Nulis gali būti arba negali būti padalintas iš skaičiaus. Daugybos ir dalybos taisyklės. Matematiniai veiksmai su nuliu

Jevgenijus Širiajevas, mokytojas ir Politechnikos muziejaus Matematikos laboratorijos vedėjas, AiF.ru papasakojo apie padalijimą iš nulio:

1. Klausimo jurisdikcija

Sutikite, tai, kas daro taisyklę ypač provokuojančią, yra draudimas. Kaip to negalima padaryti? Kas uždraudė? O kaip mūsų pilietinės teisės?

Nei Rusijos Federacijos Konstitucija, nei Baudžiamasis kodeksas, nei net jūsų mokyklos chartija neprieštarauja mus dominančiam intelektualiniam veiksmui. Tai reiškia, kad draudimo nėra juridinę galią, ir niekas netrukdo bandyti ką nors padalyti iš nulio čia pat, AiF.ru puslapiuose. Pavyzdžiui, tūkstantis.

2. Padalinkime kaip mokė

Prisiminkite, kai pirmą kartą išmokote dalyti, pirmieji pavyzdžiai buvo išspręsti tikrinant daugybą: rezultatas, padaugintas iš daliklio, turėjo būti toks pat kaip dalijamasis. Jei nesutapo, jie neapsisprendė.

1 pavyzdys. 1000: 0 =...

Trumpam pamirškime draudžiamą taisyklę ir kelis kartus pabandykime atspėti atsakymą.

Neteisingi čekis bus nupjauti. Išbandykite šias parinktis: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Kiekvienam iš jų patikrinimas duos tą patį rezultatą:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Padauginus nulį, viskas virsta savimi ir niekada ne tūkstančiu. Išvadą suformuluoti lengva: joks skaičius neišlaikys testo. Tai reiškia, kad joks skaičius negali būti padalijus ne nulį skaičių iš nulio. Toks skirstymas nėra draudžiamas, bet tiesiog neturi rezultato.

3. Niuansas

Vos nepraleidome vienos progos paneigti draudimą. Taip, pripažįstame, kad ne nulis skaičius negali būti padalintas iš 0. Bet gal pats 0 gali?

2 pavyzdys. 0: 0 = ...

Kokie jūsų pasiūlymai privačiai? 100? Prašome: koeficientas 100, padaugintas iš daliklio 0, yra lygus dividendui 0.

Daugiau pasirinkimų! 1? Tinka ir. Ir –23, ir 17, ir viskas. Šiame pavyzdyje bet kurio skaičiaus testas bus teigiamas. Ir jei atvirai, sprendimas šiame pavyzdyje turėtų būti vadinamas ne skaičiumi, o skaičių rinkiniu. Visi. Ir netrunka sutikti, kad Alisa yra ne Alisa, o Mary Ann, ir abi jos yra triušio svajonė.

4. O kaip su aukštąja matematika?

Problema išspręsta, atsižvelgta į niuansus, sudėlioti taškai, viskas paaiškėjo - atsakymas į pavyzdį su dalijimu iš nulio negali būti vienas skaičius. Išspręsti tokias problemas yra beviltiška ir neįmanoma. O tai reiškia... įdomu! Imk du.

3 pavyzdys. Išsiaiškinkite, kaip 1000 padalyti iš 0.

Bet niekaip. Tačiau 1000 galima lengvai padalyti iš kitų skaičių. Na, bent jau padarykime tai, ką galime, net jei pakeisime atliekamą užduotį. Ir tada, matote, mes nusinešame, ir atsakymas pasirodys savaime. Pamirškime minutei nulį ir padalinkime iš šimto:

Šimtas toli gražu nėra nulis. Ženkime žingsnį link jo, sumažindami daliklį:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamika akivaizdi: kuo daliklis arčiau nulio, tuo koeficientas didesnis. Tendenciją galima toliau stebėti pereinant prie trupmenų ir toliau mažinant skaitiklį:

Belieka pažymėti, kad galime priartėti prie nulio tiek, kiek norime, todėl koeficientas bus toks didelis, kiek norime.

Šiame procese nėra nulio ir nėra paskutinio koeficiento. Mes nurodėme judėjimą link jų, pakeisdami skaičių seka, konvergančia į mus dominantį skaičių:

Tai reiškia panašų dividendų pakeitimą:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Ne veltui rodyklės yra dvipusės: kai kurios sekos gali susilieti į skaičius. Tada seką galime susieti su jos skaitine riba.

