गिनती की आवश्यकता आदिम समाज के गठन की शुरुआत से ही मनुष्य के लिए स्पष्ट हो गई थी। विशिष्ट के साथ उनकी अपनी संख्या प्रणालियाँ डिजिटल प्रतीक, सभ्यता के सभी अलग-अलग केंद्रों में गठित हुए: मिस्र और प्राचीन बेबीलोन में, चीन और भारत में, दक्षिण अमेरिकी भारतीयों के बीच और में प्राचीन ग्रीस. गणित वस्तुओं की सबसे सरल गिनती से लेकर टोपोलॉजी के सबसे जटिल प्रमेयों को हल करने तक पहुंच गया है। इसके अलावा, संख्या शून्य का इतिहास इस अवधि का केवल एक छोटा सा हिस्सा ही कवर करता है।

संख्या और आंकड़े

लैटिन नलिस ("नहीं") से यह शब्द सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं में से एक को दर्शाता है। इसमें न केवल एक प्रतीक शामिल है - एक संख्या जो गिनती रखने और गणितीय कार्यों को लिखने में मदद करती है। यह एक संपूर्ण अवधारणा है. किसी भी मात्रा, शून्यता, शुरुआत और अनंत की अनुपस्थिति - इन अवधारणाओं के प्रति दार्शनिक दृष्टिकोण अलग-अलग युगों में अलग-अलग था। विभिन्न प्रणालियाँविश्वदृष्टिकोण.

स्थितीय संख्या प्रणाली

प्रागैतिहासिक काल में, उंगलियाँ और पैर की उंगलियाँ गणना में मदद करती थीं। संख्याओं का पाँच और दहाई में विभाजन, दशमलव की उत्पत्ति ठीक इसी से जुड़ी हुई है। बाद में, इन कार्यों को सुविधाजनक बनाने के लिए, लकड़ी और जानवरों की हड्डियों पर निशान, पत्थरों और कंकड़ पर निशान का उपयोग किया गया। गोले और अन्य छोटी वस्तुएँ। ऐसा प्रत्येक तत्व एक विशिष्ट संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। सबसे व्यावहारिक संख्यात्मक मॉडल की प्रकृति समान होती है। ऐसी प्रणालियों को स्थितीय कहा जाता है - संख्याएँ लिखते समय अंकों का अर्थ उनकी स्थिति या अंक से निर्धारित होता है।

एक ऐसी प्रणाली का उदाहरण जो दृष्टिकोण में विपरीत है और आज भी उपयोग की जाती है वह संख्या लिखने की विधि है जो समय से चली आ रही है प्राचीन रोम. यह इकाइयों, दहाई, सैकड़ों को दर्शाने के लिए अक्षरों का उपयोग करता है

अबेकस

एक गिनती बोर्ड जिसमें कुछ रैंकों के अनुरूप अवकाश होता है जिसमें कंकड़ या मोती रखे जाते हैं, संस्कृतियों से परिचित है विभिन्न राष्ट्रऔर युग. अबेकस की अन्य किस्में भी ज्ञात हैं - गांठों वाली रस्सियाँ या मोतियों वाली डोरियाँ। ऐसे उपकरण के विकास में अगला कदम अबेकस था, जिसका उपयोग कैलकुलेटर के आगमन से पहले किया जाता था।

संख्या शून्य का इतिहास एक गणितीय अवधारणा के उद्भव और इसे दर्शाने वाले प्रतीक के उपयोग की शुरुआत की प्रक्रिया है। अबेकस और अबेकस दोनों, एक अर्थ में, विज़ुअलाइज़ेशन का एक साधन हैं। संबंधित अवकाश में खाली जगह या एबेकस पर एक गायब पोर ने शून्य दृश्य की अमूर्त अवधारणा बनाई। इसे दर्शाने वाला प्रतीक सबसे पहले प्राचीन बेबीलोन के गणितज्ञों और खगोलविदों के बीच दिखाई दिया।

शून्यता का बेबीलोनियन संकेत

टाइग्रिस और यूफ्रेट्स नदियों के बीच जन्मी सभ्यता ने प्राचीन सुमेरियों से विरासत में मिली संख्यात्मक प्रणाली को अपनाया। यह स्थितीय था - संख्याओं का अर्थ अन्य संख्याओं के सापेक्ष उनकी स्थिति पर निर्भर करता था। 4-5 हजार वर्ष ईसा पूर्व विकसित हुआ। ई., इसे संख्या 60 पर बनाया गया था। इसलिए प्राचीन बेबीलोनियाई इंजीनियरों और खगोलविदों द्वारा उपयोग की जाने वाली गणितीय गणनाएँ काफी बोझिल और असुविधाजनक लगती थीं। संख्याओं के साथ सफलतापूर्वक काम करने के लिए, 1 से 60 तक सभी संख्याओं को गुणा करने के परिणामों को दिल से याद रखना या अपनी आंखों के सामने रखना आवश्यक था।

संख्या शून्य, या रैंक को इंगित करने के लिए बेबीलोनियों द्वारा अपनाया गया चिह्न, एक कोण पर रखे गए दो कील या तीर की तरह दिखता था। यह प्रतीक था अभिन्न अंगसंख्या और अंकगणितीय संक्रियाओं में भाग नहीं लिया - इसे जोड़ना या गुणा करना असंभव था।

विदेश में शून्य

मेसोपोटामिया के गणितज्ञों के बावजूद, मध्य अमेरिका के भारतीयों - मायांस और इंकास - ने अपने शून्य को उपयोग में लाया। दोनों संख्या प्रणालियों में जो समानता थी वह यह थी कि उन्होंने एक संख्या के रूप में शून्य के विचार को विकसित नहीं किया।

प्राचीन अमेरिकी सभ्यता ने दुनिया में कई उपलब्धियाँ छोड़ीं बौद्धिक क्षेत्र. मायांस और इंकास की जटिल कैलेंडर प्रणालियाँ खगोलीय अवलोकनों और जटिल गणितीय गणनाओं में सदियों के अनुभव का परिणाम हैं। लेकिन उनके समीकरणों में कभी भी शून्य संख्या गणितीय संक्रियाओं के परिणाम को प्रभावित करने वाली संख्या के रूप में मौजूद नहीं थी।

