A polinomok felosztása "oszlop" ("sarok") szerint. Polinomok sarokkal való osztása Kifejezés felosztása kifejezéssel online

Nyilatkozat

maradék hiányos privát.

Megjegyzés

Bármely $A(x)$ és $B(x)$ polinomhoz (a $B(x)$ mértéke nagyobb, mint 0) egyedi $Q(x)$ és $R(x)$ polinomok állnak rendelkezésre az állítás feltétele.

A maradék a $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinomnak $x^(2) + 1$-val való elosztása után: $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1) (x^(2) + 1) +3x + 4,$
A maradék a $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinom $x^(4) + 1$-val való elosztása után: $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
A maradék a $x^(4) + 3x^(3) +5$ polinom $x^(6) + 1$-val való elosztása után $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Nyilatkozat

Bármely két $A(x)$ és $B(x)$ polinomhoz (ahol a $B(x)$ polinom foka nem nulla), létezik $A(x)$ polinomábrázolás a következő formában $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, ahol $Q(x)$ és $R(x)$ polinomok, és a $R(x)$ mértéke kisebb, mint a $B(x).$ foka

Bizonyíték

Az állítást indukcióval igazoljuk a $A(x).$ polinom fokára. Jelölje $n$. Ha $n = 0$, az állítás igaz: $A(x)$ a következőképpen ábrázolható: $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Most bizonyítsuk be az állítást $n \ leqm$ fokú polinomok. Bizonyítsuk be az állítást $k= n+1.$ fokú polinomokra

Legyen a $B(x)$ polinom foka egyenlő $m$-val. Tekintsünk három esetet: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ és mindegyikre bizonyítsd be az állítást.

$k< m$
A $A(x)$ polinom a következőképpen ábrázolható
$A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$
Az állítás megtörtént.
$k = m$
Legyen a $A(x)$ és $B(x)$ polinomok alakja
$A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \pontok + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(ahol ) \: a_(n+1) \neq 0;$
$B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \pontok + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(ahol ) \: b_(n+1) \neq 0.$
Legyen az $A(x)$ mint
$A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$
Vegye figyelembe, hogy a $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ polinom foka legfeljebb $n+1$, akkor ez a reprezentáció a kívánt egyet, és az állítás teljesül.
$k > m$
Az $A(x)$ polinomot ábrázoljuk az alakban
$A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (ahol) \: a_(n+1) \neq 0.$
Tekintsük a $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1) polinomot. A $ $A"-ként ábrázolható. (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, ahol a $R"(x)$ polinom foka kisebb, mint $m$, akkor a $A(x) reprezentációja $ átírható mint
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$
Vegye figyelembe, hogy a $xR"(x)$ polinom foka kisebb, mint $m+1$, azaz kisebb, mint $k$. Ekkor $xR"(x)$ kielégíti az induktív feltevést, és $ xR"-ként ábrázolható. (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, ahol a $R""(x)$ polinom foka kisebb, mint $m$. Írja át az $A reprezentációt (x)$ hogyan
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$
A $R""(x) + a_(0)$ polinom mértéke kisebb, mint $m$, így az állítás igaz.

Az állítás bebizonyosodott.

Ebben az esetben az $R(x)$ polinomot hívjuk maradék$A(x)$ $B(x)$ és $Q(x)$ elosztásából - hiányos privát.

Ha $R(x)$ maradéka nulla polinom, akkor $A(x)$ osztható $B(x)$-val.

Bizonyítékot kapunk arra, hogy egy polinomokból álló helytelen tört egy polinom és egy megfelelő tört összegeként ábrázolható. Részletesen elemezzük a polinomok sarokkal való osztására és oszloppal való szorzására vonatkozó példákat.

Tartalom

Tétel

Legyen Pk (x), Qn (x) az x változóban lévő k és n fokú polinomok, ahol k ≥ n . Ekkor a P k polinom (x) csak a következő módon ábrázolható:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
ahol S k-n (x)- k-n fokú polinom, U n- 1(x)- n-nél nem magasabb fokú polinom 1 , vagy nulla.

Bizonyíték

A polinom definíciója szerint:
;
;
;
,
ahol p i , q i - ismert együtthatók, s i , u i - ismeretlen együtthatók.