Pažvelkime į koeficientų seką:

Jis auga neribotai, nesiekdamas jokio skaičiaus ir pralenkdamas bet kurį. Matematikai prie skaičių prideda simbolius ∞ kad prie tokios sekos būtų galima įdėti dvipusę rodyklę:

Palyginimas su ribą turinčių sekų skaičiumi leidžia pasiūlyti trečiojo pavyzdžio sprendimą:

Elementariai dalijant seką, konverguojančią į 1000, iš teigiamų skaičių, konverguojančių į 0, sekos, gauname seką, konverguojančią į ∞.

5. Ir čia yra niuansas su dviem nuliais

Koks rezultatas padalijus dvi teigiamų skaičių sekas, kurios susilieja į nulį? Jei jie yra vienodi, tada vienetas yra identiškas. Jei dividendų seka greičiau konverguoja į nulį, tai koeficiente seka turi nulinę ribą. O kai daliklio elementai mažėja daug greičiau nei dividendo, koeficiento seka labai išaugs:

Neaiški situacija. Ir taip tai vadinama: tipo neapibrėžtumas 0/0 . Matematikai, pamatę tokias neapibrėžtumas atitinkančias sekas, nepuola dalyti dviejų identiškų skaičių vienas iš kito, o išsiaiškina, kuri iš sekų greičiau pasiekia nulį ir kaip tiksliai. Ir kiekvienas pavyzdys turės savo konkretų atsakymą!

6. Gyvenime

Omo dėsnis susijęs su srove, įtampa ir varža grandinėje. Dažnai rašoma tokia forma:

Leiskime sau nepaisyti tvarkingo fizinio supratimo ir formaliai pažiūrėkime į dešinę pusę kaip į dviejų skaičių koeficientą. Įsivaizduokime, kad sprendžiame mokyklos problemą dėl elektros. Sąlyga nurodo įtampą voltais ir varžą omais. Klausimas akivaizdus, sprendimas – vienu veiksmu.

Dabar pažvelkime į superlaidumo apibrėžimą: tai yra kai kurių metalų savybė turėti nulinę elektrinę varžą.

Na, išspręskime superlaidžios grandinės problemą? Tiesiog nustatykite R= 0 tai neveiks, meta fizika įdomi užduotis, kuris akivaizdžiai stovi už nugaros mokslinis atradimas. O žmonės, kuriems šioje situacijoje pavyko padalyti iš nulio, gavo Nobelio premija. Naudinga mokėti apeiti bet kokius draudimus!

Net mokykloje mokytojai bandė mums įkalti į galvą paprasčiausią taisyklę: „Bet koks skaičius, padaugintas iš nulio, yra lygus nuliui!, – bet vis tiek aplink jį nuolat kyla daug ginčų. Kai kurie žmonės tiesiog prisimena taisyklę ir nesivargina savęs klausdami „kodėl? „Tu negali ir viskas, nes mokykloje taip sakė, taisyklė yra taisyklė! Kažkas gali užpildyti pusę sąsiuvinio formulėmis, įrodinėdamas šią taisyklę arba, atvirkščiai, jos nelogiškumą.

Kas galų gale teisus?

Šių ginčų metu abu priešingų požiūrių žmonės žiūri vienas į kitą kaip į aviną ir iš visų jėgų įrodo, kad yra teisūs. Nors pažvelgus į juos iš šono matyti ne vienas, o du avinai, besiremiantys ragais vienas ant kito. Vienintelis skirtumas tarp jų yra tas, kad vienas yra šiek tiek mažiau išsilavinęs nei kitas.

Dažniausiai tie, kurie mano, kad ši taisyklė yra neteisinga, bando apeliuoti į logiką tokiu būdu:

Ant savo stalo turiu du obuolius, jei ant jų padėsiu nulį obuolių, tai yra, nedėsiu nė vieno, mano du obuoliai nedings! Taisyklė nelogiška!

Išties obuoliai niekur nedings, bet ne dėl to, kad taisyklė nelogiška, o todėl, kad čia naudojama kiek kitokia lygtis: 2 + 0 = 2. Taigi iš karto atmeskime šią išvadą – ji nelogiška, nors turi priešingą tikslą - skambinti logikai.

