Une figure délimitée par le graphique d'une fonction continue non négative $f(x)$ sur le segment $$ et les droites $y=0, \ x=a$ et $x=b$ est appelée un trapèze curviligne.

L'aire du trapèze curviligne correspondant est calculée par la formule :

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Nous diviserons conditionnellement les problèmes pour trouver l'aire d'un trapèze curviligne en types $4$. Examinons chaque type plus en détail.

Type I : un trapèze courbe est spécifié explicitement. Appliquez ensuite immédiatement la formule (*).

Par exemple, trouvez l'aire d'un trapèze curviligne délimité par le graphique de la fonction $y=4-(x-2)^(2)$ et les droites $y=0, \ x=1$ et $x =3$.

Dessinons ce trapèze courbe.

A l'aide de la formule (*), on trouve l'aire de ce trapèze curviligne.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\droite|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unités$^(2)$).

Type II : le trapèze courbe est précisé implicitement. Dans ce cas, les droites $x=a, \ x=b$ ne sont généralement pas spécifiées ou partiellement spécifiées. Dans ce cas, vous devez trouver les points d'intersection des fonctions $y=f(x)$ et $y=0$. Ces points seront les points $a$ et $b$.

Par exemple, trouvez l'aire d'une figure délimitée par les graphiques des fonctions $y=1-x^(2)$ et $y=0$.

Trouvons les points d'intersection. Pour ce faire, nous assimilons les membres droits des fonctions.

Ainsi, $a=-1$ et $b=1$. Dessinons ce trapèze incurvé.

Trouvons l'aire de ce trapèze courbe.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unités$^(2)$).

Type III : l'aire d'une figure limitée par l'intersection de deux fonctions continues non négatives. Cette figure ne sera pas un trapèze courbe, ce qui signifie que vous ne pouvez pas calculer son aire à l'aide de la formule (*). Comment être? Il s'avère que l'aire de cette figure peut être trouvée comme la différence entre les aires des trapèzes curvilignes délimitées par la fonction supérieure et $y=0$ ($S_(uf)$), et fonction inférieure et $y=0$ ($S_(lf)$), où le rôle de $x=a, \ x=b$ est joué par les coordonnées $x$ des points d'intersection de ces fonctions, c'est-à-dire

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

La chose la plus importante lors du calcul de telles surfaces est de ne pas « rater » le choix des fonctions supérieure et inférieure.

Par exemple, trouvez l'aire d'une figure délimitée par les fonctions $y=x^(2)$ et $y=x+6$.

Trouvons les points d'intersection de ces graphiques :

D'après le théorème de Vieta,

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Autrement dit, $a=-2,\b=3$. Dessinons une figure :

Ainsi, la fonction supérieure est $y=x+6$ et la fonction inférieure est $y=x^(2)$. Ensuite, nous trouvons $S_(uf)$ et $S_(lf)$ en utilisant la formule (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unités$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unités$^(2)$).

Remplaçons ce que nous avons trouvé par (**) et obtenons :

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unités$^(2)$).

Type IV : l'aire d'une figure délimitée par une ou plusieurs fonctions qui ne satisfont pas à la condition de non-négativité. Afin de trouver l'aire d'une telle figure, vous devez être symétrique par rapport à l'axe $Ox$ ( autrement dit, mettre des « moins » devant les fonctions) afficher la zone et, en utilisant les méthodes décrites dans les types I – III, trouver la zone de la zone affichée. Cette zone sera la zone requise. Tout d’abord, vous devrez peut-être trouver les points d’intersection des graphiques de fonctions.

Par exemple, trouvez l'aire d'une figure délimitée par les graphiques des fonctions $y=x^(2)-1$ et $y=0$.

Trouvons les points d'intersection des graphiques de fonctions :

ceux. $a=-1$ et $b=1$. Dessinons la zone.

Affichons la zone symétriquement :

$y=0 \ \Flèche droite \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Le résultat est un trapèze curviligne délimité par le graphique de la fonction $y=1-x^(2)$ et $y=0$. C'est un problème de trouver un trapèze courbe du deuxième type. Nous l'avons déjà résolu. La réponse était : $S= 1\frac(1)(3)$ (unités $^(2)$). Cela signifie que l'aire du trapèze curviligne requis est égale à :

$S=1\frac(1)(3)$ (unités$^(2)$).

