सामान्य भिन्न, भिन्नों की कमी हैं। भिन्नों को कम करना। भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

भिन्न को कम करने का तरीका जानने और ऐसे उदाहरणों को हल करने में स्थिर कौशल के बिना, स्कूल में बीजगणित का अध्ययन करना बहुत मुश्किल है। आप जितना आगे बढ़ेंगे, उतना ही यह भिन्नों को कम करने के आपके बुनियादी ज्ञान में हस्तक्षेप करेगा। नई जानकारी. सबसे पहले, शक्तियां प्रकट होती हैं, फिर कारक, जो बाद में बहुपद बन जाते हैं।

आप यहां भ्रमित होने से कैसे बच सकते हैं? पिछले विषयों में कौशल को पूरी तरह से समेकित करें और धीरे-धीरे एक अंश को कम करने के ज्ञान के लिए तैयारी करें, जो साल-दर-साल और अधिक जटिल होता जाता है।

बुनियादी ज्ञान

इनके बिना आप किसी भी स्तर के कार्यों का सामना नहीं कर पाएंगे। समझने के लिए आपको दो आसान बातें समझनी होंगी. पहला: आप केवल कारकों को कम कर सकते हैं। जब अंश या हर में बहुपद आते हैं तो यह बारीकियां बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। फिर आपको स्पष्ट रूप से अंतर करने की आवश्यकता है कि गुणक कहां है और जोड़ कहां है।

दूसरा बिंदु कहता है कि किसी भी संख्या को गुणनखंडों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, कमी का परिणाम एक भिन्न है जिसका अंश और हर अब कम नहीं किया जा सकता है।

सामान्य भिन्नों को कम करने के नियम

सबसे पहले, आपको यह जांचना चाहिए कि अंश हर से विभाज्य है या इसके विपरीत। फिर यही वह संख्या है जिसे कम करने की जरूरत है। यह सबसे सरल विकल्प है.

दूसरा है विश्लेषण उपस्थितिनंबर. यदि दोनों एक या अधिक शून्य पर समाप्त होते हैं, तो उन्हें 10, 100 या एक हजार तक छोटा किया जा सकता है। यहां आप देख सकते हैं कि संख्याएं सम हैं या नहीं। यदि हां, तो आप इसे सुरक्षित रूप से दो से काट सकते हैं।

भिन्न को कम करने का तीसरा नियम अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना है। इस समय, आपको संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के बारे में अपने सभी ज्ञान का सक्रिय रूप से उपयोग करने की आवश्यकता है। इस अपघटन के बाद, जो कुछ बचता है वह है सभी दोहराई जाने वाली संख्याओं को ढूंढना, उन्हें गुणा करना और परिणामी संख्या से उन्हें कम करना।

यदि भिन्न में बीजगणितीय व्यंजक हो तो क्या होगा?

यहीं पर पहली कठिनाइयाँ सामने आती हैं। क्योंकि यहीं पर ऐसे शब्द प्रकट होते हैं जो कारकों के समान हो सकते हैं। मैं वास्तव में उन्हें कम करना चाहता हूं, लेकिन मैं नहीं कर सकता। इससे पहले कि आप किसी बीजगणितीय भिन्न को कम कर सकें, उसे इस प्रकार परिवर्तित किया जाना चाहिए कि उसमें गुणनखंड हों।

ऐसा करने के लिए, आपको कई चरण पूरे करने होंगे. आपको उन सभी से गुज़रने की आवश्यकता हो सकती है, या शायद पहला वाला एक उपयुक्त विकल्प प्रदान करेगा।

जांचें कि क्या अंश और हर या उनमें कोई अभिव्यक्ति चिह्न से भिन्न है। इस मामले में, आपको बस कोष्ठक में से ऋण एक लगाना होगा। इससे समान कारक उत्पन्न होते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

देखें कि क्या कोष्ठक के बाहर बहुपद से उभयनिष्ठ गुणनखंड को हटाना संभव है। शायद इसके परिणामस्वरूप एक कोष्ठक बनेगा, जिसे छोटा भी किया जा सकता है, या यह एक हटा दिया गया एकपदी होगा।