Kas yra daugyba

Iš pradžių daugybos taisyklė buvo apibrėžtas tik natūraliems skaičiams: daugyba yra skaičius, pridėtas prie savęs tam tikrą skaičių kartų, o tai reiškia, kad skaičius yra natūralus. Taigi bet koks skaičius su daugyba gali būti sumažintas iki šios lygties:

25 × 3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 = 25 + 25 + 25

Iš šios lygties išplaukia, kad kad daugyba yra supaprastintas pridėjimas.

Kas yra nulis

Bet kuris žmogus nuo vaikystės žino: nulis yra tuštuma.Nepaisant to, kad ši tuštuma turi pavadinimą, ji visiškai nieko neneša. Senovės Rytų mokslininkai mąstė kitaip – jie prie šio klausimo žiūrėjo filosofiškai ir nubrėžė tam tikras paraleles tarp tuštumos ir begalybės bei įžvelgė gilią šio skaičiaus prasmę. Juk nulis, turintis tuštumos reikšmę, stovintis šalia bet kurio natūralusis skaičius, padaugina jį dešimt kartų. Iš čia ir kyla ginčų dėl daugybos – šis skaičius turi tiek daug nenuoseklumo, kad tampa sunku nesusipainioti. Be to, nulis nuolat naudojamas tuščiiems skaitmenims dešimtainėmis trupmenomis apibrėžti, tai daroma tiek prieš, tiek po kablelio.

Ar galima dauginti iš tuštumos?

Galite padauginti iš nulio, bet tai nenaudinga, nes kad ir ką sakytumėte, net dauginant neigiami skaičiai vis tiek bus nulis. Pakanka tik prisiminti šią paprastą taisyklę ir daugiau niekada neužduoti šio klausimo. Tiesą sakant, viskas yra paprasčiau, nei atrodo iš pirmo žvilgsnio. Nėra paslėptų prasmių ir paslapčių, kaip tikėjo senovės mokslininkai. Žemiau pateiksime logiškiausią paaiškinimą, kad šis dauginimas yra nenaudingas, nes padauginę iš jo skaičių vis tiek gausite tą patį – nulį.

Grįžtant į pačią pradžią, prie ginčo dėl dviejų obuolių, 2 kartus 0 atrodo taip:

Jei penkis kartus suvalgote du obuolius, tai suvalgote 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 obuolių
Jei valgote du iš jų tris kartus, tai suvalgote 2×3 = 2+2+2 = 6 obuolius
Jei suvalgysite du obuolius nulį kartų, tada nieko nesuvalgysite - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Juk suvalgyti obuolį 0 kartų reiškia nesuvalgyti nei vieno. Tai bus aišku net ir pačiam mažam vaikui. Kad ir ką sakytume, rezultatas bus 0, du ar tris galima pakeisti absoliučiai bet kokiu skaičiumi ir rezultatas bus visiškai toks pat. O tada paprasčiau tariant nulis yra niekas, o kada turi nieko nėra, tada kad ir kiek daugintum, vis tiek tas pats bus nulis. Nėra tokio dalyko kaip magija, ir niekas nepadarys obuolio, net jei padauginsite 0 iš milijono. Tai paprasčiausias, suprantamiausias ir logiškiausias daugybos iš nulio taisyklės paaiškinimas. Žmogui, kuriam toli gražu ne visos formulės ir matematika, tokio paaiškinimo pakaks, kad galvoje kilęs disonansas išsispręstų ir viskas stotų į savo vietas.

Padalinys

Iš viso to, kas pasakyta, išplaukia kitas dalykas svarbi taisyklė:

Jūs negalite dalyti iš nulio!

Ši taisyklė mums taip pat atkakliai kalama į galvas nuo pat vaikystės. Mes tiesiog žinome, kad neįmanoma visko padaryti neužpildžius galvos nereikalinga informacija. Jei jums netikėtai užduodamas klausimas, kodėl draudžiama dalyti iš nulio, tada dauguma bus sutrikę ir negalės aiškiai atsakyti į paprasčiausią klausimą mokyklos mokymo programa, nes dėl šios taisyklės nėra tiek daug ginčų ir ginčų.