L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. En classe, j'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'en dire un de plus fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une certaine courbe sur le plan (elle peut toujours être dessinée si on le souhaite), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égal à la superficie trapèze courbé correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. D'abord et le moment le plus important solutions - dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point, la technique de construction point par point se trouve dans le document de référence.

Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Je n'ombragerai pas le trapèze incurvé, il est évident ici de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , reportez-vous à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. DANS dans ce cas"à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes , et des axes

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu ?

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution : Faisons un dessin :

Si un trapèze courbé entièrement situé sous l'axe, alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucun signification géométrique, alors cela peut être négatif.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode, si possible.

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». La technique de construction point par point des différents graphiques est abordée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés fonctions élémentaires . Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Je répète que lors de la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail : Si sur un segment il y a une fonction continue Plus grand ou égal à une fonction continue, alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il est important de savoir quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est cas particulier formules . Puisque l'axe est spécifié par l'équation et que le graphique de la fonction est situé en dessous de l'axe, alors

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone du mauvais chiffre a été trouvée, c'est exactement comme ça que votre humble serviteur a fait des erreurs à plusieurs reprises. Ici cas réel de la vie:

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, il arrive souvent qu'il faille trouver l'aire d'une figure qui est ombrée vert!

Cet exemple est également utile car il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous forme « scolaire » et faisons un dessin point par point :

D'après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ? Peut être ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que... Ou la racine. Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

Ainsi, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes, les calculs ici ne sont pas les plus simples.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre:

Eh bien, pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , ,

Solution : Représentons cette figure dans le dessin.

Pour faire un dessin point par point il faut savoir apparence sinusoïdes (et généralement utile de connaître graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusoïdales, on les trouve dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n'y a ici aucun problème avec les limites d'intégration, elles découlent directement de la condition : « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires dans la leçon Intégrales de fonctions trigonométriques . C'est une technique typique, on pince un sinus.

(2) Utilisez la base identité trigonométrique comme

(3) Changeons la variable , alors :

Nouveaux axes d'intégration :

Quiconque est vraiment mauvais avec les substitutions, s’il vous plaît, prenez une leçon. Méthode de remplacement dans intégrale indéfinie . Pour ceux qui ne comprennent pas bien l'algorithme de remplacement dans une intégrale définie, visitez la page Intégrale définie. Exemples de solutions.

Dans cet article, vous apprendrez comment trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d'un tel problème au lycée, alors que nous venons de terminer l'étude des intégrales définies et qu'il est temps de commencer l'interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à réaliser des dessins compétents ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant formule célèbre Newton-Leibniz ;
La capacité de « voir » une option de solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre en quoi il sera plus pratique de réaliser l'intégration dans un cas ou un autre ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où serions-nous sans des calculs corrects ?) Cela implique de comprendre comment résoudre cet autre type d’intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur une feuille de papier à carreaux, à grande échelle. On signe le nom de cette fonction avec un crayon au dessus de chaque graphique. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour faciliter les calculs ultérieurs. Après avoir reçu un graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Cependant, il arrive que les valeurs des limites soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement spécifiées, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques entre eux et voyons si notre solution graphique avec analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonctions sont disposés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Considérons différents exemples sur la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze courbe. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? Il s'agit d'une figure plate limitée par l'axe des x (y = 0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de un avant b. De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale, calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Par quelles lignes la figure est-elle délimitée ? Nous avons une parabole y = x2 – 3x + 3, qui est situé au dessus de l'axe OH, c'est non négatif, car tous les points de cette parabole ont des valeurs positives. Ensuite, étant donné les lignes droites x = 1 Et x = 3, qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de démarcation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, c'est aussi l'axe des x, qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze courbe, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, nous avons examiné le cas où un trapèze courbe est situé au-dessus de l'axe des x. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se situe sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Nous examinerons ci-dessous comment résoudre un tel problème.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Dans cet exemple nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2, qui provient de l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 Et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème de recherche de l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive, et est également continue sur l'intervalle [-4; -1] . Comment ça, pas positif ? Comme le montre la figure, la figure qui se situe dans les x donnés a des coordonnées exclusivement « négatives », ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.

