यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय हम देखेंगे कि 497, 4 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, अर्थात। विभाजन का शेष भाग शेष है। ऐसे में कहा जाता है कि यह पूरा हो गया है शेषफल के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को शेषफल के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. जब शेषफल से विभाजित किया जाता है तो विभाजन का परिणाम कहलाता है अपूर्ण निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. ऐसे मामलों में जहां कोई शेष नहीं बचता, एक संख्या को दूसरे से विभाजित कहा जाता है बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेषफल 1 है।

शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

भाग को गुणा द्वारा जांचा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जाँच इस प्रकार की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेषफल के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए = बी * एन + आर,
जहाँ a लाभांश है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

भागफल को विभाजित करें प्राकृतिक संख्याभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है.

भिन्न का अंश भाज्य है, और हर भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य है और हर भाजक है, विश्वास है कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n)\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m लाभांश है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

निम्नलिखित नियम सत्य हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करना होगा और m ऐसे भाग लेने होंगे।

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

किसी संपूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको संपूर्ण के अनुरूप संख्या को हर से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

इसके भाग से पूर्णांक ज्ञात करने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं एक अंश को कम करना.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता हो, तो इस क्रिया को कहा जाता है भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना.

उचित और अनुचित भिन्न. मिश्रित संख्याएँ

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भाग लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4)\) का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। पिछले पैराग्राफ की कई समस्याओं में, भिन्नों का उपयोग संपूर्ण के कुछ हिस्सों को दर्शाने के लिए किया गया था। व्यावहारिक बुद्धिसुझाव है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन फिर भिन्नों के बारे में क्या, उदाहरण के लिए, \(\frac(5)(5)\) या \(\frac(8)(5)\)? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है. संभवतः इसीलिए वे भिन्न कहलाते हैं जिनका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनका अंश हर से छोटा होता है, कहलाती हैं सही भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, कोई भी सामान्य अंश, सही और गलत दोनों को अंश को हर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, गणित में, इसके विपरीत सामान्य भाषा, "अनुचित भिन्न" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न शामिल है, तो ऐसा भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - संपूर्ण भाग, और \(\frac(2)(3)\) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम भी तब सत्य है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ। भिन्नों को जोड़ना.

आप भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित कर सकते हैं। आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर नजर डालें। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना आसान है। आइए, उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3)(7)\) का योग ज्ञात करें। यह समझना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आपको भिन्न जोड़ने की आवश्यकता है विभिन्न भाजक, तो उन्हें पहले एक सामान्य विभाजक में लाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों को जोड़ना

\(2\frac(2)(3)\) जैसे नोटेशन कहलाते हैं मिश्रित अंश. इस स्थिति में, संख्या 2 को कहा जाता है संपूर्ण भागमिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3)\) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3)\) को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई।"

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: \(\frac(8)(3)\) और \(2\frac(2)(3)\). वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3)\) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3)\) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि अनुचित भिन्न से पूरे भाग पर प्रकाश डाला.

भिन्नों को घटाना (आंशिक संख्याएँ)

घटाव भिन्नात्मक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या में से दूसरी संख्या घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जो दूसरी में जोड़ने पर पहली संख्या देती है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) चूँकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

समान हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम ऐसी भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों को गुणा करना

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार नियम का उपयोग करके, आप किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से, मिश्रित भिन्न से गुणा कर सकते हैं, और मिश्रित भिन्न को भी गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृतिक संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में, एक मिश्रित भिन्न को - एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

भिन्न को कम करके और अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करके गुणन के परिणाम को सरल बनाया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)।

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, गुणन के क्रमविनिमेय और संयोजन गुण, साथ ही जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति मान्य हैं।

भिन्नों का विभाजन

आइए भिन्न \(\frac(2)(3)\) लें और अंश और हर की अदला-बदली करते हुए इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2)\) मिलता है। इस अंश को कहा जाता है रिवर्सभिन्न \(\frac(2)(3)\).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2)\) को "उलटा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3)\) प्राप्त होगा। इसलिए, \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7)\).