Visi tiesiog įsiminė taisyklę ir nedalijo iš nulio, neįtardami, kad atsakymas slepiasi paviršiuje. Sudėjimas, daugyba, dalyba ir atimtis yra nelygios, iš minėtųjų galioja tik daugyba ir sudėjimas, o visos kitos manipuliacijos su skaičiais sudaromos iš jų. Tai reiškia, kad įrašas 10: 2 yra lygties 2 * x = 10 santrumpa. Tai reiškia, kad įrašas 10: 0 yra ta pati santrumpa 0 * x = 10. Pasirodo, dalyba iš nulio yra užduotis raskite skaičių, padaugindami iš 0, gausite 10 Ir mes jau supratome, kad tokio skaičiaus nėra, vadinasi, ši lygtis neturi sprendinio, ir ji bus a priori neteisinga.

Leiskite man pasakyti jums,

Kad nedalytų iš 0!

Iškirpkite 1 kaip norite, išilgai,

Tik nedalinkite iš 0!

Jevgenijus SHIRYAEV, mokytojas ir Politechnikos muziejaus Matematikos laboratorijos vedėjas, papasakojo AiF apie padalijimą iš nulio:

1. Klausimo jurisdikcija

Sutikite, tai, kas daro taisyklę ypač provokuojančią, yra draudimas. Kaip to negalima padaryti? Kas uždraudė? O kaip mūsų pilietinės teisės?

Nei Konstitucija, nei Baudžiamasis kodeksas, nei net jūsų mokyklos chartija neprieštarauja mus dominančiam intelektualiniam veiksmui. Tai reiškia, kad draudimas neturi teisinės galios ir niekas netrukdo bandyti ką nors padalyti iš nulio čia pat, AiF puslapiuose. Pavyzdžiui, tūkstantis.

2. Padalinkime kaip mokė

Prisiminkite, kai pirmą kartą išmokote dalyti, pirmieji pavyzdžiai buvo išspręsti daugybos patikrinimu: rezultatas, padaugintas iš daliklio, turėjo sutapti su dividendu. Tai nesutapo – jie neapsisprendė.

1 pavyzdys. 1000: 0 =...

Trumpam pamirškime draudžiamą taisyklę ir kelis kartus pabandykime atspėti atsakymą.

Neteisingi čekis bus nupjauti. Išbandykite šias parinktis: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Kiekvienam iš jų patikrinimas duos tą patį rezultatą:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

3. Niuansas

Vos nepraleidome vienos progos paneigti draudimą. Taip, pripažįstame, kad ne nulis skaičius negali būti padalintas iš 0. Bet gal pats 0 gali?

2 pavyzdys. 0: 0 = ...

Kokie jūsų pasiūlymai privačiai? 100? Prašome: koeficientas 100, padaugintas iš daliklio 0, yra lygus dividendui 0.

Daugiau pasirinkimų! 1? Tinka ir. Ir –23, ir 17, ir viskas. Šiame pavyzdyje bet kurio skaičiaus testas bus teigiamas. Ir, tiesą sakant, sprendimas šiame pavyzdyje turėtų būti vadinamas ne skaičiumi, o skaičių rinkiniu. Visi. Ir netrunka sutikti, kad Alisa yra ne Alisa, o Mary Ann, ir abi jos yra triušio svajonė.

4. O kaip su aukštąja matematika?

3 pavyzdys. Išsiaiškinkite, kaip 1000 padalyti iš 0.

Bet niekaip. Tačiau 1000 galima lengvai padalyti iš kitų skaičių. Na, bent jau padarykime tai, kas veikia, net jei pakeisime užduotį. Ir tada, matote, mes nusinešame, ir atsakymas pasirodys savaime. Pamirškime minutei nulį ir padalinkime iš šimto:

Šimtas toli gražu nėra nulis. Ženkime žingsnį link jo, sumažindami daliklį:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamika akivaizdi: kuo daliklis arčiau nulio, tuo koeficientas didesnis. Tendenciją galima toliau stebėti pereinant prie trupmenų ir toliau mažinant skaitiklį:

Belieka pažymėti, kad galime priartėti prie nulio tiek, kiek norime, todėl koeficientas bus toks didelis, kiek norime.

Šiame procese nėra nulio ir nėra paskutinio koeficiento. Mes nurodėme judėjimą link jų, pakeisdami skaičių seka, konvergančia į mus dominantį skaičių:

Tai reiškia panašų dividendų pakeitimą:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Ne veltui rodyklės yra dvipusės: kai kurios sekos gali susilieti į skaičius. Tada seką galime susieti su jos skaitine riba.

