11. évfolyam Orlova E.V.
"Az antiderivatív és a határozatlan integrál"
1. DIA
Az óra céljai:
Nevelési : az antiderivatív fogalmának kialakítása, megszilárdítása, különböző szintű antiderivatív funkciók megtalálása.
Fejlesztés: a tanulók szellemi tevékenységének fejlesztése, az elemzés, összehasonlítás, általánosítás, rendszerezés műveletei alapján.
Nevelési: a tanulók világnézeti nézeteinek kialakítása, az eredményért való felelősségre, sikerélményre nevelni.
Az óra típusa:új anyagok tanulása.
Felszerelés: számítógép, multimédiás kártya.
Várható tanulási eredmények: tanuló köteles
származék definíciója
az antiderivatív definíciója félreérthető.
antiderivatív függvényeket találni a legegyszerűbb esetekben
ellenőrizze, hogy egy függvény antideriváltja-e egy adott időintervallumban.
Az órák alatt
Idő szervezése 2. DIA
Házi feladat ellenőrzése
A téma üzenete, az óra célja, az oktatási tevékenységek feladatai, motivációja.
Az írótáblán:
Derivált - "új funkciót" állít elő.
antiderivatív - Elsődleges kép.
4. A tudás aktualizálása, a tudás rendszerezése összehasonlításban.
Differenciálás – a derivált megtalálása.
Az integráció egy függvény visszaállítása adott deriválttal.
Új karakterek bemutatása:
5. Szájgyakorlatok:3. DIA
pontok helyett tegyen valamilyen függvényt, amely kielégíti az egyenlőséget.
tanulói önteszt.
a tanulók tudásának frissítése.
5. Új anyagok elsajátítása.
A) Reciprok műveletek a matematikában.
Tanár: a matematikában 2 kölcsönösen fordított művelet van a matematikában. Vessünk egy pillantást az összehasonlításra. 4. DIA
B) Reciprok műveletek a fizikában.
A mechanika részben két egymással ellentétes problémát tárgyalunk.
Anyagi pont adott mozgásegyenlete szerinti sebesség megkeresése (a függvény deriváltjának megkeresése) és a mozgáspályára vonatkozó egyenlet megtalálása az ismert sebességképlet segítségével.
C) Bemutatjuk az antiderivatív, határozatlan integrál definícióját
5., 6. DIA
Tanár: Ahhoz, hogy a feladat konkrétabbá váljon, rögzítenünk kell a kiindulási helyzetet.
D) Az antiderivatívek táblázata 7. DIA
Feladatok a primitív megtalálás képességének kialakítására - csoportmunka CSÚSZIK 8
Feladatok annak bizonyítására, hogy az antiderivált egy adott intervallumon lévő függvényre vonatkozik - pármunka.
6.Fizminutka9. DIA
7. A tanultak elsődleges megértése és alkalmazása.10. DIA
8. Házi feladat beállítása11. DIA
9. A lecke összegzése.12. DIA
A frontális felmérés során a tanulókkal közösen összegzik az óra eredményeit, az új anyag fogalmának tudatos megértése történhet hangulatjelek formájában.
Mindent értett, mindent sikerült.
részben nem értette (a), nem sikerült mindent megtenni.
Osztály: 11
Előadás a leckéhez
Vissza előre
Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.
Az algebra óra technológiai térképe 11. évfolyam.
"Az ember csak úgy ismerheti fel képességeit, ha megpróbálja alkalmazni azokat."
Seneca az ifjabb.
Órák száma szakaszonként: 10 óra.
Téma blokkolása: Antiderivatív és határozatlan integrál.
Az óra vezető témája: ismeretek és általános műveltségi készségek formálása tipikus, közelítő és többszintű feladatrendszeren keresztül.
Az óra céljai:
- Nevelési: az antiderivatív fogalmának kialakítása, megszilárdítása, különböző szintű antiderivatív funkciók megtalálása.
- Fejlesztés: a tanulók szellemi tevékenységének fejlesztése, az elemzés, összehasonlítás, általánosítás, rendszerezés műveletei alapján.
- Nevelési: a tanulók világnézeti nézeteinek kialakítása, az eredményért való felelősségre, sikerélményre nevelni.