एकपदी को समूहीकृत करने का प्रयास करें ताकि उनमें एक सामान्य गुणनखंड जोड़ा जा सके। इसके बाद, यह पता चल सकता है कि ऐसे कारक होंगे जिन्हें कम किया जा सकता है, या फिर से सामान्य तत्वों की ब्रैकेटिंग दोहराई जाएगी।

लिखित रूप में संक्षिप्त गुणन सूत्रों पर विचार करने का प्रयास करें। इनकी सहायता से आप बहुपदों को आसानी से गुणनखंडों में बदल सकते हैं।

घातों के साथ भिन्नों के साथ संक्रियाओं का क्रम

घातों के साथ भिन्न को कैसे कम किया जाए, इस प्रश्न को आसानी से समझने के लिए, आपको उनके साथ बुनियादी संचालन को दृढ़ता से याद रखने की आवश्यकता है। इनमें से पहला शक्तियों के गुणन से संबंधित है। इस मामले में, यदि आधार समान हैं, तो संकेतक जोड़े जाने चाहिए।

दूसरा है विभाजन. फिर, जिनके कारण समान हैं, उनके लिए संकेतकों को घटाना होगा। इसके अलावा, आपको उस संख्या से घटाना होगा जो लाभांश में है, न कि इसके विपरीत।

तीसरा है घातांक। इस स्थिति में, संकेतक कई गुना बढ़ जाते हैं।

सफल कमी के लिए समान आधारों पर शक्तियों को कम करने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। अर्थात्, यह देखना कि चार दो वर्ग हैं। या 27 - तीन का घन. क्योंकि 9 वर्ग और 3 घन कम करना कठिन है। लेकिन यदि हम पहले व्यंजक को (3 2) 2 के रूप में रूपांतरित करें तो कमी सफल होगी।

इस पाठ में हम भिन्न के मूल गुण का अध्ययन करेंगे, पता लगाएंगे कि कौन सी भिन्न एक दूसरे के बराबर हैं। हम भिन्नों को कम करना सीखेंगे, यह निर्धारित करेंगे कि कोई भिन्न कम करने योग्य है या नहीं, भिन्नों को कम करने का अभ्यास करेंगे, और सीखेंगे कि कब संकुचन का उपयोग करना है और कब नहीं।

लोरेम इप्सम डोलर सिट अमेट, कंसेक्टेचर एडिपिसिसिंग एलीट। एडिपिस्की ऑटेम बीटा कंसेक्टेचर कॉर्पोरिस डोलोरेस ईए, ईयूस, एस्से आईडी इलो इन्वेंटोर इस्टे मोलिटिया नेमो नेससिअंट निसी ओबकेकाटी ऑप्टियो सिमिलिक टेम्पोर वॉलुप्टेट!

एडिपिस्की उर्फ ​​असेंडेंडा कंसीक्वेटुर कपिडिटेट, एक्स आईडी मिनिमा क्वाम रेम सिंट विटे? एनिमी डोलोरेस ईयरम एनिम फुगिट मैग्नी निहिल ओडिट प्रोविडेंट क्वाएरेट। एलिक्विड एस्परनेचर इओस एस्से मैग्नम मेयोरेस नेसेसिटेटिबस, नल्ला?

यह जानकारी पंजीकृत उपयोगकर्ताओं के लिए उपलब्ध है

भिन्न का मुख्य गुण

इस स्थिति की कल्पना कीजिए.

मेज पर 3 व्यक्ति और 5 सेब शेयर करना 5 तीन के लिए सेब. सभी को \(\mathbf(\frac(5)(3))\) सेब मिलते हैं।

और अगली टेबल पर 3 व्यक्ति और भी 5 सेब प्रत्येक फिर से \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

कुल मिलाकर 10 सेब 6 इंसान। प्रत्येक \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

लेकिन यह वही बात है.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

ये भिन्न समतुल्य हैं.

आप लोगों की संख्या दोगुनी कर सकते हैं और सेबों की संख्या दोगुनी कर सकते हैं। नतीजा वही होगा.

गणित में इसे इस प्रकार तैयार किया जाता है:

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (0 के बराबर नहीं) से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो नया भिन्न मूल के बराबर होगा.

इस संपत्ति को कभी-कभी "कहा जाता है" भिन्न का मुख्य गुण ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

उदाहरण के लिए, शहर से गाँव तक का रास्ता - 14 किमी.