Pažvelkime į koeficientų seką:

Jis auga neribotai, nesiekdamas jokio skaičiaus ir pralenkdamas bet kurį. Matematikai prie skaičių prideda simbolius ∞ kad prie tokios sekos būtų galima įdėti dvipusę rodyklę:

Palyginimas su ribą turinčių sekų skaičiumi leidžia pasiūlyti trečiojo pavyzdžio sprendimą:

Elementariai dalijant seką, konverguojančią į 1000, iš teigiamų skaičių, konverguojančių į 0, sekos, gauname seką, konverguojančią į ∞.

5. Ir čia yra niuansas su dviem nuliais

Koks rezultatas padalijus dvi teigiamų skaičių sekas, kurios susilieja į nulį? Jei jie yra vienodi, tada vienetas yra identiškas. Jei dividendų seka greičiau suartėja į nulį, tai ypač yra seka su nuline riba. O kai daliklio elementai mažėja daug greičiau nei dividendo, koeficiento seka labai išaugs:

6. Gyvenime

Omo dėsnis susijęs su srove, įtampa ir varža grandinėje. Dažnai rašoma tokia forma:

Dabar pažvelkime į superlaidumo apibrėžimą: tai yra kai kurių metalų savybė turėti nulinę elektrinę varžą.

Na, išspręskime superlaidžios grandinės problemą? Tiesiog nustatykite R= 0 Jei nepavyksta, fizika iškelia įdomią problemą, už kurios, be abejo, slypi mokslinis atradimas. O žmonės, kurie šioje situacijoje sugebėjo padalyti iš nulio, gavo Nobelio premiją. Naudinga mokėti apeiti bet kokius draudimus!

Mokykloje mus visus moko paprasta taisyklė, kurio negalima padalyti iš nulio. Tuo pačiu metu, kai užduodame klausimą: „Kodėl?“, jie mums atsako: „Tai tik taisyklė ir ją reikia žinoti“. Šiame straipsnyje pabandysiu paaiškinti, kodėl negalima dalyti iš nulio. Kodėl klysta tie žmonės, kurie sako, kad galima padalinti iš nulio ir tada gauti begalybę?

Kodėl negalima padalyti iš nulio?

Formaliai matematikoje yra tik du veiksmai. Skaičių sudėjimas ir daugyba. Taigi kaip dėl atimties ir padalijimo? Panagrinėkime šį pavyzdį. 7-4=3, visi žinome, kad septyni minus keturi bus lygūs trims. Tiesą sakant, šis pavyzdys formaliai gali būti laikomas būdu išspręsti lygtį x+4=7. Tai yra, pasirenkame skaičių, kurį sudėjus prie keturių, gausime 7. Tada ilgai negalvosime ir suprasime, kad šis skaičius lygus trims. Tas pats ir su padalijimu. Tarkime, 12/3. Tai bus tokia pati kaip x*3=12.

Mes pasirenkame skaičių, kurį padauginus iš 3 gausime 12. B tokiu atveju m tai sudaro keturis. Tai gana akivaizdu. Ką apie tokius pavyzdžius kaip 7/0. Kas atsitiks, jei parašysime septynis padalytus iš nulio? Tai reiškia, kad atrodo, kad mes sprendžiame 0*x=7 formos lygtį. Tačiau ši lygtis neturi sprendimo, nes jei nulis padauginamas iš bet kurio skaičiaus, rezultatas visada yra nulis. Tai yra, sprendimo nėra. Tai parašyta arba žodžiais nėra sprendimų, arba piktograma, reiškiančia tuščią rinkinį.

Kitaip tariant

Tokia yra šios taisyklės prasmė. Negalite padalyti iš nulio, nes atitinkama lygtis, nulis kartų x lygi septynioms arba bet koks skaičius, kurį bandome padalyti iš nulio, neturi sprendimų. Dėmesingiausi gali pasakyti, kad jei nulį padalinsime iš nulio, tai visai teisingai paaiškės, kad jei 0*X=0. Viskas puiku, padauginame nulį iš kažkokio skaičiaus, gauname nulį. Bet tada mūsų sprendimas gali būti bet koks skaičius. Jei žiūrėsime x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. Čia tiks bet koks skaičius.

Taigi kodėl turėtume pasirinkti bet kurį iš jų? Mes tikrai neturime jokių svarstymų, pagal kuriuos galėtume paimti vieną iš šių skaičių ir pasakyti, kad tai yra lygčių sprendiniai. Todėl sprendimų yra be galo daug ir tai taip pat dviprasmiška problema, kurioje manoma, kad sprendimų nėra.

Begalybė

Aukščiau aš jums pasakiau priežastis, kodėl negalite skirstytis, dabar noriu su jumis pasikalbėti. Pabandykime atsargiai priartėti prie padalijimo nulinės operacijos būdu. Pirmiausia skaičių 5 padalinkime iš dviejų. Mes žinome, kas bus dešimtainis 2.5. Dabar sumažinsime daliklį ir padalinsime 5 iš 1, tai bus 5. Dabar 5 padalinsime iš 0,5. Tai tas pats, kaip penki padalyti iš pusės, arba tas pats, kaip 5 * 2, tada jis bus 10. Atkreipkite dėmesį, kad padalijimo rezultatas, tai yra koeficientas, padidėja: 2,5, 5, 10.

Dabar padalinkime 5 iš 0,1, tai bus kaip 5*10=50, koeficientas vėl padidėjo. Tuo pačiu sumažinome daliklį. Jei 5 padalinsime iš 0,01, tai bus tas pats, kas 5*100=500. Žiūrėk. Kuo mažesnį daliklį padarysime, tuo koeficientas bus didesnis. Jei 5 padalinsime iš 0,00001, gausime 500 000.

Apibendrinti

Kas tada yra padalijimas iš nulio, jei pažvelgtume į tai šia prasme? Atkreipkite dėmesį, kaip sumažinome koeficientą? Jei nupiešite ašį, pamatysite, kad iš pradžių turėjome du, tada vieną, tada 0,5, 0,1 ir pan. Dešinėje vis artėjome prie nulio, bet niekada nepriėjome prie nulio. Imame vis mažiau mažesnis skaičius ir padalinkite iš jo mūsų koeficientą. Jis darosi vis didesnis ir didesnis. Šiuo atveju jie rašo, kad 5 dalijame iš X, kur x yra be galo mažas. Tai yra, jis vis labiau artėja prie nulio. Tiesiog šiuo atveju, dalijant penkis iš X, gauname begalybę. Be galo didelis skaičius. Čia atsiranda niuansas.

Jei priartėsime prie nulio iš dešinės, tada šis begalinis skaičius bus teigiamas ir gausime plius begalybę. Jei artėjame prie X iš kairės, tai yra, jei pirmiausia dalijame iš -2, tada iš -1, iš -0,5, iš -0,1 ir pan. Gausime neigiamą koeficientą. Ir tada penki padalyti iš x, kur x bus be galo mažas, bet kairėje bus lygus minus begalybei. Šiuo atveju jie rašo: x linkęs į nulį iš dešinės, 0+0, parodydamas, kad mes linkę į nulį iš dešinės. Tarkime, jei siektume trijų dešinėje, šiuo atveju rašome X taiko kairėje. Atitinkamai, siektume trijų kairėje, rašydami tai kaip x linkę į 3-0.

Kaip gali padėti funkcijų grafikas

Funkcijos grafikas, kurį studijavome mokykloje, padeda mums tai geriau suprasti. Funkcija vadinama atvirkštiniu ryšiu, o jos grafikas yra hiperbolė. Hiperbolė atrodo taip: Tai kreivė, kurios asimptotės yra x ašis ir y ašis. Asimptotė yra linija, kurią kreivė linksta, bet niekada nepasiekia. Tokia ta matematinė drama. Matome, kad kuo arčiau nulio, tuo didesnė mūsų vertė. Mažesnis X tampa, tai yra, kai X linksta į nulį dešinėje, žaidimas tampa vis didesnis ir didesnis ir veržiasi į plius begalybę. Atitinkamai, kai x linkęs į nulį iš kairės, kai x linkęs į nulį iš kairės, t.y. x linkęs į 0-0, mes linkę atėmus begalybę. Teisingai parašyta taip. Y linkęs į minus begalybę, o X linkęs į nulį kairėje. Atitinkamai rašome, kad y linkęs į plius begalybę, o x dešinėje linkęs į nulį. Tai yra, iš esmės mes nedaliname iš nulio, dalijame iš be galo mažos vertės.

O tie, kurie sako, kad galima dalyti iš nulio, mes tiesiog gauname begalybę, jie tiesiog reiškia, kad negalima dalyti iš nulio, bet galima dalyti iš skaičiaus, artimo nuliui, tai yra iš begalinės reikšmės. Tada gauname plius begalybę, jei dalijame iš be galo mažo teigiamo, o minus begalybę dalijame iš be galo mažo neigiamo.