प्राचीन लुक

उनकी मुख्य विरासत ज्यामिति और खगोल विज्ञान में उनकी उपलब्धियाँ थीं। उनके प्रतिनिधित्व में संख्याएँ शुरुआत, अंत और एक निश्चित लंबाई वाले खंड हैं। शून्य एक ऐसी संख्या है जिसका इस मामले में कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है। शून्य लंबाई वाले खंड का प्राचीन गणित और दर्शन में कोई अर्थ नहीं था।

अरस्तू की शिक्षाओं के मुख्य सिद्धांतों में से एक नेचुरा एबोरेट वैक्यूम वाक्यांश है - "प्रकृति वैक्यूम से घृणा करती है।" अनंत, शून्यता, अस्तित्वहीनता - ये श्रेणियां प्राचीन ब्रह्मांड में फिट नहीं बैठती थीं। इसलिए, "कौन सी संख्या 0 है" प्रश्न का आधुनिक अर्थ आर्किमिडीज़, पाइथागोरस या यूक्लिड के लिए अप्राप्य था, हालांकि महान खगोलशास्त्री टॉलेमी की तालिकाओं में शून्य के समान एक प्रतीक पाया जाता है। उन्होंने खाली कोशिकाओं में "ओमिक्रॉन" (οὐδέν शब्द का पहला अक्षर - "कुछ नहीं") लिखा।

शून्य का जन्मस्थान भारत है

भारतीय गणितज्ञों ने क्या आविष्कार किया? महावीर (850), ब्रह्मगुप्त (1114), आर्यभट्ट (476) - ग्रंथों के लेखक जिनमें आधुनिक प्रणालीबुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए संख्याएँ और नियम लिखना। इतिहासकारों का मानना ​​है कि दशमलव संख्या प्रणाली भारतीयों द्वारा चीनियों से उधार ली गई थी, और इसका स्थितिगत चरित्र बेबीलोनियों से लिया गया था। ऐसा माना जाता है कि शून्य का प्रतीक भी भारतीयों ने टॉलेमी के कार्यों से उधार लिया था।

संपूर्ण संख्यात्मक प्रणाली तैयार करने वाले पहले गणितज्ञ, जो अभी भी अपरिवर्तित हैं और अधिकांश मानवता की सेवा करते हैं, ख्वारिज्मी मुहम्मद बेन मूसा (787-850) थे, जो बगदाद में रहते थे। उनकी पुस्तक ऑफ इंडियन काउंटिंग में नौ का विस्तार से वर्णन किया गया है अरबी अंकऔर प्रश्न का उत्तर: "क्या 0 एक संख्या है?" इस पुस्तक में शून्य का उल्लेख सबसे पहले माना जाता है। इस कार्य का लैटिन अनुवाद 12वीं शताब्दी में यूरोप में व्यापक रूप से जाना जाने लगा और पूर्वी गणितीय ज्ञान के प्रसार की शुरुआत हुई।

यूरोपीय लोगों के विपरीत, पूर्वी दार्शनिक अनंत काल से आश्चर्यचकित थे। इसलिए, प्राचीन भारतीय वैज्ञानिकों के समीकरणों में शून्य अंततः न केवल संबंधित श्रेणी में इकाइयों की अनुपस्थिति का प्रतीक बन गया, बल्कि प्राकृतिक संख्या, गणना के परिणाम को प्रभावित कर रहा है। शून्य जोड़ना, 0 से गुणा करना - इन सभी ने सार्थक गणितीय संक्रियाओं का अर्थ प्राप्त कर लिया।

1 से 0 तक की संख्याओं के लेखन ने अपना अंतिम रूप प्राचीन भारतीय गणितीय ग्रंथों की बदौलत प्राप्त किया, और वे प्रतीक जिन्हें आमतौर पर यूरोप में अरबी कहा जाता है, स्वयं अरबों द्वारा भारतीय कहा जाता है।

संख्या "शून्य" का इतिहास बुनियादी गणितीय शब्दों की व्युत्पत्ति में परिलक्षित होता है। शब्द "अंक" अरबी मूल का है और यह "अल-सिफ़र" शब्द से आया है, जिसका अर्थ है "खाली, शून्य"। अंग्रेजी "शून्य" अस्पष्ट रूप से "ज़ेफायर" जैसा दिखता है - पूर्व से हवा - यह पूर्व से था कि अंततः एक तर्कसंगत और सुविधाजनक संख्यात्मक प्रणाली यूरोप में आई।

यूरोप में

अरबी डिजिटल प्रणाली के मुख्य यूरोपीय प्रचारकों में से एक प्रसिद्ध इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची थे। उनके काम "द बुक ऑफ अबेकस" (1202) ने यूरोपीय वैज्ञानिकों को उन प्रतीकों और नियमों से परिचित कराया जिनके साथ अरबों ने गणितीय संचालन लिखा था। पूर्वी गणितीय मॉडल की सुविधा और तर्कसंगतता की सराहना करने वाले पहले लोग वे थे जो संख्याओं को दैनिक रूप से संभालने के आदी थे - बैंकर और व्यापारी। उन्होंने जल्दी ही अरब व्यापारियों से अंक प्रणाली और अंक लिखने को अपना लिया। लेकिन में वैज्ञानिक अभ्यासयूरोप में, यह ज्ञान 4 शताब्दियों के बाद ही मजबूती से स्थापित हो गया, जिसने यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा अपनाई गई प्राचीन प्रणाली को प्रतिस्थापित कर दिया।

17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तावित आयताकार समन्वय प्रणाली के वैज्ञानिक उपयोग में परिचय के साथ शून्य को महत्व मिला। केंद्र में स्थित शून्य ने तीन समन्वय अक्षों के लिए एक दृश्यमान और दृष्टिगत रूप से समझने योग्य संदर्भ बिंदु का अर्थ प्राप्त कर लिया है।

रूस में, शून्य को प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तक "अंकगणित, यानी संख्याओं का विज्ञान" (1703) के लेखक लियोन्टी मैग्निट्स्की के प्रयासों से व्यवहार में लाया गया था।

शून्य के गुण

शून्य, जो सकारात्मक और का सीमांकन करता है नकारात्मक संख्याएँ, अद्वितीय गणितीय गुण हैं। यह एक सम, अहस्ताक्षरित प्राकृतिक पूर्णांक है। शून्य के साथ जोड़ने और शून्य घटाने से संख्या पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन 0 से गुणा करने पर शून्य मिलता है। शून्य से भाग देना एक निरर्थक संक्रिया मानी जाती है, जिसे यदि निष्पादित किया जाए कंप्यूटर प्रोग्रामसिस्टम को महत्वपूर्ण नुकसान पहुंचा सकता है.

