A természetes logaritmus függvény grafikonja. A függvény növekedésével lassan megközelíti a pozitív végtelent xés gyorsan megközelíti a negatív végtelent, amikor x 0-ra hajlamos ("lassú" és "gyors" bármely teljesítményfüggvényhez képest x).
Természetes logaritmus a bázis logaritmusa , Ahol e- irracionális állandó, amely körülbelül 2,718281 828. A természetes logaritmus általában ln( x), napló e (x) vagy néha csak log( x), ha az alap e hallgatólagos.
Szám természetes logaritmusa x(így írva ln(x)) az a kitevő, amelyre a számot emelni kell e, Megszerezni x. Például, ln(7,389...) egyenlő 2-vel, mert e 2 =7,389... . Magának a számnak a természetes logaritmusa e (ln(e)) egyenlő 1-gyel, mert e 1 = e, és a természetes logaritmus 1 ( ln(1)) egyenlő 0-val, mert e 0 = 1.
A természetes logaritmus bármely pozitív valós számra meghatározható a mint a görbe alatti terület y = 1/x 1-től a. Ennek a definíciónak az egyszerűsége, amely összhangban van sok más természetes logaritmust használó formulával, a „természetes” elnevezéshez vezetett. Ez a meghatározás kiterjeszthető a komplex számokra is, amint azt alább tárgyaljuk.
Ha a természetes logaritmust egy valós változó valós függvényének tekintjük, akkor ez az exponenciális függvény inverz függvénye, amely az azonosságokhoz vezet:
Mint minden logaritmus, a természetes logaritmus is leképezi a szorzást az összeadásra:
Így a logaritmikus függvény a pozitív valós számok csoportjának izomorfizmusa a csoporttal való szorzás tekintetében. valós számokösszeadással, amely függvényként ábrázolható:
A logaritmus 1-től eltérő bármely pozitív bázisra definiálható, nem csak e, de a többi bázis logaritmusa csak konstans tényezővel tér el a természetes logaritmustól, és általában a természetes logaritmus alapján határozzák meg. A logaritmusok hasznosak olyan egyenletek megoldására, amelyekben az ismeretlenek kitevőként szerepelnek. Például logaritmusokat használnak egy ismert felezési idő bomlási állandójának meghatározására, vagy a bomlási idő meghatározására radioaktivitási problémák megoldásában. Fontos szerepet játszanak a matematika és az alkalmazott tudományok számos területén, és a pénzügyekben számos probléma megoldására használják őket, beleértve a kamatos kamat megállapítását is.
Sztori
A természetes logaritmus első említését Nicholas Mercator tette művében Logaritmotechnika, amelyet 1668-ban adtak ki, bár John Spidell matematikatanár már 1619-ben összeállított egy táblázatot a természetes logaritmusokról. Korábban hiperbolikus logaritmusnak nevezték, mert a hiperbola alatti területnek felel meg. Néha Napier-logaritmusnak is nevezik, bár ennek a kifejezésnek az eredeti jelentése némileg eltérő volt.
Kijelölési konvenciók
A természetes logaritmust általában az „ln( x)", logaritmus 10-es bázisig - via "lg(" x)", és az egyéb okokat általában kifejezetten a "napló" szimbólummal jelzik.
Sok diszkrét matematikával, kibernetikával és számítástechnikával foglalkozó műben a szerzők a „log( x)" a logaritmusok esetében a 2. alapra, de ez az egyezmény nem általánosan elfogadott, és pontosítást igényel vagy a használt jelölések listájában, vagy (ilyen lista hiányában) lábjegyzetben vagy megjegyzésben az első használatkor.
A logaritmus argumentuma körüli zárójeleket (ha ez nem vezet a képlet hibás olvasásához) általában elhagyják, és a logaritmus hatványra emelésekor a kitevőt közvetlenül a logaritmus előjeléhez rendelik: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
Angol-amerikai rendszer
A matematikusok, statisztikusok és néhány mérnök általában a természetes logaritmus vagy a „log( x)" vagy "ln( x)", és a 10-es bázis logaritmus jelölésére - "log 10 ( x)».
