Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį?
Kaip rasti NOC
Štai vaizdo įrašas, kuriame rasite du būdus, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM). Pasipraktikuodami naudodami pirmąjį iš siūlomų metodų, galite geriau suprasti, kas yra rečiausias kartotinis.
- Kiekvieną skaičių pavaizduojame kaip jo pirminių veiksnių sandaugą:
- Užrašome visų pirminių veiksnių galias:
- Parenkame visus pirminius daliklius (daugiklius), turinčius didžiausias galias, juos padauginame ir randame LCM:
- Pirmas žingsnis yra įtraukti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.
- Užrašome veiksnius, kurie įeina į skaičiaus 30 išplėtimą. Tai yra 2 x 3 x 5.
- Dabar reikia juos padauginti iš trūkstamo koeficiento, kurį turime išplečiant 42, kuris yra 7. Gauname 2 x 3 x 5 x 7.
- Surandame, kam yra 2 x 3 x 5 x 7, ir gauname 210.
- Abu skaičius sudedame į pirminius koeficientus: 8=2*2*2 ir 12=3*2*2
- Vieno iš skaičių sumažiname tuos pačius veiksnius. Mūsų atveju 2 * 2 sutampa, sumažinkime juos iki 12, tada 12 liks vienas koeficientas: 3.
- Raskite visų likusių faktorių sandaugą: 2*2*2*3=24
Turime rasti kiekvieną iš dviejų skaičių, kurių randame mažiausią bendrą kartotinį, koeficientą, o tada padauginti vienas iš kito veiksnius, kurie sutampa pirmajame ir antrajame skaičiais. Produkto rezultatas bus reikalingas kartotinis.
Pavyzdžiui, turime skaičius 3 ir 5 ir turime rasti LCM (mažiausią bendrą kartotinį). Mes reikia padauginti ir trys ir penki visiems skaičiams, prasidedantiems nuo 1 2 3 ... ir taip toliau, kol pamatysime tą patį skaičių abiejose vietose.
Padauginkite tris ir gaukite: 3, 6, 9, 12, 15
Padauginkite iš penkių ir gaukite: 5, 10, 15
Pirminio faktorizavimo metodas yra pats klasikinis kelių skaičių mažiausiai bendrojo kartotinio (LCM) radimo metodas. Šis metodas aiškiai ir paprastai parodytas šiame vaizdo įraše:
Sudėti, dauginti, dalyti, redukuoti iki bendro vardiklio ir kitos aritmetinės operacijos yra labai įdomi veikla, ypač žavi visą popieriaus lapą užimantys pavyzdžiai.
Taigi raskite bendrą dviejų skaičių kartotinį, kuris bus mažiausias skaičius, iš kurio padalyti du skaičiai. Noriu pastebėti, kad norint rasti tai, ko ieškote, nebūtina ateityje griebtis formulių, jei galite mintyse skaičiuoti (ir tai galima išmokyti), tada galvoje pasirodo patys skaičiai ir tada frakcijos trūkinėja kaip riešutai.
Pirmiausia sužinokime, kad galite padauginti du skaičius vienas iš kito, tada sumažinti šį skaičių ir padalyti pakaitomis iš šių dviejų skaičių, taip rasime mažiausią kartotinį.
Pavyzdžiui, du skaičiai 15 ir 6. Padauginkite ir gaukite 90. Tai akivaizdu didesnis skaičius. Be to, 15 dalijasi iš 3, o 6 dalijasi iš 3, vadinasi, mes taip pat dalijame 90 iš 3. Gauname 30. Bandome 30 padalinti 15 lygu 2. Ir 30 padalinti 6 lygu 5. Kadangi 2 yra riba, jis pasisuka. kad mažiausias skaičių kartotinis yra 15, o 6 bus 30.
Su didesniais skaičiais bus šiek tiek sunkiau. bet jei žinote, kurie skaičiai dalijant ar dauginant palieka nulį, tai iš esmės didelių sunkumų nekyla.
Pateikiu kitą būdą, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį. Pažvelkime į tai aiškiu pavyzdžiu.