हम सड़क पर चलते हैं और किलोमीटर मार्करों द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करते हैं। छह कॉलम, छह किलोमीटर चलने के बाद, हम समझते हैं कि हमने \(\mathbf(\frac(6)(14))\) दूरी तय कर ली है।

लेकिन अगर हमें खंभे दिखाई नहीं देते (शायद वे लगाए ही नहीं गए थे), तो हम सड़क के किनारे लगे बिजली के खंभों का उपयोग करके पथ की गणना कर सकते हैं। उनका 40 हर किलोमीटर के लिए टुकड़े. यानी कुल मिलाकर 560 सब तरह से। छह किलोमीटर - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) खंभे। यानी हम पास हो गए हैं 240 से 560 स्तंभ-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

उदाहरण 1

निर्देशांक के साथ एक बिंदु चिह्नित करें ( 5; 7 ) समन्वय तल पर एक्सओवाई. यह भिन्न \(\mathbf(\frac(5)(7))\) के अनुरूप होगा

निर्देशांक के मूल को परिणामी बिंदु से जोड़ें। एक अन्य बिंदु का निर्माण करें जिसके निर्देशांक पिछले बिंदु से दोगुने हों। आपको कौन सा अंश मिला? क्या वे बराबर होंगे?

समाधान

निर्देशांक तल पर एक भिन्न को एक बिंदु से चिह्नित किया जा सकता है। भिन्न \(\mathbf(\frac(5)(7))\) का प्रतिनिधित्व करने के लिए, निर्देशांक के साथ बिंदु को चिह्नित करें 5 अक्ष के अनुदिश वाईऔर 7 अक्ष के अनुदिश एक्स. आइए मूल बिंदु से अपने बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचें।

भिन्न \(\mathbf(\frac(10)(14))\) के अनुरूप बिंदु भी उसी रेखा पर स्थित होगा

वे समतुल्य हैं: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

यह आलेख बीजीय भिन्नों को परिवर्तित करने के विषय को जारी रखता है: बीजगणितीय भिन्नों को कम करने जैसी क्रिया पर विचार करें। आइए शब्द को स्वयं परिभाषित करें, कमी नियम बनाएं और व्यावहारिक उदाहरणों का विश्लेषण करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

बीजगणितीय भिन्न को घटाने का अर्थ

सामान्य भिन्नों के बारे में सामग्री में, हमने इसकी कमी पर ध्यान दिया। हमने किसी भिन्न को कम करने को उसके अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया है।

बीजगणितीय भिन्न को कम करना एक समान ऑपरेशन है।

परिभाषा 1

बीजगणितीय भिन्न को कम करनाएक सामान्य कारक द्वारा इसके अंश और हर का विभाजन है। इस मामले में, एक साधारण भिन्न (सामान्य हर केवल एक संख्या हो सकता है) की कमी के विपरीत, एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का सामान्य गुणनखंड एक बहुपद, विशेष रूप से, एक एकपदी या एक संख्या हो सकता है।

उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्न 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 को संख्या 3 से कम किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . हम उसी भिन्न को वेरिएबल x से कम कर सकते हैं, और इससे हमें अभिव्यक्ति 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 प्राप्त होगी। किसी दिए गए भिन्न को एकपदी से कम करना भी संभव है 3 एक्सया कोई बहुपद एक्स + 2 वाई, 3 एक्स + 6 वाई , एक्स 2 + 2 एक्स वाई या 3 x 2 + 6 x y.

बीजगणितीय भिन्न को कम करने का अंतिम लक्ष्य उससे बड़ा भिन्न है सरल प्रकार, सर्वोत्तम रूप से, एक अप्रासंगिक अंश है।

क्या सभी बीजगणितीय भिन्नों में कमी की जा सकती है?