Egyes mérnökök, biológusok és más szakemberek mindig azt írják, hogy „ln( x)" (vagy alkalmanként "log e ( x)") amikor a természetes logaritmust jelenti, és a "log( x)" ezek log 10-et jelentenek ( x).
log e egy "természetes" logaritmus, mert automatikusan előfordul, és nagyon gyakran megjelenik a matematikában. Vegyük például egy logaritmikus függvény deriváltjának problémáját:
Ha az alap b egyenlő e, akkor a derivált egyszerűen 1/ x, és mikor x= 1 ez a derivált egyenlő 1-gyel. Egy másik ok, amiért az alap e A logaritmusban az a legtermészetesebb, hogy egészen egyszerűen definiálható egy egyszerű integrállal vagy Taylor-sorral, ami más logaritmusokról nem mondható el.
A természetesség további indoklása nem a jelöléssel kapcsolatos. Például számos egyszerű sorozat létezik természetes logaritmussal. Pietro Mengoli és Nicholas Mercator hívta őket logaritmus naturalis néhány évtized, míg Newton és Leibniz kifejlesztette a differenciál- és integrálszámítást.
Meghatározás
Formálisan ln( a) a grafikon görbe alatti területeként definiálható 1/ x 1-től a, azaz integrálként:
Ez valóban logaritmus, mert kielégíti a logaritmus alapvető tulajdonságát:
Ez a következő feltételezéssel igazolható:
Numerikus érték
Számításhoz numerikus érték egy szám természetes logaritmusa, a Taylor-sorozat kiterjesztését a következő formában használhatja:
A jobb konvergencia ráta eléréséhez használhatja a következő identitást:
ln( x), Ahol x> 1, minél közelebb van az érték x 1-re, annál gyorsabb a konvergencia ráta. A logaritmushoz társított azonosságok felhasználhatók a cél eléréséhez:
Ezeket a módszereket már a számológépek megjelenése előtt is alkalmazták, amelyekhez numerikus táblázatokat használtak, és a fent leírtakhoz hasonló manipulációkat végeztek.
Nagy pontosság
A természetes logaritmus nagyszámú precíziós számjegyű kiszámításához a Taylor-sor nem hatékony, mivel a konvergenciája lassú. Alternatív megoldás a Newton-módszer használata olyan exponenciális függvénnyel való invertálásra, amelynek sorozata gyorsabban konvergál.
Alternatíva egy nagyon nagy pontosságú a számítás a következő képlet:
Ahol M az 1 és 4/s számtani-geometriai átlagát jelöli, és
múgy választották ki p pontossági jegyek érhetők el. (A legtöbb esetben m-re 8-as érték is elegendő.) Valójában, ha ezt a módszert alkalmazzuk, a természetes logaritmus Newton-inverze alkalmazható az exponenciális függvény hatékony kiszámítására. (Az ln 2 és pi állandók a kívánt pontossággal előre kiszámíthatók az ismert gyorsan konvergens sorozatok bármelyikével.)
Számítási komplexitás
A természetes logaritmusok számítási összetettsége (a számtani-geometriai átlagot használva) O( M(n)ln n). Itt n a pontosságú számjegyek száma, amelyekre a természetes logaritmust ki kell értékelni, és M(n) a kettő szorzásának számítási bonyolultsága n-jegyű számok.
Folytatva törtek
Bár nincsenek egyszerű folytatólagos törtek a logaritmus ábrázolására, több általánosított folytatólagos tört is használható, többek között:
Komplex logaritmusok
Az exponenciális függvény kiterjeszthető olyan függvényre, amely megadja az alak komplex számát e x tetszőleges komplex számra x, ebben az esetben egy végtelen sorozat komplexszel x. Ez az exponenciális függvény megfordítható egy összetett logaritmus kialakításához, amely így lesz javarészt a közönséges logaritmusok tulajdonságai. Van azonban két nehézség: nincs x, amelyekre e x= 0, és ez kiderül e 2πi = 1 = e 0 . Mivel a multiplicativitási tulajdonság összetett exponenciális függvényre érvényes, akkor e z = e z+2nπi minden komplex számára zés egész n.