Exemple 1 . Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes : x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 et x = 2

Construisons une figure (voir figure) Nous construisons une droite x + 2y – 4 = 0 en utilisant deux points A(4;0) et B(0;2). En exprimant y via x, nous obtenons y = -0,5x + 2. En utilisant la formule (1), où f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, nous trouvons

S = = [-0,25=11,25 carrés. unités

Exemple 2. Calculez l'aire de la figure délimitée par les droites : x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 et y = 0.

Solution. Construisons la figure.

Construisons une droite x – 2y + 4 = 0 : y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Construisons une droite x + y – 5 = 0 : y = 0, x = 5, C(5 ; 0), x = 0, y = 5, D(0 ; 5).

Trouvons le point d'intersection des droites en résolvant le système d'équations :

x = 2, y = 3 ; M(2; 3).

Pour calculer l'aire requise, on divise le triangle AMC en deux triangles AMN et NMC, puisque lorsque x passe de A à N, l'aire est limitée par une ligne droite, et lorsque x passe de N à C - par une ligne droite

Pour le triangle AMN on a : ; y = 0,5x + 2, c'est-à-dire f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Pour le triangle NMC nous avons : y = - x + 5, soit f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

En calculant l'aire de chaque triangle et en additionnant les résultats, on trouve :

carré unités

9 + 4, 5 = 13,5 m². unités Vérifiez : = 0,5AC = 0,5 m². unités

Exemple 3. Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes : y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Dans ce cas, il faut calculer l'aire d'un trapèze courbe délimité par la parabole y = x 2 , les droites x = 2 et x = 3 et l'axe Ox (voir figure) En utilisant la formule (1) on trouve l'aire du trapèze curviligne

= = 6 m². unités

Exemple 4. Calculer l'aire de la figure délimitée par les droites : y = - x 2 + 4 et y = 0

Construisons la figure. La surface requise est comprise entre la parabole y = - x 2 + 4 et l'axe Ox.

Trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe Ox. En supposant y = 0, on trouve x = Puisque cette figure est symétrique par rapport à l'axe Oy, on calcule l'aire de la figure située à droite de l'axe Oy, et double le résultat obtenu : = +4x]sq. unités 2 = 2 m² unités

Exemple 5. Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes : y 2 = x, yx = 1, x = 4

Ici, vous devez calculer l'aire d'un trapèze curviligne délimité par la branche supérieure de la parabole 2 = x, axe Ox et droites x = 1 et x = 4 (voir figure)

D'après la formule (1), où f(x) = a = 1 et b = 4, nous avons = (= unités carrées.

Exemple 6 . Calculez l'aire de la figure délimitée par les droites : y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

La surface requise est limitée par la demi-onde de la sinusoïde et l'axe Ox (voir figure).

On a - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 m². unités

Exemple 7. Calculez l'aire de la figure délimitée par les droites : y = - 6x, y = 0 et x = 4.

La figure est située sous l'axe Ox (voir figure).

Par conséquent, nous trouvons son aire en utilisant la formule (3)

= =

Exemple 8. Calculez l'aire de la figure délimitée par les droites : y = et x = 2. Construisez la courbe y = à partir des points (voir figure). Ainsi, on trouve l'aire de la figure à l'aide de la formule (4)

Exemple 9 .

X 2 + oui 2 =r 2 .

Ici, vous devez calculer l'aire délimitée par le cercle x 2 + oui 2 =r 2 , c'est-à-dire l'aire d'un cercle de rayon r dont le centre est à l'origine. Trouvons la quatrième partie de cette zone en prenant les limites d'intégration de 0

avant; nous avons: 1 = = [

Ainsi, 1 =

Exemple 10. Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes : y= x 2 et y = 2x

Ce chiffre est limité par la parabole y = x 2 et la droite y = 2x (voir figure) Pour déterminer les points d'intersection des droites données, on résout le système d'équations : x 2 – 2x = 0 x = 0 et x = 2

En utilisant la formule (5) pour trouver l'aire, nous obtenons

= }