Tikiuosi, kad šis straipsnis padėjo suprasti nuo vaikystės daugelį kamuojantį klausimą, kodėl negalima dalyti iš nulio. Kodėl esame priversti išmokti kažkokią taisyklę, bet nieko nepaaiškinama. Tikiuosi, kad straipsnis padėjo suprasti, kad jūs tikrai negalite dalyti iš nulio, o tie, kurie sako, kad galite padalyti iš nulio, iš tikrųjų reiškia, kad galite padalyti iš be galo mažos vertės.

Mokykliniame aritmetikos kurse visi matematiniai veiksmai atliekami su realiaisiais skaičiais. Šių skaičių aibė (arba ištisinis sutvarkytas laukas) turi nemažai savybių (aksiomų): daugybos ir sudėjimo komutatyvumas ir asociatyvumas, nulio, vieneto, priešingų ir atvirkštinių elementų egzistavimas. Taip pat taikomos tvarkos ir tęstinumo aksiomos lyginamoji analizė, leidžia nustatyti visas realiųjų skaičių savybes.

Kadangi dalyba yra atvirkštinė daugybos operacija, dalijant tikrus skaičius iš nulio neišvengiamai iškyla dvi neišsprendžiamos problemos. Pirma, dalybos iš nulio rezultato tikrinimas naudojant daugybą neturi skaitinės išraiškos. Nesvarbu, koks skaičius yra koeficientas, jį padauginus iš nulio, dividendo gauti neįmanoma. Antra, pavyzdyje 0:0 atsakymas gali būti absoliučiai bet koks skaičius, kuris padauginus iš daliklio visada virsta nuliu.

Aukštosios matematikos padalijimas iš nulio

Pasak išvardintų dalybos iš nulio sunkumų, šiai operacijai buvo nustatytas tabu bent jau, kaip mokyklos kurso dalis. Tačiau į aukštoji matematika rasti būdų, kaip apeiti šį draudimą.

Pavyzdžiui, sukuriant kitokią algebrinę struktūrą, kuri skiriasi nuo pažįstamos skaičių eilutės. Tokios konstrukcijos pavyzdys yra ratas. Čia yra įstatymai ir taisyklės. Visų pirma, padalijimas nėra susietas su daugyba ir iš dvejetainės operacijos (su dviem argumentais) virsta vienane operacija (su vienu argumentu), žymima simboliu /x.

Realiųjų skaičių lauko išplėtimas atsiranda dėl hiperrealiųjų skaičių įvedimo, kuris apima be galo didelius ir be galo mažus dydžius. Šis metodas leidžia mums laikyti terminą „begalybė“ kaip tam tikrą skaičių. Be to, kai išsiplečia skaičių linija, šis skaičius praranda ženklą, virsdamas idealizuotu tašku, jungiančiu du šios linijos galus. Šį metodą galima palyginti su datos eilute, kai judėdami tarp dviejų laiko juostų UTC+12 ir UTC-12 galite atsidurti Kita diena arba ankstesniame. Šiuo atveju bet kurio x≠0 teiginys x/0=∞ tampa teisingas.

Siekiant pašalinti neapibrėžtį 0/0, ratui įvedamas naujas elementas ⏊=0/0. Tuo pačiu ši algebrinė struktūra turi savų niuansų: 0 x≠0; x-x≠0 v bendras atvejis. Taip pat x·/x≠1, nes dalyba ir daugyba nebėra laikomos atvirkštinėmis operacijomis. Tačiau šios rato savybės gerai paaiškinamos naudojant paskirstymo dėsnio tapatybes, kurios tokioje algebrinėje struktūroje veikia šiek tiek kitaip. Išsamesnių paaiškinimų galima rasti specializuotoje literatūroje.

Algebra, prie kurios visi yra pripratę, iš tikrųjų yra ypatingas daugiau sudėtingos sistemos, pavyzdžiui, tas pats ratas. Kaip matote, aukštojoje matematikoje galima dalyti iš nulio. Tam reikia peržengti įprastų idėjų apie skaičius, algebrines operacijas ir dėsnius, kuriems jie paklūsta, ribas. Nors tai gana natūralus procesas, lydintis bet kokias naujų žinių paieškas.