Bemutatjuk a jelölést:
.
Csere be (1) :
;
(2) .
A jobb oldalon lévő első tag egy k fokú polinom. A második és harmadik tag összege legfeljebb k fokos polinom - 1 . Egyenlítsük ki az együtthatókat x k-nél:
p k = s k-n q n.
Ezért s k-n = p k / q n .

Alakítsuk át az egyenletet (2) :
.
Vezessük be a jelölést: .
Mivel s k-n = p k / q n, akkor az x k együtthatója nulla. Ezért - ez egy legfeljebb k fokos polinom - 1 , . Ekkor az előző egyenlet a következőképpen írható át:
(3) .

Ennek az egyenletnek ugyanaz a formája, mint az egyenletnek (1) , csak k értéke lett 1 Kevésbé. Ezt az eljárást k-n-szer megismételve a következő egyenletet kapjuk:
,
amelyből meghatározzuk az U n- polinom együtthatóit 1(x).

Tehát meghatároztuk az összes ismeretlen s i , u l együtthatót. Ráadásul s k-n ≠ 0 . A lemma bevált.

Polinomok felosztása

Az egyenlet mindkét oldalának felosztása (1) a Q n (x), kapunk:
(4) .
A decimális számokhoz hasonlóan S k-n (x) a tört egész részének vagy privátnak nevezzük, U n- 1(x)- az osztály többi része. A polinomok azon törtrészét, amelyben a polinom fokszáma a számlálóban kisebb, mint a nevezőben lévő polinom fokszáma, megfelelő törtnek nevezzük. A polinomok azon törtrészét, amelyben a polinom fokszáma a számlálóban nagyobb vagy egyenlő, mint a nevezőben lévő polinom fokszáma, helytelen törtnek nevezzük.

Az egyenlet (4) megmutatja, hogy a polinomok bármely helytelen törtrésze leegyszerűsíthető, ha egy egész rész és egy megfelelő tört összegeként ábrázolja.

Az egész decimális számok lényegükben polinomok, amelyekben a változó egyenlő a számmal 10 . Vegyük például a 265847 számot. Ez a következőképpen ábrázolható:
.
Vagyis egy ötödik fokú polinomról van szó 10 . A 2, 6, 5, 8, 4, 7 számok a szám 10 hatványaiban kifejezett bővülési együtthatói.

Ezért a polinomok alkalmazhatók a sarokkal való osztás szabályára (ezt néha oszlopos osztásnak is nevezik), amelyet a számok osztására alkalmaznak. Az egyetlen különbség az, hogy polinomok osztásakor nem kell a kilencnél nagyobb számokat magasabb számjegyekre konvertálni. Tekintsük a polinomok sarokkal való felosztását konkrét példák segítségével.

Példa polinomok sarokkal való elosztására

Itt a számláló egy negyedfokú polinom. A nevező egy másodfokú polinom. Mert a 4 ≥ 2 , akkor a tört nem helyes. Az egész részt úgy jelöljük ki, hogy a polinomokat elosztjuk egy sarokkal (egy oszlopban):

Adjuk meg a felosztás folyamatának részletes leírását. Az eredeti polinomokat a bal és jobb oldali oszlopokba írjuk. A nevezőpolinom alatt a jobb oldali oszlopban vízszintes vonalat (sarkot) húzunk. Ez alatt a vonal alatt egy szögben a tört egész része lesz.

1.1 Megtaláljuk az egész rész első tagját (a sarok alatt). Ehhez a számláló legmagasabb tagját elosztjuk a nevező legmagasabb tagjával: .

1.2 Szorozni 2x2 x-en 2-3 x + 5:
. Az eredményt a bal oldali oszlopba írjuk:

1.3 A bal oldali oszlopban lévő polinomok különbségét vesszük:

.

Így kaptunk egy köztes eredményt:
.

A jobb oldalon lévő tört helytelen, mert a polinom foka a számlálóban ( 3 ) nagyobb vagy egyenlő, mint a polinom mértéke a nevezőben ( 2 ). Megismételjük a számításokat. Csak most a tört számlálója a bal oldali oszlop utolsó sorában található.
2.1 Ossza el a számláló rangidős tagját a nevező rangidős tagjával: ;

2.2 Megszorozzuk a nevezővel: ;

2.3 És vonjuk ki a bal oldali oszlop utolsó sorából: ;

Köztes eredmény:
.

