सभी आयतनमापी आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के सूत्र

वीडियो पाठ्यक्रम "गेट ए ए" में सफल होने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनागणित में 60-65 अंक के लिए। पूर्णतः सभी समस्याएँ 1-13 प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षाअंक शास्त्र। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत. त्वरित तरीकेएकीकृत राज्य परीक्षा के समाधान, नुकसान और रहस्य। FIPI टास्क बैंक से भाग 1 के सभी मौजूदा कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति. सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। दृश्य व्याख्या जटिल अवधारणाएँ. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको सूत्रों को जानना होगा - जैसे कि त्रिभुज का क्षेत्रफल या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - साथ ही सरल तकनीकें जिन्हें हम कवर करेंगे।

सबसे पहले, आइए आकृतियों के क्षेत्रफलों के सूत्र सीखें। हमने उन्हें विशेष रूप से एक सुविधाजनक तालिका में एकत्र किया है। प्रिंट करें, सीखें और लागू करें!

बेशक, सभी ज्यामिति सूत्र हमारी तालिका में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल के दूसरे भाग में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए अन्य सूत्रों का उपयोग किया जाता है। हम आपको उनके बारे में जरूर बताएंगे.

लेकिन क्या होगा यदि आपको किसी समलम्ब चतुर्भुज या त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं, बल्कि किसी जटिल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो? सार्वभौमिक तरीके हैं! हम उन्हें FIPI टास्क बैंक के उदाहरणों का उपयोग करके दिखाएंगे।

1. एक अमानक आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? उदाहरण के लिए, एक मनमाना चतुर्भुज? एक सरल तकनीक - आइए इस आकृति को उन आकृतियों में विभाजित करें जिनके बारे में हम सब कुछ जानते हैं, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें - इन आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में।

इस चतुर्भुज को एक क्षैतिज रेखा से दो त्रिभुजों में विभाजित करें जिनका उभयनिष्ठ आधार बराबर हो। इन त्रिभुजों की ऊंचाई और के बराबर है। तब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है: .

उत्तर: ।

2. कुछ मामलों में, किसी आकृति के क्षेत्रफल को कुछ क्षेत्रों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस त्रिभुज का आधार और ऊंचाई किसके बराबर है इसकी गणना करना इतना आसान नहीं है! लेकिन हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्रफल एक भुजा वाले वर्ग और तीन भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के अंतर के बराबर है समकोण त्रिभुज. क्या आप उन्हें चित्र में देखते हैं? हम पाते हैं: ।

उत्तर: ।

3. कभी-कभी किसी कार्य में आपको संपूर्ण आकृति का नहीं, बल्कि उसके एक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। आमतौर पर हम एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के बारे में बात कर रहे हैं - एक वृत्त का भाग। त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी चाप की लंबाई बराबर है।

इस चित्र में हमें एक वृत्त का भाग दिखाई देता है। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है. यह पता लगाना बाकी है कि वृत्त के किस भाग को दर्शाया गया है। चूँकि पूरे वृत्त की लंबाई बराबर है (क्योंकि), और किसी दिए गए त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई बराबर है, इसलिए, चाप की लंबाई पूरे वृत्त की लंबाई से कम का एक कारक है। जिस कोण पर यह चाप रहता है वह भी एक पूर्ण वृत्त (अर्थात् डिग्री) से कम का गुणनखंड होता है। इसका मतलब यह है कि सेक्टर का क्षेत्रफल पूरे सर्कल के क्षेत्रफल से कई गुना छोटा होगा।

और प्राचीन मिस्रवासी विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के लिए हमारी विधियों के समान विधियों का उपयोग करते थे।

मेरी किताबों में "शुरुआत"प्रसिद्ध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने इसका काफी वर्णन किया है बड़ी संख्याअनेक के क्षेत्रफलों की गणना करने की विधियाँ ज्यामितीय आकार. रूस में ज्यामितीय जानकारी वाली पहली पांडुलिपियाँ 16वीं शताब्दी में लिखी गई थीं। वे विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के नियमों का वर्णन करते हैं।

आज मदद से आधुनिक तरीकेआप किसी भी आकृति का क्षेत्रफल बड़ी सटीकता से ज्ञात कर सकते हैं।

आइए सबसे सरल आकृतियों में से एक - एक आयत - और उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें।

आयत क्षेत्रफल सूत्र

आइए एक आकृति (चित्र 1) पर विचार करें, जिसमें $1$ सेमी भुजा वाले $8$ वर्ग हैं। $1$ सेमी भुजा वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल को वर्ग सेंटीमीटर कहा जाता है और इसे $1\ सेमी^2 लिखा जाता है। $.

