Salah satu topik yang paling sulit bagi siswa adalah menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Mari kita cari tahu dulu apa hubungannya? Mengapa, misalnya, sebagian besar anak-anak memecahkan persamaan kuadrat seperti kacang, tetapi persamaan ini jauh dari yang terbaik? konsep yang kompleks Mengapa modul ini mempunyai begitu banyak masalah?
Menurut pendapat saya, semua kesulitan ini disebabkan oleh kurangnya aturan yang dirumuskan dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, putuskan persamaan kuadrat, siswa mengetahui dengan pasti bahwa ia perlu menerapkan rumus diskriminan terlebih dahulu, baru kemudian rumus akar-akar persamaan kuadrat. Apa yang harus dilakukan jika modulus ditemukan dalam persamaan? Kami akan mencoba menjelaskan dengan jelas rencana tindakan yang diperlukan untuk kasus ketika persamaan mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami akan memberikan beberapa contoh untuk setiap kasus.
Tapi pertama-tama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulo nomornya A nomor ini sendiri disebut jika A non-negatif dan -A, jika nomor A kurang dari nol. Anda dapat menulisnya seperti ini:
|sebuah| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0
Membicarakan tentang pengertian geometris modul, harus diingat bahwa setiap bilangan real berhubungan dengan titik tertentu pada sumbu bilangan - ke 
koordinat. Jadi, modul atau nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak dari titik tersebut ke titik asal sumbu bilangan. Jarak selalu ditentukan sebagai bilangan positif. Jadi, modul apa pun angka negatif adalah bilangan positif. Ngomong-ngomong, bahkan pada tahap ini, banyak siswa yang mulai bingung. Modul bisa berisi bilangan apa saja, namun hasil penggunaan modul selalu berupa bilangan positif.
Sekarang mari kita langsung menyelesaikan persamaannya.
1. Perhatikan persamaan bentuk |x| = c, dimana c adalah bilangan real. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi modulus.
Kita bagi semua bilangan real menjadi tiga kelompok: bilangan yang lebih besar dari nol, bilangan yang lebih kecil dari nol, dan golongan ketiga adalah bilangan 0. Kita tuliskan penyelesaiannya dalam bentuk diagram:
(±c, jika c > 0
Jika |x| = c, maka x = (0, jika c = 0
(tidak ada akar jika dengan< 0
1) |x| = 5, karena 5 > 0, maka x = ±5;
2) |x| = -5, karena -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, maka x = 0.
2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, dimana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, modul harus dihilangkan. Kita melakukannya dengan cara ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang Anda perlu menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan secara terpisah. Jika pada persamaan awal b< 0, решений не будет.
1) |x+2| = 4, karena 4 > 0, lalu
x + 2 = 4 atau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, karena 11 > 0, lalu
x 2 – 5 = 11 atau x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 tanpa akar
3) |x 2 – 5x| = -8, karena -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Persamaan berbentuk |f(x)| =g(x). Menurut pengertian modul, persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian jika ruas kanannya lebih besar atau sama dengan nol, yaitu. g(x) ≥ 0. Maka kita akan mendapatkan:
f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Persamaan ini akan berakar jika 5x – 10 ≥ 0. Di sinilah penyelesaian persamaan tersebut dimulai.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Solusi:
2x – 1 = 5x – 10 atau 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kami menggabungkan O.D.Z. dan penyelesaiannya, kita peroleh:
Akar x = 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., kurang dari 2, tetapi x = 3 memenuhi kondisi ini.
Jawaban: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Solusi:
x – 1 = 1 – x 2 atau x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1
3. Kami menggabungkan solusi dan O.D.Z.:
Hanya akar x = 1 dan x = 0 yang cocok.
Jawaban: x = 0, x = 1.
4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan tersebut setara dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini setara dengan dua persamaan berikut:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 atau x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1
Jawaban: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Persamaan diselesaikan dengan metode substitusi (penggantian variabel). Metode ini solusi paling mudah untuk dijelaskan contoh spesifik. Jadi, diberikan persamaan kuadrat dengan modulus:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, sehingga persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka diperoleh:
t 2 – 6t + 5 = 0. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan bahwa t = 1 atau t = 5. Mari kita kembali ke penggantian:
|x| = 1 atau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jawaban: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Mari kita lihat contoh lainnya:
x 2 + |x| – 2 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, oleh karena itu
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka:
t 2 + t – 2 = 0. Selesaikan persamaan ini, kita peroleh t = -2 atau t = 1. Mari kembali ke penggantian:
|x| = -2 atau |x| = 1
Tidak ada akar x = ± 1
Jawaban: x = -1, x = 1.
6. Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus “kompleks”. Persamaan tersebut mencakup persamaan yang memiliki “modul di dalam modul”. Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti modul.
1) |3 – |x|| = 4. Kita akan bertindak dengan cara yang sama seperti persamaan tipe kedua. Karena 4 > 0, maka kita mendapatkan dua persamaan:
3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.
Sekarang mari kita nyatakan modulus x pada setiap persamaan, lalu |x| = -1 atau |x| = 7.
Kami menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan. Tidak ada akar pada persamaan pertama, karena -1< 0, а во втором x = ±7.
Jawab x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Kita selesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:
3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tidak ada akar.
Jawaban: x = -3, x = 1.
Ada juga metode universal menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah metode interval. Tapi kita akan melihatnya nanti.
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Kami tidak memilih matematika profesinya, dan dia memilih kita.
Matematikawan Rusia Yu.I. Manin
Persamaan dengan modulus
Masalah yang paling sulit diselesaikan dalam matematika sekolah adalah persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Agar berhasil menyelesaikan persamaan tersebut, Anda perlu mengetahui definisi dan sifat dasar modul. Secara alami, siswa harus memiliki keterampilan menyelesaikan persamaan jenis ini.
Konsep dan sifat dasar
Modulus (nilai absolut) suatu bilangan real dilambangkan dengan dan didefinisikan sebagai berikut:
KE properti sederhana modul mencakup hubungan berikut:
Catatan, bahwa dua properti terakhir berlaku untuk derajat genap apa pun.
Apalagi jika, dimana, lalu dan
Properti modul yang lebih kompleks, yang dapat digunakan secara efektif saat menyelesaikan persamaan dengan moduli, dirumuskan melalui teorema berikut:
Teorema 1.Untuk fungsi analitis apa pun Dan ketimpangan memang benar adanya
Teorema 2. Kesetaraan setara dengan ketimpangan.
Teorema 3. Persamaan sama saja dengan ketimpangan.
Mari kita lihat contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik “Persamaan, mengandung variabel di bawah tanda modulus."
Menyelesaikan persamaan dengan modulus
Paling umum di matematika sekolah Metode penyelesaian persamaan dengan modulus adalah metode, berdasarkan perluasan modul. Metode ini bersifat universal, Namun di kasus umum penggunaannya dapat menyebabkan perhitungan yang sangat rumit. Dalam hal ini, siswa harus mengetahui hal lain, lagi metode yang efektif dan teknik untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Secara khusus, perlu memiliki keterampilan dalam menerapkan teorema, diberikan dalam artikel ini.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya. (1)
Larutan. Kita akan menyelesaikan Persamaan (1) menggunakan metode “klasik” – metode pengungkapan modul. Untuk melakukan ini, mari kita bagi sumbu bilangan titik dan menjadi beberapa interval dan pertimbangkan tiga kasus.
1. Jika , maka , , , dan persamaan (1) berbentuk . Ini mengikuti dari ini. Namun, di sini, nilai yang ditemukan bukanlah akar persamaan (1).
2. Jika, maka dari persamaan (1) kita peroleh atau .
Dari dulu akar persamaan (1).
3. Jika, maka persamaan (1) mengambil bentuk atau . Mari kita perhatikan itu.
Menjawab: , .
Saat menyelesaikan persamaan selanjutnya dengan modul, kami akan secara aktif menggunakan properti modul untuk meningkatkan efisiensi penyelesaian persamaan tersebut.
Contoh 2. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Sejak dan maka dari persamaan berikut. Dalam kasus ini, , , dan persamaannya mengambil bentuk. Dari sini kita dapatkan. Namun , oleh karena itu persamaan aslinya tidak memiliki akar.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 3. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Dari dulu. Jika kemudian dan persamaannya mengambil bentuk.
Dari sini kita mendapatkan.
Contoh 4. Selesaikan persamaannya.
Larutan.Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk ekuivalen. (2)
Persamaan yang dihasilkan termasuk dalam persamaan tipe .
Dengan memperhatikan Teorema 2, dapat dikatakan bahwa persamaan (2) ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita mendapatkan.
Menjawab: .
Contoh 5. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Persamaan ini memiliki bentuk. Itu sebabnya, menurut Teorema 3, di sini kita mengalami ketimpangan atau .
Contoh 6. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Mari kita asumsikan itu. Karena , maka persamaan yang diberikan berbentuk persamaan kuadrat, (3)
Di mana . Karena persamaan (3) mempunyai satu akar positif kemudian . Dari sini kita mendapatkan dua akar persamaan awal: Dan .
Contoh 7. Selesaikan persamaannya. (4)
Larutan. Sejak persamaansetara dengan kombinasi dua persamaan: Dan , maka ketika menyelesaikan persamaan (4) perlu mempertimbangkan dua kasus.
1. Jika , maka atau .
Dari sini kita mendapatkan, dan.
2. Jika , maka atau .
Dari dulu.
Menjawab: , , , .
Contoh 8.Selesaikan persamaannya . (5)
Larutan. Sejak dan , lalu . Dari sini dan dari persamaan (5) maka dan , yaitu. di sini kita memiliki sistem persamaan
Namun sistem ini persamaan tidak konsisten.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 9. Selesaikan persamaannya. (6)
Larutan. Jika kita menyatakan , maka dan dari persamaan (6) kita peroleh
Atau . (7)
Karena persamaan (7) berbentuk , persamaan ini ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita mendapatkan. Sejak , lalu atau .
Menjawab: .
Contoh 10.Selesaikan persamaannya. (8)
Larutan.Menurut Teorema 1, kita dapat menulis
(9)
Dengan memperhatikan persamaan (8), kita menyimpulkan bahwa kedua pertidaksamaan (9) berubah menjadi persamaan, yaitu. ada sistem persamaan
Namun menurut Teorema 3, sistem persamaan di atas ekuivalen dengan sistem pertidaksamaan
(10)
Memecahkan sistem pertidaksamaan (10) kita peroleh . Karena sistem pertidaksamaan (10) ekuivalen dengan persamaan (8), persamaan aslinya mempunyai akar tunggal.
Menjawab: .
Contoh 11. Selesaikan persamaannya. (11)
Larutan. Misalkan dan , maka persamaan mengikuti persamaan (11).
Ini mengikuti itu dan . Jadi, di sini kita mempunyai sistem ketidaksetaraan
Solusi untuk sistem kesenjangan ini adalah Dan .
Menjawab: , .
Contoh 12.Selesaikan persamaannya. (12)
Larutan. Persamaan (12) akan diselesaikan dengan metode perluasan modul secara berurutan. Untuk melakukan ini, mari kita pertimbangkan beberapa kasus.
1. Jika , maka .
1.1. Jika , maka dan , .
1.2. Jika kemudian. Namun , oleh karena itu di pada kasus ini persamaan (12) tidak memiliki akar.
2. Jika , maka .
2.1. Jika , maka dan , .
2.2. Jika , maka dan .
Menjawab: , , , , .
Contoh 13.Selesaikan persamaannya. (13)
Larutan. Karena sisi kiri persamaan (13) tidak negatif, maka . Dalam hal ini, dan persamaan (13)
mengambil bentuk atau .
Diketahui persamaan tersebut setara dengan kombinasi dua persamaan Dan , penyelesaian yang kita peroleh, . Karena , maka persamaan (13) mempunyai satu akar.
Menjawab: .
Contoh 14. Memecahkan sistem persamaan (14)
Larutan. Sejak dan , kemudian dan . Oleh karena itu, dari sistem persamaan (14) diperoleh empat sistem persamaan:
Akar-akar sistem persamaan di atas merupakan akar-akar sistem persamaan (14).
Menjawab: ,, , , , , , .
Contoh 15. Memecahkan sistem persamaan (15)
Larutan. Dari dulu. Sehubungan dengan itu, dari sistem persamaan (15) diperoleh dua sistem persamaan
Akar sistem persamaan pertama adalah dan , dan dari sistem persamaan kedua kita peroleh dan .
Menjawab: , , , .
Contoh 16. Memecahkan sistem persamaan (16)
Larutan. Dari persamaan pertama sistem (16) berikut ini .
Dari dulu . Mari kita perhatikan persamaan kedua dari sistem tersebut. Karena, Itu , dan persamaannya mengambil bentuk, , atau .
Jika Anda mengganti nilainyake dalam persamaan pertama sistem (16), lalu , atau .
Menjawab: , .
Untuk lebih pembelajaran mendalam metode pemecahan masalah, berkaitan dengan penyelesaian persamaan, berisi variabel di bawah tanda modulus, dapatkah Anda memberi saran alat peraga dari daftar literatur yang direkomendasikan.
1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Perdamaian dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.
2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 hal.
3. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: metode non-standar untuk memecahkan masalah. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 hal.
Masih ada pertanyaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
instruksi
Jika sebuah modul direpresentasikan sebagai fungsi kontinu, maka nilai argumennya bisa positif atau negatif: |x| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x
z1 + z2 = (x1 + x2) + saya(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + saya(y1 - y2);
Sangat mudah untuk melihat bahwa penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks mengikuti aturan yang sama seperti penjumlahan dan .
Hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Karena i^2 = -1, maka hasil akhir sama dengan:
(x1*x2 - y1*y2) + saya(x1*y2 + x2*y1).
Operasi eksponensial dan ekstraksi akar bilangan kompleks didefinisikan dengan cara yang sama seperti bilangan real. Akan tetapi, pada daerah kompleks, untuk bilangan apa pun, terdapat tepat n bilangan b sehingga b^n = a, yaitu n akar pangkat ke-n.
Secara khusus, ini berarti bahwa setiap persamaan aljabar berderajat n dengan satu variabel mempunyai tepat n akar kompleks, beberapa di antaranya mungkin adalah .
Video tentang topik tersebut
Sumber:
- Kuliah “Bilangan Kompleks” tahun 2019
Akar adalah ikon yang menunjukkan operasi matematika untuk menemukan suatu bilangan, yang pangkatnya ditunjukkan di depan tanda akar akan menghasilkan bilangan yang ditunjukkan di bawah tanda ini. Seringkali, untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan akar, tidak cukup hanya menghitung nilainya saja. Operasi tambahan perlu dilakukan, salah satunya adalah memasukkan angka, variabel, atau ekspresi di bawah tanda root.
instruksi
Tentukan eksponen akarnya. Eksponen adalah bilangan bulat yang menunjukkan pangkat hasil penghitungan akar yang harus dipangkatkan untuk memperoleh ekspresi radikal (bilangan dari mana akar ini diekstraksi). Eksponen akar sebagai superskrip sebelum ikon akar. Jika yang ini tidak ditentukan, maka itu ditentukan Akar pangkat dua, yang derajatnya dua. Misalnya, pangkat dari akar √3 adalah dua, pangkat dari ³√3 adalah tiga, pangkat dari akar ⁴√3 adalah empat, dan seterusnya.
Naikkan angka yang ingin Anda masukkan di bawah tanda akar ke pangkat yang sama dengan eksponen akar ini, yang Anda tentukan pada langkah sebelumnya. Misalnya, jika Anda perlu memasukkan angka 5 di bawah tanda akar ⁴√3, maka indeks derajat akarnya adalah empat dan Anda memerlukan hasil menaikkan 5 ke pangkat empat 5⁴=625. Anda dapat melakukan ini dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda - di kepala Anda, menggunakan kalkulator atau layanan terkait yang dihosting.
Masukkan nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya di bawah tanda akar sebagai pengali dari ekspresi radikal. Untuk contoh yang digunakan pada langkah sebelumnya dengan menambahkan ⁴√3 5 (5*⁴√3) di bawah akar, tindakan ini dapat dilakukan seperti ini: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Sederhanakan ekspresi radikal yang dihasilkan jika memungkinkan. Sebagai contoh dari langkah sebelumnya, kamu hanya perlu mengalikan angka di bawah tanda akar: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ini menyelesaikan operasi memasukkan nomor di bawah root.
Jika soal mengandung variabel yang tidak diketahui, maka langkah-langkah yang dijelaskan di atas dapat dilakukan pandangan umum. Misalnya, jika Anda perlu memasukkan variabel x yang tidak diketahui di bawah akar keempat, dan ekspresi akarnya adalah 5/x³, maka seluruh rangkaian tindakan dapat ditulis sebagai berikut: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).
Sumber:
- apa nama tanda akarnya?
Bilangan real saja tidak cukup untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Persamaan kuadrat paling sederhana yang tidak memiliki akar bilangan real adalah x^2+1=0. Saat menyelesaikannya, ternyata x=±kuadrat(-1), dan menurut hukum aljabar dasar, ekstrak akar derajat genap dari negatif angka itu dilarang.
A dihitung sesuai dengan aturan berikut:
Untuk singkatnya, notasi digunakan |sebuah|. Jadi, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100, dst.
Setiap ukuran X sesuai dengan nilai yang cukup akurat | X|. Dan itu artinya identitas pada= |X| set pada seperti beberapa fungsi argumen X.
Jadwal ini fungsi disajikan di bawah ini.
Untuk X > 0 |X| = X, dan untuk X< 0 |X|= -X; dalam hal ini, garis y = | X| pada X> 0 digabungkan dengan garis lurus kamu = x(bagi sudut koordinat pertama), dan kapan X< 0 - с прямой kamu = -x(bagi sudut koordinat kedua).
Memisahkan persamaan sertakan hal-hal yang tidak diketahui di bawah tanda modul.
Contoh sewenang-wenang dari persamaan tersebut - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+1, dst.
Memecahkan persamaan mengandung bilangan yang tidak diketahui di bawah tanda modulus didasarkan pada kenyataan bahwa jika nilai absolut suatu bilangan yang tidak diketahui x sama dengan bilangan positif a, maka bilangan x itu sendiri sama dengan a atau -a.
Misalnya:, jika | X| = 10, maka atau X=10, atau X = -10.
Mari kita pertimbangkan menyelesaikan persamaan individu.
Mari kita analisa penyelesaian persamaan | X- 1| = 2.
Mari kita perluas modulnya lalu perbedaannya X- 1 bisa sama dengan + 2 atau - 2. Jika x - 1 = 2, maka X= 3; jika X- 1 = - 2, lalu X= - 1. Kita melakukan substitusi dan menemukan bahwa kedua nilai ini memenuhi persamaan.
Menjawab. Persamaan di atas memiliki dua akar: X 1 = 3, X 2 = - 1.
Mari kita analisa penyelesaian persamaan tersebut | 6 — 2X| = 3X+ 1.
Setelah perluasan modul kita mendapatkan: atau 6 - 2 X= 3X+1, atau 6 - 2 X= - (3X+ 1).
Dalam kasus pertama X= 1, dan yang kedua X= - 7.
Penyelidikan. Pada X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; itu mengikuti dari pengadilan, X = 1 - akar diberikan persamaan.
Pada X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; karena 20 ≠ -20, maka X= - 7 bukan akar persamaan ini.
Menjawab. kamu persamaan hanya mempunyai satu akar: X = 1.
Persamaan jenis ini bisa saja memecahkan dan secara grafis.
Jadi mari kita putuskan Misalnya, persamaan grafis | X- 1| = 2.
Pertama kita akan membangun grafik fungsi pada = |X- 1|. Pertama, mari kita menggambar grafik fungsinya pada=X- 1:
Bagian itu seni grafis, yang terletak di atas sumbu X Kami tidak akan mengubahnya. Untuk dia X- 1 > 0 dan oleh karena itu | X-1|=X-1.
Bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X, mari kita gambarkan secara simetris relatif terhadap sumbu ini. Karena untuk bagian ini X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Hasilnya garis(garis padat) dan kemauan grafik fungsi kamu = | X—1|.
Garis ini akan berpotongan dengan lurus pada= 2 di dua titik: M 1 dengan absis -1 dan M 2 dengan absis 3. Dan karenanya, persamaan | X- 1| =2 akan ada dua akar: X 1 = - 1, X 2 = 3.
Kalkulator matematika online ini akan membantu Anda menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan dengan moduli. Program untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan moduli tidak hanya memberikan jawaban terhadap masalah, tetapi juga mengarahkan solusi terperinci dengan penjelasan, yaitu menampilkan proses memperoleh hasil.
Program ini mungkin bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini Anda dapat membelanjakan uang Anda pelatihan sendiri dan/atau mendidik adik-adiknya, sedangkan tingkat pendidikan di bidang permasalahan yang dipecahkannya meningkat.
|x| atau abs(x) - modul xMasukkan persamaan atau pertidaksamaan dengan moduli
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Persamaan dan pertidaksamaan dengan moduli
Dalam kursus aljabar sekolah dasar, Anda mungkin menemukan persamaan dan pertidaksamaan paling sederhana dengan moduli. Untuk menyelesaikannya, Anda dapat menggunakan metode geometri berdasarkan fakta bahwa \(|x-a| \) adalah jarak garis bilangan antara titik x dan a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan \(|x-3|=2\) Anda perlu mencari titik-titik pada garis bilangan yang berjarak 2 dari titik 3. Ada dua titik seperti itu: \(x_1=1 \) dan \(x_2=5\) .
Menyelesaikan pertidaksamaan \(|2x+7| 
Namun cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus dikaitkan dengan apa yang disebut “pengungkapan modulus menurut definisi”:
jika \(a \geq 0 \), maka \(|a|=a \);
jika \(a Biasanya, suatu persamaan (pertidaksamaan) dengan modulus direduksi menjadi himpunan persamaan (pertidaksamaan) yang tidak mengandung tanda modulus.
Selain definisi di atas, pernyataan berikut digunakan:
1) Jika \(c > 0\), maka persamaan \(|f(x)|=c \) ekuivalen dengan himpunan persamaan: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\kanan.
2) Jika \(c > 0 \), maka pertidaksamaan \(|f(x)| 3) Jika \(c \geq 0 \), maka pertidaksamaan \(|f(x)| > c \) adalah ekuivalen dengan himpunan pertidaksamaan : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Jika kedua ruas pertidaksamaan \(f(x) CONTOH 1. Selesaikan persamaan \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Jika \(x-1 \geq 0\), maka \(|x-1| = x-1\) dan persamaannya berbentuk
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Panah kanan x^2 +2x -8 = 0 \).
Jika \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Panah kanan x^2 -2x -4 = 0 \).
Jadi, persamaan yang diberikan harus dipertimbangkan secara terpisah di masing-masing dari dua kasus ini.
1) Misalkan \(x-1 \geq 0 \), mis. \(x\geq 1\). Dari persamaan \(x^2 +2x -8 = 0\) kita menemukan \(x_1=2, \; x_2=-4\). Kondisi \(x \geq 1 \) hanya dipenuhi oleh nilai \(x_1=2\).
2) Misalkan \(x-1 Jawaban: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
CONTOH 2. Selesaikan persamaan \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Cara pertama(perluasan modul menurut definisi).
Dengan alasan seperti pada contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahwa persamaan yang diberikan perlu dipertimbangkan secara terpisah jika dua kondisi terpenuhi: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) atau \(x^2-6x+7
1) Jika \(x^2-6x+7 \geq 0 \), maka \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) dan persamaannya berbentuk \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Panah Kanan 3x^2-23x+30=0 \). Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita mendapatkan: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Mari kita cari tahu apakah nilai \(x_1=6\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 \geq 0\). Untuk melakukan ini, substitusikan nilai yang ditentukan ke dalam pertidaksamaan kuadrat. Kita mendapatkan: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), yaitu \(7 \geq 0 \) adalah pertidaksamaan sejati. Artinya \(x_1=6\) adalah akar persamaan yang diberikan.
Mari kita cari tahu apakah nilai \(x_2=\frac(5)(3)\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 \geq 0\). Untuk melakukan ini, substitusikan nilai yang ditunjukkan ke dalam pertidaksamaan kuadrat. Kita mendapatkan: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), yakni \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) adalah pertidaksamaan salah. Artinya \(x_2=\frac(5)(3)\) bukan akar persamaan yang diberikan.
2) Jika \(x^2-6x+7 Nilai \(x_3=3\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 Nilai \(x_4=\frac(4)(3) \) tidak memenuhi kondisi \ (x^2-6x+7 Jadi, persamaan di atas mempunyai dua akar: \(x=6, \; x=3 \).
Cara kedua. Jika persamaan \(|f(x)| = h(x) \) diberikan, maka dengan \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Kedua persamaan ini diselesaikan di atas (menggunakan metode pertama untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan), akar-akarnya adalah sebagai berikut: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Kondisi \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) dari keempat nilai ini hanya dipenuhi oleh dua: 6 dan 3. Artinya persamaan yang diberikan mempunyai dua akar: \(x=6 , \;
Cara ketiga(grafis).
1) Mari kita buat grafik fungsi \(y = |x^2-6x+7| \). Pertama, mari kita buat parabola \(y = x^2-6x+7\). Kita punya \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafik fungsi \(y = (x-3)^2-2\) dapat diperoleh dari grafik fungsi \(y = x^2\) dengan cara menggesernya 3 satuan skala ke kanan (sepanjang garis sumbu x) dan 2 satuan skala ke bawah (sepanjang sumbu y). Garis lurus x=3 adalah sumbu parabola yang kita minati. Sebagai titik kontrol untuk pembuatan plot yang lebih akurat, akan lebih mudah untuk mengambil titik (3; -2) - titik puncak parabola, titik (0; 7) dan titik (6; 7) simetris terhadap sumbu parabola .
Untuk sekarang membuat grafik fungsi \(y = |x^2-6x+7| \), Anda tidak perlu mengubah bagian parabola yang dibuat yang terletak tidak di bawah sumbu x, dan mencerminkan bagian tersebut parabola yang terletak di bawah sumbu x relatif terhadap sumbu x.
2) Mari kita membuat grafik fungsi linear\(y = \frac(5x-9)(3)\). Lebih mudah untuk mengambil titik (0; –3) dan (3; 2) sebagai titik kontrol.
Yang penting titik x = 1,8 perpotongan garis lurus dengan sumbu absis terletak di sebelah kanan kiri titik perpotongan parabola dengan sumbu absis - inilah titik \(x=3-\ sqrt(2) \) (karena \(3-\sqrt(2 ) 3) Dilihat dari gambarnya, grafiknya berpotongan di dua titik - A(3; 2) dan B(6; 7). Substitusikan absisnya poin x = 3 dan x = 6 ke dalam persamaan yang diberikan, kami yakin bahwa dalam kedua kasus, persamaan numerik yang benar diperoleh - ini berarti hipotesis kami dikonfirmasi - persamaan memiliki dua akar: x = 3 dan x = 6. Jawaban: 3;
Komentar. Metode grafis, meskipun elegan, tidak terlalu dapat diandalkan. Dalam contoh yang dibahas, ini berhasil hanya karena akar persamaannya adalah bilangan bulat.
CONTOH 3. Selesaikan persamaan \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Cara pertama
Ekspresi 2x–4 menjadi 0 di titik x = 2, dan ekspresi x + 3 menjadi 0 di titik x = –3. Kedua titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: \(x
Pertimbangkan interval pertama: \((-\infty; \; -3) \).
Jika x Perhatikan interval kedua: \([-3; \; 2) \).
Jika \(-3 \leq x Perhatikan interval ketiga: \()
Memuat...