पुनः, सामान्य भिन्नों की सामग्री से, हम जानते हैं कि न्यूनीकरणीय और अप्रासंगिक भिन्न होते हैं। इरेड्यूसिबल भिन्न वे भिन्न होते हैं जिनके अंश और हर में 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता है।

बीजगणितीय भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: उनके अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हो सकते हैं, या नहीं भी हो सकते हैं। सामान्य कारकों की उपस्थिति आपको कटौती के माध्यम से मूल अंश को सरल बनाने की अनुमति देती है। जब कोई सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो कटौती विधि का उपयोग करके किसी दिए गए अंश को अनुकूलित करना असंभव है।

में सामान्य मामलेद्वारा दिया गया प्रकारएक अंश के लिए यह समझना काफी कठिन है कि क्या इसे कम किया जा सकता है। बेशक, कुछ मामलों में अंश और हर के बीच एक सामान्य कारक की उपस्थिति स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय भिन्न 3 x 2 3 y में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ गुणनखंड संख्या 3 है।

भिन्न - x · y 5 · x · y · z 3 में हम यह भी तुरंत समझ जाते हैं कि इसे x, या y, या x · y से कम किया जा सकता है। और फिर भी, बहुत अधिक बार बीजीय भिन्नों के उदाहरण होते हैं, जब अंश और हर का सामान्य गुणनखंड देखना इतना आसान नहीं होता है, और इससे भी अधिक बार, यह बस अनुपस्थित होता है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न x 3 - 1 x 2 - 1 को x - 1 से कम कर सकते हैं, जबकि निर्दिष्ट सामान्य गुणनखंड प्रविष्टि में मौजूद नहीं है। लेकिन भिन्न x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 को कम नहीं किया जा सकता, क्योंकि अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

इस प्रकार, बीजगणितीय अंश की न्यूनता निर्धारित करने का प्रश्न इतना सरल नहीं है, और किसी दिए गए रूप के अंश के साथ काम करना अक्सर यह पता लगाने की तुलना में आसान होता है कि यह न्यूनीकरणीय है या नहीं। इस मामले में, ऐसे परिवर्तन होते हैं जिससे विशेष मामलों में अंश और हर के सामान्य गुणनखंड को निर्धारित करना या किसी भिन्न की अपरिवर्तनीयता के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव हो जाता है। हम लेख के अगले पैराग्राफ में इस मुद्दे की विस्तार से जांच करेंगे।

बीजगणितीय भिन्नों को कम करने का नियम

बीजगणितीय भिन्नों को कम करने का नियमइसमें दो क्रमिक क्रियाएं शामिल हैं:

• अंश और हर के सामान्य गुणनखंड ढूँढना;
• यदि कोई पाया जाता है, तो अंश को कम करने की कार्रवाई सीधे की जाती है।

सामान्य हर ज्ञात करने की सबसे सुविधाजनक विधि किसी दिए गए बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करना है। यह आपको सामान्य कारकों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को तुरंत स्पष्ट रूप से देखने की अनुमति देता है।

बीजगणितीय अंश को कम करने की क्रिया ही बीजगणितीय अंश की मुख्य संपत्ति पर आधारित होती है, जिसे अपरिभाषित समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां ए, बी, सी कुछ बहुपद हैं, और बी और सी गैर-शून्य हैं। पहला कदम अंश को a · c b · c के रूप में कम करना है, जिसमें हम तुरंत सामान्य कारक c को नोटिस करते हैं। दूसरा चरण कमी करना है, अर्थात। फॉर्म ए बी के एक अंश में संक्रमण।

विशिष्ट उदाहरण

कुछ स्पष्टता के बावजूद, आइए इसके बारे में स्पष्ट करें विशेष मामलाजब किसी बीजगणितीय भिन्न का अंश और हर बराबर हो। इस भिन्न के चरों के संपूर्ण ODZ पर समान भिन्न समान रूप से 1 के बराबर हैं:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; एक्स एक्स = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · एक्स - एक्स 2 · वाई 1 2 · एक्स - एक्स 2 · वाई ;

क्योंकि सामान्य भिन्नबीजगणितीय भिन्नों का एक विशेष मामला है, आइए याद करें कि उनकी कमी कैसे की जाती है। अंश और हर में लिखी प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है, फिर सामान्य गुणनखंड रद्द कर दिए जाते हैं (यदि कोई हो)।

उदाहरण के लिए, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

सरल समान कारकों के उत्पाद को शक्तियों के रूप में लिखा जा सकता है, और एक अंश को कम करने की प्रक्रिया में, समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग किया जा सकता है। तब उपरोक्त समाधान होगा:

24 1260 = 2 3 3 2 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित किया जाता है 2 2 3). या स्पष्टता के लिए, गुणा और भाग के गुणों के आधार पर, हम समाधान को निम्नलिखित रूप देते हैं:

24 1260 = 2 3 3 2 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

सादृश्य द्वारा, बीजीय भिन्नों की कमी की जाती है, जिसमें अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले एकपदी होते हैं।

उदाहरण 1

बीजीय भिन्न दिया गया है - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. इसे कम करने की जरूरत है.

समाधान

किसी दिए गए भिन्न के अंश और हर को सरल गुणनखंडों और चरों के गुणनफल के रूप में लिखना और फिर कमी करना संभव है:

27 · ए 5 · बी 2 · सी · जेड 6 · ए 2 · बी 2 · सी 7 · जेड = - 3 · 3 · 3 · ए · ए · ए · ए · ए · बी · बी · सी · जेड 2 · 3 · ए · ए · बी · बी · सी · सी · सी · सी · सी · सी · सी · जेड = = - 3 · 3 · ए · ए · ए 2 · सी · सी · सी · सी · सी · सी = - 9 ए 3 2 सी 6

हालाँकि, समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखना अधिक तर्कसंगत तरीका होगा:

27 · ए 5 · बी 2 · सी · जेड 6 · ए 2 · बी 2 · सी 7 · जेड = - 3 3 · ए 5 · बी 2 · सी · जेड 2 · 3 · ए 2 · बी 2 · सी 7 · जेड = - 3 3 2 · 3 · ए 5 ए 2 · बी 2 बी 2 · सी सी 7 · जेड जेड = = - 3 3 - 1 2 · ए 5 - 2 1 · 1 · 1 सी 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · ए 3 2 · सी 6 = · - 9 · ए 3 2 · सी 6।

उत्तर:- 27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 9 ए 3 2 सी 6

जब किसी बीजीय भिन्न के अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो आगे की कार्रवाई के दो संभावित तरीके होते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को एक निश्चित से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। प्राकृतिक संख्या. अंतिम परिवर्तन बीजगणितीय अंश की मूल संपत्ति के कारण किया जाता है (आप इसके बारे में लेख "बीजगणितीय अंश को एक नए हर में कम करना" में पढ़ सकते हैं)।

उदाहरण 2

दिया गया भिन्न 2 5 x 0, 3 x 3 है। इसे कम करने की जरूरत है.

समाधान

भिन्न को इस प्रकार कम करना संभव है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

आइए पहले भिन्नात्मक गुणांकों से छुटकारा पाकर समस्या को अलग ढंग से हल करने का प्रयास करें - इन गुणांकों के हर के लघुत्तम समापवर्त्य से अंश और हर को गुणा करें, अर्थात। एलसीएम (5,10) = 10 पर। तब हमें मिलता है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2।

उत्तर: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

जब हम बीजगणितीय भिन्नों को कम करते हैं सामान्य रूप से देखें, जिसमें अंश और हर या तो एकपदी या बहुपद हो सकते हैं, एक समस्या हो सकती है जब सामान्य कारक हमेशा तुरंत दिखाई नहीं देता है। या इसके अलावा, इसका अस्तित्व ही नहीं है। फिर, सामान्य गुणनखंड को निर्धारित करने या उसकी अनुपस्थिति के तथ्य को रिकॉर्ड करने के लिए, बीजीय भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड किया जाता है।

उदाहरण 3

तर्कसंगत भिन्न 2 · ए 2 · बी 2 + 28 · ए · बी 2 + 98 · बी 2 ए 2 · बी 3 - 49 · बी 3 दिया गया है। इसे कम करने की जरूरत है.

समाधान

आइए अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करें। आइए इसे कोष्ठक से बाहर रखें:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49)

हम देखते हैं कि कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7)

यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक सामान्य गुणनखंड द्वारा भिन्न को कम करना संभव है बी 2 (ए + 7). आइए कमी करें:

2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

आइए समानताओं की श्रृंखला के रूप में स्पष्टीकरण के बिना एक संक्षिप्त समाधान लिखें:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

उत्तर: 2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी।

ऐसा होता है कि सामान्य गुणनखंड संख्यात्मक गुणांकों द्वारा छिपे होते हैं। फिर, भिन्नों को कम करते समय, अंश और हर की उच्च घात वाले संख्यात्मक कारकों को कोष्ठक से बाहर रखना इष्टतम होता है।