इस आकृति का क्षेत्रफल (चित्र 1) $8\cm^2$ के बराबर होगा।

एक आकृति का क्षेत्रफल जिसे $1\ cm$ (उदाहरण के लिए, $p$) की भुजा वाले कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है, $p\ cm^2$ के बराबर होगा।

दूसरे शब्दों में, आकृति का क्षेत्रफल इतने $cm^2$ के बराबर होगा, इस आकृति को $1\cm$ भुजा वाले कितने वर्गों में विभाजित किया जा सकता है।

आइए एक आयत पर विचार करें (चित्र 2), जिसमें $3$ धारियां हैं, जिनमें से प्रत्येक को $1\ सेमी$ की भुजा के साथ $5$ वर्गों में विभाजित किया गया है। पूरे आयत में $5\cdot 3=15$ ऐसे वर्ग हैं, और इसका क्षेत्रफल $15\cm^2$ है।

चित्र 1।

चित्र 2।

आकृतियों का क्षेत्रफल आमतौर पर $S$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

किसी आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करना होगा।

यदि हम इसकी लंबाई को $a$ अक्षर से और इसकी चौड़ाई को $b$ अक्षर से निरूपित करें, तो एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

परिभाषा 1

आंकड़े कहलाते हैं बराबरयदि, जब एक दूसरे पर आरोपित किया जाता है, तो आंकड़े मेल खाते हैं। बराबर आंकड़े हैं समान क्षेत्रऔर समान परिधि.

किसी आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जा सकता है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, चित्र $3$ में, आयत $ABCD$ को रेखा $KLMN$ द्वारा दो भागों में विभाजित किया गया है। एक हिस्से का क्षेत्रफल $12\cm^2$ है, और दूसरे का क्षेत्रफल $9\cm^2$ है। तब आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ के बराबर होगा। सूत्र का उपयोग करके आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों विधियों से प्राप्त क्षेत्रफल बराबर हैं।

चित्र तीन।

चित्र 4.

रेखा खंड $AC$ आयत को दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है: $ABC$ और $ADC$। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरे आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है।

परिभाषा 2

के साथ आयत बराबर भुजाएँबुलाया वर्ग.

यदि हम किसी वर्ग की भुजा को $a$ अक्षर से निरूपित करें, तो वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाएगा:

इसलिए संख्या का नाम वर्ग $a$ है।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा $5$ सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल है:

संस्करणों

प्राचीन सभ्यताओं के दिनों में व्यापार और निर्माण के विकास के साथ, मात्राएँ खोजने की आवश्यकता उत्पन्न हुई। गणित में, ज्यामिति की एक शाखा है जो स्थानिक आकृतियों के अध्ययन से संबंधित है, जिसे स्टीरियोमेट्री कहा जाता है। गणित की इस अलग शाखा का उल्लेख चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में ही मिल चुका था।

प्राचीन गणितज्ञों ने सरल आकृतियों - एक घन और एक समानांतर चतुर्भुज - के आयतन की गणना के लिए एक विधि विकसित की। उस समय की सभी इमारतें इसी आकार की होती थीं। लेकिन बाद में अधिक जटिल आकृतियों की आकृतियों के आयतन की गणना करने के तरीके खोजे गए।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन

यदि आप सांचे को गीली रेत से भरते हैं और फिर उसे पलट देते हैं, तो आपको एक त्रि-आयामी आकृति मिलेगी जो आयतन की विशेषता है। यदि आप एक ही साँचे का उपयोग करके ऐसी कई आकृतियाँ बनाते हैं, तो आपको समान आयतन वाली आकृतियाँ मिलेंगी। यदि आप सांचे में पानी भरेंगे तो पानी का आयतन और रेत के आंकड़े का आयतन भी बराबर होगा।

चित्र 5.

आप एक बर्तन में पानी भरकर और दूसरे बर्तन में डालकर दो बर्तनों के आयतन की तुलना कर सकते हैं। यदि दूसरा बर्तन पूरी तरह भर जाता है, तो बर्तन का आयतन बराबर हो जाता है। यदि पहले में पानी रहता है, तो पहले बर्तन का आयतन दूसरे के आयतन से अधिक होता है। यदि पहले बर्तन से पानी डालते समय दूसरे बर्तन को पूरा भरना संभव न हो तो पहले बर्तन का आयतन दूसरे बर्तन के आयतन से कम होता है।

आयतन को निम्नलिखित इकाइयों का उपयोग करके मापा जाता है:

$mm^3$ -- घन मिलीमीटर,

$cm^3$ -- घन सेंटीमीटर,

$dm^3$ -- घन डेसीमीटर,

$m^3$ -- घन मीटर,

$km^3$ -- घन किलोमीटर।

सामान्य समीक्षा। स्टीरियोमेट्री सूत्र!