Vienu metu turite rasti trijų skaičių LCM: 16, 20 ir 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16; 20; 28) = 560.
Taigi skaičiavimo rezultatas buvo skaičius 560. Tai mažiausias bendras kartotinis, tai yra, dalijasi iš kiekvieno iš trijų skaičių be liekanos.
Mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kurį galima padalyti į kelis duotus skaičius nepaliekant likučio. Norėdami apskaičiuoti tokį skaičių, turite paimti kiekvieną skaičių ir išskaidyti jį į paprastus veiksnius. Sutampantys skaičiai pašalinami. Palieka visus po vieną, padaugina juos tarpusavyje ir gauna norimą – mažiausią bendrą kartotinį.
NOC arba mažiausias bendras kartotinis, yra mažiausias natūralusis dviejų ar daugiau skaičių skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš pateiktų skaičių be liekanos.
Štai pavyzdys, kaip rasti mažiausią bendrą skaičių 30 ir 42 kartotinį.
30 yra 2 x 3 x 5.
42 atveju tai yra 2 x 3 x 7. Kadangi 2 ir 3 yra skaičiaus 30 plėtinyje, juos išbraukiame.
Dėl to matome, kad skaičių 30 ir 42 LCM yra 210.
Norėdami rasti mažiausią bendrą kartotinį, turite atlikti kelis paprastus veiksmus iš eilės. Pažvelkime į tai naudodami du skaičius kaip pavyzdį: 8 ir 12
Tikrindami įsitikiname, kad 24 dalijasi ir iš 8, ir iš 12, ir tai yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Štai ir mes rado mažiausią bendrą kartotinį.
Pabandysiu paaiškinti kaip pavyzdį naudodamas skaičius 6 ir 8. Mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kurį galima padalyti iš šių skaičių (mūsų atveju iš 6 ir 8) ir likučio nebus.
Taigi, pirmiausia pradedame dauginti 6 iš 1, 2, 3 ir tt ir 8 iš 1, 2, 3 ir tt.
Internetinė skaičiuoklė leidžia greitai rasti dviejų ar bet kurio kito skaičių didžiausią bendrą daliklį ir mažiausią bendrą kartotinį.
Skaičiuoklė GCD ir LCM paieškai
Raskite GCD ir LOC
Rasta GCD ir LOC: 5806
Kaip naudotis skaičiuokle
- Įvesties lauke įveskite skaičius
- Jei įvesite neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
- spustelėkite mygtuką „Rasti GCD ir LOC“.
Kaip įvesti skaičius
- Skaičiai įvedami atskirti tarpu, tašku arba kableliu
- Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl nėra sunku rasti ilgų skaičių GCD ir LCM
Kas yra GCD ir NOC?
Didžiausias bendras daliklis keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.
Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?
Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungę galite patikrinti kai kurių iš jų ir jų derinių dalijamumą.
Kai kurie skaičių dalijimosi požymiai
1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 testas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas:Žiūrėti į paskutinis skaitmuo: 8 reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.
2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 testas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš trijų. Taigi, norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, reikia apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma yra labai didelė, tą patį procesą galima pakartoti dar kartą.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.
3. Skaičiaus dalijamumo iš 5 testas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.
4. Skaičiaus dalijamumo iš 9 testas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.
Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM
Kaip rasti dviejų skaičių gcd
Dauguma paprastu būdu Apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus šių skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.
Panagrinėkime šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:
- Suskaičiuojame abu skaičius: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
- Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 = 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.
Kaip rasti dviejų skaičių LCM
Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tas, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių gcd. Apsvarstykime tik tai.
Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti jį iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:
- Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), kaip jau žinoma, yra lygus 4
- LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .
Kelių skaičių GCD ir LCM radimas
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Norėdami tai padaryti, didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Norėdami rasti kelių skaičių gcd, taip pat galite naudoti šį ryšį: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
Panašus ryšys taikomas mažiausiam bendram kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.
- Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Raskime bendruosius veiksnius: 1, 2 ir 2.
- Jų sandauga duos GCD: 1·2·2 = 4
- Dabar suraskime LCM: norėdami tai padaryti, pirmiausia suraskime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.
Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.
Pavyzdžiui:
Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.
Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Skirstytuvas natūralusis skaičius a- yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis .
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a Ir b- tai yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai dalijami be liekanos a Ir b.
Bendrieji kartotiniai keli skaičiai yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų bendrų kartotinių visada yra mažiausias, in tokiu atveju tai yra 90. Šiuo numeriu vadinama mažiausiasbendrasis kartotinis (CMM).
LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.
Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.
Komutatyvumas:
Asociatyvumas:
Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai, tada:
Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m Ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m Ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m, n sutampa su LCM( m, n).
Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.
Taigi, Čebyševo funkcija. Ir:
Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).
Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.
NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:
1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:
2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:
Kur p 1 ,...,p k- įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k Ir e 1 ,...,e k— neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti nuliai, jei plėtinyje nėra atitinkamo pirminio).
Tada NOC ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:
Kitaip tariant, LCM išskaidymas apima visus pirminius veiksnius, įtrauktus į bent vieną skaičių skaidymą a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio daugiklio eksponentų.
Pavyzdys:
Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:
Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:
- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;
- didžiausią plėtrą (norimo produkto veiksnių sandaugą) perkelti į norimos prekės veiksnius didelis skaičius iš pateiktųjų), o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurie neatsiranda pirmame skaičiuje arba pasirodo jame mažiau kartų, išplėtimo;
— gauta pirminių koeficientų sandauga bus duotųjų skaičių LCM.
Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.
Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) papildomi koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.
Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai papildomi skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias produktas iš galimų (150, 250, 300...), kurių kartotiniai yra visi pateikti skaičiai.
Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai skaičiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.
Taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.
Kitas variantas:
Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:
1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);
4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;
5) padauginkite šias galias.
Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.
Sprendimas. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Užrašome visų pirminių daliklių didžiausias galias ir jas padauginame:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Bendrieji kartotiniai
Paprasčiau tariant, bet koks sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš pateiktų skaičių, yra bendras kartotinis duotus sveikuosius skaičius.
Galite rasti bendrą dviejų ar daugiau sveikųjų skaičių kartotinį.
1 pavyzdys
Apskaičiuokite bendrą dviejų skaičių kartotinį: $2$ ir $5$.
Sprendimas.
Pagal apibrėžimą bendras 2 USD ir 5 USD kartotinis yra 10 USD, nes tai yra skaičiaus $2$ ir skaičiaus $5$ kartotinis:
Bendrieji skaičių $2$ ir $5$ kartotiniai taip pat bus skaičiai $–10, 20, –20, 30, –30$ ir kt., nes visi jie suskirstyti į skaičius $2$ ir $5$.
1 pastaba
Nulis yra bendras bet kokio skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, sveikųjų skaičių.
Pagal dalijamumo ypatybes, jei tam tikras skaičius yra kelių skaičių bendras kartotinis, tai priešingo ženklo skaičius taip pat bus bendrasis duotųjų skaičių kartotinis. Tai matyti iš nagrinėjamo pavyzdžio.
Pateiktų sveikųjų skaičių visada galite rasti bendrą jų kartotinį.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite bendrą 111 USD ir 55 USD kartotinį.
Sprendimas.
Duotus skaičius padauginkime: $111\div 55=6105$. Nesunku patikrinti, ar skaičius $6105$ dalijasi iš skaičiaus $111$ ir skaičiaus $55$:
6105 USD\div 111=55 USD;
6105 USD\div 55 = 111 USD.
Taigi 6105 USD yra bendras 111 USD ir 55 USD kartotinis.
Atsakymas: bendras 111 USD ir 55 USD kartotinis yra 6105 USD.
Tačiau, kaip jau matėme iš ankstesnio pavyzdžio, šis bendras kartotinis nėra vienas. Kiti bendri kartotiniai būtų –6105, 12210, –12210, 61050, –61050 USD ir kt. Taigi padarėme tokią išvadą:
Užrašas 2
Bet kuri sveikųjų skaičių rinkinys turi begalinį bendrųjų kartotinių skaičių.
Praktiškai jie apsiriboja tik teigiamų sveikųjų (natūralių) skaičių bendrųjų kartotinių radimu, nes kartotinių rinkinys duotas numeris ir jo priešingybė sutampa.
Mažiausio bendrojo skaičiaus nustatymas
Iš visų pateiktų skaičių kartotinių dažniausiai naudojamas mažiausias bendrasis kartotinis (LCM).
2 apibrėžimas
Mažiausias teigiamas bendrasis duotųjų sveikųjų skaičių kartotinis yra mažiausias bendras kartotinisšiuos skaičius.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite skaičių $4$ ir $7$ LCM.
Sprendimas.
Nes šių skaičių nėra bendrieji dalikliai, tada $NOK(4,7)=28$.
Atsakymas: $NOK (4,7) = 28 $.
NOC radimas per GCD
Nes yra ryšys tarp LCM ir GCD, su jo pagalba galite apskaičiuoti Dviejų teigiamų sveikųjų skaičių LCM:
3 pastaba
4 pavyzdys
Apskaičiuokite skaičių $232$ ir $84$ LCM.
Sprendimas.
Naudokime formulę norėdami rasti LCM per GCD:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$
Raskime skaičių $232$ ir $84$ GCD naudodami Euklido algoritmą:
$232=84\cdot 2+64$,
84 USD=64\cdot 1+20 USD,
64 USD=20\cdot 3+4$,
Tie. $GCD(232, 84) = 4 $.
Raskime $LCC (232, 84)$:
$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
Atsakymas: NOK (232,84) = 4872 USD.
5 pavyzdys
Apskaičiuokite $LCD(23, 46)$.
Sprendimas.
Nes 46 $ dalijasi iš $ 23 $, tada $ gcd (23, 46) = 23 $. Raskime LOC:
$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
Atsakymas: NOK (23,46 USD) = 46 USD.
Taigi galima suformuluoti taisyklė:
4 pastaba
Didžiausias bendras daliklis ir mažiausias bendras kartotinis yra pagrindinės aritmetinės sąvokos, leidžiančios veikti be pastangų paprastosios trupmenos. LCM ir dažniausiai naudojami kelių trupmenų bendram vardikliui rasti.
Pagrindinės sąvokos
Sveikojo skaičiaus X daliklis yra kitas sveikasis skaičius Y, iš kurio X dalijamas nepaliekant liekanos. Pavyzdžiui, 4 daliklis yra 2, o 36 yra 4, 6, 9. Sveikojo skaičiaus X kartotinis yra skaičius Y, kuris dalijasi iš X be liekanos. Pavyzdžiui, 3 yra 15 kartotinis, o 6 yra 12 kartotinis.
Bet kuriai skaičių porai galime rasti bendrus jų daliklius ir kartotinius. Pavyzdžiui, 6 ir 9 bendras kartotinis yra 18, o bendras daliklis yra 3. Akivaizdu, kad poros gali turėti kelis daliklius ir kartotinius, todėl skaičiuojant naudojamas didžiausias daliklis GCD ir mažiausias kartotinis LCM.
Mažiausias daliklis yra beprasmis, nes bet kuriam skaičiui jis visada yra vienas. Didžiausias kartotinis taip pat yra beprasmis, nes kartotinių seka eina iki begalybės.
Rasti gcd
Yra daug būdų, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį, iš kurių žinomiausi yra šie:
- nuosekli daliklių paieška, bendrų poros parinkimas ir didžiausio iš jų paieška;
- skaičių skaidymas į nedalomus veiksnius;
- Euklido algoritmas;
- dvejetainis algoritmas.
Šiandien val švietimo įstaigų Populiariausi yra pirminio faktoriaus metodai ir Euklido algoritmas. Pastarasis, savo ruožtu, naudojamas sprendžiant diofantines lygtis: reikia ieškoti GCD, kad būtų galima patikrinti lygtį, ar yra sveikųjų skaičių skiriamoji geba.
NOC radimas
Mažiausias bendras kartotinis taip pat nustatomas atliekant nuoseklią paiešką arba skaidymą į nedalomus veiksnius. Be to, nesunku rasti LCM, jei didžiausias daliklis jau nustatytas. Skaičių X ir Y atveju LCM ir GCD yra susiję tokiu ryšiu:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Pavyzdžiui, jei GCM(15,18) = 3, tada LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Akivaizdžiausias LCM naudojimo pavyzdys yra rasti bendrą vardiklį, kuris yra mažiausias bendras kartotinis duotosios trupmenos.
Kopirminiai skaičiai
Jei skaičių pora neturi bendrų daliklių, tada tokia pora vadinama koprime. Tokių porų gcd visada yra lygus vienetui, o remiantis ryšiu tarp daliklių ir kartotinių, kopirminių porų gcd yra lygus jų sandaugai. Pavyzdžiui, skaičiai 25 ir 28 yra santykinai pirminiai, nes neturi bendrų daliklių, o LCM(25, 28) = 700, o tai atitinka jų sandaugą. Bet kurie du nedalomi skaičiai visada bus santykinai pirminiai.
Bendras daliklis ir daugkartinis skaičiuotuvas
Naudodami mūsų skaičiuotuvą galite apskaičiuoti GCD ir LCM tam tikram skaičių pasirinkimui. Bendrųjų daliklių ir kartotinių skaičiavimo užduotys yra 5 ir 6 klasių aritmetikoje, tačiau GCD ir LCM yra pagrindinės matematikos sąvokos ir naudojamos skaičių teorijoje, planimetrijoje ir komunikacinėje algebroje.
Realaus gyvenimo pavyzdžiai
Bendras trupmenų vardiklis
Mažiausias bendras kartotinis naudojamas ieškant kelių trupmenų bendrąjį vardiklį. Įleisti aritmetinis uždavinys reikia susumuoti 5 trupmenas:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Norint pridėti trupmenas, išraiška turi būti sumažinta iki bendro vardiklio, o tai sumažina iki LCM radimo problemos. Norėdami tai padaryti, skaičiuoklėje pasirinkite 5 skaičius ir atitinkamuose langeliuose įveskite vardiklių reikšmes. Programa apskaičiuos LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Dabar kiekvienai trupmenai reikia apskaičiuoti papildomus koeficientus, kurie apibrėžiami kaip LCM ir vardiklio santykis. Taigi papildomi daugikliai atrodytų taip:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Po to visas trupmenas padauginame iš atitinkamo papildomo koeficiento ir gauname:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Mes galime lengvai susumuoti tokias trupmenas ir gauti rezultatą kaip 159/360. Sumažiname trupmeną 3 ir matome galutinį atsakymą – 53/120.
Tiesinių diofantinių lygčių sprendimas
Tiesinės diofantinės lygtys yra ax + by = d formos išraiškos. Jei santykis d / gcd(a, b) yra sveikasis skaičius, tai lygtis gali būti išspręsta sveikaisiais skaičiais. Patikrinkime keletą lygčių, kad pamatytume, ar jos turi sveikąjį skaičių. Pirmiausia patikrinkime lygtį 150x + 8y = 37. Naudodami skaičiuotuvą randame GCD (150,8) = 2. Padalinkite 37/2 = 18,5. Skaičius nėra sveikasis skaičius, todėl lygtis neturi sveikųjų skaičių šaknų.
Patikrinkime lygtį 1320x + 1760y = 10120. Skaičiuotuvu raskite GCD(1320, 1760) = 440. Padalykime 10120/440 = 23. Rezultate gauname sveikąjį skaičių, taigi, Diofantinos koeficiento formulė. .
Išvada
GCD ir LCM vaidina didelį vaidmenį skaičių teorijoje, o pačios sąvokos yra plačiai naudojamos įvairiose matematikos srityse. Norėdami apskaičiuoti, naudokite mūsų skaičiuotuvą didžiausi dalikliai ir bet kurio skaičių mažiausius kartotinius.
Įkeliama...