0 से विभाजित करने के प्रयास में ही अमेरिकी नौसेना क्रूजर यॉर्कटाउन के कंप्यूटर सिस्टम में विफलता का अर्थ निकला, जो 1997 के पतन में हुआ और प्रणोदन प्रणाली के अनधिकृत शटडाउन का कारण बना। संख्या के अर्थ "कुछ भी नहीं" के प्रति एक गलत रवैये ने एक शक्तिशाली युद्धपोत को एक असहाय, गतिहीन लक्ष्य में बदल दिया।

विज्ञान के विकास के साथ इस संख्या का महत्व काफी बढ़ गया। शून्य न केवल विशुद्ध रूप से गणितीय क्षेत्रों में प्रकट होता है। ध्वनिकी में श्रवण सीमा 0 मानी जाती है। कई माप उपकरणों के पैमाने की शुरुआत में कौन सी संख्या है, यह स्कूली बच्चों को पता है: सेल्सियस पैमाने पर 0 पानी का हिमांक बिंदु है, देशांतर की शुरुआत प्रधान मध्याह्न रेखा है, वगैरह।

बाइनरी नोटेशन, जो आधुनिक कंप्यूटिंग उपकरणों के निर्माण के आधार के रूप में कार्य करता है, दो के आधार के साथ एक स्थितीय संख्या प्रणाली है। इसका मतलब यह है कि कंप्यूटर सिस्टम में दर्ज सभी डेटा को दो अक्षरों - एक और शून्य के संयोजन का उपयोग करके एन्कोड किया गया है।

कंप्यूटर की भूमिका आधुनिक दुनियाजीवन के सभी पहलुओं के लिए निर्णायक हो जाता है, जिसका अर्थ है कि संख्या शून्य का इतिहास, जिसके बिना उनकी उपस्थिति असंभव होती, जारी है।

इसलिए, प्राकृतिक संख्याएँ एक से शुरू होती हैं, और उनमें से सबसे छोटी संख्या 1 है। इससे पता चलता है कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। गिनती के लिए प्राकृतिक संख्याओं की आवश्यकता होती है। शून्य को कोई नहीं गिनता. जहाँ तक रूस का सवाल है, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, क्योंकि इसका उपयोग गिनती में नहीं किया जाता है। सबसे छोटी प्राकृत संख्या एक है।

पूर्णांकों

ये संख्याएँ व्यक्तिगत वस्तुओं की एक सीमित संख्या के माप को व्यक्त करती हैं, और एकसमान यूनिडायरेक्शनल गिनती के क्रम को भी व्यक्त करती हैं (प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का अपना "अपना" स्थान होता है - एक अद्वितीय संख्या)। रूसी गणितीय साहित्य में, शून्य को आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं के सेट में शामिल नहीं किया जाता है। प्राकृतिक संख्याएँ पूरी तरह से क्रमबद्ध हैं: उनके किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होगा। पहले से ही पूर्णांकों के लिए, इस परिभाषा का उल्लंघन "मामलों के अन्य आधे" में किया जाता है, जब ऋणात्मक को घटा दिया जाता है, जिससे पहले की तुलना में अधिक संख्या मिलती है।

प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए, उन्हें दाईं ओर से शुरू करके 3 अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है।

शून्य इस अर्थ में कि इसमें कोई जानकारी नहीं है। 0 1 जानकारी का एक टुकड़ा है.

गणित में प्राकृतिक संख्या की अवधारणा बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। कौन सी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं? प्रथम प्राकृत संख्याएँ: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11, आदि.

गिनती करते समय शून्य संख्या का प्रयोग नहीं किया जाता है। प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है; इसमें कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

5वीं कक्षा की इकाइयाँ ट्रिलियन हैं, 6वीं कक्षा की इकाइयाँ क्वाड्रिलियन हैं, 7वीं कक्षा की इकाइयाँ क्विंटिलियन हैं, 8वीं कक्षा की इकाइयाँ सेक्स्टिलियन हैं, 9वीं कक्षा की इकाइयाँ इप्टिलियन हैं।

शून्य किलोमीटर चलने का मतलब है हिलना नहीं। शून्य किलोमीटर प्रति घंटे की गति से दौड़ने का अर्थ है स्थिर खड़े रहना। हाँ, सामान्यतः इससे कोई कठिनाई नहीं होती। शून्य जोड़ने या घटाने का अर्थ है न तो कुछ जोड़ना और न ही कुछ घटाना।

कुज़नेत्सोव का बड़ा व्याख्यात्मक शब्दकोश (2009) दोनों रूपों को सूचीबद्ध करता है: शून्य, शून्य - समकक्ष के रूप में।

यह इस तथ्य के कारण है कि एक बिंदु पर दो चर के कार्य में एक अपरिवर्तनीय असंततता होती है।

कार्य योजना: शब्दकोश में खोजें कि "संख्या" क्या है। 2. सबसे कम, खराब स्कोर (पूर्व-क्रांतिकारी। आपके लिए, शायद, वह एक गैर-अस्तित्व है, एक शून्य। चेखव। दो शून्य (बोलचाल का मजाक) - एक शौचालय। डाहल का शब्दकोश। शून्य - एम। शून्य; एक अंक चिह्न अर्थ) कुछ नहीं, कुछ भी नहीं (0); लेकिन दूसरे अंक (दाहिनी ओर) के बाद रखा जाता है, इसे दस से बढ़ा देता है, इसे दस से गुणा कर देता है।

प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित

यदि कोई सोचता है कि शून्य प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित है, तो यह ठीक है। यदि कोई संख्या बिना शोर या धूल के इकाइयों में टूट जाती है, तो ऐसी संख्या स्वाभाविक है। क्या भिन्नात्मक संख्या एक प्राकृत संख्या हो सकती है? यह गोरे लोगों के लिए गणित है और इसे क) सटीक, ख) सुलभ होना चाहिए। रूस में, शून्य को आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं के सेट में शामिल नहीं किया जाता है, जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न किया गया हो। प्राचीन काल में ही 0 को एक संख्या माना जाता था, लेकिन 0 कोई संख्या नहीं है। 0 एक संख्या की अनुपस्थिति है, और न केवल, बल्कि ऑल-ऑल का भी। यह सिर्फ इतना है कि गणित में वे गणित के तर्क के अनुसार 0 को एक संख्या के रूप में उपयोग करते हैं, क्योंकि हर परिणाम गणितीय कार्यएक संख्या के रूप में लिया जा सकता है और एक संख्या के रूप में माना जा सकता है।

सामान्य तौर पर, यह प्रश्न कोई लानत-मलामत के लायक नहीं है: ये केवल शब्दावली की सूक्ष्मताएँ हैं। दिलचस्प। और शुरुआत से गिनना किसके लिए तर्कसंगत है?