हैलो प्यारे दोस्तों! इस लेख में मैंने ऐसा करने का निर्णय लिया सामान्य समीक्षास्टीरियोमेट्री कार्य जो चालू रहेंगे गणित में एकीकृत राज्य परीक्षाई. यह कहा जाना चाहिए कि इस समूह के कार्य काफी विविध हैं, लेकिन कठिन नहीं हैं। ये ज्यामितीय मात्राएँ खोजने की समस्याएँ हैं: लंबाई, कोण, क्षेत्रफल, आयतन।

माना गया: घन, घनाभ, प्रिज्म, पिरामिड, मिश्रित बहुफलक, बेलन, शंकु, गेंद। दुखद तथ्य यह है कि कुछ स्नातक परीक्षा के दौरान भी ऐसी समस्याओं का सामना नहीं करते हैं, हालांकि उनमें से 50% से अधिक का समाधान लगभग मौखिक रूप से ही कर लिया जाता है।

बाकी के लिए थोड़े प्रयास, ज्ञान और विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। भविष्य के लेखों में हम इन कार्यों पर विचार करेंगे, इसे न चूकें, ब्लॉग अपडेट की सदस्यता लें।

हल करने के लिए आपको जानना होगा सतह क्षेत्रों और आयतन के लिए सूत्रसमान्तर चतुर्भुज, पिरामिड, प्रिज्म, बेलन, शंकु और गोला। कोई कठिन समस्याएँ नहीं हैं, वे सभी 2-3 चरणों में हल हो जाती हैं, यह "देखना" महत्वपूर्ण है कि किस सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है।

सभी आवश्यक सूत्र नीचे प्रस्तुत किये गये हैं:

गेंद या गोला। गेंद, या गोलाकार सतह(कभी-कभी केवल एक गोला) एक बिंदु - गेंद के केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान होता है।

गेंद की मात्राएक पिरामिड के आयतन के बराबर जिसके आधार का क्षेत्रफल गेंद की सतह के समान है और ऊँचाई गेंद की त्रिज्या है

गोले का आयतन उसके चारों ओर घिरे बेलन के आयतन से डेढ़ गुना कम है।

एक वृत्ताकार शंकु को उसके एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है, यही कारण है कि वृत्ताकार शंकु को परिक्रमण शंकु भी कहा जाता है। एक वृत्ताकार शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी देखें

एक गोल शंकु का आयतनआधार क्षेत्र S और ऊँचाई H के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर:

(H घन किनारे की ऊंचाई है)

समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज के छह फलक हैं, और वे सभी समांतर चतुर्भुज हैं। एक समान्तर चतुर्भुज जिसके चारों पार्श्व फलक आयत हों, एक सीधा समान्तर चतुर्भुज कहलाता है। एक समकोण चतुर्भुज जिसके सभी छह फलक आयत हों, आयताकार कहलाता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतनआधार के क्षेत्रफल और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर:

(S पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल है, h पिरामिड की ऊंचाई है)

पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका एक चेहरा होता है - पिरामिड का आधार - एक मनमाना बहुभुज, और बाकी - पार्श्व चेहरे - एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिकोण, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

पिरामिड के आधार के समानांतर एक खंड पिरामिड को दो भागों में विभाजित करता है। पिरामिड के आधार और इस खंड के बीच का भाग एक छोटा पिरामिड है।

एक काटे गए पिरामिड का आयतनऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर एच(ओएस)ऊपरी आधार के क्षेत्रफलों के योग से S1 (एबीसीडीई), एक काटे गए पिरामिड का निचला आधार एस2 (एबीसीडीई)और उनके बीच औसत आनुपातिक.

वी=

n - एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या - आधार नियमित पिरामिड
a - एक नियमित बहुभुज की भुजा - एक नियमित पिरामिड का आधार
एच - एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका एक चेहरा - पिरामिड का आधार - एक नियमित त्रिकोण है, और बाकी - पार्श्व चेहरे - एक सामान्य शीर्ष के साथ समान त्रिकोण होते हैं। ऊंचाई ऊपर से आधार के केंद्र तक उतरती है।

वॉल्यूम सही त्रिकोणीय पिरामिड क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर नियमित त्रिकोण, जो आधार है एस (एबीसी)ऊंचाई तक एच(ओएस)

a - एक नियमित त्रिभुज की भुजा - एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार
एच - एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई

चतुष्फलक के आयतन के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

टेट्राहेड्रोन के आयतन की गणना पिरामिड के आयतन के क्लासिक सूत्र का उपयोग करके की जाती है। चतुष्फलक की ऊंचाई और एक नियमित (समबाहु) त्रिभुज के क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है।

चतुष्फलक का आयतन- अंश में उस अंश के बराबर है जिसके हर में दो का वर्गमूल बारह है, जिसे टेट्राहेड्रोन के किनारे की लंबाई के घन से गुणा किया जाता है

(h समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई है)

परिधि पीवृत्त के व्यास की लंबाई लगभग तीन पूर्ण और एक-सातवां है। किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का सटीक अनुपात किसके द्वारा दर्शाया जाता है? यूनानी अक्षर π

परिणामस्वरूप, वृत्त या परिधि की परिधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

π आर एन

(आर - चाप त्रिज्या, एन - केंद्रीय कोणचाप डिग्री में.)

वीडियो पाठ्यक्रम "गेट एन ए" में 60-65 अंकों के साथ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। गणित में प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षा के सभी कार्य 1-13 पूर्णतः। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

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सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति. सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की स्पष्ट व्याख्या. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।