अक्षरों का उपयोग करके, व्युत्क्रम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, आप भिन्नों के विभाजन को गुणा तक कम कर सकते हैं।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करने का नियम है:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को विभाजित करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

यदि लाभांश या भाजक एक प्राकृतिक संख्या या मिश्रित भिन्न है, तो भिन्नों को विभाजित करने के नियम का उपयोग करने के लिए, इसे पहले एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में भिन्न कोई बड़ी परेशानी नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको तर्कसंगत घातांक और लघुगणक वाली घातें नहीं मिल जातीं। और वहाँ... आप कैलकुलेटर को दबाते हैं और दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूर्ण प्रदर्शन दिखाता है। आपको तीसरी कक्षा की तरह अपने दिमाग से सोचना होगा।

आइए अंततः भिन्नों का पता लगाएं! खैर, आप इनमें कितना उलझ सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?

भिन्नों के प्रकार. परिवर्तन.

भिन्न हैं तीन प्रकार.

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी क्षैतिज रेखा के बजाय वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, ठीक है, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इसी वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हरयदि आप इन नामों को लगातार भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है...), तो अपने आप से यह वाक्यांश कहें: " ज़ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़भाजक - देखो zzzzzउह!" देखो, सब कुछ याद किया जाएगा।)

डैश, या तो क्षैतिज या झुका हुआ, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे (हर) तक। बस इतना ही! डैश के बजाय, विभाजन चिन्ह - दो बिंदु लगाना काफी संभव है।

जब पूर्ण विभाजन संभव हो तो ऐसा अवश्य करना चाहिए। अत: भिन्न "32/8" के स्थान पर संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात भी नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है. और यदि यह पूर्णतः विभाज्य नहीं है, तो हम इसे भिन्न के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको विपरीत ऑपरेशन भी करना पड़ता है। पूर्ण संख्या को भिन्न में बदलें. लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि आपको कार्य "बी" के उत्तर लिखने होंगे।

3. मिश्रित संख्याएँ , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से ऐसा करने में सक्षम होना चाहिए! अन्यथा आप किसी समस्या में ऐसी संख्या में आ जाएंगे और रुक जाएंगे... कहीं से भी नहीं। लेकिन हम इस प्रक्रिया को याद रखेंगे! थोड़ा नीचे.

सर्वाधिक बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनसे शुरुआत करें. वैसे, यदि किसी भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएँ सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

भिन्न का मुख्य गुण.

तो चलते हैं! सबसे पहले, मैं आपको आश्चर्यचकित करूंगा। भिन्न परिवर्तनों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलता है।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक लिखना जारी रख सकते हैं जब तक आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। मुख्य बात यह समझना है कि ये सभी विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं वही अंश . 2/3.

क्या हमें इसकी, इन सभी परिवर्तनों की आवश्यकता है? और कैसे! अब आप खुद ही देख लेंगे. आरंभ करने के लिए, आइए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें अंशों को कम करना. यह एक प्राथमिक बात प्रतीत होगी. अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करें और बस हो गया! गलती करना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप कहीं भी गलती कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे भिन्न को नहीं, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

अतिरिक्त कार्य किए बिना भिन्नों को सही ढंग से और शीघ्रता से कैसे कम किया जाए, इसके बारे में विशेष धारा 555 में पढ़ा जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह बस उन सभी चीज़ों को काट देता है जो ऊपर और नीचे समान हैं! यह वह जगह है जहां यह छिपा हुआ है सामान्य गलती, एक ब्लूपर, यदि आप चाहें।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

यहां सोचने की कोई बात नहीं है, ऊपर से "a" अक्षर और नीचे से "2" अक्षर काट दें! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन सच में आपने बंटवारा कर लिया सभी अंश और सभी हर "ए" है। यदि आप केवल काट देने के आदी हैं, तो जल्दबाजी में आप अभिव्यक्ति में "ए" को काट सकते हैं