Ismételjük meg a számításokat, mivel a jobb oldalon hibás tört található.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Így kaptunk:
.
A jobb oldali tört számlálójában a polinom foka kisebb, mint a nevező polinom foka, 1 < 2 . Ezért a tört helyes.

;
2 x 2 - 4 x + 1 az egész rész;
x- 8 - az osztály többi része.

2. példa

Jelölje ki a tört egész részét, és keresse meg az osztás maradékát:
.

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, mint az előző példában:

Itt az osztás maradéka nulla:
.

Polinomok szorzása oszloppal

A polinomokat meg is szorozhatja egy oszloppal, hasonlóan az egész számok szorzásához. Nézzünk konkrét példákat.

Példa polinomok szorzására oszloppal

Keresse meg a polinomok szorzatát:
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk, igazítva x hatványait.

3
;
;
;
.

Megjegyezzük, hogy csak az együtthatók írhatók fel, és az x változó hatványai elhagyhatók. Ekkor a polinomok oszlopával való szorzás így fog kinézni:

2. példa

Keresse meg a polinomok szorzatát egy oszlopban:
.

Ha polinomokat szorozunk egy oszloppal, fontos, hogy az x változó azonos hatványait írjuk egymás alá. Ha x egyes hatványait kihagyjuk, akkor azokat kifejezetten nullával szorozva kell felírni, vagy szóközt kell hagyni.

Ebben a példában néhány fokot kihagytunk. Ezért kifejezetten, nullával szorozva írjuk őket:
.
A polinomokat megszorozzuk egy oszloppal.

1 Az eredeti polinomokat egymás alá írjuk egy oszlopba, és húzunk egy vonalat.

2.1 A második polinom legalacsonyabb tagját megszorozzuk az első polinommal:
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk.

2.2 A második polinom következő tagja nulla. Ezért az első polinom szorzata is egyenlő nullával. A null sor elhagyható.

2.3 A második polinom következő tagját megszorozzuk az első polinommal:
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk, igazítva x hatványait.

2.3 A második polinom következő (legnagyobb) tagját megszorozzuk az első polinommal:
.
Az eredményt egy oszlopba írjuk, igazítva x hatványait.

3 Miután a második polinom összes tagját megszoroztuk az elsővel, húzunk egy vonalat, és hozzáadjuk az azonos x hatványú tagokat:
.

A monom általános képe

f(x)=axn, ahol:

-a- együttható, amely bármelyik halmazhoz tartozhat N, Z, Q, R, C

-x- változó

-n a halmazhoz tartozó kitevő N

Két monom hasonló, ha ugyanaz a változó és ugyanaz a kitevőjük.

Példák: 3x2és -5x2; ½ x 4és 2√3x4

Az egymáshoz nem hasonló monomiumok összegét polinomnak (vagy polinomnak) nevezzük. Ebben az esetben a monomok a polinom tagjai. A két tagot tartalmazó polinomot binomiálisnak (vagy binomiálisnak) nevezzük.
Példa: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
A három tagot tartalmazó polinomot trinomiálisnak nevezzük.

Egy változós polinom általános alakja

ahol:

a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 a polinom együtthatói. Lehetnek természetes, egész, racionális, valós vagy komplex számok.
a n- együttható a legmagasabb kitevővel rendelkező tagnál (vezető együttható)
egy 0- együttható a legkisebb kitevővel rendelkező tagnál (szabad tag vagy állandó)
n- polinom fokozat

1. példa
p(x)=5x3 -2x2 +7x-1

harmadfokú polinom együtthatókkal 5, -2, 7 és -1
5 - vezető tényező
-1 - ingyenes tag
x- változó

2. példa
h(x)=-2√3x4 +½x-4

negyedfokú polinom együtthatókkal -2√3.½és -4
-2√3 - vezető tényező
-4 - ingyenes tag
x- változó

Polinom felosztás

p(x)és q(x)- két polinom:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Egy osztás hányadosának és maradékának megtalálása p(x) a q(x), a következő algoritmust kell használnia:

Fokozat p(x) nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie, mint q(x).
Mindkét polinomot csökkenő sorrendben kell felírnunk. Ha be p(x) nincs semmilyen fokozatú tag, hozzá kell adni 0 együtthatóval.
Vezető tag p(x) vezető tagra osztva q(x), és az eredményt az elválasztó vonal alá írjuk (a nevezőben).
Az eredményt megszorozzuk az összes taggal q(x)és az eredményt ellentétes előjelekkel írd a feltételek alá p(x) a megfelelő fokozatokkal.
Termenként hozzáadjuk az azonos fokozatú kifejezéseket.
A fennmaradó feltételeket az eredményhez rendeljük p(x).
A kapott polinom vezető tagját elosztjuk a polinom első tagjával q(x)és ismételje meg a 3-6.
Ezt az eljárást addig ismételjük, amíg az újonnan kapott polinom egy fokkal kisebb lesz, mint q(x). Ez a polinom lesz az osztás maradéka.
Az osztóvonal alá írt polinom az osztás eredménye (hányados).

1. példa
1. és 2. lépés) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

5) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

6) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Magán

Válasz: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

2. példa
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x2-3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) hányados

Válasz: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Osztás elsőfokú polinommal

Ez a felosztás elvégezhető a fenti algoritmussal, vagy még gyorsabban Horner módszerével.
Ha egy f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, a polinom átírható így f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- elsőfokú polinom ⇒ q(x)=mx+n
Ekkor a hányadosban lévő polinomnak lesz foka n-1.

Horner módszere szerint $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
ahol b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- magán. A maradék nulla fokú polinom lesz, mivel a maradékban lévő polinom fokszámának kisebbnek kell lennie az osztó fokánál.
Osztás maradékkal ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r ha $x_0=-\frac(n)(m)$
Vegye figyelembe, hogy p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

3. példa
p(x)=5x4-2x3 +4x2-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 = 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x3 +13x2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r=3,123-7=362
5x4 -2x3 +4x2 -6x-7=(x-3)(5x3 +13x2 +43x+123)+362

4. példa
p(x)=-2x5 +3x4 +x2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x5 +3x4 +0x3 +x2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2 b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4 +7x3 -14x2 +29x-62; r=125
-2x5 +3x4 +x2 -4x+1=(x+2)(-2x4 +7x3 -14x2 +29x-62)+125

5. példa
p(x)=3x3 -5x2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Jobbra c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Jobbra 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) $
Következtetés
Ha egynél nagyobb fokú polinommal osztunk, akkor az algoritmus segítségével meg kell keresnünk a hányadost és a maradékot 1-9 .
Ha osztunk egy elsőfokú polinommal mx+n, majd a hányados és a maradék megkereséséhez Horner metódusát kell használni a következővel: $x_0=-\frac(n)(m)$.
Ha csak a felosztás hátralévő része érdekel minket, elég megtalálni p(x0).
6. példa
p(x)=-4x4 +3x3 +5x2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Legyen kötelező

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Itt a szorzat (2x 3 - 7x 2 + x + 1) és egy tényező (2x - 1) van megadva, - meg kell találni egy másik tényezőt. Ebben a példában azonnal világos (de ez általánosságban nem állapítható meg), hogy a másik, a kívánt tényező vagy hányados is polinom. Ez egyértelmű, mert ez a termék 4 tagból áll, és ez a szorzó csak 2. Azt azonban lehetetlen előre megmondani, hogy a kívánt szorzó hány tagból áll: lehet 2 tag, 3 tag stb. Emlékezve arra, hogy a legmagasabb tag a szorzatból mindig kiderül, ha az egyik tényező legmagasabb tagját megszorozzuk egy másik legmagasabb tagjával (lásd polinom szorzatát egy polinommal), és hogy nem létezhetnek ilyen tagok, biztosak vagyunk benne, hogy 2x 3 (a faktor legmagasabb tagja ez a termék) a keresett szorzó ismeretlen vezető tagjának 2x-es szorzatából származik (ennek a tényezőnek a legmagasabb tagja). Az utolsó megkereséséhez tehát 2x 3-at el kell osztanunk 2x-el - x 2-t kapunk. Ez a közlegény rangidős tagja.