गुणन की क्रमविनिमेयता.

किसी भी मात्रा, शून्यता, शुरुआत और अनंत की अनुपस्थिति - इन अवधारणाओं के प्रति दार्शनिक दृष्टिकोण अलग-अलग युगों में, अलग-अलग विश्वदृष्टि प्रणालियों में अलग-अलग था। ऐसी प्रणालियों को स्थितीय कहा जाता है - संख्याएँ लिखते समय अंकों का अर्थ उनकी स्थिति या अंक से निर्धारित होता है। इसलिए, "कौन सी संख्या 0 है" प्रश्न का आधुनिक अर्थ आर्किमिडीज़, पाइथागोरस या यूक्लिड के लिए अप्राप्य था, हालांकि महान खगोलशास्त्री टॉलेमी की तालिकाओं में शून्य के समान एक प्रतीक पाया जाता है। इसलिए, प्राचीन भारतीय वैज्ञानिकों के समीकरणों में शून्य अंततः न केवल संबंधित अंक में इकाइयों की अनुपस्थिति का प्रतीक बन गया, बल्कि गणना के परिणाम को प्रभावित करने वाली एक प्राकृतिक संख्या भी बन गई। 1 से 0 तक की संख्याओं के लेखन ने अपना अंतिम रूप प्राचीन भारतीय गणितीय ग्रंथों की बदौलत प्राप्त किया, और वे प्रतीक जिन्हें आमतौर पर यूरोप में अरबी कहा जाता है, स्वयं अरबों द्वारा भारतीय कहा जाता है।

प्राकृतिक श्रृंखला का निर्माण इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से 1 (एक) अधिक हो। संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को आसानी से दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, "प्राकृतिक संख्याओं की तालिका" पृष्ठ पर जाएं, जहां 1 (एक) से 120 (एक सौ बीस) तक की प्राकृतिक संख्याएं प्रस्तुत की जाती हैं। यदि आप पुनर्गणना करने के लिए अपने पड़ोसियों के पैर, हाथ और पैर जोड़ते हैं, तो आपको बहुत मिलता है एक बड़ी संख्या कीसंख्याएँ, और ये सभी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होंगी। ऋणात्मक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ क्यों नहीं हैं?

सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर एक प्रतीक (लैटिन नेचुरलिस से - प्राकृतिक) द्वारा दर्शाया जाता है। यह सिद्धांत के आगे के निर्माण और अनुप्रयोग को काफी जटिल बना देगा, क्योंकि अधिकांश निर्माणों में शून्य, खाली सेट की तरह, कुछ अलग नहीं है। प्राकृतिक शून्य का एक लाभ यह है कि यह पहचान के साथ एक अर्धसमूह बनाता है। यदि आधार और घातांक प्राकृतिक हैं, तो परिणाम एक प्राकृतिक संख्या होगी।

यदि a(\displaystyle a) और b(\displaystyle b) प्राकृतिक संख्याएं हैं, तो परिणाम एक प्राकृतिक संख्या होगी।

में प्राचीन ग्रीससंख्या 0 ज्ञात नहीं थी. क्लॉडियस टॉलेमी की खगोलीय तालिकाओं में, खाली कोशिकाओं को प्रतीक ο (प्राचीन ग्रीक से ओमिक्रॉन अक्षर) द्वारा नामित किया गया था। शून्य के बिना, भारत में आविष्कृत संख्याओं का दशमलव स्थिति अंकन असंभव होता। पहला शून्य कोड पाया गया था 876 के भारतीय रिकॉर्ड में, इसका रूप हमारे लिए परिचित मग है। यूरोप में कब का 0 को एक पारंपरिक प्रतीक माना जाता था और इसे एक संख्या के रूप में मान्यता नहीं दी जाती थी; 17वीं शताब्दी में भी वालिस ने लिखा था: "शून्य कोई संख्या नहीं है।"

इस प्रश्न पर: क्या 0 एक प्राकृतिक संख्या है? लेखक द्वारा दिया गया बोटोस777सबसे अच्छा उत्तर है प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करने के दो दृष्टिकोण हैं, जिनमें प्राकृतिक संख्याओं में शून्य जोड़कर अंतर किया जाता है। रूसी में स्कूल कार्यक्रमगणित में, शून्य को प्राकृतिक संख्या के रूप में वर्गीकृत करने की प्रथा नहीं है।
स्रोत: (संख्या)

उत्तर से रोस्ट्रा[गुरु]
नहीं।

उत्तर से सेरेगा[विशेषज्ञ]
नहीं

उत्तर से न्युरोसिस[नौसिखिया]
प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो वस्तुओं की गिनती करते समय (गणना के अर्थ में और कलन के अर्थ में) स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करने के दो दृष्टिकोण हैं, जिनमें प्राकृतिक संख्याओं में शून्य जोड़कर अंतर किया जाता है। तदनुसार, प्राकृतिक संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

* आइटमों को सूचीबद्ध (नंबरिंग) करते समय उपयोग की जाने वाली संख्याएँ: 1, 2, 3, ... (पहला, दूसरा, तीसरा, आदि)। यह परिभाषा आम तौर पर रूस सहित अधिकांश देशों में स्वीकार की जाती है।
* आइटमों की संख्या दर्शाने के लिए संख्याओं का उपयोग किया जाता है: 0, 1, 2, ... (कोई आइटम नहीं, एक आइटम, दो आइटम, आदि)। इस परिभाषा को बॉर्बकी के कार्यों में लोकप्रिय बनाया गया, जहां प्राकृतिक संख्याओं को परिमित सेटों की कार्डिनैलिटी के रूप में परिभाषित किया गया है।