और इसे फिर से प्राप्त करें

जो कि सर्वथा असत्य होगा। क्योंकि यहाँ सभी"ए" पर अंश पहले से ही है साझा नहीं करता! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता. वैसे, ऐसी कमी, उम्म... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती है। यह माफ़ नहीं है! तुम्हे याद है? कम करते समय, आपको विभाजित करने की आवश्यकता है सभी अंश और सभी भाजक!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। अब मैं उसके साथ कैसे काम करना जारी रख सकता हूं? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, और सावधानी से इसे पांच से कम कर देते हैं, और पांच से कम कर देते हैं, और यहां तक ​​कि... जब इसे छोटा किया जा रहा है, तो संक्षेप में। आइए 3/8 प्राप्त करें! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मुख्य गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने और इसके विपरीत करने की अनुमति देता है बिना कैलकुलेटर के! यह एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक प्रकार से दूसरे प्रकार में कैसे परिवर्तित करें।

दशमलव भिन्नों के साथ सब कुछ सरल है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25. यह शून्य दशमलव पच्चीस सौवाँ भाग है। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (हम अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य भिन्न मिलता है: 1/4। सभी। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। जैसे 0.3. यह तीन दसवाँ भाग है, अर्थात्। 3/10.

यदि पूर्णांक शून्य नहीं हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम पूर्ण अंश लिखते हैं बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन दशमलव सत्रह सौवाँ भाग है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ, इसका मतलब सब कुछ है। यह उत्तर है. प्राथमिक वाटसन! जो कुछ कहा गया है, उससे एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन कुछ लोग कैलकुलेटर के बिना साधारण से दशमलव में उलटा रूपांतरण नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप एकीकृत राज्य परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे!? ध्यान से पढ़ें और इस प्रक्रिया में महारत हासिल करें।

दशमलव भिन्न की विशेषता क्या है? उसका भाजक है हमेशालागत 10, या 100, या 1000, या 10000 इत्यादि। यदि आपके उभयनिष्ठ भिन्न का हर इस प्रकार है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4. या 7/100 = 0.07. या 12/10 = 1.2. यदि अनुभाग "बी" में कार्य का उत्तर 1/2 निकला तो क्या होगा? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक है...

चलो याद करते हैं भिन्न का मुख्य गुण ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। कुछ भी, वैसे! बेशक, शून्य को छोड़कर। तो आइए इस संपत्ति का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (बेशक, छोटा बेहतर है...)? 5 बजे, ज़ाहिर है। बेझिझक हर को गुणा करें (यह है)। हमआवश्यक) 5 से। लेकिन फिर अंश को भी 5 से गुणा करना होगा। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमाँग! हमें 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 3/16 मिलेगा। कोशिश करें और पता लगाएं कि 100 या 1000 बनाने के लिए 16 को किससे गुणा करें... क्या यह काम नहीं करता है? फिर आप आसानी से 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको कागज के एक टुकड़े पर एक कोने से विभाजित करना होगा, जैसा कि प्राथमिक विद्यालय में सिखाया जाता है। हमें 0.1875 मिलता है।

और बहुत ख़राब भाजक भी हैं. उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को अच्छे दशमलव में बदलने का कोई तरीका नहीं है। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश है अनुवाद नहीं करता. 1/7, 5/6 इत्यादि के समान। उनमें से कई ऐसे हैं जिनका अनुवाद नहीं किया जा सकता। यह हमें एक और उपयोगी निष्कर्ष पर लाता है। प्रत्येक भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता !

वैसे, यह उपयोगी जानकारीआत्म परीक्षण के लिए. अनुभाग "बी" में आपको अपने उत्तर में एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह भिन्न दशमलव में परिवर्तित नहीं होता. इसका मतलब है कि आपने रास्ते में कहीं न कहीं गलती की है! वापस जाएँ और समाधान की जाँच करें।

इसलिए, हमने साधारण और दशमलव भिन्नों का पता लगाया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटना बाकी है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। इसे कैसे करना है? आप छठी कक्षा के विद्यार्थी को पकड़ कर उससे पूछ सकते हैं। लेकिन छठी कक्षा का विद्यार्थी हमेशा साथ नहीं रहेगा... आपको यह स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। आपको भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्ण भाग से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ना होगा। यह सामान्य भिन्न का अंश होगा. हर के बारे में क्या? विभाजक वही रहेगा. यह जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ सरल है। आइए एक उदाहरण देखें.