Emlékezzünk vissza arra, hogy ha egy polinomot megszorozunk egy polinommal, az egyik polinom minden tagját meg kell szorozni a másik polinom minden tagjával. Ezért ez a szorzat (2x 3 - 7x 2 + x + 1) az osztó (2x - 1) és a hányados összes tagjának szorzata. De most már megtalálhatjuk az osztó és a hányados első (legmagasabb) tagjának szorzatát, azaz (2x - 1) ∙ x 2; 2x 3 - x 2-t kapunk. Ismerve az osztó szorzatát a hányados összes tagjával (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1), és ismerve az osztó szorzatát a hányados 1. tagjával (it = 2x 3 - x 2), kivonással megtalálhatjuk az osztó szorzatát az összes többivel, kivéve a privát 1. tagjait. Kap

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

A fennmaradó szorzat legmagasabb tagjának (–6x 2) a hányados osztó legmagasabb tagjának (2x) és a maradék legmagasabb tagjának (az 1. tag kivételével) a szorzata kell, hogy legyen. Innen megtaláljuk a maradék hányados szenior tagját. -6x 2 ÷ 2x kell, -3x-ot kapunk. Ez a kívánt hányados második tagja. Ismét megtalálhatjuk az osztó (2x - 1) és a második, éppen megtalált hányados tag szorzatát, azaz -3x.

Kapunk (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Ebből a teljes szorzatból már kivontuk az osztó szorzatát a hányados 1. tagjával, és megkaptuk a maradékot -6x 2 + x + 1, ami az osztó szorzata a többivel, kivéve az 1. tagot. a hányadosból. Kivonva belőle az imént talált szorzatot -6x 2 + 3x, megkapjuk a maradékot, amely az osztó szorzata az összes többivel, kivéve a hányados 1. és 2. tagját:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Ennek a fennmaradó szorzatnak a szenior tagját (–2x) elosztva az osztó szenior tagjával (2x), megkapjuk a hányados többi részének vezető tagját, vagy annak harmadik tagját, (–2x) ÷ 2x = –1, ez a hányados 3. tagja.

Ha megszorozzuk vele az osztót, azt kapjuk

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Az osztónak ezt a szorzatát levonva a hányados 3. tagjával az eddig megmaradt teljes szorzatból, azaz.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

látni fogjuk, hogy példánkban a szorzat fel van osztva a többire, kivéve a hányados = 0 1., 2. és 3. tagjait, amiből arra következtetünk, hogy a hányadosnak nincs több tagja, azaz.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Az előzőekből azt látjuk, hogy: 1) célszerű az osztalék és az osztó feltételeit csökkenő hatványokba rendezni, 2) szükséges valamilyen számítási rendet felállítani. Egy ilyen kényelmes sorrend tekinthető annak, amelyet az aritmetika többértékű számok felosztásánál használ. Ezt követően az összes korábbi számítást az alábbiak szerint rendezzük (további rövid magyarázatok az oldalon találhatók):

Azok a kivonások, amelyekre itt szükség van, a részrész tagjának előjeleinek megváltoztatásával történik, és ezeket a változójeleket a tetejére írjuk.

Igen, meg van írva

Ez azt jelenti, hogy a részrész 2x 3 - x 2 volt, és előjelváltás után -2x 3 + x 2 lett.

A számítások elfogadott elrendezése miatt, amiatt, hogy az osztalék és az osztó tagjai csökkenő hatványokba vannak rendezve, valamint amiatt, hogy mindkét polinomban az x betű fokszáma minden alkalommal 1-gyel csökken, megfordult. ki, hogy az ilyen kifejezések egymás alá vannak írva (például: –7x 2 és +x 2), miért könnyű őket önteni. Megjegyzendő, hogy az osztalék nem minden tagjára van szükség a számítás minden pillanatában. Például a +1 tag nem szükséges abban a pillanatban, amikor a hányados 2. tagja található, és a számítás ezen része leegyszerűsíthető.

További példák:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Rendezd az a betűket csökkenő hatványokba, valamint az osztalékot és az osztót:

(Megjegyzendő, hogy itt az osztalékban 3-as tag hiánya miatt az első kivonásnál kiderült, hogy nem hasonló -a 2 b 2 és -2a 3 b tagok vannak egymás alá írva. Természetesen ezek nem szűkíthető le egy ciklusra, és mindkettő a szolgálati idő alatt van írva).

Mindkét példában jobban oda kell figyelni a hasonló kifejezésekre: 1) a nem hasonló kifejezések gyakran egymás alá vannak írva, és 2) néha (mint például az utolsó példában a -4a n és - kifejezések a n az első kivonásnál) hasonló kifejezések jönnek ki nem egymás alá írva.