A logaritmus nem definiálható a teljes komplex síkon, és még így is többértékű - bármely összetett logaritmus helyettesíthető egy "egyenértékű" logaritmussal, ha hozzáadjuk a 2 tetszőleges egész számú többszörösét πi. Az összetett logaritmus csak az összetett sík egy szeletén lehet egyértékű. Például ln én = 1/2 πi vagy 5/2 πi vagy −3/2 πi stb., és bár én 4 = 1,4 log én 2-ként határozható meg πi, vagy 10 πi vagy −6 πi, stb.
Lásd még
- John Napier - a logaritmus feltalálója
Megjegyzések
- Matematika a fizikai kémiához. - 3. - Akadémiai Kiadó, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Kivonat a 9. oldalból
- J. J. O. Connor és E. F. Robertson Az e szám. A MacTutor Matematikatörténeti archívuma (2001. szeptember). Archivált
- Cajori Flórián A matematika története, 5. kiadás. - AMS Könyvesbolt, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Integrálok becslése polinomok segítségével. Az eredetiből archiválva: 2012. február 12.
Egy pozitív b szám logaritmusa a bázishoz (a>0, a nem egyenlő 1-gyel) egy c szám, így a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Vegye figyelembe, hogy a nem pozitív számok logaritmusa nincs meghatározva. Ezenkívül a logaritmus alapjának egy pozitív számnak kell lennie, amely nem egyenlő 1-gyel. Például, ha a -2 négyzetre emeljük, akkor a 4-et kapjuk, de ez nem jelenti azt, hogy a logaritmus a 4 -2 alapjához egyenlő 2-vel.
Alapvető logaritmikus azonosság
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Fontos, hogy ennek a képletnek a jobb és bal oldalának meghatározása eltérő. Bal oldal csak b>0, a>0 és a ≠ 1 esetén van definiálva. A jobb oldal bármely b esetén definiálva van, és egyáltalán nem függ a-tól. Így az alapvető logaritmikus „azonosság” alkalmazása az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során az OD változásához vezethet.
A logaritmus meghatározásának két nyilvánvaló következménye
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Valóban, amikor az a számot az első hatványra emeljük, ugyanazt a számot kapjuk, ha pedig nulla hatványra emeljük, akkor egyet kapunk.
A szorzat logaritmusa és a hányados logaritmusa
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Szeretném óva inteni az iskolásokat attól, hogy ezeket a képleteket meggondolatlanul használják logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. Ha „balról jobbra” használja őket, az ODZ szűkül, és amikor a logaritmusok összegéről vagy különbségéről a szorzat vagy hányados logaritmusára lépünk, az ODZ kitágul.
Valójában a log a (f (x) g (x)) kifejezés két esetben van definiálva: amikor mindkét függvény szigorúan pozitív, vagy ha f(x) és g(x) egyaránt kisebb, mint nulla.
Ezt a kifejezést a log a f (x) + log a g (x) összegre alakítva kénytelenek vagyunk csak arra az esetre korlátozódni, amikor f(x)>0 és g(x)>0. A terület szűkítése tapasztalható elfogadható értékeket, és ez kategorikusan elfogadhatatlan, mert megoldások elvesztéséhez vezethet. Hasonló probléma áll fenn a (6) képletnél.
A fokszám kivehető a logaritmus előjeléből
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)És ismét szeretném felhívni a pontosságot. Tekintsük a következő példát:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Az egyenlőség bal oldala nyilvánvalóan minden f(x) értékre definiálva van, kivéve a nullát. A jobb oldal csak f(x)>0-ra vonatkozik! Ha kivesszük a fokot a logaritmusból, ismét leszűkítjük az ODZ-t. A fordított eljárás az elfogadható értékek tartományának kiterjesztéséhez vezet. Mindezek a megjegyzések nemcsak a 2. hatványra vonatkoznak, hanem minden páros hatványra is.
Képlet az új alapra költözéshez
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Az a ritka eset, amikor az ODZ nem változik az átalakítás során. Ha bölcsen választotta a c bázist (pozitív és nem egyenlő 1-gyel), az új bázisra költözés képlete teljesen biztonságos.
Ha a b számot választjuk új c alapnak, akkor egy fontosat kapunk különleges eset képletek (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Néhány egyszerű példa logaritmussal
Példa 1. Számítsa ki: log2 + log50.