उदाहरण 4

बीजीय भिन्न 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 दिया गया है। यदि संभव हो तो इसे कम करना आवश्यक है।

समाधान

पहली नज़र में, अंश और हर में एक सामान्य हर नहीं है। हालाँकि, आइए दिए गए भिन्न को बदलने का प्रयास करें। आइए अंश में गुणनखंड x निकालें:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

अब आप x 2 y के कारण कोष्ठक में दिए गए व्यंजक और हर में दिए गए व्यंजक के बीच कुछ समानता देख सकते हैं . आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों के संख्यात्मक गुणांक निकालें:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

अब सामान्य कारक दिखाई देने लगता है, हम कटौती करते हैं:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

उत्तर: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि परिमेय भिन्नों को कम करने का कौशल बहुपदों का गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करता है।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

तो हम कटौती पर पहुंच गए। भिन्न का मूल गुण यहाँ लागू किया गया है। लेकिन! इतना आसान नहीं। कई अंशों (स्कूल पाठ्यक्रम सहित) के साथ, उनके साथ काम करना काफी संभव है। यदि हम "अधिक आकस्मिक" भिन्नों को लें तो क्या होगा? आओ हम इसे नज़दीक से देखें!मैं भिन्नों वाली सामग्रियों को देखने की सलाह देता हूँ।

तो, हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा और विभाजित किया जा सकता है, भिन्न नहीं बदलेगा। आइए तीन दृष्टिकोणों पर विचार करें:

एक के पास जाओ.

घटाने के लिए अंश और हर को इससे विभाजित करें सामान्य भाजक. आइए उदाहरण देखें:

आइए छोटा करें:

दिए गए उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि कमी के लिए कौन सा भाजक लेना है। प्रक्रिया सरल है - हम 2,3,4,5 वगैरह से गुजरते हैं। अधिकांश स्कूल पाठ्यक्रम उदाहरणों में, यह काफी है। लेकिन अगर यह एक अंश है:

यहां भाजक चुनने की प्रक्रिया में लंबा समय लग सकता है;)। बेशक, ऐसे उदाहरण स्कूली पाठ्यक्रम से बाहर हैं, लेकिन आपको उनसे निपटने में सक्षम होने की आवश्यकता है। नीचे हम देखेंगे कि यह कैसे किया जाता है। अभी के लिए, चलिए आकार घटाने की प्रक्रिया पर वापस आते हैं।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, किसी भिन्न को कम करने के लिए, हम अपने द्वारा निर्धारित सामान्य भाजक (ओं) से विभाजित करते हैं। सब कुछ सही है! किसी को केवल संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न जोड़ने हैं:

- यदि संख्या सम है तो वह 2 से विभाज्य होती है।

- यदि कोई संख्या अंतिम दो अंकों से 4 से विभाज्य है, तो वह संख्या स्वयं भी 4 से विभाज्य है।

— यदि संख्या बनाने वाले अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. बारह, 3 से विभाज्य है, इसलिए 123031, 3 से विभाज्य है।

- यदि संख्या 5 या 0 पर समाप्त होती है, तो वह संख्या 5 से विभाज्य है।

— यदि संख्या बनाने वाले अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. अठारह, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 623032, 9 से विभाज्य है।

दूसरा दृष्टिकोण.

संक्षेप में कहें तो, वास्तव में, पूरी क्रिया अंश और हर का गुणनखंड करने और फिर अंश और हर में समान गुणनखंडों को कम करने तक सीमित हो जाती है (यह दृष्टिकोण पहले दृष्टिकोण का परिणाम है):

दृष्टिगत रूप से, भ्रम और गलतियों से बचने के लिए, समान कारकों को आसानी से काट दिया जाता है। प्रश्न - किसी संख्या का गुणनखंड कैसे करें? सभी विभाजकों को खोजकर निर्धारित करना आवश्यक है। यह एक अलग विषय है, यह जटिल नहीं है, पाठ्यपुस्तक या इंटरनेट पर जानकारी देखें। आपको स्कूल भिन्नों में मौजूद संख्याओं का गुणनखंड करने में कोई बड़ी समस्या नहीं आएगी।

औपचारिक रूप से, कमी सिद्धांत को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

तीन तक पहुंचें.