ऋणात्मक और गैर-पूर्णांक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय आमतौर पर गणित द्वारा दर्शाया जाता है।

प्राकृतिक संख्याएँ अनन्त रूप से अनेक हैं। किसी भी प्राकृत संख्या के लिए उससे बड़ी एक प्राकृत संख्या होती है।

उत्तर से आत्मरक्षा[नौसिखिया]

उत्तर से इस्लान गारायेव[नौसिखिया]
नहीं 0 एक प्राकृतिक संख्या नहीं है

उत्तर से अर्टोम आर्टेमेंको[नौसिखिया]
नहीं

उत्तर से ओलिया निकुलिना[नौसिखिया]
नहीं

उत्तर से मैटवे सोकोलोव[सक्रिय]
हाँ, प्राकृतिक

उत्तर से लेना[नौसिखिया]
लेकिन नहीं

उत्तर से मदीना मिकाइलोवा[नौसिखिया]
0 कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है

उत्तर से पावेल मिशचेंको[नौसिखिया]
अन्य गणितीय विद्यालयों के विपरीत, एन. बोर्बाकी के कार्यों से जुड़ी फ्रांसीसी परंपरा में, एक समूह में वस्तुओं की संख्या को व्यक्त करने वाली संख्याओं को प्राकृतिक माना जाता है। इसलिए, इस परंपरा में, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या को शून्य ("0") माना जाता है, न कि एक, और, तदनुसार, फ्रांसीसी गणितज्ञ, दूसरों के विपरीत, शून्य को एक प्राकृतिक संख्या के रूप में पहचानते हैं। यह दृष्टिकोण प्राकृतिक श्रृंखला के सेट-सैद्धांतिक मॉडल से भी प्रेरित है, जिसमें शून्य को खाली सेट (ओ) के साथ पहचाना जाता है, और अगले एक पर जाने का ऑपरेशन सभी पिछले प्राकृतिक संख्याओं से युक्त एक सेट उत्पन्न करता है (द्वारा दर्शाया गया है) सेट):
0 ? हे

3? (ओ, (ओ), (ओ, (ओ)))

4 ? (ओ, (ओ), (ओ, (ओ)), (ओ, (ओ), (ओ, (ओ))))

आदि. पी.एस. में रूसी संघशून्य को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता है.

उत्तर से एलेक्जेंड्रा[नौसिखिया]
शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है

उत्तर से एंटोन यशागिन[नौसिखिया]
नहीं का विकल्प नहीं है

उत्तर से दीमा कोवेलिन[नौसिखिया]
प्राकृतिक संख्याओं के दो दृष्टिकोण हैं
गिनती (नंबरिंग) आइटम (पहला, दूसरा, तीसरा, ...);
वस्तुओं की संख्या का पदनाम (कोई वस्तु नहीं, एक वस्तु, दो वस्तु, ...)।
पहले मामले में, शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं होगी.
दूसरे मामले में यह होगा.

उत्तर से ओलेसा मकुशचेंको[नौसिखिया]

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प्रोजेक्ट "शून्य एक प्राकृतिक संख्या क्यों नहीं है?" नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय संख्या 100" के 5वीं कक्षा के छात्र द्वारा पूरा किया गया। एस.ई. स्वेत्कोवा" एंड्रीवा एलिज़ावेटा पर्यवेक्षक: गणित और कंप्यूटर विज्ञान के शिक्षक पापशेवा विक्टोरिया व्लादिमीरोवना नोवोकुज़नेत्स्क, 2010

परियोजना का लक्ष्य: इस बात का प्रमाण ढूँढ़ना कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

कार्य: शब्दकोशों और इंटरनेट का उपयोग करके "संख्या" और "प्राकृतिक संख्याएं" क्या हैं, इसकी परिभाषा ढूंढें। जानकारी के विभिन्न स्रोतों का उपयोग करके "शून्य" की परिभाषा खोजें। सिद्ध करें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते। पता लगाएं कि "शून्य" का उपयोग कहां किया जाता है।

टीम "प्लुसिकी" - दूरसंचार परियोजना "नंबर्स रूल द वर्ल्ड" में प्रतिभागी

कार्य योजना: शब्दकोश में खोजें कि "संख्या" क्या है। शब्दकोश में खोजें कि "प्राकृतिक संख्या" क्या है। "शून्य" शब्द की परिभाषा खोजें। पता लगाएँ कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। आप "शून्य" कहाँ पा सकते हैं? प्रश्न का उत्तर दें "शून्य एक प्राकृतिक संख्या क्यों नहीं है?"

"संख्या" क्या है? "संख्या मात्रा को व्यक्त करने वाला एक चिन्ह है, एक आकृति है।" “सजातीय वस्तुओं के संग्रह का वर्णन करने के लिए, यह इंगित करना आवश्यक है कि कौन सी वस्तुएँ हैं और कितनी हैं। उदाहरण के लिए, इस मेज पर पाँच पेंसिलें हैं, इस कमरे में सात कुर्सियाँ हैं, इस कोठरी में दो सौ छत्तीस किताबें हैं... शब्द: पाँच, सात, दो सौ छत्तीस... संख्याएँ हैं।" "संख्या गणित की मूल अवधारणा है - वह मात्रा जिसके द्वारा गिनती की जाती है।"

"संख्या" क्या है? “संख्या, गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक; प्राचीन काल में उत्पन्न हुआ और धीरे-धीरे विस्तारित और सामान्यीकृत हुआ... संख्या, एक व्याकरणिक श्रेणी जो किसी दिए गए शब्द द्वारा दर्शाई गई वस्तुओं की संख्या को दर्शाती है..."

"संख्या" क्या है? एक सेब तीन सेब बत्तीस सेब

"प्राकृतिक संख्या" क्या है? प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो गिनती करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। किसी भी प्राकृत संख्या के लिए अगला केवल एक होता है। एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है, क्योंकि ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है जिसके लिए यह अगली हो।

"प्राकृतिक संख्या" क्या है? प्राकृतिक संख्याएँ, वे संख्याएँ जिनका उपयोग हम गिनते समय करते हैं: एक, दो, तीन, चार,...