Lehetőség van a polinomok felosztását más sorrendben is végrehajtani, nevezetesen: minden alkalommal meg kell keresni a legalacsonyabb tagot vagy az egészet vagy a maradék hányadost. Ebben az esetben célszerű ezeket a polinomokat valamilyen betű növekvő hatványaiba rendezni. Például:

Ez a cikk a racionális törteket, az egész számok kiválasztását tárgyalja. A törtek helyesek és rosszak. Ha a számláló kisebb, mint a nevező egy törtben, az megfelelő tört, és fordítva.

Vegyünk példákat a helyes törtekre: 1 2, 9 29, 8 17, helytelen: 16 3, 21 20, 301 24.

Kiszámoljuk a csökkenthető törteket, azaz 12 16 az 3 4, 21 14 az 3 2.

Az egész rész kiválasztásakor a számlálónak a nevezővel való elosztása történik. Ekkor egy ilyen tört egy egész szám és egy tört rész összegeként ábrázolható, ahol a tört rész az osztás maradékának és a nevezőnek az aránya.

1. példa

Keresse meg a maradékot, ha 27-et osztunk 4-gyel.

Megoldás

Oszloppal kell osztani, akkor azt kapjuk

Tehát 27 4 \u003d egész rész + n és m többi része és bányász \u003d 6 + 3 4

Válasz: maradék 3.

2. példa

Válassza ki a 331 12 és 41 57 teljes részeket.

Megoldás

A nevezőt egy sarok segítségével elosztjuk a számlálóval:

Ezért azt kaptuk, hogy 331 12 \u003d 27 + 7 12.

A második tört helyes, ami azt jelenti, hogy az egész rész egyenlő nullával.

Válasz: 27 és 0 egész részek.

Tekintsük a polinomok osztályozását, más szóval egy tört racionális függvényt. Akkor tekinthető helyesnek, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező mértéke, ellenkező esetben hibásnak minősül.

1. definíció

Polinom osztása polinommal a szöggel való osztás elve szerint történik, és a függvénynek az egész és a tört részek összegeként való ábrázolása.

A polinom lineáris binomiálisra osztásához Horner sémáját használjuk.

3. példa

Ossza el x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2-t a 2 x 2 monomimmal.

Megoldás

Az osztás tulajdonságát felhasználva azt írjuk

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Gyakran az ilyen típusú transzformációt integrálok vételekor hajtják végre.

4. példa

Polinom felosztása polinommal: 2 x 3 + 3 x 3 + x.

Megoldás

Az osztásjel a 2 x 3 + 3 x 3 + x alak törtrészeként írható fel. Most ki kell választania a teljes részt. Ezt úgy tesszük, hogy elosztjuk egy oszloppal. Ezt értjük

Így azt kapjuk, hogy az egész rész értéke - 2 x + 3, akkor az egész kifejezést a következőképpen írjuk fel: 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

5. példa

Oszd meg és keresd meg a maradékot, miután 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 - t elosztod x 3 + 2 x 2 - 1 - gyel .

Megoldás

Rögzítsük a 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 alak törtrészét.

A számláló foka nagyobb, mint a nevezőé, ami azt jelenti, hogy hibás törtünk van. Oszloppal való osztás segítségével válassza ki a teljes részt. Ezt értjük

Ismételjük meg az osztást, és kapjuk:

Innen azt kapjuk, hogy a maradék - 65 x 2 + 10 x - 3, tehát:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2x2-1

Vannak esetek, amikor szükség van egy tört átalakításra is, hogy felfedni lehessen a maradékot az osztás során. Ez így néz ki:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Ez azt jelenti, hogy a maradék 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3-mal való osztásakor - 3 x 2 + 6 x - 4 értéket kap. Az eredmény gyors megtalálásához rövidített szorzási képleteket használnak.

6. példa

Osszuk el 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3-mal.

Megoldás

Írjuk fel az osztást törtként. Azt kapjuk, hogy 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Ne feledje, hogy a számlálóban a kifejezés hozzáadható az összegkockák képletével. Nálunk ez van

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Az adott polinom maradék nélkül osztható.

A megoldáshoz egy kényelmesebb megoldási módszert használnak, és a polinom polinomokkal való osztása a leguniverzálisabb, ezért gyakran használják egész rész kiválasztásánál. A végső bejegyzésnek tartalmaznia kell az osztás eredményeként kapott polinomot.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt