Ez a cikk arról szól tizedesjegyek. Itt megértjük a törtszámok tizedes jelölését, bemutatjuk a tizedestört fogalmát, és példákat adunk a tizedes törtekre. Ezután a tizedes törtek számjegyeiről fogunk beszélni, és megadjuk a számjegyek nevét. Ezek után a végtelen tizedes törtekre koncentrálunk, beszéljünk a periodikus és nem periódusos törtekről. Az alábbiakban felsoroljuk a fő műveleteket tizedesjegyek. Végezetül határozzuk meg a tizedes törtek helyzetét a koordinátanyalábon.
Oldalnavigáció.
Törtszám decimális jelölése
Tizedesjegyek olvasása
Ejtsünk néhány szót a tizedestörtek olvasásának szabályairól.
A megfelelő közönséges törteknek megfelelő tizedes törteket ugyanúgy olvassuk be, mint ezeket a közönséges törteket, először csak a „nulla egész szám” kerül hozzáadásra. Például a 0,12 tizedes tört a 12/100 közönséges törtnek felel meg (értsd: „tizenkét század”), ezért a 0,12 „nulla pont tizenkét századrésznek” minősül.
A vegyes számoknak megfelelő tizedes törteket a rendszer pontosan ugyanúgy olvassa be, mint ezeket a vegyes számokat. Például az 56.002 tizedes tört vegyes számnak felel meg, így az 56.002 tizedes tört „ötvenhat pont két ezrelék”-ként értelmezhető.
Helyek tizedesjegyben
Tizedes törtek írásában, valamint írásban természetes számok, az egyes számjegyek jelentése a helyzetétől függ. Valójában a 3-as szám a 0,3 tizedes törtben három tizedet, a tizedes törtben 0,0003 - három tízezredet, a tizedes törtben pedig 30 000,152 - három tízezret jelent. Szóval beszélhetünk róla tizedes jel, valamint a természetes számok számjegyeiről.
A tizedes törtben lévő számjegyek neve a tizedesjegyig teljesen egybeesik a természetes számok számjegyeinek nevével. A tizedesvessző utáni tizedeshelyek neve pedig a következő táblázatból látható.
Például a 37.051 tizedes törtben a 3-as számjegy a tízes, a 7-es az egységek helyén, a 0 a tizedes helyen, az 5-ös a századik helyen, az 1-es pedig az ezredhelyen van.
A tizedes törtek helyeinek elsőbbsége is különbözik. Ha egy tizedes tört írásakor balról jobbra haladunk számjegyről számjegyre, akkor innen lépünk idősek Nak nek junior rangok. Például a százas hely régebbi, mint a tizedes hely, és a milliós hely alacsonyabb, mint a százas hely. Adott utolsó tizedes törtben beszélhetünk a fő- és mellékjegyekről. Például tizedes törtben 604,9387 idősebb (legmagasabb) a hely a százas hely, és junior (legalacsonyabb)- tízezres számjegy.
A tizedes törteknél a számjegyekké történő bővítés megtörténik. Ez hasonló a természetes számok számjegyeivé történő kiterjesztéséhez. Például a 45,6072 tizedesjegyekre történő kiterjesztése a következő: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A tizedes tört számjegyekre bontásából származó összeadás tulajdonságai pedig lehetővé teszik, hogy továbblépjen ennek a tizedes törtnek a többi megjelenítésére, például 45,6072=45+0,6072 vagy 45,6072=40,6+5,007+0,0002 vagy 45,6072=724+5072 0.6.
Záró tizedesjegyek
Eddig csak a tizedes törtekről beszéltünk, amelyek jelölésében a tizedesvessző után véges számú számjegy található. Az ilyen törteket véges tizedesjegyeknek nevezzük.
Meghatározás.
Záró tizedesjegyek- Ezek tizedes törtek, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.
Íme néhány példa a végső tizedes törtekre: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Azonban nem minden tört ábrázolható utolsó tizedesjegyként. Például az 5/13 tört nem helyettesíthető egyenlő törttel a 10, 100, ... nevezők egyikével, ezért nem konvertálható végső tizedes törtté. Erről bővebben az elmélet részben fogunk beszélni, a közönséges törteket tizedesjegyekké alakítva.