Megoldás. log2 + log50 = log100 = 2. A logaritmusok összege (5) képletét és a decimális logaritmus definícióját használtuk.
2. példa Számítsa ki: lg125/lg5.
Megoldás. log125/log5 = log 5 125 = 3. Az új bázisra lépés képletét (8) használtuk.
A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek táblázata
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
1.1. Kitevő meghatározása egész kitevőhöz
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X – N alkalommal
1.2. Nulla fok.
Definíció szerint általánosan elfogadott, hogy bármely szám nulla hatványa 1:1.3. Negatív fokozat.
X-N = 1/X N1.4. Törthatvány, gyökér.
X 1/N = X N gyöke.Például: X 1/2 = √X.
1.5. Képlet a képességek hozzáadására.
X (N+M) = X N *X M1.6.A hatványok levonásának képlete.
X (N-M) = X N / X M1.7. Képlet a hatványok szorzására.
X N*M = (X N) M1.8. Képlet egy tört hatványra emelésére.
(X/Y) N = X N /Y N2. E szám.
Az e szám értéke egyenlő a következő határértékkel:E = lim(1+1/N), mint N → ∞.
17 számjegy pontossággal az e szám 2,71828182845904512.
3. Euler-egyenlőség.
Ez az egyenlőség öt, a matematikában különleges szerepet játszó számot köt össze: 0, 1, e, pi, képzeletbeli egység.E (i*pi) + 1 = 0
4. Exponenciális függvény exp(x)
exp(x) = e x5. Az exponenciális függvény deriváltja
Az exponenciális függvénynek van egy figyelemre méltó tulajdonsága: a függvény deriváltja megegyezik magával az exponenciális függvénnyel:(exp(x))" = exp(x)
6. Logaritmus.
6.1. A logaritmusfüggvény definíciója
Ha x = b y, akkor a logaritmus a függvényY = Log b(x).
A logaritmus megmutatja, milyen hatványra kell emelni egy számot - a logaritmus alapját (b), hogy egy adott számot (X) kapjunk. A logaritmusfüggvény nullánál nagyobb X esetén van megadva.
Például: Napló 10 (100) = 2.
6.2. Tizedes logaritmus
Ez a 10-es bázis logaritmusa:Y = Log 10 (x) .
Log(x) jelöléssel: Log(x) = Log 10 (x).
A decimális logaritmus használatára példa a decibel.
6.3. Decibel
A tétel külön oldalon Decibel van kiemelve6.4. Bináris logaritmus
Ez a 2-es alapú logaritmus:Y = Log 2 (x).
Lg(x) jelölése: Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Természetes logaritmus
Ez a logaritmus az e-hez:Y = Log e (x) .
Ln(x) jelölve: Ln(x) = Log e (X)
A természetes logaritmus az exp(X) exponenciális függvény inverz függvénye.
6.6. Jellemző pontok
Loga(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Termék logaritmus képlete
Log a (x*y) = Log a (x)+napló a (y)6.8. Hányados logaritmusának képlete
Log a (x/y) = Log a (x)-napló a (y)6.9. Hatványképlet logaritmusa
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Más bázisú logaritmusra konvertálás képlete
Napló b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Példa:
2. napló (8) = 10. napló (8)/10. napló (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Az életben hasznos képletek
Gyakran problémák merülnek fel a térfogat területre vagy hosszra való konvertálásával, és az inverz probléma - a terület térfogatmá alakítása. Például a táblákat kockákban (köbméterben) adják el, és ki kell számolnunk, hogy egy adott térfogatban mekkora falfelületet lehet lefedni a deszkákkal, lásd a táblák számítását, hány tábla van egy kockában. Vagy ha a fal méretei ismertek, akkor ki kell számítania a téglák számát, lásd a téglaszámítást.
A webhely anyagainak használata megengedett, feltéve, hogy telepítve van a forrásra mutató aktív hivatkozás.
Mi az a logaritmus?
Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Főleg a logaritmusos egyenletek.
Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Ne higgy nekem? Bírság. Most mindössze 10-20 perc alatt:
1. Meg fogod érteni mi az a logaritmus.
2. Tanulj meg egy egész osztályt megoldani exponenciális egyenletek. Még ha nem is hallottál róluk semmit.
3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.
Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismerned, és azt, hogyan emelhetsz egy számot hatványra...
Úgy érzem, kétségei vannak... Nos, oké, jelölje meg az időt! Megy!
Először fejben oldja meg ezt az egyenletet:
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Óra és előadás a következő témákban: "Természetes logaritmusok. A természetes logaritmus alapja. Természetes szám logaritmusa"
Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.
Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 11. évfolyamnak
Interaktív kézikönyv 9–11. osztályos „Trigonometria”
Interaktív kézikönyv 10–11. osztályosoknak "Logaritmusok"
Mi a természetes logaritmus
Srácok, az utolsó órán egy új, különleges számot tanultunk - pl. Ma ezzel a számmal folytatjuk a munkát.Tanulmányoztuk a logaritmusokat, és tudjuk, hogy a logaritmus alapja sok olyan szám lehet, amelyek 0-nál nagyobbak. Ma olyan logaritmusokat is megvizsgálunk, amelyek alapja az e szám. Az ilyen logaritmusokat általában természetes logaritmusnak nevezik. Ennek saját jelölése van: $\ln(n)$ a természetes logaritmus. Ez a bejegyzés megegyezik a következő bejegyzéssel: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Az exponenciális és logaritmikus függvények inverzek, ekkor a természetes logaritmus a függvény inverze: $y=e^x$.
Az inverz függvények szimmetrikusak az $y=x$ egyeneshez képest.
Ábrázoljuk a természetes logaritmust úgy, hogy az exponenciális függvényt az $y=x$ egyeneshez viszonyítva ábrázoljuk.
Érdemes megjegyezni, hogy a $y=e^x$ függvény grafikonjának érintőjének dőlésszöge a (0;1) pontban 45°. Ekkor a természetes logaritmus grafikonjának érintőjének dőlésszöge az (1;0) pontban szintén 45° lesz. Mindkét érintő párhuzamos lesz az $y=x$ egyenessel. Ábrázoljuk az érintőket: 
A $y=\ln(x)$ függvény tulajdonságai
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Se nem páros, se nem páratlan.
3. Növeli az egész definíciós tartományt.
4. Felülről nem, alulról nem korlátozva.
5. Legnagyobb érték nem, nincs minimális érték.
6. Folyamatos.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Felfelé domború.
9. Mindenhol megkülönböztethető.
Tudom felsőbb matematika ez bebizonyosodott egy inverz függvény deriváltja egy adott függvény deriváltjának inverze.
Nincs sok értelme belemenni a bizonyításba, csak írjuk fel a képletet: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Példa.
Számítsa ki a függvény deriváltjának értékét: $y=\ln(2x-7)$ a $x=4$ pontban.
Megoldás.
BAN BEN Általános nézet függvényünket a $y=f(kx+m)$ függvény reprezentálja, ki tudjuk számítani az ilyen függvények deriváltjait.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Számítsuk ki a derivált értékét a kívánt pontban: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Válasz: 2.
Példa.
Rajzolja meg a $y=ln(x)$ függvény grafikonjának érintőjét a $х=е$ pontban.
Megoldás.
Jól emlékszünk egy függvény grafikonjának érintőjének egyenletére az $x=a$ pontban.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sorban kiszámítjuk a szükséges értékeket.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Az érintőegyenlet a $x=e$ pontban a $y=\frac(x)(e)$ függvény.
Ábrázoljuk a természetes logaritmust és az érintővonalat. 
Példa.
Vizsgálja meg a függvényt monotonitásra és szélsőségekre: $y=x^6-6*ln(x)$.
Megoldás.
A $D(y)=(0;+∞)$ függvény definíciós tartománya.
Keressük meg az adott függvény deriváltját:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
A derivált minden x-re létezik a definíciós tartományból, akkor nincsenek kritikus pontok. Keressünk stacioner pontokat:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
A $х=-1$ pont nem tartozik a definíció tartományába. Ekkor van egy stacionárius pontunk $x=1$. Keressük a növekedés és a csökkentés intervallumait: 
$x=1$ pont a minimum pont, akkor $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Válasz: A függvény a szakaszon csökken (0;1], a függvény növekszik a $ sugáron)
Betöltés...