Kokią figūrą vadiname piramide? Pirma, tai daugiakampis. Antra, šio daugiakampio pagrinde yra savavališkas daugiakampis, o piramidės kraštinės (šoniniai paviršiai) būtinai turi trikampių, susiliejančių į vieną bendrą viršūnę, formą. Dabar, supratę terminą, išsiaiškinkime, kaip rasti piramidės paviršiaus plotą.
Akivaizdu, kad tokio geometrinio kūno paviršiaus plotą sudaro pagrindo ir viso jo šoninio paviršiaus plotų suma.
Piramidės pagrindo ploto apskaičiavimas
Skaičiavimo formulės pasirinkimas priklauso nuo daugiakampio, esančio po mūsų piramidės, formos. Jis gali būti taisyklingas, tai yra su vienodo ilgio kraštais arba netaisyklingas. Apsvarstykime abu variantus.
Pagrindas yra taisyklingas daugiakampis
Iš mokyklos kurso žinome:
- kvadrato plotas bus lygus jo kraštinės ilgiui;
- Lygiakraščio trikampio plotas lygus jo kraštinės kvadratui, padalintam iš 4 ir padaugintam iš Kvadratinė šaknis iš trijų.
Bet taip pat yra bendroji formulė, norėdami apskaičiuoti bet kurio taisyklingo daugiakampio plotą (Sn): šio daugiakampio (P) perimetrą reikia padauginti iš jame įrašyto apskritimo spindulio (r), o tada rezultatą padalyti iš dviejų: Sn= 1/2P*r.
Prie pagrindo yra netaisyklingas daugiakampis
Jo ploto radimo schema yra pirmiausia padalinti visą daugiakampį į trikampius, apskaičiuoti kiekvieno iš jų plotą pagal formulę: 1/2a*h (kur a yra trikampio pagrindas, h yra aukštis, sumažintas iki šią bazę), sudėkite visus rezultatus.
Šoninis piramidės paviršiaus plotas
Dabar apskaičiuokime piramidės šoninio paviršiaus plotą, t.y. visų jo šoninių kraštinių plotų suma. Čia taip pat yra 2 variantai.
- Turėkime savavališką piramidę, t.y. vienas su netaisyklingu daugiakampiu prie pagrindo. Tada turėtumėte atskirai apskaičiuoti kiekvieno veido plotą ir pridėti rezultatus. Kadangi piramidės kraštinės pagal apibrėžimą gali būti tik trikampiai, skaičiavimas atliekamas naudojant aukščiau minėtą formulę: S=1/2a*h.
- Tegul mūsų piramidė būna teisinga, t.y. jos pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnės projekcija yra jos centre. Tada norint apskaičiuoti šoninio paviršiaus plotą (Sb), pakanka rasti pusę pagrindo daugiakampio perimetro (P) ir šoninės pusės aukščio (h) sandaugos (vienodas visiems paviršiams). ): Sb = 1/2 P*h. Daugiakampio perimetras nustatomas sudedant visų jo kraštinių ilgius.
Bendras paviršiaus plotas taisyklinga piramidė randamas susumavus jo pagrindo plotą su viso šoninio paviršiaus plotu.
Pavyzdžiai
Pavyzdžiui, algebriškai apskaičiuokime kelių piramidžių paviršiaus plotus.
Trikampės piramidės paviršiaus plotas
Tokios piramidės pagrinde yra trikampis. Naudodami formulę So=1/2a*h randame pagrindo plotą. Naudojame tą pačią formulę norėdami rasti kiekvieno piramidės paviršiaus plotą, kuris taip pat turi trikampio formos, ir gauname 3 sritis: S1, S2 ir S3. Piramidės šoninio paviršiaus plotas yra visų plotų suma: Sb = S1+ S2+ S3. Sudėjus šonų ir pagrindo plotus, gauname bendrą norimos piramidės paviršiaus plotą: Sp= So+ Sb.
Keturkampės piramidės paviršiaus plotas
Šoninio paviršiaus plotas yra 4 terminų suma: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, kurių kiekvienas apskaičiuojamas pagal trikampio ploto formulę. O pagrindo ploto teks ieškoti, priklausomai nuo keturkampio formos – taisyklingo ar netaisyklingo. Bendras piramidės paviršiaus plotas vėl gaunamas pridedant pagrindo plotą ir bendrą piramidės paviršiaus plotą.
Prieš tyrinėdami klausimus apie šią geometrinę figūrą ir jos savybes, turėtumėte suprasti kai kuriuos terminus. Išgirdęs apie piramidę žmogus įsivaizduoja didžiulius pastatus Egipte. Taip atrodo patys paprasčiausi. Bet jų būna skirtingi tipai ir formos, o tai reiškia, kad geometrinių figūrų skaičiavimo formulė skirsis.
piramidė - geometrinė figūra , žymintys ir atstovaujantys kelis veidus. Iš esmės tai yra tas pats daugiakampis, kurio pagrindu yra daugiakampis, o šonuose yra trikampiai, kurie jungiasi viename taške - viršūnėje. Figūra būna dviejų pagrindinių tipų:
- teisingas;
- sutrumpintas.
Pirmuoju atveju pagrindas yra taisyklingas daugiakampis. Čia visi šoniniai paviršiai yra lygūs tarp savęs ir pačios figūros patiks perfekcionisto akį.
Antruoju atveju yra du pagrindai – didelis pačiame apačioje ir mažas tarp viršaus, kartojantis pagrindinio formą. Kitaip tariant, nupjauta piramidė yra daugiakampis, kurio skerspjūvis suformuotas lygiagrečiai pagrindui.
Terminai ir simboliai
Pagrindiniai terminai:
- Taisyklingas (lygiakrais) trikampis- figūra su trimis vienodais kampais ir lygios pusės. Šiuo atveju visi kampai yra 60 laipsnių. Figūra yra paprasčiausia iš įprastų daugiakampių. Jei šis skaičius yra prie pagrindo, toks daugiakampis bus vadinamas taisyklingu trikampiu. Jei pagrindas yra kvadratas, piramidė bus vadinama taisyklinga keturkampe piramide.
- Viršūnė- labiausiai viršutinis taškas, kur susikerta kraštai. Viršūnės aukštį sudaro tiesi linija, besitęsianti nuo viršūnės iki piramidės pagrindo.
- Kraštas– viena iš daugiakampio plokštumų. Jis gali būti trikampio formos, jei tai trikampė piramidė, arba trapecijos formos nupjauta piramidė.
- Skyrius- plokščia figūra, susidariusi dėl skrodimo. Jo nereikėtų painioti su skyriumi, nes sekcija taip pat parodo, kas yra už skyriaus.
- Apotema- segmentas, nubrėžtas nuo piramidės viršaus iki jos pagrindo. Tai taip pat yra veido aukštis, kuriame yra antrasis aukščio taškas. Šis apibrėžimas galioja tik įprastam daugiakampiui. Pavyzdžiui, jei tai nėra nupjauta piramidė, veidas bus trikampis. IN tokiu atvejušio trikampio aukštis taps apotema.
Ploto formulės
Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą bet kokio tipo galima atlikti keliais būdais. Jei figūra nėra simetriška ir yra daugiakampis su skirtingos pusės, tada šiuo atveju lengviau apskaičiuoti bendro ploto paviršiai per visų paviršių visumą. Kitaip tariant, turite apskaičiuoti kiekvieno veido plotą ir pridėti juos kartu.
Atsižvelgiant į tai, kokie parametrai yra žinomi, gali prireikti kvadrato, trapecijos, savavališko keturkampio ir kt. Pačios formulės skirtingų atvejų taip pat turės skirtumų.
Tuo atveju teisinga figūra Vietą rasti daug lengviau. Pakanka žinoti tik kelis pagrindinius parametrus. Daugeliu atvejų skaičiavimai reikalingi būtent tokiems skaičiams. Todėl atitinkamos formulės bus pateiktos žemiau. Priešingu atveju tektų viską surašyti per kelis puslapius, o tai tik suklaidintų ir suklaidintų.
Pagrindinė skaičiavimo formulė taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas kitas vaizdas:
S = ½ Pa (P yra pagrindo perimetras ir apotemas)
Pažvelkime į vieną pavyzdį. Daugiakampis turi pagrindą su atkarpomis A1,A2,A3,A4,A5,ir visi jie lygūs 10cm.Tegul apotemas lygus 5cm.Pirmiausia reikia rasti perimetrą. Kadangi visi penki pagrindo paviršiai yra vienodi, galite jį rasti taip: P = 5 * 10 = 50 cm Toliau taikome pagrindinę formulę: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm kvadratu.
Šoninio paviršiaus plotas yra teisingas trikampė piramidė lengviausia apskaičiuoti. Formulė atrodo taip:
S =½* ab *3, kur a yra apotemas, b yra pagrindo paviršius. Trijų koeficientas čia reiškia pagrindo veidų skaičių, o pirmoji dalis yra šoninio paviršiaus plotas. Pažiūrėkime į pavyzdį. Duota figūra, kurios apotemas 5 cm ir pagrindo briauna 8 cm Skaičiuojame: S = 1/2*5*8*3=60 cm kvadratu.
Nupjautos piramidės šoninis paviršiaus plotas Tai šiek tiek sunkiau apskaičiuoti. Formulė atrodo taip: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, kur p_01 ir p_02 yra bazių perimetrai ir yra apotemas. Pažiūrėkime į pavyzdį. Tarkime, kad keturkampei figūrai pagrindų kraštinių matmenys yra 3 ir 6 cm, o apotemos - 4 cm.
Čia pirmiausia reikia rasti pagrindų perimetrus: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Belieka reikšmes pakeisti į pagrindinę formulę ir gauname: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm kvadratu.
Taigi galite rasti bet kokio sudėtingumo taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą. Turėtumėte būti atsargūs ir nesupainiotišiuos skaičiavimus su visu daugiakampio plotu. Ir jei jums vis tiek reikia tai padaryti, tiesiog apskaičiuokite didžiausio daugiakampio pagrindo plotą ir pridėkite jį prie daugiakampio šoninio paviršiaus ploto.
Vaizdo įrašas
Šis vaizdo įrašas padės jums konsoliduoti informaciją apie tai, kaip rasti skirtingų piramidžių šoninio paviršiaus plotą.
Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.
Tipinės geometrinės problemos plokštumoje ir trimatėje erdvėje yra paviršiaus plotų nustatymo problemos skirtingos figūros. Šiame straipsnyje pateikiame taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę.
Kas yra piramidė?
Pateiksime griežtą geometrinį piramidės apibrėžimą. Tarkime, kad turime daugiakampį su n kraštinių ir n kampų. Pasirinkime savavališką erdvės tašką, kuris nebus nurodyto n kampo plokštumoje, ir sujungsime jį su kiekviena daugiakampio viršūne. Gausime tam tikro tūrio figūrą, kuri vadinama n kampine piramide. Pavyzdžiui, žemiau esančiame paveikslėlyje parodykime, kaip atrodo penkiakampė piramidė.
Du svarbus elementas bet kurios piramidės yra jos pagrindas (n-kampis) ir viršus. Šie elementai yra sujungti vienas su kitu n trikampių, kurie į bendras atvejis nėra lygūs vienas kitam. Statmenas, besileidžiantis iš viršaus į pagrindą, vadinamas figūros aukščiu. Jeigu ji kerta pagrindą geometriniame centre (sutampa su daugiakampio masės centru), tai tokia piramidė vadinama tiesia linija. Jei, be šios sąlygos, pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, tai visa piramidė vadinama taisyklingąja. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo įprastos piramidės su trikampiais, keturkampiais, penkiakampiais ir šešiakampiais pagrindais.
Piramidės paviršius
Prieš pereidami prie taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus ploto klausimo, turėtume išsamiau pasidomėti paties paviršiaus samprata.
Kaip minėta aukščiau ir parodyta paveiksluose, bet kurią piramidę sudaro veidų arba šonų rinkinys. Viena kraštinė yra pagrindas, o n kraštinių yra trikampiai. Visos figūros paviršius yra kiekvienos jos kraštinės plotų suma.
Patogu tyrinėti paviršių naudojant figūros raidos pavyzdį. Taisyklingos keturkampės piramidės raida parodyta toliau pateiktuose paveikslėliuose.
Matome, kad jo paviršiaus plotas yra lygus keturių vienodų lygiašonių trikampių plotų ir kvadrato ploto sumai.
Bendras visų trikampių, sudarančių figūros kraštines, plotas paprastai vadinamas šoniniu paviršiaus plotu. Toliau parodysime, kaip jį apskaičiuoti taisyklingai keturkampei piramidei.
Keturkampės taisyklingos piramidės šoninis paviršiaus plotas
Norėdami apskaičiuoti nurodytos figūros šoninį paviršiaus plotą, vėl kreipiamės į aukščiau pateiktą raidą. Tarkime, kad žinome kvadratinio pagrindo pusę. Pažymėkime jį simboliu a. Matyti, kad kiekvienas iš keturių vienodų trikampių turi pagrindą, kurio ilgis yra a. Norėdami apskaičiuoti jų bendrą plotą, turite žinoti šią vieno trikampio vertę. Iš geometrijos kurso žinome, kad trikampio plotas S t lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, kurią reikia padalyti per pusę. Tai yra:
Kur h b – aukštis lygiašonis trikampis, nupieštas prie a pagrindo. Piramidei šis aukštis yra apotema. Dabar belieka gautą išraišką padauginti iš 4, kad gautumėte nagrinėjamos piramidės šoninio paviršiaus plotą S b:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Šioje formulėje yra du parametrai: apotemas ir pagrindo pusė. Jei pastarasis yra žinomas daugeliu probleminių sąlygų, tai pirmasis turi būti skaičiuojamas žinant kitus dydžius. Štai formulės, skirtos apotemos h b apskaičiavimui dviem atvejais:
- kai žinomas šoninio šonkaulio ilgis;
- kai žinomas piramidės aukštis.
Jei šoninės briaunos (lygiašonio trikampio kraštinės) ilgį žymėsime simboliu L, tai apotema h b nustatoma pagal formulę:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Ši išraiška yra Pitagoro teoremos taikymo šoniniam paviršiaus trikampiui rezultatas.
Jei žinomas piramidės aukštis h, tada apotemą h b galima apskaičiuoti taip:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Taip pat nesunku gauti šią išraišką, jei pažvelgsime į piramidės vidų taisyklingas trikampis, sudarytas iš kojų h ir a/2 ir hipotenuzės h b.
Parodysime, kaip pritaikyti šias formules, išspręsdami dvi įdomių užduočių.
Problema su žinomu paviršiaus plotu
Yra žinoma, kad keturkampio šoninio paviršiaus plotas yra 108 cm 2. Būtina apskaičiuoti jo apotemos ilgį h b, jei piramidės aukštis yra 7 cm.
Parašykime šoninio paviršiaus ploto S b formulę aukščiu. Mes turime:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Čia mes tiesiog pakeitėme atitinkamą apotemos formulę į S b išraišką. Padėkime abi lygties puses kvadratu:
S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.
Norėdami rasti a reikšmę, pakeičiame kintamuosius:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Pakeiskime dabar žinomos vertės ir nuspręsti kvadratinė lygtis:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Užrašėme tik teigiamą šios lygties šaknį. Tada piramidės pagrindo kraštinės bus lygios:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Norėdami gauti apotemos ilgį, tiesiog naudokite formulę:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.
Cheopso piramidės šoninis paviršius
Nustatykime didžiausio šoninio paviršiaus ploto reikšmę Egipto piramidė. Yra žinoma, kad jo bazėje yra kvadratas, kurio kraštinės ilgis yra 230 363 metrai. Iš pradžių statinio aukštis buvo 146,5 metro. Pakeiskite šiuos skaičius į atitinkamą S b formulę, gausime:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)* 230,363 ≈ 85 860 m 2.
Rasta vertė yra šiek tiek didesnė už 17 futbolo aikščių plotą.
Įkeliama...