Végtelen tizedesjegyek: periódusos törtek és nem periódusos törtek
Ha a tizedesvessző után tizedes törtet írunk, akkor feltételezhetjük, hogy végtelen számú számjegy lehet. Ebben az esetben az úgynevezett végtelen tizedes törteket fogjuk figyelembe venni.
Meghatározás.
Végtelen tizedesjegy- Ezek tizedes törtek, amelyek végtelen számú számjegyet tartalmaznak.
Nyilvánvaló, hogy végtelen tizedes törteket nem írhatunk fel teljes formában, ezért rögzítésükben a tizedesvessző után csak bizonyos véges számú számjegyre szorítkozunk, és egy végtelenül folytatódó számjegysorozatot jelző ellipszist teszünk. Íme néhány példa a végtelen tizedes törtekre: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Ha alaposan megnézzük az utolsó két végtelen tizedes törtet, akkor a 2,111111111... törtben jól látható a végtelenül ismétlődő 1-es szám, a 69.74152152152... törtben pedig a harmadik tizedesjegytől kezdve ismétlődő számcsoport Az 1, 5 és 2 jól látható. Az ilyen végtelen tizedes törteket periodikusnak nevezzük.
Meghatározás.
Periodikus tizedesjegyek(vagy egyszerűen periodikus törtek) végtelenített tizedes törtek, amelyek rögzítésében egy bizonyos tizedesjegytől kezdve valamilyen szám vagy számcsoport vég nélkül ismétlődik, amit ún. tört időszaka.
Például a 2,111111111... periodikus tört periódusa az 1-es számjegy, a 69,74152152152... tört periódusa pedig a 152 alakú számjegyek csoportja.
A végtelen periodikus tizedes törtek esetén elfogadott különleges forma rekordokat. A rövidség kedvéért megállapodtunk abban, hogy egyszer felírjuk az időszakot, zárójelben. Például a 2.111111111... periodikus tört 2,(1) , a 69.74152152152... periodikus tört pedig 69.74(152) .
Érdemes megjegyezni, hogy ugyanahhoz a periodikus tizedes törthez megadható különböző időszakok. Például a 0,73333... periodikus tizedes tört 0,7(3) törtnek tekinthető 3-as periódussal, és 0,7(33) törtnek is 33-as periódussal, és így tovább, 0,7(333), 0,7 (3333), ... Megnézheti a 0,73333 ... periodikus törtet is így: 0,733(3), vagy így 0,73(333), stb. Itt a félreérthetőségek és eltérések elkerülése érdekében megállapodunk abban, hogy a tizedes tört periódusának tekintjük az ismétlődő számjegyek lehetséges sorozata közül a legrövidebbet, és a tizedesvesszőhöz legközelebbi pozíciótól kezdve. Vagyis a 0,73333... tizedes tört periódusát egy 3-as számjegyből álló sorozatnak tekintjük, és a periodicitás a tizedesvessző utáni második helyről indul, azaz 0,73333...=0,7(3). Egy másik példa: a 4,7412121212... periodikus tört 12-es periódusú, a periodicitás a tizedesvessző utáni harmadik számjegytől kezdődik, azaz 4,7412121212...=4,74(12).
Végtelen tizedes törteket kapunk, ha tizedes törtté alakítjuk át közönséges törtek, amelynek nevezője 2-től és 5-től eltérő prímtényezőket tartalmaz.
Itt érdemes megemlíteni a 9-es periódusú periodikus törteket. Mondjunk példákat ilyen törtekre: 6.43(9) , 27,(9) . Ezek a törtek a 0 periódusú periodikus törtek másik jelölése, és általában 0 periódusú periodikus törtekre cserélik őket. Ehhez a 9. periódus helyére 0. periódus lép, a következő legmagasabb számjegy értéke pedig eggyel nő. Például a 7.24(9) forma 9. periódusú törtje helyébe a 7.25(0) forma 0. periódusú időszakos törtje vagy egy ezzel megegyező utolsó tizedes tört 7.25 kerül. Egy másik példa: 4,(9)=5,(0)=5. A 9. periódusú tört és a megfelelő tört 0. periódusú tört egyenlősége könnyen megállapítható, miután ezeket a tizedes törteket egyenlő közönséges törtekre cseréljük.
Végül nézzük meg közelebbről a végtelen tizedes törteket, amelyek nem tartalmaznak végtelenül ismétlődő számjegysorozatot. Nem periodikusnak nevezik őket.
Meghatározás.
Nem ismétlődő tizedesjegyek(vagy egyszerűen nem periodikus törtek) végtelen tizedes törtek, amelyeknek nincs pontjuk.
Néha a nem periódusos törtek alakja hasonló a periodikus törtek alakjához, például a 8.02002000200002... egy nem periódusos tört. Ezekben az esetekben különösen óvatosnak kell lennie, hogy észrevegye a különbséget.
Vegye figyelembe, hogy a nem periodikus törtek nem alakulnak át közönséges törtekké; a végtelen nem periodikus tizedes törtek irracionális számokat jelentenek.
Műveletek tizedesjegyekkel
A tizedes törtekkel végzett műveletek egyike az összehasonlítás, és a négy alapvető aritmetikai függvény is meghatározásra kerül. műveletek tizedesjegyekkel: összeadás, kivonás, szorzás és osztás. Tekintsük külön a tizedes törtekkel végzett műveleteket.
A tizedesjegyek összehasonlítása alapvetően az összehasonlított tizedes törteknek megfelelő közönséges törtek összehasonlításán alapul. A tizedes törtek közönséges törtekké alakítása azonban meglehetősen munkaigényes folyamat, és a végtelen nem periódusos törteket nem lehet közönséges törtként ábrázolni, ezért célszerű a tizedes törtek hely szerinti összehasonlítását használni. A tizedes törtek hely szerinti összehasonlítása hasonló a természetes számok összehasonlításához. Részletesebb információkért javasoljuk a cikk tanulmányozását: tizedes törtek összehasonlítása, szabályok, példák, megoldások.
Menjünk tovább következő akció - tizedesjegyek szorzata. A véges tizedes törtek szorzása a tizedes törtek kivonásához hasonlóan történik, szabályok, példák, megoldások a természetes számok oszlopával való szorzásra. Periodikus törtek esetén a szorzás a közönséges törtek szorzására redukálható. A végtelen nem periódusos tizedes törtek szorzata pedig kerekítésük után véges tizedes törtek szorzására redukálódik. Javasoljuk a cikk anyagának további tanulmányozását: tizedes törtek szorzása, szabályok, példák, megoldások.
Tizedesjegyek a koordináta-sugáron
A pontok és a tizedesjegyek között egy az egyhez egyezés van.
Nézzük meg, hogyan épülnek fel a koordinátasugár azon pontjai, amelyek megfelelnek egy adott tizedes törtnek.
A véges tizedes törteket és a végtelen periodikus tizedes törteket lecserélhetjük egyenlő közönséges törtekre, majd a megfelelő közönséges törteket a koordinátasugáron megszerkeszthetjük. Például az 1,4 tizedes tört a 14/10 közönséges törtnek felel meg, így az 1,4 koordinátájú pontot pozitív irányban 14 szegmenssel távolítják el az origótól, ami egy egységszegmens tizedének felel meg.
Egy adott tizedes tört számjegyekre bontásától kezdve a tizedes törtek jelölhetők egy koordinátasugáron. Például fel kell építenünk egy 16.3007 koordinátájú pontot, hiszen 16.3007=16+0.3+0.0007, akkor a koordináták origójából 16 egységnyi szegmens szekvenciális lerakásával juthatunk el idáig, 3 olyan szegmensből, amelyek hossza egy tizeddel egyenlő. egy egység és 7 szegmens, amelyek hossza megegyezik az egységszakasz tízezrelékével.
Ez az építési mód decimális számok a koordináta-sugáron lehetővé teszi, hogy tetszés szerint közel kerüljön a végtelen tizedes törtnek megfelelő ponthoz.
Néha lehetséges a végtelen tizedes törtnek megfelelő pont pontos ábrázolása. Például, 
, akkor ez a végtelen tizedes tört 1,41421... megfelel a koordinátasugár azon pontjának, amely egy egységnyi szegmens oldalával rendelkező négyzet átlójának hosszával távolodik a koordináták origójától.
A koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes tört megszerzésének fordított folyamata az ún. egy szegmens decimális mérése. Találjuk ki, hogyan történik.
Legyen a feladatunk, hogy az origóból eljussunk a koordinátaegyenes adott pontjába (vagy végtelenül megközelítsük, ha nem tudunk eljutni). Egy szegmens decimális mérésével szekvenciálisan leválaszthatunk az origóból tetszőleges számú egységszakaszt, majd olyan szegmenseket, amelyek hossza egyenlő az egység tizedével, majd olyan szegmenseket, amelyek hossza egyenlő az egység századával stb. Az egyes hosszúságú szakaszok számának rögzítésével megkapjuk a koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes törtet.
Például a fenti ábra M pontjához való eljutáshoz félre kell tenni 1 egységnyi szegmenst és 4 szegmenst, amelyek hossza megegyezik az egység tizedével. Így az M pont az 1.4 tizedes törtnek felel meg.
Nyilvánvaló, hogy a koordináta sugár azon pontjai, amelyek a tizedesmérés során nem érhetők el, végtelen tizedes törteknek felelnek meg.
Bibliográfia.
- Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.
Mint ismeretes, a racionális számok halmaza (Q) tartalmazza az egész számok halmazát (Z), amely viszont magában foglalja a természetes számok halmazát (N). A racionális számok az egész számok mellett törteket is tartalmaznak.
Miért tekintik akkor a racionális számok egész halmazát néha végtelen periodikus tizedes törtnek? Valójában a törtek mellett egész számokat, valamint nem periodikus törteket is tartalmaznak.
Az a tény, hogy minden egész szám, akárcsak bármely tört, végtelen periodikus tizedes törtként ábrázolható. Vagyis minden racionális számhoz ugyanazt a rögzítési módszert használhatja.
Hogyan ábrázolható a végtelen periodikus decimális? Ebben a tizedesvessző után ismétlődő számcsoport kerül zárójelbe. Például az 1,56(12) olyan tört, amelyben a 12-es számjegyek csoportja ismétlődik, azaz a tört értéke 1,561212121212... és így tovább a végtelenségig. Az ismétlődő számcsoportokat pontnak nevezzük.
Bármely számot ábrázolhatunk azonban ebben az alakban, ha a periódusát a szintén végtelenül ismétlődő 0 számnak tekintjük. Például a 2-es szám ugyanaz, mint 2,00000... Ezért felírható végtelen periodikus törtként, azaz 2,(0).
Ugyanez megtehető bármely véges törttel. Például:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
A gyakorlatban azonban nem alkalmazzák a véges tört végtelen periodikussá való átalakítását. Ezért elválasztják a véges és a végtelen periodikus törteket. Így helyesebb azt mondani, hogy a racionális számok tartalmazzák
- minden egész szám
- végső frakciók,
- végtelen periodikus törtek.
Ugyanakkor egyszerűen ne feledje, hogy az egész számok és a véges törtek elméletben végtelen periodikus törtek formájában ábrázolhatók.
Másrészt a fogalmak véges ill végtelen tört tizedes törtekre vonatkozik. Ha törtekről van szó, mind a véges, mind a végtelen tizedesjegyek egyedileg ábrázolhatók törtként. Ez azt jelenti, hogy a közönséges törtek szempontjából a periodikus és a véges törtek ugyanazok. Ezenkívül az egész számokat törtként is ábrázolhatjuk, ha elképzeljük, hogy a számot elosztjuk 1-gyel.
Hogyan ábrázolhatunk egy tizedes végtelen periodikus törtet közönséges törtként? A leggyakrabban használt algoritmus a következő:
- Csökkentse a törtet úgy, hogy a tizedesvessző után csak pont legyen.
- Szorozz meg egy végtelen periodikus törtet 10-zel vagy 100-zal, vagy ... úgy, hogy a tizedesvessző egy ponttal jobbra mozduljon el (azaz egy pont az egész részbe kerül).
- Az eredeti tört (a) egyenlő az x változóval, és a (b) tört, amelyet úgy kapunk, hogy az N számot megszorozzuk Nx-szel.
- Vonjuk ki az x-et Nx-ből. b-ből kivonom a-t. Vagyis ezek alkotják az Nx – x = b – a egyenletet.
- Egy egyenlet megoldása során az eredmény egy közönséges tört.
Példa egy végtelen periodikus tizedes tört közönséges törté konvertálására:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =
Egy m/n racionális szám tizedes törtként való felírásához el kell osztani a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben a hányadost véges vagy végtelen tizedes törtként írjuk fel.
Írd le adott szám tizedes törtként.
Megoldás. Osszuk el az egyes törtek számlálóját egy oszlopra a nevezőjével: A) osszuk el 6-ot 25-tel; b) ossza el a 2-t 3-mal; V) ossza el az 1-et 2-vel, majd adja hozzá a kapott törtet eggyel - ennek a vegyes számnak az egész részéhez.
Irreducibilis közönséges törtek, amelyek nevezői nem tartalmaznak más prímtényezőket, mint 2 És 5 , végső tizedes törtként íródnak.
BAN BEN példa 1 amikor A) nevező 25=5·5; amikor V) a nevező 2, így a 0,24 és 1,5 utolsó tizedesjegyét kapjuk. Amikor b) a nevező 3, így az eredmény nem írható fel véges tizedesként.
Lehetséges-e hosszú osztás nélkül tizedes törtté alakítani egy olyan közönséges törtet, amelynek nevezője 2-n és 5-ön kívül nem tartalmaz más osztót? Találjuk ki! Melyik törtet nevezzük tizedesnek, és törtsáv nélkül írjuk le? Válasz: 10-es nevezőjű tört; 100; 1000 stb. És ezek a számok mindegyike egy termék egyenlő kettesek és ötösök száma. Valójában: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 stb.
Következésképpen egy redukálhatatlan közönséges tört nevezőjét a „kettes” és az „ötes” szorzataként kell ábrázolni, majd meg kell szorozni 2-vel és (vagy) 5-tel, hogy a „kettes” és az „ötes” egyenlővé váljon. Ekkor a tört nevezője 10 vagy 100 vagy 1000 lesz, stb. Annak érdekében, hogy a tört értéke ne változzon, megszorozzuk a tört számlálóját ugyanazzal a számmal, amellyel a nevezőt megszoroztuk.
Adja meg a következő közönséges törteket tizedesjegyben:
Megoldás. Ezen törtek mindegyike redukálhatatlan. Tekintsük az egyes törtek nevezőjét prímtényezőkbe.
20=2·2·5. Következtetés: egy „A” hiányzik.
8=2·2·2. Következtetés: három „A” hiányzik.
25=5·5. Következtetés: két „kettő” hiányzik.
Megjegyzés. A gyakorlatban gyakran nem alkalmazzák a nevező faktorizálását, hanem egyszerűen felteszik a kérdést: mennyivel kell megszorozni a nevezőt, hogy az eredmény egy legyen nullákkal (10 vagy 100 vagy 1000 stb.). Ezután a számlálót megszorozzuk ugyanazzal a számmal.
Szóval abban az esetben A)(2. példa) a 20-as számból 5-tel szorozva 100-at kaphatunk, ezért a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni 5-tel.
Amikor b)(2. példa) a 8-as számból nem 100-at kapunk, hanem 125-tel megszorozva az 1000-et. A tört számlálóját (3) és nevezőjét (8) is megszorozzuk 125-tel.
Amikor V)(2. példa) 25-ből 100-at kap, ha 4-gyel szoroz. Ez azt jelenti, hogy a 8-as számlálót meg kell szorozni 4-gyel.
Olyan végtelen tizedes törtet hívunk, amelyben egy vagy több számjegy változatlanul ismétlődik ugyanabban a sorozatban időszakos tizedesként. Az ismétlődő számjegyek halmazát e tört periódusának nevezzük. A rövidség kedvéért a tört periódusát egyszer írjuk be, zárójelben.
Amikor b)(1. példa) csak egy ismétlődő számjegy van, és egyenlő 6-tal. Ezért a 0,66... eredményünk így lesz felírva: 0,(6) . Azt olvasták: nulla pont, hat periódusban.
Ha egy vagy több nem ismétlődő számjegy van a tizedespont és az első pont között, akkor az ilyen periodikus törtet vegyes periodikus törtnek nevezzük.
Egy irreducibilis közös tört, melynek nevezője másokkal együtt szorzó szorzót tartalmaz 2 vagy 5 , válik vegyes periodikus tört.
Írja fel a számokat tizedes törtként:
Bármely racionális szám felírható végtelen periodikus tizedes törtként.
Írd fel a számokat végtelen periodikus törtként!
Emlékszel, hogy a tizedesjegyekről szóló legelső leckében azt mondtam, hogy vannak numerikus törtek, amelyeket nem lehet tizedesként ábrázolni (lásd: „Tizedesjegyek”)? Azt is megtanultuk, hogyan kell faktorozni a törtek nevezőit, hogy megnézzük, vannak-e 2-től és 5-től eltérő számok.
Szóval: hazudtam. És ma megtanuljuk, hogyan konvertálhatunk abszolút bármilyen numerikus törtet tizedessé. Ugyanakkor megismerkedünk a törtek egész osztályával, amelyeknek végtelen jelentős része.
A periodikus decimális minden olyan tizedes, amely:
- A jelentős rész végtelen számú számjegyből áll;
- Bizonyos időközönként a jelentős részben szereplő számok ismétlődnek.
A jelentős részt alkotó ismétlődő számjegyek halmazát a tört periodikus részének, az ebben a halmazban lévő számjegyek számát pedig a tört periódusának nevezzük. A jelentős rész fennmaradó szegmensét, amely nem ismétlődik, nem periodikus résznek nevezzük.
Mivel sok definíció létezik, érdemes részletesen megvizsgálni néhányat ezek közül:
Ez a frakció leggyakrabban problémákban jelenik meg. Nem periódusos rész: 0; időszakos rész: 3; időszak hossza: 1.
Nem időszakos rész: 0,58; időszakos rész: 3; időszak hossza: ismét 1.
Nem időszakos rész: 1; időszaki rész: 54; időszak hossza: 2.
Nem periódusos rész: 0; időszaki rész: 641025; periódus hossza: 6. A kényelem kedvéért az ismétlődő részeket szóközzel választjuk el egymástól - ez ebben a megoldásban nem szükséges.
Nem időszakos rész: 3066; időszakos rész: 6; időszak hossza: 1.
Amint láthatja, a periodikus tört meghatározása a koncepción alapul szám jelentős része. Ezért, ha elfelejtette, mi ez, azt javaslom, hogy ismételje meg - lásd a „” leckét”.
Áttérés periodikus tizedes törtre
Tekintsük az a /b alak közönséges törtrészét. Tényezősítsük a nevezőjét prímtényezőkké. Két lehetőség van:
- A kiterjesztés csak a 2-es és 5-ös faktort tartalmazza. Ezek a törtek könnyen tizedesjegyekké alakíthatók – lásd a „Tizedesjegyek” című leckét. Minket nem érdekelnek az ilyen emberek;
- A bővítésben van más is, mint a 2 és az 5. Ebben az esetben a tört nem ábrázolható tizedesként, de átváltható periodikus tizedessé.
A periodikus tizedes tört meghatározásához meg kell találnia a periodikus és nem periodikus részeit. Hogyan? Alakítsa át a törtet helytelen törtté, majd egy sarok segítségével ossza el a számlálót a nevezővel.
A következő fog történni:
- Először szétválik egész rész , ha létezik;
- A tizedesvessző után több szám is lehet;
- Egy idő után elindulnak a számok ismétlés.
Ez minden! A tizedesvessző után ismétlődő számokat a periodikus rész jelöli, az előtte lévőket pedig a nem periódusos rész.
Feladat. A közönséges törtek átalakítása periodikus tizedesjegyekké:
Minden tört egész rész nélkül, ezért a számlálót egyszerűen elosztjuk a nevezővel egy „sarokkal”:
Mint látható, a maradékok ismétlődnek. Írjuk fel a törtet „helyes” formában: 1,733 ... = 1,7(3).
Az eredmény egy tört: 0,5833 ... = 0,58(3).
Írj neki normál forma: 4,0909 ... = 4,(09).