मान लीजिए कि आप समस्या में संख्या देखकर भयभीत हो गए:

शांति से, बिना घबराहट के, हम सोचते हैं। सम्पूर्ण भाग 1. इकाई है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अत: भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश को गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक सामान्य भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

यह स्पष्ट है? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! साधारण भिन्नों में बदलें. आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, यदि ऐसा है... और यदि आप हाई स्कूल में नहीं हैं, तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वैसे, आप वहां अनुचित भिन्नों के बारे में भी जानेंगे।

ख़ैर, व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आपने भिन्नों के प्रकार याद किये और समझे कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में स्थानांतरित करें। प्रश्न बना हुआ है: किस लिए इसे करें? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई भी उदाहरण आपको बताएगा आवश्यक कार्रवाई. यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहां तक ​​कि मिश्रित संख्याओं को एक साथ मिलाया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर यह 0.8 + 0.3 जैसा कुछ कहता है, तो हम इसे बिना किसी अनुवाद के उसी तरह गिनते हैं। हमें अतिरिक्त कार्य की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य पूर्णतः है दशमलव, लेकिन उम्म... कुछ बुरे लोग, सामान्य लोगों के पास जाओ, उन्हें आज़माओ! देखिए, सब ठीक हो जाएगा. उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। यदि आपको कैलकुलेटर का उपयोग करने की आदत नहीं है तो यह इतना आसान नहीं है! आपको न केवल किसी कॉलम में संख्याओं को गुणा करना है, बल्कि आपको यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से आपके दिमाग में काम नहीं करेगा! यदि हम एक साधारण भिन्न की ओर बढ़ें तो क्या होगा?

0.125 = 125/1000. हम इसे 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत करने वालों के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 से हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह अभी भी सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है. हम इसे आसानी से वर्गित कर लेते हैं (अपने दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त कर लेते हैं। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव एवं मिश्रित संख्याएँ हमेशासाधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा स्थानांतरण हमेशा नहींउपलब्ध।

3. किसी कार्य पर काम करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव कार्य पर ही निर्भर करता है। की उपस्थिति में अलग - अलग प्रकारएक कार्य में भिन्न, सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों की ओर बढ़ना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं. सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह उत्तर मिलना चाहिए (अव्यवस्था में!):

आइए इसे समाप्त करें। इस पाठ में हमने भिन्नों के बारे में मुख्य बिंदुओं पर अपनी स्मृति ताज़ा की। हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है...) यदि कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं कर पाया है... तो आप एक विशेष धारा 555 पर जा सकते हैं। वहां सभी बुनियादी बातों को विस्तार से शामिल किया गया है। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं. और वे तुरंत भिन्नों को हल कर देते हैं)।

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

काफी संख्या में लोग यह प्रश्न पूछते हैं कि भिन्न को दशमलव भिन्न में कैसे बदला जाए। कई तरीके हैं. किसी विशिष्ट विधि का चुनाव भिन्न के प्रकार पर निर्भर करता है जिसे किसी अन्य रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है, या अधिक सटीक रूप से, उसके हर में मौजूद संख्या पर। हालाँकि, विश्वसनीयता के लिए, यह इंगित करना आवश्यक है कि एक साधारण अंश एक अंश है जो एक अंश और एक हर के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, 1/2। अधिकतर, अंश और हर के बीच की रेखा तिरछी के बजाय क्षैतिज रूप से खींची जाती है। एक दशमलव अंश को अल्पविराम के साथ एक साधारण संख्या के रूप में लिखा जाता है: उदाहरण के लिए, 1.25; 0.35, आदि.