Az óra típusa:új anyagok tanulása.
Tanítási módszerek: verbális, verbális-vizuális, problematikus, heurisztikus.
Tanulmányi formák: egyéni, páros, csoportos, általános osztály.
Az oktatás eszközei: információ, számítógép, epigráf, szóróanyag.
Várható tanulási eredmények: tanuló köteles
- származék definíciója
- az antiderivatív definíciója félreérthető.
- antiderivatív függvényeket találni a legegyszerűbb esetekben
- ellenőrizze, hogy egy függvény antideriváltja-e egy adott időintervallumban.
ÓRA FELÉPÍTÉSE:
- Az óra céljának kitűzése (2 perc)
- Felkészülés új anyagok tanulására (3 perc)
- Ismerkedés az új anyaggal (25 perc)
- A tanultak kezdeti reflexiója és alkalmazása (10 perc)
- Házi feladat beállítása (2 perc)
- A lecke összegzése (3 perc)
- Tartalék feladatok.
Az órák alatt
1. A téma üzenete, az óra célja, az oktatási tevékenység feladatai és motivációja.
Az írótáblán:
*** Származékos – új függvényt „gyárt”. Primitív - az elsődleges kép.
2. A tudás aktualizálása, a tudás rendszerezése összehasonlításban.
Differenciálás – a derivált megtalálása.
Az integráció egy függvény visszaállítása adott deriválttal.
Új karakterek bemutatása:
* szóbeli gyakorlatok: pontok helyett olyan funkciót tegyünk, amely az egyenlőséget kielégíti (lásd előadás) -egyéni munka.
(ilyenkor 1 tanuló differenciálási képleteket ír a táblára, 2 tanuló - a megkülönböztetés szabályait).
- az önvizsgálatot a hallgatók végzik.(egyéni munka)
- a tanulók tudásának frissítése.
3. Új anyag elsajátítása.
A) Reciprok műveletek a matematikában.
Tanár: a matematikában 2 kölcsönösen fordított művelet van a matematikában. Vessünk egy pillantást az összehasonlításra.
B) Reciprok műveletek a fizikában.
A mechanika részben két egymással ellentétes problémát tárgyalunk. Anyagi pont adott mozgásegyenlete szerinti sebesség megkeresése (a függvény deriváltjának megkeresése) és a mozgáspályára vonatkozó egyenlet megtalálása az ismert sebességképlet segítségével.
1. példa 140. oldal - munka tankönyvvel (egyéni munka).
Azt a folyamatot, amikor egy adott függvényre vonatkozóan deriváltot találunk, differenciálásnak, az inverz műveletet, vagyis az adott derivált függvényében történő függvény megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.
C) Bevezetésre kerül az antiderivatív definíciója.
Tanár: Ahhoz, hogy a feladat konkrétabbá váljon, rögzítenünk kell a kiindulási helyzetet.
Feladatok a primitív megtalálás képességének kialakítására - csoportmunka. (lásd az előadást)
Feladatok annak bizonyítására, hogy az antiderivált egy adott intervallumon lévő függvényre vonatkozik - pármunka. (lásd az előadást)
4. A tanultak elsődleges megértése és alkalmazása.
Példák megoldásokkal "Találj hibát" - egyéni munka. (Lásd az előadást)
***végezzen keresztellenőrzést.
Következtetés: ezeknek a feladatoknak a végrehajtása során könnyen észrevehető, hogy az antiderivált kétértelműen van meghatározva.
5. Házi feladat beállítása
Olvassa el a magyarázó szöveget a 4. fejezet 20. bekezdésében, jegyezze meg az 1. primitív definícióját, oldja meg a 20.1 -20.5 (c, d) - mindenki számára kötelező feladat 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20,9 (b) - 4 választási példa.
6. A lecke összegzése.
A frontális felmérés során a tanulókkal közösen összegzik az óra eredményeit, az új anyag fogalmának tudatos megértése történhet hangulatjelek formájában.
Mindent értett, mindent sikerült.
Részben nem értette (a), nem sikerült mindent megtenni.
7. Tartalék feladatok.
A fent javasolt feladatok egész osztály általi korai teljesítése esetén a legfelkészültebb tanulók foglalkoztatásának és fejlődésének biztosítása érdekében a 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a) feladatokat is tervezik alkalmazni.
Irodalom:
- A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, elemzési algebra, profilszint, 1. rész, 2. rész problémakönyv, Manvelov S. G. "A kreatív órafejlesztés alapjai".
Óra témája : Primitív. Határozatlan integrál és tulajdonságai
Az óra céljai:
Nevelési:
megismertetni a hallgatókkal az antiderivált és határozatlan integrál fogalmát, az antiderivált fő tulajdonságát, valamint az antiderivált és határozatlan integrál megtalálásának szabályait.
Fejlesztés:
az önálló munkavégzéshez szükséges készségek fejlesztése,
a szellemi tevékenység, a matematikai beszéd aktiválására.
Nevelési:
az elvégzett munka minősége és eredménye iránti felelősségérzet ápolása;
felelősséget vállal a végeredményért.
Egy típus lecke : új ismeretek üzenetei
Magatartási módszer : verbális, vizuális, önálló munka.
Biztonság lecke :
Multimédiás berendezések és szoftverek prezentációk és videók megjelenítéséhez;
Kiosztó: egyszerű integrálok táblázata (konszolidációs szakaszban).
Az óra szerkezete.
1. Szervezési pillanat (2 min.)
Az oktatási tevékenység motivációja. (5 min.)
Új anyag bemutatása. (50 min.)
A tanult anyag konszolidációja. (25 min.)
Összegezve a tanulságot. Visszaverődés. (6 min.)
Házi feladat üzenet. (2 min.)
A tanfolyam előrehaladása.
Idő szervezése. (2 perc.)
tanítási módszerek
Tanítási technikák
A tanár köszönti a tanulókat, ellenőrzi a hallgatóságban jelenlévőket.
A diákok munkára készülnek. Az igazgató jelentést ír ki. A tisztek szóróanyagot osztanak ki.
Oktatási tevékenység motivációja. ( 5 perc.)
tanítási módszerek
Tanítási technikák
A mai óra témája"Ősi.Határozatlan integrál és tulajdonságai".(1. dia)
A témával kapcsolatos ismereteket a következő leckéken használjuk fel a lapos figurák egyes integráljainak, területeinek megtalálásakor. A felsőoktatási intézmények felsőoktatási matematika szekcióiban az integrálszámításra nagy figyelmet fordítanak az alkalmazott feladatok megoldása során.
Mai leckénk az új anyagok tanulmányozásának órája, ezért elméleti jellegű lesz. Az óra célja az integrálszámításról alkotott elképzelések kialakítása, lényegének megértése, az antiderivált és határozatlan integrálok megtalálásának készségeinek fejlesztése.(2. dia)
A tanulók felírják az óra dátumát és témáját.
3. Új anyag bemutatása (50 perc)
tanítási módszerek
Tanítási technikák
1. Nemrég végigmentünk a "Néhány elemi függvény származékai" témán. Például:
Függvény deriváltf (x)= x 9 , Tudjukf ′(x)= 9x 8 . Most megvizsgálunk egy példát egy olyan függvény megtalálására, amelynek deriváltja ismert.
Tegyük fel, hogy egy deriváltot kapunkf ′(x)= 6x 5 . A derivált ismeretében meghatározhatjuk, hogy mi a függvény deriváltjaf (x)= x 6 . A deriváltjával meghatározható függvényt antiderivatívnak nevezzük. (Adja meg az antiderivatív definícióját. (3. dia))
1. definíció : Funkció F ( x ) a függvény antideriváltjának nevezzük f ( x ) a szegmensen [ a; b], ha az egyenlőség ennek a szegmensnek minden pontján fennáll = f ( x )
1. példa (4. dia): Bizonyítsuk be, hogy bármelyikrexϵ(-∞;+∞) funkcióF ( x )=x 5 -5x f (x)=5 x 4 -5.
Bizonyítás: Az antiderivatív definícióját felhasználva megtaláljuk a függvény deriváltját
=(x 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 x 4 -5.