"शून्य" क्या है? शून्य एक संख्या है जो किसी चीज़ की अनुपस्थिति, ख़ालीपन को दर्शाती है। संख्या 0 का अर्थ है कि संख्या में कोई स्थानीय इकाइयाँ नहीं हैं। 102; 150; 1,023; 120 125 ; 105,000

"शून्य" क्या है? गणित में शून्य एक वास्तविक संख्या है; इसे जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है। किसी भी तत्व को शून्य से गुणा करने पर शून्य प्राप्त होता है। यह शून्य का अंतर्निहित गुण है, इसकी परिभाषा का हिस्सा है। ए + 0 = ए ए – 0 = ए ए 0 = 0

"शून्य" क्या है? विश्वकोश शब्दकोश प्रतीकों का शब्दकोश रूसी भाषा का व्याख्यात्मक शब्दकोश, एड। डी. एन. उषाकोवा डाहल का शब्दकोश। ओज़ेगोव्स डिक्शनरी रूसी भाषा का नया व्याख्यात्मक शब्दकोश। लेखक टी. एफ. एफ़्रेमोवा।

आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते? यदि a: b=c , तो b c=a . मान लीजिए कि हम संख्या 10 को 0 से विभाजित करते हैं। (a=10, b=0) हमें एक संख्या (c-?) ढूंढनी होगी जिसे 0 से गुणा करने पर 10 प्राप्त होगा। (C 0 = 10?) लेकिन: 1 0= 0 2 0=0... सी 0=0... आप शून्य से भाग नहीं दे सकते!

आप "शून्य" कहाँ पा सकते हैं? शून्य-शून्य: 1) समय इंगित करते समय, इसका अर्थ है: बिल्कुल, बिल्कुल, एक मिनट पहले या बाद में नहीं। 2) (खेल) किसी खेल या प्रतियोगिता के ड्रा परिणाम को दर्शाता है। - पूर्ण शून्य शून्य ध्यान। कोई ध्यान नहीं देता (ध्यान नहीं दे रहा)। बिना छड़ी के शून्य. किसी ऐसे व्यक्ति के बारे में जिसका कोई मूल्य नहीं है, जिसका कोई महत्व नहीं है। शून्य के बराबर होना अत्यंत नगण्य, लगभग कोई नहीं। शून्य से शुरुआत करें बिना किसी पूर्व तैयारी के कुछ भी शुरू करें।

आप "शून्य" कहाँ पा सकते हैं? शून्य कर दो. इसे सर्वथा महत्वहीन बना दो, नष्ट कर दो। शून्य (शून्य) कर दो गंजा कर दो। मुँह से शून्य. अर्थ: अपना मुंह बंद करो, चुप रहने की मांग करो। उदाहरण पाठ: मुँह से शून्य! तो अगर आप नहीं जानते तो आपका मुंह खाली है. मुँह से शून्य! यहां मुझसे फिर से बात करें. शून्य विकल्प. मामलों की मूल स्थिति में लौटने के बारे में रूपकात्मक रूप से; पार्टियों की समान या समझौता स्थिति के बारे में।

शून्य एक प्राकृतिक संख्या क्यों नहीं है? प्रारंभ में, प्राकृतिक संख्या की परिभाषा क्रमांकन से आई, और वस्तु शून्य मौजूद नहीं है, इसलिए शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

शून्य एक प्राकृतिक संख्या क्यों नहीं है? "क्या आप गिनती करते समय शून्य का उपयोग करते हैं?"

साहित्य: विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित 5वीं कक्षा. - एम.: मेनेमोसिन, 2008. http://ru.wikipedia.org/wiki/Zero_(group) http://www.bibliotekar.ru/encSlov/index.htm http://www.dict.t-mm .ru/dal/ http://www.zastavki.com/rus/3D-graphics/wallpaper-7012-9.htm http://elenakosilova.naroad.ru/studia3/math/translatio/zero.htm

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!

विश्वकोश शब्दकोश शून्य - (लैटिन नलस से - नहीं) - संख्या 0, जिसका किसी भी संख्या में जोड़ (या घटाव) बाद वाले को नहीं बदलता है: (ए+0) = (-0+ए) = ए; किसी भी संख्या का शून्य से गुणनफल शून्य देता है: a??0 = 0? a = 0. शून्य से विभाजन असंभव है। आधुनिक गणित में, शून्य (शून्य तत्व) की अवधारणा को अधिक सामान्य प्रकृति की बीजगणितीय संरचनाओं (उदाहरण के लिए, बीजगणितीय क्षेत्र) में माना जाता है। शब्दकोशों की सूची पर वापस लौटें

प्रतीकों का शब्दकोश शून्य। अर्थात अस्तित्वहीनता, शून्यता, अव्यक्त, असीम, शाश्वत, गुणवत्ता एवं मात्रा का अभाव। ताओवाद में शून्य शून्यता और शून्यता का प्रतीक है। बौद्ध धर्म में यह शून्यता और अमूर्तता है। कबला की शिक्षाओं में, शून्य असीमता, असीमित प्रकाश, एक है। पाइथागोरस के लिए, शून्य हर चीज़ के लिए आदर्श रूप, सन्देश, स्रोत और दायरा है। इस्लाम में यह ईश्वरीय तत्व का प्रतीक है। शून्य ब्रह्मांडीय अंडे, प्राथमिक एंड्रोजन, पूर्णता का भी प्रतिनिधित्व करता है। एक खाली वृत्त के रूप में दर्शाया गया, यह मृत्यु की अनुपस्थिति और वृत्त के भीतर पाए जाने वाले पूर्ण जीवन दोनों को इंगित करता है। शून्य का प्रतीकवाद वृत्त के समान ही है। जब इसे एक दीर्घवृत्त के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसके किनारे आरोहण और अवतरण, प्रकटीकरण और आवरण का प्रतीक होते हैं। शब्दकोशों की सूची पर वापस लौटें