यहां उन्नत और उन लोगों के लिए सबसे दिलचस्प बात है जो एक बनना चाहते हैं। आइए अंश 143/273 को कम करें। खुद कोशिश करना! अच्छा, यह इतनी जल्दी कैसे हो गया? नया रूप!

हम इसे पलट देते हैं (हम अंश और हर के स्थान बदलते हैं)। हम परिणामी भिन्न को एक कोने से विभाजित करते हैं और इसे मिश्रित संख्या में परिवर्तित करते हैं, अर्थात हम पूरे भाग का चयन करते हैं:

यह पहले से आसान है. हम देखते हैं कि अंश और हर को 13 से कम किया जा सकता है:

अब भिन्न को दोबारा पलटना न भूलें, आइए पूरी शृंखला लिखें:

जांचा गया - विभाजकों को खोजने और जांचने की तुलना में इसमें कम समय लगता है। आइए अपने दो उदाहरणों पर वापस लौटें:

पहला। एक कोने से विभाजित करें (कैलकुलेटर पर नहीं), हमें मिलता है:

बेशक, यह अंश सरल है, लेकिन कमी फिर से एक समस्या है। अब हम भिन्न 1273/1463 का अलग से विश्लेषण करते हैं और इसे पलटते हैं:

यहाँ यह आसान है. हम 19 जैसे भाजक पर विचार कर सकते हैं। बाकी उपयुक्त नहीं हैं, यह स्पष्ट है: 190:19 = 10, 1273:19 = 67। हुर्रे! आइए लिखें:

अगला उदाहरण. आइए 88179/2717 को छोटा करें।

विभाजित करें, हमें मिलता है:

अलग से, हम भिन्न 1235/2717 का विश्लेषण करते हैं और इसे पलटते हैं:

हम 13 जैसे भाजक पर विचार कर सकते हैं (13 तक उपयुक्त नहीं है):

अंश 247:13=19 हर 1235:13=95

*प्रक्रिया के दौरान हमने 19 के बराबर एक और भाजक देखा। यह पता चला कि:

अब हम मूल संख्या लिखते हैं:

और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्न में क्या बड़ा है - अंश या हर, यदि यह हर है, तो हम इसे पलट देते हैं और बताए अनुसार कार्य करते हैं। इस प्रकार हम किसी भी अंश को कम कर सकते हैं; तीसरे दृष्टिकोण को सार्वभौमिक कहा जा सकता है।

बेशक, ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरण सरल उदाहरण नहीं हैं। आइए इस तकनीक को उन "सरल" भिन्नों पर आज़माएँ जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं:

दो क्वार्टर।

बहत्तर साठ के दशक. अंश, हर से बड़ा है; इसे उलटने की कोई आवश्यकता नहीं है:

बेशक, तीसरे दृष्टिकोण को ऐसे सरल उदाहरणों पर केवल एक विकल्प के रूप में लागू किया गया था। विधि, जैसा कि पहले ही कहा गया है, सार्वभौमिक है, लेकिन सभी भिन्नों के लिए सुविधाजनक और सही नहीं है, विशेषकर सरल भिन्नों के लिए।

भिन्नों की विविधता बहुत बढ़िया है. यह महत्वपूर्ण है कि आप सिद्धांतों को समझें। भिन्नों के साथ काम करने के लिए कोई सख्त नियम ही नहीं है। हमने देखा, पता लगाया कि कैसे कार्य करना अधिक सुविधाजनक होगा, और आगे बढ़े। अभ्यास के साथ, कौशल आ जाएगा और आप उन्हें बीज की तरह तोड़ देंगे।

निष्कर्ष:

यदि आप अंश और हर के लिए एक सामान्य भाजक देखते हैं, तो उन्हें कम करने के लिए उपयोग करें।

यदि आप किसी संख्या का त्वरित गुणनखंड करना जानते हैं, तो अंश और हर का गुणनखंड करें, फिर घटाएँ।

यदि आप सामान्य भाजक निर्धारित नहीं कर सकते हैं, तो तीसरे दृष्टिकोण का उपयोग करें।

* भिन्नों को कम करने के लिए, कटौती के सिद्धांतों में महारत हासिल करना, भिन्न के मूल गुण को समझना, हल करने के तरीकों को जानना और गणना करते समय बेहद सावधान रहना महत्वपूर्ण है।

और याद रखें! किसी भिन्न को तब तक कम करने की प्रथा है जब तक कि वह रुक न जाए, अर्थात उसे तब तक कम करें जब तक एक सामान्य भाजक मौजूद हो।

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

यह उनके मूल गुण पर आधारित है: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य बहुपद से विभाजित किया जाए, तो एक समान भिन्न प्राप्त होगी।

आप केवल गुणकों को कम कर सकते हैं!

बहुपदों के सदस्यों को संक्षिप्त नहीं किया जा सकता!

बीजगणितीय भिन्न को कम करने के लिए, पहले अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करना होगा।

आइए भिन्नों को कम करने के उदाहरण देखें।

भिन्न के अंश और हर में एकपदी होते हैं। वह प्रतिनिधित्व करते हैं काम(संख्याएं, चर और उनकी शक्तियां), मल्टीप्लायरोंहम कम कर सकते हैं.

हम संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से कम करते हैं, अर्थात, द्वारा सबसे बड़ी संख्या, जिससे इनमें से प्रत्येक संख्या को विभाजित किया जाता है। 24 और 36 के लिए यह 12 है। घटाने के बाद, 24 में से 2 और 36 में से 3 बचता है।

हम न्यूनतम सूचकांक वाली डिग्री से डिग्री कम करते हैं। भिन्न को कम करने का अर्थ है अंश और हर को एक ही भाजक से विभाजित करना और घातांक को घटाना।

a² और a⁷ को घटाकर a² कर दिया जाता है। इस स्थिति में, a² के अंश में एक रहता है (हम केवल उस स्थिति में 1 लिखते हैं, जब घटाने के बाद कोई अन्य गुणनखंड नहीं बचता है। 24 में से 2 बचता है, इसलिए हम a² में से 1 शेष नहीं लिखते हैं)। a⁷ से घटाने पर a⁵ बचता है।

बी और बी को बी से कम किया जाता है; परिणामी इकाइयाँ नहीं लिखी जाती हैं।

c³º और c⁵ को छोटा करके c⁵ कर दिया जाता है। C⁵ से जो बचता है वह c²⁵ है, c⁵ से एक है (हम इसे नहीं लिखते हैं)। इस प्रकार,

इस बीजीय भिन्न के अंश और हर बहुपद हैं। आप बहुपदों के पदों को रद्द नहीं कर सकते! (उदाहरण के लिए, आप 8x² और 2x को कम नहीं कर सकते!)। इस अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए। अंश-गणक का सामान्य गुणनखंड 4x है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें:

अंश और हर दोनों का गुणनखंड (2x-3) समान है। हम इस कारक से भिन्न को कम करते हैं। अंश में हमें 4x मिला, हर में - 1. बीजगणितीय भिन्नों के 1 गुण के अनुसार, भिन्न 4x के बराबर है।

आप केवल गुणनखंडों को कम कर सकते हैं (आप इस भिन्न को 25x² तक कम नहीं कर सकते!)। इसलिए, भिन्न के अंश और हर में बहुपद को गुणनखंडित किया जाना चाहिए।

अंश योग का पूर्ण वर्ग है, हर वर्गों का अंतर है। संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके अपघटन के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

हम भिन्न को (5x+1) से कम करते हैं (ऐसा करने के लिए, अंश में दोनों को घातांक के रूप में काट दें, (5x+1)² (5x+1) छोड़ दें):

अंश में 2 का सामान्य गुणनखंड है, आइए इसे कोष्ठक से हटा दें। हर घनों के अंतर का सूत्र है:

विस्तार के परिणामस्वरूप, अंश और हर को समान गुणनखंड (9+3a+a²) प्राप्त हुआ। हम इसके द्वारा भिन्न को कम करते हैं:

अंश में बहुपद में 4 पद होते हैं। पहले पद को दूसरे के साथ, तीसरे को चौथे के साथ, और पहले कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड x² हटा दें। हम घन सूत्र का उपयोग करके हर को विघटित करते हैं:

अंश-गणक में, आइए सामान्य गुणनखंड (x+2) को कोष्ठक से बाहर निकालें:

भिन्न को (x+2) से कम करें: