A trapéz középvonalának fogalma
Először is emlékezzünk arra, hogy melyik alakzatot nevezzük trapéznek.
1. definíció
A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.
Ebben az esetben a párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak nevezik, és nem párhuzamos - a trapéz oldalainak.
2. definíció
A trapéz középvonala a trapéz oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz.
Középvonal tétel trapézhoz
Most bevezetjük a tételt egy trapéz középvonalára, és bizonyítjuk vektoros módszerrel.
1. tétel
A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.
Bizonyíték.
Adjunk egy $ ABCD $ trapézt $ AD \ és \ BC $ alapokkal. És legyen $ MN $ ennek a trapéznek a középvonala (1. ábra).
1. ábra A trapéz középvonala
Bizonyítsuk be, hogy $ MN || AD \ és \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Tekintsük a $ \ overrightarrow (MN) $ vektort. Ezután a sokszögszabályt használjuk vektorok hozzáadásához. Egyrészt ezt kapjuk
A másik oldalon
Összeadjuk az utolsó két egyenlőséget, megkapjuk
Mivel $ M $ és $ N $ a trapéz oldaloldalainak felezőpontja, így lesz
Kapunk:
Ennélfogva
Ugyanebből az egyenlőségből (mivel a $ \ overrightarrow (BC) $ és a $ \ overrightarrow (AD) $ egyirányúak, és ezért kollineárisak) megkapjuk a $ MN || AD $ értéket.
A tétel bizonyítva van.
Példák a feladatra a trapéz középvonalának fogalmára
1. példa
A trapéz oldalai rendre $ 15 \ cm $ és $ 17 \ cm $. A trapéz kerülete 52 $ \ cm $. Határozza meg a trapéz középvonalának hosszát!
Megoldás.
Jelöljük a trapéz középvonalát $ n $-al.
Az oldalak összege a
Ezért, mivel a kerület 52 $ \ cm $, az alapok összege ez
Ezért az 1. Tételből azt kapjuk, hogy
Válasz: 10 $ \ cm $.
2. példa
A kör átmérőjének végeit 9 $ cm-rel, illetve 5 $ cm-rel távolítjuk el érintőjétől. Határozzuk meg ennek a körnek az átmérőjét.
Megoldás.
Adjunk egy kört, amelynek középpontja $ O $ és átmérője $ AB $. Rajzolja meg a $ l $ érintővonalat, és állítsa össze a $ AD = 9 \ cm $ és $ BC = 5 \ cm $ távolságokat. Rajzoljuk meg a $ OH $ sugarat (2. ábra).
2. ábra.
Mivel $ AD $ és $ BC $ az érintő távolsága, akkor $ AD \ bot l $ és $ BC \ bot l $ és mivel $ OH $ a sugár, akkor $ OH \ bot l $, ezért $ OH | \ balra | AD \ jobbra || BC $. Mindebből azt kapjuk, hogy az $ ABCD $ egy trapéz, a $ OH $ pedig a középvonala. Az 1. tétel alapján azt kapjuk, hogy
Olyan négyszöget nevezünk, amelynek csak két oldala párhuzamos trapéz alakú.
A trapéz párhuzamos oldalait úgy nevezzük okokból, és azokat az oldalakat nevezzük, amelyek nem párhuzamosak oldalsó oldalai... Ha az oldalak egyenlőek, akkor egy ilyen trapéz egyenlő szárú. Az alapok közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.
Trapéz középső vonala
A középvonal a trapéz oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos az alapjaival.
Tétel:
Ha az egyik oldal közepét metsző egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival, akkor felezi a trapéz második oldalát.
Tétel:
A középvonal hossza egyenlő az alapjai hosszának számtani átlagával
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN középvonal, AB és CD - alapok, AD és BC - oldalak
MN = (AB + DC) / 2
Tétel:
A trapéz középvonalának hossza megegyezik az alapjai hosszának számtani átlagával.
A fő feladat: Bizonyítsuk be, hogy a trapéz középvonala kettévág egy szakaszt, amelynek végei a trapéz alapjának közepén vannak.
A háromszög középvonala
A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög felezővonalának nevezzük. Párhuzamos a harmadik oldallal, és a harmadik oldal hosszának fele.
Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának felezőpontját metsző egyenes párhuzamos ennek a háromszög másik oldalával, akkor a harmadik oldalt kettéosztja.
AM = MC és BN = NC =>
Háromszög és trapéz középvonal tulajdonságainak alkalmazása
Egy szakasz felosztása bizonyos számú egyenlő részre.
Feladat: Osszuk az AB szakaszt 5 egyenlő részre.
Megoldás:
Legyen p véletlenszerű sugár, amelynek origója az A pontban van, és nem az AB egyenesen fekszik. Egymás után 5 egyenlő szegmenst fektetünk a p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 felületre.
Összekapcsoljuk A 5-öt B-vel, és olyan vonalakat húzunk A 4, A 3, A 2 és A 1 pontokon keresztül, amelyek párhuzamosak A 5 B-vel. Ezek metszik az AB-t rendre a B 4, B 3, B 2 és B 1 pontokban. . Ezek a pontok az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztják. A BB 3 A 3 A 5 trapézből valóban azt látjuk, hogy BB 4 = B 4 B 3. Ugyanígy a B 4 B 2 A 2 A 4 trapézből B 4 B 3 = B 3 B 2
Míg a trapézból B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Ekkor B 2 AA 2-ből az következik, hogy B 2 B 1 = B 1 A. Összegzésképpen a következőket kapjuk:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Nyilvánvaló, hogy ahhoz, hogy az AB szakaszt több egyenlő részre oszthassuk, ugyanannyi egyenlő szakaszt kell a p sugárra vetítenünk. És akkor folytassa a fenti módon.
Ebben a cikkben egy újabb trapézproblémát válogattunk össze az Ön számára. A feltételek valahogy összefüggenek a középvonalával. A feladattípusok a tipikus feladatok nyitott bankjából származnak. Ha szeretné, felfrissítheti elméleti tudását. A blog már foglalkozott azokkal a feladatokkal, amelyek feltételei szintén összefüggenek. Röviden a középső sorról:
A trapéz középvonala az oldalsó oldalak felezőpontjait köti össze. Párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.
A feladatok megoldása előtt nézzünk egy elméleti példát.
Adott egy ABCD trapéz. A középvonalat metsző AC átló egy K pontot, a BD átló L pontot alkot. Bizonyítsuk be, hogy a KL szakasz egyenlő az alapok közötti különbség felével.
Először is vegyük észre azt a tényt, hogy a trapéz középvonala felez minden olyan szakaszt, amelynek végei az alapjain vannak. Ez a következtetés önmagát sugallja. Képzeljünk el egy szakaszt, amely két alappontot köt össze, és ezt a trapézt két másik részre osztja. Kiderül, hogy a trapéz alapjaival párhuzamos és a másik oldalon az oldal közepén áthaladó szegmens átmegy a közepén.
Ez is Thalész tételén alapul:
Ha a két egyenes egyikén egymás után több egyenlő szakaszt félreteszünk, és a végeiken keresztül párhuzamos egyeneseket húzunk, amelyek a második egyenest metszik, akkor a második egyenesen egyenlő szakaszokat vágnak le.
Vagyis ebben az esetben K az AC közepe, L pedig a BD közepe. Ezért EK az ABC háromszög felezővonala, LF a DCB háromszög középvonala. A háromszög középvonalának tulajdonsága szerint:
A KL szegmenst most már az alapokon keresztül fejezhetjük ki:
Igazolt!
Ezt a példát okkal adjuk. Az önálló megoldást célzó problémáknál éppen ilyen probléma van. Csak azt nem mondja ki, hogy az átlók felezőpontjait összekötő szakasz a középvonalon fekszik. Fontolja meg a feladatokat:
27819. Keresse meg a trapéz középvonalát, ha alapjai 30 és 16!
A következő képlettel számolunk:
27820. A trapéz középvonala 28, a kisebbik alapja 18. Keresse meg a trapéz nagyobbik alapját!
Adjunk meg egy nagyobb alapot:
És így:
27836. A tompaszög tetejétől az egyenlő szárú trapéz nagyobbik alapjához süllyesztett merőleges 10 és 4 hosszúságú részekre osztja. Határozzuk meg ennek a trapéznek a középvonalát!
A középvonal megtalálásához ismernie kell az alapot. Az AB alap könnyen megtalálható: 10 + 4 = 14. Keresse meg a DC-t.
Szerkesszük meg a második DF merőlegest:
Az AF, FE és EB szegmensek rendre 4, 6 és 4. Miért?
Egy egyenlőszárú trapézben a nagyobb alapra süllyesztett merőlegesek három szakaszra osztják. Ezek közül kettő, amelyek a kivágott derékszögű háromszögek lábai, egyenlők egymással. A harmadik szegmens egyenlő a kisebb alappal, mivel a feltüntetett magasságok megalkotásakor téglalap keletkezik, és a téglalapban a szemközti oldalak egyenlőek. Ebben a feladatban:
Így DC = 6. Kiszámoljuk:
27839. A trapéz alapjai 2:3, a középvonala 5. Keresse meg a kisebb alapot!
Vezessük be az x arányossági együtthatót. Ekkor AB = 3x, DC = 2x. Tudunk írni:
Ezért a kisebb bázis 2 ∙ 2 = 4.
27840. Egy egyenlő szárú trapéz kerülete 80, a középvonala egyenlő az oldalsó oldalával. Keresse meg a trapéz oldalát.
A feltétel alapján ezt írhatjuk:
Ha a középső vonalat x értékén keresztül jelöljük ki, akkor a következőt kapjuk:
A második egyenlet már a következő formában is felírható:
27841. A trapéz középvonala 7, és egyik alapja 4-gyel nagyobb, mint a másik. Határozzuk meg a trapéz nagyobbik alapját!
Jelöljük a kisebb bázist (DC) x-nek, ekkor a nagyobb (AB) egyenlő lesz x + 4-gyel. Leírhatjuk
Azt kaptuk, hogy az alsó bázis korai öt, tehát a nagyobb 9.
27842. A trapéz középvonala 12. Az egyik átló két szakaszra osztja, melyek különbsége 2. Határozzuk meg a trapéz nagyobbik alapját!
Könnyen megtalálhatjuk a trapéz nagyobb alapját, ha kiszámítjuk az EO szakaszt. Ez az ADB háromszög középső vonala, és AB = 2 ∙ EO.
mi van nálunk? Azt mondják, hogy a középső egyenes 12, az EO és OF szakaszok közötti különbség pedig 2. Felírhatunk két egyenletet és megoldhatjuk a rendszert:
Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben számítások nélkül is felvehet egy számpárt, ezek 5 és 7. De ennek ellenére megoldjuk a rendszert:
Ezért EO = 12–5 = 7. Így a nagyobb bázis egyenlő: AB = 2 ∙ EO = 14.
27844. Egy egyenlő szárú trapézben az átlók merőlegesek. A trapéz magassága 12. Keresse meg a középvonalát.
Azonnal megjegyezzük, hogy az egyenlő szárú trapéz átlóinak metszéspontján keresztül húzott magasság a szimmetriatengelyen fekszik, és a trapézt két egyenlő téglalap alakú trapézre osztja, vagyis ennek a magasságnak az alapjait felezik.
Úgy tűnik, hogy a középvonal kiszámításához meg kell találnunk az alapokat. Itt egy kis zsákutca áll elő... Hogyan lehet ebben az esetben a magasság ismeretében kiszámítani az alapokat? És nem hogyan! Sok ilyen trapéz van rögzített magassággal és 90 fokos szögben metsző átlókkal. Hogyan legyen?
Nézd meg a trapéz középvonalának képletét. Hiszen nem magát az indoklást kell ismernünk, elég tudni az összegüket (vagy félösszegüket). Meg tudjuk csinálni.
Mivel az átlók derékszögben metszik egymást, egyenlő szárú derékszögű háromszögek jönnek létre EF magassággal:
A fentiekből következik, hogy FO = DF = FC, és OE = AE = EB. Most írjuk fel, hogy mi a DF és AE szegmensekben kifejezett magasság:
Tehát a középső sor a 12.
* Általánosságban elmondható, hogy ez a szóbeli számolás feladata. De biztos vagyok benne, hogy a részletes magyarázatra szükség van. És így ... Ha ránézünk az ábrára (feltéve, hogy az átlók közötti szöget az építés során megfigyeljük), az FO = DF = FC és az OE = AE = EB egyenlőség azonnal felkelti a figyelmet.
A prototípusok részeként a trapézokkal ellátott feladattípusok is megtalálhatók. Egy cellában egy lapra épül, és meg kell találni a középső vonalat, a cella oldala általában 1, de lehet más érték is.
27848. Keresse meg a trapéz középvonalát! ABCD ha a négyzet alakú cellák oldalai 1.
Egyszerű, cellánként számítjuk ki az alapokat, és a következő képletet használjuk: (2 + 4) / 2 = 3
Ha az alapokat a cellarácshoz képest szögben építjük fel, akkor két lehetőség van. Például!
Az óra céljai:
1) megismertesse a tanulókkal a trapéz középvonalának fogalmát, mérlegelje tulajdonságait és bizonyítja azokat;
2) tanítsa meg a trapéz középvonalának felépítését;
3) fejlessze a tanulók képességét a trapéz középvonalának meghatározására és a trapéz középvonalának tulajdonságaira a feladatok megoldása során;
4) a tanulók helyes beszédkészségének fejlesztése a szükséges matematikai kifejezések használatával; bizonyítsd be álláspontodat;
5) fejleszti a logikus gondolkodást, a memóriát, a figyelmet.
Az órák alatt
1. A házi feladat ellenőrzése az óra során történik. A házi feladat szóbeli volt, ne feledje:
a) a trapéz meghatározása; trapéztípusok;
b) a háromszög középvonalának meghatározása;
c) a háromszög középvonalának tulajdonsága;
d) egy háromszög középvonalának jele.
2. Új anyag elsajátítása.
a) A táblán egy ABCD trapéz látható.
b) A tanár javasolja, hogy emlékezzen a trapéz definíciójára. Minden iskolapadhoz tartozik egy tippdiagram, amely segít emlékezni a „Trapéz” témakör alapfogalmaira (lásd az 1. mellékletet). Az 1. számú mellékletet iskolapadonként adják ki.
A tanulók füzetbe rajzolják az ABCD trapézt.
c) A tanár felajánlja, hogy emlékezzen, melyik témakörben találkozott a középvonal fogalmával („A háromszög középvonala”). A tanulók felidézik a háromszög középvonalának meghatározását és tulajdonságait.
e) Írja le a trapéz középvonalának meghatározását, ábrázolva azt füzetbe!
A középső vonal a trapézt oldaloldalainak felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük.
A trapéz középvonalának tulajdonsága ebben a szakaszban bizonyítatlan marad, ezért a lecke következő szakasza a trapéz középvonalának tulajdonságának bizonyítását foglalja magában.
Tétel. A trapéz középvonala párhuzamos az alapjaival, és egyenlő azok felével.
Adott: ABCD - trapéz,
MN - ABCD középvonal
Bizonyít, mit:
1. Kr.e. || MN || HIRDETÉS.
2. MN = (AD + BC).
A tétel feltételeiből következő következmények közül néhányat kiírhatunk:
AM = MB, CN = ND, BC || HIRDETÉS.
Csak a felsorolt tulajdonságok alapján lehetetlen bizonyítani, hogy mit kell. A kérdések és gyakorlatok rendszerének el kell vezetnie a tanulókat ahhoz a vágyhoz, hogy összekapcsolják a trapéz középvonalát egy háromszög középvonalával, amelynek tulajdonságait már ismerik. Ha nincsenek javaslatok, akkor felteheti a kérdést: hogyan építsünk olyan háromszöget, amelynél az MN szakasz lenne a középvonal?
Írjunk fel egy további konstrukciót az egyik esethez.
Rajzoljunk egy BN egyenest, amely az AD oldal kiterjesztését a K pontban metszi.
További elemek jelennek meg - háromszögek: ABD, BNM, DNK, BCN. Ha bebizonyítjuk, hogy BN = NK, akkor ez azt jelenti, hogy MN az ABD felezővonala, majd felhasználhatjuk egy háromszög középvonalának tulajdonságát, és bebizonyíthatjuk, hogy mire van szükség.
Bizonyíték:
1. Tekintsük a BNC-t és a DNK-t, ezekben:
a) CNB = DNK (függőleges szög tulajdonság);
b) BCN = NDK (keresztben fekvő sarkok tulajdonsága);
c) CN = ND (a tétel feltételeinek következménye).
Ezért BNC = DNK (az oldal és a két szomszédos sarok mentén).
Q.E.D.
A bizonyítást a tanórán szóban, otthon pedig vissza lehet állítani, füzetbe leírni (a tanár döntése alapján).
A tétel bizonyításának más lehetséges módjairól is el kell mondanunk:
1. Rajzolja meg a trapéz egyik átlóját, és használja a háromszög középvonalának előjelét és tulajdonságát!
2. Végezze el a CF || BA és tekintsük az ABCF és DCF paralelogrammát.
3. EF || BA és vegye figyelembe az FND és az ENC egyenlőségét.
g) Ebben a szakaszban házi feladatot adnak: 84. o., tankönyv, szerk. Atanasyan L.S. (a trapéz középvonalának tulajdonságának vektoros igazolása), írd le a füzetbe.
h) Feladatokat oldunk meg a trapéz középvonalának definíciójának és tulajdonságainak felhasználásával kapcsolatban a kész rajzok alapján (lásd 2. melléklet). A 2. számú mellékletet minden tanulónak kiadjuk, a feladatok megoldását pedig ugyanarra a lapra, rövid formában kiírjuk.
Trapéz terület. Üdvözlet! Ebben a bejegyzésben megnézzük a megadott képletet. Miért van ez pontosan így, és hogyan lehet ezt megérteni. Ha van megértés, akkor nem kell megtanulnod. Ha csak meg szeretné nézni ezt a képletet és azt, hogy mi a sürgős, akkor azonnal görgessen lefelé az oldalon))
Most részletesen és sorrendben.
A trapéz négyszög, ennek a négyszögnek két oldala párhuzamos, a másik kettő nem. A nem párhuzamosak a trapéz alapjai. A másik kettőt oldalnak nevezzük.
Ha az oldalak egyenlőek, akkor a trapézt egyenlő szárúnak nevezzük. Ha az egyik oldalsó oldal merőleges az alapokra, akkor egy ilyen trapézt téglalap alakúnak nevezünk.
A klasszikus formában a trapéz a következőképpen van ábrázolva - a nagyobb alap alul, a kisebb pedig felül. De senki sem tiltja, hogy ábrázolja őt, és fordítva. Íme a vázlatok:
A következő fontos fogalom.
A trapéz középvonala az a szakasz, amely összeköti az oldalak felezőpontjait. A középső vonal párhuzamos a trapéz alapjaival, és egyenlő azok felével.
Most ássunk mélyebbre. Miért van így?
Tekintsünk egy trapézt alapokkal a és bés a középső vonallal l, és további konstrukciókat fogunk végrehajtani: egyenes vonalakat húzunk az alapokon, és merőlegeseket a középvonal végein, amíg nem metszik egymást az alapokkal:
* A csúcsok és egyéb pontok betűjeles megjelölése nem szándékosan kerül bevezetésre a szükségtelen megjelölések elkerülése érdekében.
Nézd, az 1. és 2. háromszög egyenlő a háromszögek második egyenlőségének jelében, a 3. és 4. háromszög megegyezik. A háromszögek egyenlőségéből következik az elemek egyenlősége, nevezetesen a lábak (kék, illetve piros színnel vannak jelölve).
Most figyelem! Ha gondolatban "levágjuk" a kék és piros szegmenst az alsó alapról, akkor lesz egy szegmensünk (ez a téglalap oldala), amely megegyezik a középvonallal. Továbbá, ha a levágott kék és piros vonalat a trapéz felső bázisára "ragasztjuk", akkor a trapéz középvonalával megegyező szakaszt is kapunk (ez egyben a téglalap oldala is).
Megvan? Kiderül, hogy az alapok összege egyenlő lesz a trapéz két középső vonalával:
Lásd egy másik magyarázatot
Tegyük a következőket - építsünk egy egyenest, amely áthalad a trapéz alsó alapján, és egy egyenest, amely áthalad az A és B pontokon:
Az 1-es és a 2-es háromszöget kapjuk, oldaluk és szögeik egyenlőek (a háromszögek egyenlőségének második jele). Ez azt jelenti, hogy a kapott szegmens (a vázlaton kékkel van jelölve) megegyezik a trapéz felső alapjával.
Most nézzük a háromszöget:
* Ennek a trapéznek a középvonala és a háromszög középvonala egybeesik.
Ismeretes, hogy egy háromszög egyenlő a párhuzamos alapja felével, azaz:
Oké, megoldódott. Most a trapéz területéről.
A trapéz terület képlete:
Azt mondják: a trapéz területe egyenlő az alapjai és a magassága felének összegével.
Vagyis kiderül, hogy egyenlő a középvonal és a magasság szorzatával:
Valószínűleg már észrevetted, hogy ez nyilvánvaló. Geometriailag ez a következőképpen fejezhető ki: ha gondolatban levágjuk a 2-es és 4-es háromszöget a trapézból, és feltesszük őket az 1-es és 3-as háromszögekre:
Ezután kapunk egy téglalapot, amelynek területe megegyezik a trapézunk területével. Ennek a téglalapnak a területe egyenlő lesz a középvonal és a magasság szorzatával, vagyis felírhatjuk:
De itt persze nem a felvételen van a lényeg, hanem a megértésben.
Cikkanyag letöltése (megtekintése) * pdf formátumban
Ez minden. Sok sikert neked!
Üdvözlettel, Sándor.
Betöltés ...