रूसी भाषा का व्याख्यात्मक शब्दकोश, एड। डी. एन. उषाकोवा शून्य शून्य, एम. 1. डिजिटल संकेत: 0. Ѓ मूल्य का अभाव (मैट)। 2. निम्नतम, खराब ग्रेड (पूर्व-क्रांतिकारी स्कूल ग्रेड)। 3. स्थानांतरण कोई महत्व न रखने वाला व्यक्ति (बोलचाल में)। हम सभी को शून्य से सम्मानित करते हैं, और स्वयं को एक से। पुश्किन। आपके लिए, शायद, वह एक अस्तित्वहीन, एक शून्य है। चेखव. दो शून्य (बोलचाल का मजाक) - शौचालय। शून्य करना (कम करना) - शून्य में बदलना, अर्थ खोना। शब्दकोशों की सूची पर वापस लौटें

डाहल का शब्दकोश। शून्य - एम. ​​शून्य; अंक चिह्न का अर्थ कुछ भी नहीं, कुछ भी नहीं (0); लेकिन दूसरे अंक (दाहिनी ओर) के बाद रखा जाता है, इसे दस से बढ़ा देता है, इसे दस से गुणा कर देता है। थर्मामीटर का उपयोग करके शून्य से गिनती करें। शून्य, ऊपर और किनारे की संख्या, का अर्थ है डिग्री। संख्या के आगे शून्य के नीचे शून्य का मतलब सौ में से एक प्रतिशत है। किसी भी चीज़ को किसी भी शून्य से गुणा करें, सब कुछ शून्य होगा। शून्य चिह्न, शून्य. शून्य ध्वज, नौसैनिक संकेतों में, मतलब शून्य. शून्य संख्या का अंश सबसे बड़ा होता है. शब्दकोशों की सूची पर वापस लौटें

ओज़ेगोव्स डिक्शनरी 1) शून्य - एक वास्तविक संख्या, जिसके योग से कोई संख्या नहीं बदलती 2) शून्य - महत्वहीन, नगण्य, कुछ भी नहीं के बारे में महत्वपूर्ण व्यक्ति 3) शून्य - डिजिटल चिह्न "0", ऐसी संख्या को दर्शाता है, साथ ही, डिजिटल नोटेशन के भाग के रूप में, किसी भी अंक की इकाइयों की अनुपस्थिति, शब्दकोशों की सूची पर लौटें

रूसी भाषा का नया व्याख्यात्मक और शब्द-निर्माण शब्दकोश। लेखक टी. एफ. एफ़्रेमोवा। शून्य एम. (साथ ही शून्य) 1) डिजिटल चिह्न "0", किसी मान की अनुपस्थिति को दर्शाता है (दाईं ओर किसी भी संख्या में जोड़ने से यह दस गुना बढ़ जाता है)। 2) एक सहमत मात्रा जिससे समान मात्राओं (समय, तापमान, आदि) की गणना शुरू होती है। 3) स्कूल में ज्ञान और व्यवहार का आकलन करने के लिए सबसे कम अंक (1917 तक रूसी राज्य में)। 4) एसटीएच. अत्यल्प, नगण्य. 5) स्थानांतरण एक महत्वहीन व्यक्ति जिसका कोई महत्व नहीं है। शब्दकोशों की सूची पर वापस लौटें

पूर्व दर्शन:

गणित में दूरसंचार परियोजना

"संख्याएँ दुनिया पर राज करती हैं"

"पहली संख्या केवल एक से मापी जा सकती है"

यूक्लिड

"शून्य एक प्राकृतिक संख्या क्यों नहीं है?"

आइए पहले इसे समझें:संख्या क्या है? आइए शब्दकोशों की ओर मुड़ें।

तो में व्याख्यात्मक शब्दकोशद्वारा संपादित एस.आई. ओज़ेगोव और एन.यू. श्वेदोवा संख्या की ऐसी परिभाषा पा सकते हैं. "संख्या गणित की मूल अवधारणा है - वह मात्रा जिसके द्वारा गिनती की जाती है।"

वी.आई.डाहल के व्याख्यात्मक शब्दकोश में,संख्या मात्रा को व्यक्त करने वाला एक चिन्ह है, एक आकृति है।

लेकिन में विश्वकोश शब्दकोशद्वारा संपादित एफ.ए. ब्रॉकहॉस, आई.ए. एफ्रॉन संख्या की ऐसी परिभाषा पा सकते हैं।“सजातीय वस्तुओं के संग्रह का वर्णन करने के लिए, यह इंगित करना आवश्यक है कि कौन सी वस्तुएँ हैं और कितनी हैं। उदाहरण के लिए, इस मेज पर पाँच पेंसिलें हैं, इस कमरे में सात कुर्सियाँ हैं, इस कोठरी में दो सौ छत्तीस किताबें हैं... शब्द: पाँच, सात, दो सौ छत्तीस... संख्याएँ हैं।"

आधुनिक व्याख्यात्मक शब्दकोश में कहा गया है कि "संख्या, गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक; प्राचीन काल में उत्पन्न हुआ और धीरे-धीरे विस्तारित और सामान्यीकृत हुआ... संख्या, एक व्याकरणिक श्रेणी जो किसी दिए गए शब्द द्वारा दर्शाई गई वस्तुओं की संख्या को दर्शाती है..."

एक सेब

तीन सेब

बत्तीस सेब

तो, हमने पता लगा लिया कि संख्या क्या है!

आइए अब प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा खोजने का प्रयास करें।

आइए फिर से शब्दकोशों की ओर मुड़ें और इंटरनेट पर उत्तर खोजने का प्रयास करें।

पूर्णांकों – गिनती करते समय जो संख्याएँ स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं।

किसी भी प्राकृत संख्या के लिए अगला केवल एक होता है। एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है, क्योंकि ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है जिसके लिए यह अगली हो।

तो, प्राकृतिक संख्याएँ, संख्याएँ जिनका उपयोग हम गिनते समय करते हैं: एक, दो, तीन, चार,...

"शून्य" किस प्रकार की संख्या है?

शून्य एक संख्या है जो किसी चीज़ की अनुपस्थिति, ख़ालीपन को दर्शाती है।

हमारी टीम "प्लुसिकी" के सदस्यों को संख्या की कई और परिभाषाएँ मिलींशून्य और अंक 0

अंक 0 इसका अर्थ संख्या अंकन में स्थान इकाइयों की अनुपस्थिति है।

संख्या शून्य मतलब एक से अधिक.

शून्य क्या है? ? यह एक ऐसी संख्या है जिसके कारण इसका एक भी उदाहरण नहीं गिना जा सकता।

गणित में शून्य – यह एक वास्तविक संख्या है, जिसे जोड़ने पर कुछ भी नहीं बदलता है।

किसी भी तत्व को इससे गुणा करनाशून्य शून्य देता है. यह एक अंतर्निहित संपत्ति हैशून्य , इसकी परिभाषा का हिस्सा।

शून्य से विभाजन असंभव है, क्योंकि यह विरोधाभास की ओर ले जाता है। अंकन 5:0 का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आपको एक संख्या x खोजने की आवश्यकता है, जिसे गुणा करने परशून्य नतीजा 5 था. ऐसी कोई संख्या नहीं है! इसे खोजना असंभव है, क्योंकि x·0=0 हमेशा होता है!

"शून्य हर दूसरी संख्या को नष्ट कर देता है जिससे इसे गुणा किया जाता है..."

एफ. एंगेल्स

शून्य कुछ भी नहीं है! शून्य सेब, इसका मतलब एक भी सेब नहीं। इधर देंशून्य किलोमीटर का मतलब है न चलना. तेज गति से दौड़ेंशून्य किलोमीटर प्रति घंटा का मतलब है स्थिर रहना। हाँ, सामान्य तौर पर,शून्य कोई कठिनाई उत्पन्न नहीं करता. जोड़ें या घटाएँशून्य - इसका मतलब है कि कुछ भी जोड़ा नहीं जाएगा और कुछ भी हटाया नहीं जाएगा।

शून्य - एक प्राकृतिक संख्या नहीं है (इसे मैं वस्तुओं को क्रमांकित करने के लिए नंबर कहता हूं, हालांकि अब फैशन "माइनस" (भूमिगत मंजिल) और "शून्य" तक चला गया है, लेकिन अंकगणित इस बारे में "चिंता नहीं करता है"। प्रारंभ में, प्राकृतिक संख्या की परिभाषा क्रमांकन से आई है, और कोई शून्य वस्तु नहीं है, इसलिएशून्य प्राकृतिक संख्या नहीं.

तो प्रश्न पर: "क्या शून्य प्राकृतिक संख्याओं में शामिल है?"- आप एक प्रतिक्रिया प्रश्न पूछ सकते हैं: "क्या आप गिनती करते समय शून्य का उपयोग करते हैं?" - "नहीं!"। अतः शून्य एक प्राकृत संख्या नहीं है।

फिर मिलेंगे!

टीम "प्लुसिकी"

नगर शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय संख्या 100"

जी. नोवोकुज़नेत्स्क

गणित सीखना कहाँ से शुरू होता है? हाँ, यह सही है, प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन का अध्ययन करने से।पूर्णांकों (सेअव्य. नेचुरेलिस- प्राकृतिक; प्राकृतिक संख्या) -नंबर गिनती करते समय यह स्वाभाविक रूप से घटित होता है (उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...)। आरोही क्रम में व्यवस्थित सभी प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को प्राकृतिक श्रृंखला कहा जाता है.

प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करने के दो दृष्टिकोण हैं:

1. गिनती (नंबरिंग) सामान ( पहला, दूसरा, तीसरा, चौथी, पांचवां"…);
2. प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो तब उत्पन्न होती हैं मात्रा पदनाम सामान ( 0 आइटम, 1 आइटम, 2 आइटम, 3 आइटम, 4 आइटम, 5 आइटम ).

पहले मामले में, प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला एक से शुरू होती है, दूसरे में - शून्य से। अधिकांश गणितज्ञों के बीच इस बात पर कोई सहमति नहीं है कि पहला या दूसरा दृष्टिकोण बेहतर है या नहीं (अर्थात शून्य को एक प्राकृतिक संख्या माना जाना चाहिए या नहीं)। रूसी स्रोतों का भारी बहुमत परंपरागत रूप से पहला दृष्टिकोण अपनाता है। उदाहरण के लिए, दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग कार्यों में किया जाता हैनिकोलस बॉर्बकी , जहां प्राकृतिक संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैशक्ति परिमित समुच्चय .

नकारात्मक और पूर्णांक (तर्कसंगत , असली ,...) संख्याओं को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता है।

सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चयआमतौर पर प्रतीक एन (से) द्वारा दर्शाया जाता हैअव्य. नेचुरेलिस- प्राकृतिक)। प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत है, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए n से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होती है।

शून्य की उपस्थिति प्राकृतिक संख्या अंकगणित में कई प्रमेयों को तैयार करना और सिद्ध करना आसान बनाती है, इसलिए पहला दृष्टिकोण उपयोगी अवधारणा का परिचय देता है विस्तारित प्राकृतिक सीमा , शून्य सहित। विस्तारित श्रृंखला को एन नामित किया गया है 0 या Z 0 .

कोबंद परिचालन (ऐसे ऑपरेशन जो प्राकृतिक संख्याओं के सेट से परिणाम नहीं निकालते हैं) प्राकृतिक संख्याओं पर निम्नलिखित अंकगणितीय ऑपरेशन शामिल हैं:

• जोड़ना:पद + पद = योग;
• गुणा:कारक × कारक = उत्पाद;
• घातांक:एबी , जहां a डिग्री का आधार है, b घातांक है। यदि a और b प्राकृत संख्याएँ हैं, तो परिणाम एक प्राकृत संख्या होगी।

इसके अतिरिक्त, दो और ऑपरेशनों पर विचार किया जाता है (औपचारिक दृष्टिकोण से, वे प्राकृतिक संख्याओं पर ऑपरेशन नहीं हैं, क्योंकि वे सभी के लिए परिभाषित नहीं हैंसंख्याओं के जोड़े (कभी-कभी मौजूद होते हैं, कभी-कभी नहीं)):

• घटाव:मीनूएंड - सबट्रेंड = अंतर। इस मामले में, मीनूएंड सबट्रेंड से अधिक होना चाहिए (या इसके बराबर, यदि हम शून्य को एक प्राकृतिक संख्या मानते हैं)
• शेषफल के साथ विभाजन:लाभांश/भाजक = (भागफल, शेषफल)। a को b से विभाजित करने पर भागफल p और शेष r को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: a=p*r+b, 0 के साथ<=r

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जोड़ और गुणा की संक्रियाएँ मौलिक हैं। विशेष रूप से,