तो, कैलकुलेटर के बिना किसी अंश को दशमलव में बदलने के लिए आपको यह करना होगा:

सामान्य भिन्न के हर पर ध्यान दें। यदि हर को अंश के समान संख्या से आसानी से 10 तक गुणा किया जा सकता है, तो आपको इस विधि को सबसे सरल के रूप में उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, सामान्य अंश 1/2 को अंश और हर में 5 से आसानी से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप संख्या 5/10 होती है, जिसे पहले से ही दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है: 0.5। यह नियम इस तथ्य पर आधारित है कि दशमलव भिन्न में हमेशा एक हर होता है गोल संख्या: 10, 100, 1000 और समान। इसलिए, यदि आप किसी भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं, तो गुणन के परिणामस्वरूप हर में बिल्कुल वही संख्या प्राप्त करना आवश्यक है, भले ही अंश में कुछ भी प्राप्त हो।

सामान्य भिन्न होते हैं, जिनकी गणना गुणन के बाद कुछ कठिनाइयाँ प्रस्तुत करती है। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि हर में उपरोक्त संख्याओं में से एक प्राप्त करने के लिए भिन्न 5/16 को कितना गुणा किया जाना चाहिए। इस मामले में, आपको सामान्य विभाजन का उपयोग करना चाहिए, जो एक कॉलम में किया जाता है। उत्तर दशमलव अंश होना चाहिए, जो स्थानांतरण कार्रवाई के अंत को चिह्नित करेगा। उपरोक्त उदाहरण में, परिणामी संख्या 0.3125 है। यदि किसी कॉलम में गणना करना कठिन है, तो आप कैलकुलेटर की सहायता के बिना नहीं कर सकते।

अंत में, कुछ सामान्य भिन्न होते हैं जिन्हें दशमलव में नहीं बदला जा सकता। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 4/3 को परिवर्तित करते समय, परिणाम 1.33333 होता है, जहां तीन को अनंत काल तक दोहराया जाता है। कैलकुलेटर को भी दोहराए जाने वाले तीन से छुटकारा नहीं मिलेगा। ऐसे कई भिन्न हैं, बस आपको उन्हें जानने की जरूरत है। उपरोक्त स्थिति से बाहर निकलने का एक रास्ता गोलाई हो सकता है, यदि उदाहरण या हल की जा रही समस्या की स्थितियाँ गोलाई की अनुमति देती हैं। यदि स्थितियाँ इसकी अनुमति नहीं देती हैं, और उत्तर बिल्कुल दशमलव अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए, तो इसका मतलब है कि उदाहरण या समस्या गलत तरीके से हल की गई थी, और आपको त्रुटि खोजने के लिए कई कदम पीछे जाना चाहिए।

इस प्रकार, भिन्न को दशमलव में बदलना काफी सरल है, और कैलकुलेटर की सहायता के बिना इस कार्य को करना मुश्किल नहीं है। विधि 1 में वर्णित विपरीत चरणों का पालन करके दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना और भी आसान है।

वीडियो: छठी कक्षा. भिन्न को दशमलव में बदलना.

गणितीय-कैलकुलेटर-ऑनलाइन v.1.0

कैलकुलेटर कार्य करता है निम्नलिखित परिचालन: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, दशमलव के साथ काम करना, मूल निकालना, घातांक, प्रतिशत गणना और अन्य संचालन।

समाधान:

गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चाबी	पद का नाम	स्पष्टीकरण
5	संख्या 0-9	अरबी अंक. प्राकृतिक पूर्णांक दर्ज करना, शून्य. ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए, आपको +/- कुंजी दबानी होगी
.	अर्धविराम)	दशमलव अंश को इंगित करने के लिए विभाजक। यदि बिंदु (अल्पविराम) से पहले कोई संख्या नहीं है, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से बिंदु से पहले शून्य डाल देगा। उदाहरण के लिए: .5 - 0.5 लिखा जाएगा
+	पलस हसताक्षर	संख्याएँ जोड़ना (पूर्णांक, दशमलव)
-	ऋण चिह्न	संख्याओं को घटाना (पूर्णांक, दशमलव)
÷	विभाजन चिन्ह	विभाजक संख्याएँ (पूर्णांक, दशमलव)
एक्स	गुणन चिन्ह	संख्याओं का गुणन (पूर्णांक, दशमलव)
√	जड़	किसी संख्या का मूल निकालना. जब आप "रूट" बटन को दोबारा दबाते हैं, तो परिणाम के रूट की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए: 16 का मूल = 4; 4 का मूल = 2
एक्स 2	बराबरी	किसी संख्या का वर्ग निकालना. जब आप "वर्गीकरण" बटन को दोबारा दबाते हैं, तो परिणाम वर्गांकित हो जाता है, उदाहरण के लिए: वर्ग 2 = 4; वर्ग 4 = 16
1/x	अंश	दशमलव अंशों में आउटपुट. अंश 1 है, हर दर्ज की गई संख्या है
%	प्रतिशत	किसी संख्या का प्रतिशत प्राप्त करना। काम करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: वह संख्या जिससे प्रतिशत की गणना की जाएगी, चिह्न (प्लस, माइनस, विभाजित, गुणा), संख्यात्मक रूप में कितने प्रतिशत, "%" बटन
(	खुला कोष्ठक	गणना प्राथमिकता निर्दिष्ट करने के लिए एक खुला कोष्ठक। एक बंद कोष्ठक आवश्यक है. उदाहरण: (2+3)*2=10
)	बंद कोष्ठक	गणना प्राथमिकता निर्दिष्ट करने के लिए एक बंद कोष्ठक। एक खुला कोष्ठक आवश्यक है
±	धन ऋण	उलटा संकेत
=	के बराबर होती है	समाधान का परिणाम प्रदर्शित करता है. कैलकुलेटर के ऊपर, "समाधान" फ़ील्ड में, मध्यवर्ती गणना और परिणाम प्रदर्शित होते हैं।
←	एक चरित्र हटाना	अंतिम अक्षर हटा देता है
साथ	रीसेट	बटन को रीसेट करें। कैलकुलेटर को पूरी तरह से "0" स्थिति पर रीसेट कर देता है

उदाहरणों का उपयोग करके ऑनलाइन कैलकुलेटर का एल्गोरिदम

जोड़ना।

प्राकृत पूर्णांकों का योग (5 + 7 = 12)

संपूर्ण प्राकृतिक का जोड़ और नकारात्मक संख्याएँ { 5 + (-2) = 3 }

दशमलव भिन्नों को जोड़ना (0.3 + 5.2 = 5.5)

घटाव.

प्राकृत पूर्णांकों को घटाने पर (7 - 5 = 2)

प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों को घटाने पर (5 - (-2) = 7)

दशमलव भिन्नों को घटाना (6.5 - 1.2 = 4.3)

गुणन.

प्राकृत पूर्णांकों का गुणनफल (3 * 7 = 21)

प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल (5 * (-3) = -15 )

दशमलव भिन्नों का गुणनफल (0.5 * 0.6 = 0.3)

विभाजन।

प्राकृत पूर्णांकों का विभाजन (27/3=9)

प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों का विभाजन (15 / (-3) = -5)

दशमलव भिन्नों का विभाजन (6.2/2 = 3.1)

किसी संख्या का मूल निकालना.

किसी पूर्णांक का मूल निकालना (मूल(9) = 3)

दशमलव भिन्नों का मूल निकालना (मूल(2.5) = 1.58)

संख्याओं के योग का मूल निकालना (मूल(56 + 25) = 9)

संख्याओं के बीच अंतर का मूल निकालना (मूल (32 – 7) = 5)

किसी संख्या का वर्ग निकालना.

एक पूर्णांक का वर्ग करने पर ((3)2=9)

दशमलव का वर्ग करना ((2,2)2 = 4.84)

दशमलव भिन्नों में रूपांतरण.

किसी संख्या के प्रतिशत की गणना करना

संख्या 230 को 15% बढ़ाएँ (230 + 230 * 0.15 = 264.5)

संख्या 510 को 35% कम करें (510 - 510 * 0.35 = 331.5)

संख्या 140 का 18% है (140 * 0.18 = 25.2)

भिन्नों पर सामग्री और क्रमिक रूप से अध्ययन करें। आपके लिए नीचे विस्तार में जानकारीउदाहरण और स्पष्टीकरण के साथ.