A törtet kapjuk: 0,4141 ... = 0.(41).
Átmenet periodikus tizedes törtről közönséges törtre
Tekintsük a periodikus tizedes tört X = abc (a 1 b 1 c 1). Klasszikus „kétszintessé” kell alakítani. Ehhez kövesse négy egyszerű lépést:
- Keresse meg a tört periódusát, azaz! számolja meg, hány számjegy van a periodikus részben. Legyen ez a k szám;
- Határozzuk meg az X · 10 k kifejezés értékét! Ez egyenértékű a tizedesvessző eltolásával teljes időszak jobbra - lásd a „Tizedesjegyek szorzása és osztása” című leckét;
- Az eredeti kifejezést ki kell vonni a kapott számból. Ebben az esetben a periodikus rész „égetik”, és megmarad közönséges tört;
- Keresse meg X-et a kapott egyenletben. Minden tizedes törtet közönséges törtté alakítunk.
Feladat. Csökkentse a szokásosra helytelen tört számok:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Az első törttel dolgozunk: X = 9,(6) = 9,666 ...
A zárójelben csak egy számjegy szerepel, így a pont k = 1. Ezután ezt a törtet megszorozzuk 10 k = 10 1 = 10-zel.
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Vonja ki az eredeti törtet, és oldja meg az egyenletet:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Most nézzük a második törtet. Tehát X = 32, (39) = 32,393939...
k = 2 periódus, tehát mindent megszoroz 10-zel k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Vonja ki ismét az eredeti törtet, és oldja meg az egyenletet:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Térjünk át a harmadik törtre: X = 0,30(5) = 0,30555... A diagram ugyanaz, ezért csak a számításokat adom:
k = 1 periódus ⇒ mindent megszorozunk 10-zel k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
Végül az utolsó tört: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ismét a kényelem kedvéért a periodikus részeket szóközök választják el egymástól. Nekünk van:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Végtelen tizedesjegy
A tizedesvessző utáni tizedesjegyek végtelen számú számjegyet tartalmazhatnak.
Végtelen tizedesjegy- ezek tizedes törtek, amelyek végtelen számú számjegyet tartalmaznak.
A végtelen tizedes törtet szinte lehetetlen teljesen leírni, ezért felírásakor a tizedesvessző után csak egy bizonyos véges számú számjegyre korlátozódnak, ami után ellipszist tesznek, ami egy végtelenül folytatódó számjegysorozatot jelez.
1. példa
Például: $0,443340831\dots ; 3,1415935432\dots ; 135.126730405\dots ; 4,33333333333\dots ; 676,68349349\dots$.
Nézzük az utolsó két végtelen tizedesjegyet. A $4.33333333333\dots$ törtben a $3$ számjegy vég nélkül ismétlődik, a $676.68349349\dots$ törtben pedig a $3$, $4$ és $9$ számcsoport ismétlődik a harmadik tizedesjegytől. Az ilyen végtelen tizedes törteket periodikusnak nevezzük.
Periodikus tizedesjegyek
Periodikus tizedesjegyek(vagy periodikus törtek) végtelen tizedes törtek, amelyek rögzítésekor valamilyen szám vagy számcsoport, amelyet a tört periódusának nevezünk, egy bizonyos tizedesjegytől vég nélkül ismétlődik).
2. példa
Például a $4,33333333333\dots$ periodikus tört periódusa a $3$ számjegy, a $676.68349349\dots$ tört periódusa pedig a $349$ számjegycsoport.
A végtelen periodikus tizedes törtek írásának rövidsége érdekében a pontot egyszer szokás felírni, zárójelbe téve. Például a $4.33333333333\dots$ periodikus tört $4,(3)$, a $676.68349349\dots$ pedig $676.68(349)$.
A végtelen periodikus tizedes törteket úgy kapjuk meg, hogy azokat a közönséges törteket, amelyek nevezői a $2$-tól és az 5$-tól eltérő prímtényezőket tartalmaznak, tizedes törtekké alakítjuk.
Bármely véges tizedes tört (és egész szám) periodikus törtként írható fel, ha végtelen számú számjegyet adunk hozzá a jobb oldalra ($0$).
