5 2, nous obtenons: 5 (x 2 - 2 * x - 1) \u003d 5 2. Ou ce qui est équivalent à: x 2 - 2 * x - 1 \u003d 2. Nous résolvons l'équation carrée obtenue par l'une des méthodes connues. Nous obtenons deux racines x \u003d 3 et x \u003d -1. Réponse: 3; -1. Je résolvez l'équation 4 x - 5 * 2 x + 4 \u003d 0. Nous remplacerons: T \u003d 2 x et nous obtenons l'équation carrée suivante: t 2 - 5 * T + 4 \u003d 0. Maintenant, nous résolvons l'équation 2 x \u003d 1 et 2 x \u003d 4. Réponse: 0; 2. La solution des inégalités de démonstration les plus simples repose également sur les propriétés de la fonction croissante et descendante. Si la fonction de base A est supérieure à l'unité, la fonction augmentera dans la zone de définition. Si dans une fonction indicative pour la base mais La condition suivante est effectuée 0 Considérons un exemple: résoudre les inégalités (0.5) (7 - 3 * x)< 4. Notez que 4 \u003d (0.5) 2. Ensuite, l'inégalité prendra la forme (0,5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Nous obtenons: 7 - 3 * x\u003e -2. Par conséquent: H.<3. Réponse: H.<3. Si dans l'inégalité, la base était plus unie, puis lorsque vous livrez du sol, le signe d'inégalité ne serait pas nécessaire.
Alors il est évident que de Ce sera une solution à l'équation A x \u003d a c.
Nous résolvons cette équation à l'une des méthodes connues. Nous obtenons les racines T1 \u003d 1 T2 \u003d 4Solution de inégalités indicatives
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