1. एक सामान्य भिन्न में मिश्रित संख्या।आइए इसे लिखें सामान्य रूप से देखेंसंख्या:

हमें एक सरल नियम याद है - हम पूरे भाग को हर से गुणा करते हैं और अंश जोड़ते हैं, अर्थात:

उदाहरण:

2. इसके विपरीत, एक साधारण भिन्न को मिश्रित संख्या में। *बेशक, यह केवल इसके साथ ही किया जा सकता है अनुचित अंश(जब अंश हर से बड़ा हो)।

"छोटी" संख्याओं के साथ, सामान्य तौर पर, कोई कार्रवाई करने की आवश्यकता नहीं होती है, उदाहरण के लिए, अंश:

*अधिक जानकारी:

15:13 = 1 शेष 2

4:3 = 1 शेष 1

9:5 = 1 शेष 4

लेकिन यदि संख्याएँ अधिक हैं, तो आप गणना के बिना नहीं रह सकते। यहां सब कुछ सरल है - अंश को हर से एक कोने से विभाजित करें जब तक कि शेष भाजक से कम न हो जाए। प्रभाग योजना:

उदाहरण के लिए:

*हमारा अंश लाभांश है, हर भाजक है।

हमें पूर्ण भाग (अपूर्ण भागफल) और शेषफल प्राप्त होता है। हम एक पूर्णांक लिखते हैं, फिर एक भिन्न (अंश में शेषफल होता है, लेकिन हर वही रहता है):

3. दशमलव को साधारण में बदलें।

आंशिक रूप से पहले पैराग्राफ में, जहाँ हमने दशमलव भिन्नों के बारे में बात की थी, हम पहले ही इस पर चर्चा कर चुके हैं। हम जैसा सुनते हैं, वैसा ही लिख लेते हैं। उदाहरण के लिए - 0.3; 0.45; 0.008; 4.38; 10.00015

हमारे पास पूर्णांक भाग के बिना पहले तीन भिन्न हैं। और चौथे और पांचवें में यह है, आइए उन्हें सामान्य में परिवर्तित करें, हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:

*हम देखते हैं कि भिन्नों को भी कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 और अन्य, लेकिन हम यहां ऐसा नहीं करेंगे। कटौती के संबंध में आपको नीचे एक अलग पैराग्राफ मिलेगा, जहां हम हर चीज का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

4. साधारण को दशमलव में बदलें।

यह इतना आसान नहीं है। कुछ भिन्नों के साथ यह तुरंत स्पष्ट और स्पष्ट हो जाता है कि इसके साथ क्या किया जाए ताकि यह दशमलव बन जाए, उदाहरण के लिए:

हम भिन्न के अपने अद्भुत मूल गुण का उपयोग करते हैं - हम अंश और हर को क्रमशः 5, 25, 2, 5, 4, 2 से गुणा करते हैं, और हमें मिलता है:

यदि कोई संपूर्ण भाग है, तो यह जटिल भी नहीं है:

हम भिन्नात्मक भाग को क्रमशः 2, 25, 2 और 5 से गुणा करते हैं, और प्राप्त करते हैं:

और कुछ ऐसे भी हैं जिनके लिए अनुभव के बिना यह निर्धारित करना असंभव है कि उन्हें दशमलव में बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए:

हमें अंश और हर को किन संख्याओं से गुणा करना चाहिए?

यहां फिर से एक सिद्ध विधि बचाव के लिए आती है - एक कोने से विभाजन, एक सार्वभौमिक विधि, आप इसका उपयोग हमेशा एक सामान्य अंश को दशमलव में बदलने के लिए कर सकते हैं:

इस तरह आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि भिन्न को दशमलव में बदला गया है या नहीं। तथ्य यह है कि प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता, उदाहरण के लिए, जैसे 1/9, 3/7, 7/26 को दशमलव में नहीं बदला जाता है। तो फिर 1 को 9 से, 3 को 7 से, 5 को 11 से विभाजित करने पर क्या भिन्न प्राप्त होती है? मेरा उत्तर अनंत दशमलव है (हमने पैराग्राफ 1 में उनके बारे में बात की थी)। आइए विभाजित करें:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।