3. példa
Például a véges tizedes $45.12$ periodikus törtként írható fel $45.12(0)$-ként, a $(74)$ egész szám pedig végtelen periodikus tizedesként $74(0)$ lenne.
9-es periódusú periodikus törtek esetén használjon átmenetet egy $0$ periódusú periodikus tört másik jelölésére. Csak erre a célra a 9. periódust a $0$ periódus helyettesíti, a következő legmagasabb számjegy értékét pedig $1$-al növeljük.
4. példa
Például a $7.45(9)$ periódusos tört helyettesíthető a $7.46(0)$ periódusos törttel vagy az ezzel egyenértékű tizedes törttel: $7.46$.
A végtelen decimális periodikus törteket racionális számok ábrázolják. Más szavakkal, bármely periodikus tört átalakítható közönséges törtté, és bármely közönséges tört periodikus törtként ábrázolható.
Törtek átalakítása véges és végtelen periodikus tizedesjegyekké
Nem csak a $10, 100, \dots$ nevezővel rendelkező közönséges törtek konvertálhatók tizedes törtté.
Bizonyos esetekben az eredeti közönséges tört könnyen lecsökkenthető $10$, $100$ vagy $1\000$ nevezőre, ami után a kapott tört tizedes törtként ábrázolható.
5. példa
A $\frac(3)(5)$ törtnek $10$ nevezőjű törtté alakításához meg kell szorozni a tört számlálóját és nevezőjét $2$-tal, ami után megkapjuk a $\frac(6)( 10)$, amit nem nehéz 0,6$ tizedes törtre lefordítani.
Más esetekben egy másik módszert használnak a közönséges tört decimálissá alakítására:
a számlálót tizedes törtre kell cserélni, a tizedesvessző után tetszőleges számú nullával;
a tört számlálóját osszuk el a nevezővel (az osztást természetes számok oszlopra osztásaként hajtjuk végre, és a hányadosban tizedesvesszőt teszünk az osztó teljes részének osztása után).
6. példa
Alakítsa át a $\frac(621)(4)$ törtet tizedesvesszővé.
Megoldás.
A számlálóban a $621$ számot tizedes törtként ábrázoljuk. Ehhez adjunk hozzá egy tizedesvesszőt, és először két nullát utána. Ezután, ha szükséges, hozzáadhat további nullákat. Tehát 621,00 dollárt kaptunk.
Osszuk el a $621.00$ számot $4$-tal egy oszlopra:
1. kép
Az osztalék elérte a tizedespontot az osztalékban, a maradék pedig nem nulla. Ebben az esetben egy tizedesvessző kerül a hányadosba, és az osztás egy oszlopban folytatódik, függetlenül a vesszőtől:
2. ábra.
A maradék nulla, ami azt jelenti, hogy az osztás véget ért.
Válasz: $155,25$.
Lehetséges, hogy egy közönséges tört számlálójának és nevezőjének elosztása esetén a maradék nem eredményez $0$-t. Ebben az esetben a felosztás korlátlanul folytatható. Egy bizonyos pillanattól kezdve az osztás maradékai periodikusan ismétlődnek, ami azt jelenti, hogy a hányadosban szereplő számok is ismétlődnek. Ebből arra következtethetünk, hogy ez a közönséges tört végtelen periodikus tizedes törtté alakul át.
7. példa
Alakítsa át a $\frac(19)(44)$ törtet tizedesjegyre.
Megoldás.)
Egy közönséges tört tizedesjegyre konvertálásához hajtsa végre a hosszú osztást:
3. ábra.
Az osztás során a maradék $8$ és $36$ ismétlődik, és a hányadosban a $1$ és $8$ számok is ismétlődnek. Tehát az eredeti közönséges tört $\frac(19)(44)$ egy $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$ periodikus törtté alakult.
Válasz: $0,43(18)$.
Általános következtetés a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításáról:
ha a nevező prímtényezőkre bontható, amelyek között csak a $2$ és $5$ számok lesznek jelen, akkor egy ilyen tört végső tizedes törtté alakítható;
ha a nevező kiterjesztése a $2$ és $5$ számokon kívül más prímszámokat is tartalmaz, akkor egy ilyen tört végtelen tizedes periodikus törtté alakul.
Betöltés...