2. példa (5. dia): Bizonyítsuk be, hogy bármelyikrexϵ(-∞;+∞) funkcióF ( x )= nema függvény antideriváltjaf (x)= .
Bizonyítsd a tanulókkal a táblán.
Tudjuk, hogy a derivált megtalálását únkülönbségtétel . A függvény deriváltja alapján történő keresése meg lesz hívvaintegráció. (6. dia). Az integráció célja egy adott függvény összes antideriváltjának megtalálása.
Például: (7. dia)
Az antiderivatív fő tulajdonsága:
Tétel: HaF ( x ) - a funkció egyik antideriváltja f (X) az X intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmazát a képlet határozza meg G ( x )= F ( x )+ C ahol C valós szám.
(8. dia) antiderivatívek táblázata
Három szabály az antiderivatívek megtalálásához
1. szabály: Ha Fa funkcióhoz van egy antideriváltf, a G- eredeti számárag, azután F+ G- van egy prototípus ehhezf+ g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
2. szabály: Ha F- eredeti számáraf, a kállandó, akkor a függvénykF- eredeti számárakf.
(kF)’ = kF’ = kf
3. szabály: Ha F- eredeti számáraf, a kés b konstansok (), akkor a függvény
antiderivatív af(kx+ b).
Az integrál fogalmának története szorosan összefügg a kvadratúrák keresésének problémáival. Az ókori Görögország és Róma matematikusai az egyik vagy másik lapos alak négyzetesítésének problémáit olyan problémáknak nevezték, amelyeket ma területszámítási feladatnak nevezünk.Az ókori görög matematikusok számos jelentős eredménye az ilyen feladatok megoldásában a kimerülés használatához kapcsolódik. Knidosi Eudoxus által javasolt módszer. Ezzel a módszerrel Eudoxus bebizonyította:
1. Két kör területei az átmérőjük négyzetével viszonyulnak egymáshoz.
2. A kúp térfogata megegyezik az azonos magasságú és talpú henger térfogatának 1/3-ával.
Eudoxus módszerét Arkhimédész tökéletesítette, és a következő dolgokat bizonyította:
1. A kör területének képletének levezetése.
2. A gömb térfogata a henger térfogatának 2/3-a.
Minden eredményt nagyszerű matematikusok bizonyítottak integrálok segítségével.
Térjünk vissza az 1. Tételhez, és származtassunk egy új definíciót.
2. definíció : Kifejezés F ( x ) + C , ahol C - tetszőleges konstans, amelyet határozatlan integrálnak neveznek, és szimbólummal jelöljük
A definícióból a következőt kaptuk:
(1)
Függvény határozatlan integráljaf(x), tehát az összes antiderivatív függvény halmazaf(x) .
Az (1) egyenlőségben a függvényf(x) nak, nek hívják integrand , és a kifejezés f(x) dx– integrand , változó x – integrációs változó , kifejezés C - integrációs állandó .
Az integráció a differenciálás fordítottja. Az integráció helyességének ellenőrzéséhez elegendő az eredményt megkülönböztetni és megkapni az integrandust.
A határozatlan integrál tulajdonságai.
Az antiderivatív definíciója alapján könnyű bizonyítani a következőketa határozatlan integrál tulajdonságai
Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz egy tetszőleges állandóval
Két vagy több függvény algebrai összegének határozatlan integrálja megegyezik integráljaik algebrai összegével
Az integrál előjelből kivehető a konstans tényező, vagyis haa= const, azután
A hallgatók az előadást a szóróanyag és a tanári magyarázatok segítségével rögzítik. Az antideriváltok és integrálok tulajdonságainak bizonyításakor a differenciálás témájában szerzett ismereteket használják fel.
4. Egyszerű integrálok táblázata
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
A táblázatban található integrálokat úntáblázatos . Megjegyezzük az 1. képlet egy speciális esetét:
Íme egy másik nyilvánvaló képlet:
Algebra óra 12. osztályban.
Az óra témája: „Antiprimitív. Integrál"
Célok:
nevelési
Általánosítsa és konszolidálja a témával kapcsolatos anyagot: az antiderivált definíciója és tulajdonsága, az antideriválták táblázata, az antideriválták megtalálásának szabályai, az integrál fogalma, a Newton-Leibniz formula, az ábrák területeinek kiszámítása. Diagnosztizálni az ismeretek és készségek rendszerének asszimilációját és alkalmazását standard szintű gyakorlati feladatok elvégzésére a magasabb szintre való átállással, elősegíteni az elemzési, összehasonlítási, következtetési képesség fejlődését.
Nevelési
fokozott összetettségű feladatok elvégzése, általános tanulási készségek fejlesztése, gondolkodásra, kontroll és önkontroll végrehajtására tanít
pedagógusok
Nevelni, pozitív hozzáállást a tanuláshoz, a matematikához
Óratípus: Az ismeretek általánosítása, rendszerezése
Munkaformák: csoportos, egyéni, differenciált
Felszerelés: önálló munkához, differenciált munkához kártyák, önellenőrző lap, projektor.
Az órák alatt
Idő szervezése
Az óra céljai és célkitűzései: Az „Antiprimitív. Integrál "- az antiderivált definíciója és tulajdonságai, az antideriválták táblázata, az antideriválták megtalálásának szabályai, az integrál fogalma, a Newton-Leibniz képlet, az ábrák területének kiszámítása. Diagnosztizálni az ismeretek és készségek rendszerének asszimilációját és alkalmazását standard szintű gyakorlati feladatok elvégzésére a magasabb szintre való átállással, elősegíteni az elemzési, összehasonlítási, következtetési képesség fejlődését.
A lecke játék formájában lesz.
Szabályok:
A lecke 6 szakaszból áll. Minden szakasz bizonyos számú pontot ér. Az értékelő lapon minden szakaszban pontokat határoz meg munkájáért.
1. szakasz. Elméleti. Matematikai diktálás "Tic-tac-toe".
2. szakasz. Gyakorlati. Önálló munkavégzés. Keresse meg az összes antiderivatív készletét.
3. szakasz. "Öhm jó, de a 2 jobb." Dolgozzon füzetekben és 2 tanuló a tábla hajtókáján. Határozzuk meg annak a függvénynek az antideriváltját, amelynek grafikonja átmegy az A) ponton.
4.szakasz. "Javítsd ki a hibákat".
5. szakasz. "Make a word" Integrálok számítása.
6. szakasz. – Siess megnézni. A vonallal határolt ábrák területének kiszámítása.
2. Értékelő lap.
Matematikaidiktálás
Önálló munkavégzés
Szóbeli válasz
Javítsd ki a hibákat
Találj ki egy szót
siess megnézni
9 pont
5+1 pont
1 pont
5 pont
5 pont
20 pont
3 perc
5 perc.
5 perc.
6 perc
2. Ismeretek frissítése:
színpad. Elméleti. Matematikai diktálás "Tic-tac-toe"
Ha az állítás igaz - X, ha hamis - 0
Funkció F(x) egy adott intervallumon antiderivatívnak nevezzük, ha ebből az intervallumból az összes х egyenlőség
A hatványfüggvény antideriváltja mindig hatványfüggvény
Egy összetett funkció antiderivátuma
Ez a Newton-Leibniz képlet
Egy görbe vonalú trapéz területe
A függvények összegének antiderivatívája = egy adott intervallumon figyelembe vett antideriválták összege
Az antiderivatív függvények grafikonjait az X tengely mentén egy konstans C párhuzamos transzlációjával kapjuk meg.
Egy függvény számszorzatának szorzata egyenlő ennek a számnak az adott függvény antideriváltjának szorzatával.
Az összes antiderivatív halmazának megvan a formája
Összesen 9 pont
3. Konszolidáció és általánosítás
2 színpad . Önálló munkavégzés.
– A példák jobban tanítanak, mint az elmélet.
Isaac Newton
Keresse meg az összes antiderivatív készletét:
1 lehetőség
Az összes primitív halmaza Az összes primitív halmazaválasztási lehetőség
Önteszt.
A helyesen elvégzett feladatokért
1. lehetőség – 5 pont,
a 2. lehetőségért +1 pont
1 pont az összeadásért.
színpad . "Jó az elme, a -2 jobb."
Két tanuló táblájának hajtókáit dolgozd fel, a többit pedig füzetekben.
Gyakorlat
1 lehetőség. Határozzuk meg annak a függvénynek az antideriváltját, amelynek grafikonja átmegy az A ponton (3; 2)
2. lehetőség. Keresse meg egy olyan függvény antideriváltját, amelynek gráfja átmegy az origón.
Kölcsönös ellenőrzés.
A helyes megoldásért -5 pont.
színpad . Ha akarod, higgy - ha akarod, ellenőrizd.
Feladat: javítsa ki a hibákat, ha vannak.
Keressen hibás gyakorlatokat:
Színpad . Írj egy szót.
Integrálok kiszámítása
1 lehetőség.
választási lehetőség.
Válasz: BRAVO
Önteszt. A helyesen elvégzett feladatért - 5 pont.
színpad. – Siess megnézni.
számítás vonalakkal határolt ábrák területei.
Feladat: rajzolj egy ábrát és számítsd ki a területét!
2 pont
2 pont
4 pont
6 pont
6 pont
Egyénileg egyeztetve a tanárral.
Az összes feladat helyesen elvégzéséért - 20 pont
Összefoglalva:
A lecke a fő kérdésekre terjedt ki
NYÍLT ÓRA A TÉMÁBAN
« ÁLTALÁNOS ÉS MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL.
A MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI”.
2 óra.
11.a osztály a matematika elmélyült tanulmányozásával
Probléma bemutatása.
Problémakereső tanulási technológiák.
ELSŐDLEGES ÉS MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL.
A MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI.
AZ ÓRA CÉLJA:
Aktiválja a mentális tevékenységet;
Hozzájárulni a kutatási módszerek asszimilációjához
- a tudás szilárdabb asszimilációjának biztosítása.
A LECKE CÉLKITŰZÉSEI:
bevezetni az antiderivatív fogalmát;
bizonyítsd be az adott függvény antideriváltjainak halmazáról szóló tételt (az antiderivált definíciót használva);
bevezetni a határozatlan integrál definícióját;
bizonyítsa be a határozatlan integrál tulajdonságait;
a határozatlan integrál tulajdonságainak használati készségeinek fejlesztésére.
ELŐZETES MUNKA:
ismételje meg a differenciálás szabályait és képleteit
differenciálfogalom.
A problémák megoldására javasolt. A problémák fel vannak írva a táblára.
A tanulók választ adnak az 1., 2. feladatok megoldására.
(A differenciálművel kapcsolatos feladatok megoldási tapasztalatainak frissítése
idézés).
1. Az S(t) test mozgástörvénye, határozza meg pillanatnyi értékét
sebesség bármikor.
- V(t) = S(t).
2. Tudva, hogy az áramló villamos energia mennyisége
a vezetőn keresztül a q (t) = 3t képlettel fejezzük ki 
- 2 t,
levezetni egy képletet az áramerősség kiszámítására bármely
időpont t.
- I (t) = 6t - 2.
3. A mozgó test sebességének ismerete minden pillanatban
hogy megtaláljam mozgásának törvényét.
Tudva, hogy a vezetőn áthaladó áram erőssége bármely
az áthaladó villamos energia mennyiségének meghatározása
a karmesteren keresztül.
Tanár: Megoldható-e a 3. és 4. számú feladat a segítségével?
a rendelkezésünkre álló pénzeszközök?
(Problémahelyzet kialakítása).
A tanulók tippjei:
- A probléma megoldásához műtétet kell bevezetni,
a differenciálódás ellentéte.
A differenciálási műveletet egy adotthoz viszonyítjuk
függvény F (x) annak deriváltja.
F(x) = f(x).
Tanár: Mi a differenciálás feladata?
A hallgatók következtetései:
Az adott f (x) függvény alapján keressünk egy ilyen függvényt
F (x) melynek deriváltja f (x) , azaz.
f(x) = F(x) .
Ezt a műveletet nevezzük pontosabban integrációnak
határozatlan idejű integráció.
Integrálszámításnak nevezzük a matematikának azt a részét, amely az integráló függvények működésének tulajdonságait és alkalmazásait a fizika és geometria feladatok megoldására vizsgálja.
Az integrálszámítás a matematikai elemzés egy része, a differenciálszámítással együtt a matematikai elemzés apparátusának alapját képezi.
Az integrálszámítás nagyszámú természettudományi és matematikai probléma mérlegeléséből jött létre. Közülük a legfontosabb az egy ismert, de talán változó mozgássebesség mentén adott idő alatt megtett távolság meghatározásának fizikai problémája, illetve egy sokkal ősibb probléma - a geometriai alakzatok területeinek és térfogatainak kiszámítása.
Hogy mi ennek az inverz műveletnek a bizonytalansága, az még várat magára.
Vezessünk be egy definíciót. (röviden szimbolikusan írva
Az asztalon).
Definíció 1. Valamely intervallumon definiált F (x) függvény
ke X, az adott függvény antideriváltjának nevezzük
ugyanazon az intervallumon, ha minden x-re 
x
egyenlőség
F(x) = f (x) vagy d F(x) = f (x) dx .
Például. (x) = 2x, ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a függvény
x az egész számegyenesen antiderivált
a 2x funkcióhoz.
Az antiderivatív definícióját használva végezze el a gyakorlatot
2. szám (1,3,6) . Ellenőrizze, hogy az F függvény egy antiderivált
noah az f függvényre, ha
1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x 
- 4 bűn 2x . 2) F(x) = tg 
x - cos 5x, f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F(x) = x 
sin x + 
, f(x) = 4x sinx + x cosx + 
.
A példák megoldásait a tanulók felírják a táblára, megjegyzéseket
hajtja a tetteit.
Az x függvény az egyetlen antiderivált
2x funkcióhoz?
A tanulók példákat mondanak
x + 3; x - 92 stb. ,
A tanulók saját maguk vonják le a következtetéseket:
Minden függvénynek végtelen sok antideriváltja van.
Bármely x + C alakú függvény, ahol C valamilyen szám,
az x antideriváltja.
Az antiderivatív tételt diktálás alatt jegyzetfüzetbe írjuk
tanárok.
Tétel. Ha az f függvénynek van antideriváltja az intervallumon
F, akkor tetszőleges C számra az F + C függvény is
az f antideriváltja. Egyéb primitívek
az X-en lévő f függvény nem.
A bizonyítást a tanulók végzik tanári irányítás mellett.
a) Mert F az f antideriváltja az X intervallumon, tehát
F(x) = f(x) minden x X esetén.
Akkor x X-re bármely C esetén a következőt kapjuk:
(F(x) + C) = f(x) . Ez azt jelenti, hogy F (x) + C is
antiderivatív f az X-en.
b) Bizonyítsuk be, hogy más X-en lévő antideriváltokra az f függvény
nem rendelkezik.
Tételezzük fel, hogy Ф az X-en lévő f antiderivatívája is.
Ekkor Ф(x) = f (x) és ezért minden x X-re van:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, tehát
Ф - F állandó X-en. Legyen Ф (x) - F (x) = C, akkor
Ф (x) = F (x) + C, tehát bármilyen antiderivált
Az X-en lévő f függvénynek F + C alakja van.
Tanár: mi a feladat az összes prototípus megtalálása?
ehhez a funkcióhoz?
A tanulók a következő következtetésre jutnak:
Az összes antiderivatív megtalálásának problémája megoldódott
bármelyik megtalálása: ha ilyen a
mást találunk, akkor bármilyen mást kapunk belőle
állandó hozzáadásával.
A tanár megfogalmazza a határozatlan integrál definícióját.
2. definíció. Az f függvény összes antideriváltjának halmaza
ennek határozatlan integráljának nevezzük
funkciókat.
Kijelölés. 
; 
- az integrál beolvasásra kerül.
= F (x) + C, ahol F az egyik antiderivált
f esetén C fut át a halmazon
valós számok.
f - integránd;
f (x)dx - integrandus;
x - integrációs változó;
C az integráció állandója.
A tanulók önállóan tanulmányozzák a tankönyvből a határozatlan integrál tulajdonságait, és kiírják füzetbe.
.
A tanulók füzetbe írnak megoldásokat a táblánál dolgozva
Betöltés...