Stūros ir trīsstūri. Trīsstūris. Pabeigt nodarbības

Trijstūris - definīcija un vispārīgie jēdzieni

Trijstūris ir vienkāršs daudzstūris, kas sastāv no trim malām un ar vienādu leņķu skaitu. Tās plaknes ierobežo 3 punkti un 3 segmenti, kas savieno šos punktus pa pāriem.

Visas jebkura trīsstūra virsotnes neatkarīgi no tā veida ir apzīmētas ar lielajiem burtiem ar latīņu burtiem, un tā malas ir attēlotas ar atbilstošiem pretējo virsotņu apzīmējumiem, bet ne ar lielajiem burtiem, bet mazs. Tā, piemēram, trijstūrim ar virsotnēm A, B un C ir malas a, b, c.

Ja mēs uzskatām trīsstūri Eiklīda telpā, tad tas ir tāds ģeometriskā figūra, kas tika izveidots, izmantojot trīs segmentus, kas savieno trīs punktus, kas neatrodas vienā taisnē.

Uzmanīgi apskatiet iepriekš redzamo attēlu. Uz tā punkti A, B un C ir šī trijstūra virsotnes, un tā segmentus sauc par trijstūra malām. Katra šī daudzstūra virsotne tajā veido leņķus.

Trīsstūru veidi

Pēc trijstūra leņķu izmēra tos iedala tādās šķirnēs kā: Taisnstūrveida;
Akūts leņķiskais;
Stulbs.

Taisnstūrveida trijstūri ietver tos, kuriem ir viens taisns leņķis, bet pārējie divi ir asi.

Akūtie trijstūri ir tie, kuros visi tā leņķi ir asi.

Un, ja trijstūrim ir viens strups leņķis un pārējie divi asi leņķi, tad šāds trīsstūris tiek klasificēts kā strups.

Katrs no jums lieliski saprot, ka ne visiem trijstūriem ir vienādas puses. Un pēc tā malu garuma trijstūrus var iedalīt:

Vienādsānu;
Vienādmalu;
Daudzpusīgs.

Uzdevums: uzzīmējiet dažāda veida trīsstūrus. Definējiet tos. Kādu atšķirību jūs starp tām redzat?

Trīsstūru pamatīpašības

Lai gan šie vienkāršie daudzstūri var atšķirties viens no otra ar savu leņķu vai malu lielumu, katram trīsstūrim ir pamatīpašības, kas raksturīgas šim skaitlim.

Jebkurā trīsstūrī:

Visu tā leņķu kopējā summa ir 180º.
Ja tas pieder pie vienādmaliem, tad katrs tā leņķis ir 60º.
Vienādmalu trīsstūrim ir vienādi un vienādi leņķi.
Jo mazāka ir daudzstūra mala, jo mazāks leņķis tam pretī, un otrādi, jo lielāks leņķis ir pretī lielākajai malai.
Ja malas ir vienādas, tad tām ir pretī vienādi leņķi, un otrādi.
Ja mēs ņemam trīsstūri un pagarinām tā malu, mēs iegūstam ārējo leņķi. Tas ir vienāds ar iekšējo leņķu summu.
Jebkurā trīsstūrī tā mala, neatkarīgi no tā, kuru jūs izvēlaties, joprojām būs mazāka par pārējo 2 malu summu, bet lielāka par to starpību:

1.a< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3. c< a + b, c >a–b.

Vingrinājums

Tabulā parādīti jau zināmie divi trīsstūra leņķi. Zinot visu leņķu kopējo summu, atrodiet, ar ko ir vienāds trijstūra trešais leņķis, un ievadiet to tabulā:

1. Cik grādu ir trešajam leņķim?
2. Pie kāda veida trīsstūra tas pieder?

Trīsstūru līdzvērtības testi

es parakstos

II zīme

III zīme

Trīsstūra augstums, bisektrise un mediāna

Trijstūra augstumu - perpendikulu, kas novilkts no figūras virsotnes uz tās pretējo pusi, sauc par trijstūra augstumu. Visi trīsstūra augstumi krustojas vienā punktā. Trijstūra visu 3 augstumu krustpunkts ir tā ortocentrs.

No noteiktas virsotnes novilkts segments, kas savieno to pretējās puses vidū, ir mediāna. Mediānām, kā arī trijstūra augstumiem ir viens kopīgs krustošanās punkts, tā sauktais trīsstūra smaguma centrs jeb centroīds.

Trijstūra bisektrise ir segments, kas savieno leņķa virsotni un punktu pretējā pusē, kā arī sadala šo leņķi uz pusēm. Visas trijstūra bisektrise krustojas vienā punktā, ko sauc par trijstūrī ierakstītā apļa centru.

Nogriezni, kas savieno trijstūra divu malu viduspunktus, sauc par viduslīniju.

Vēsturiska atsauce

Tāda figūra kā trīsstūris bija pazīstama jau senos laikos. Šis skaitlis un tā īpašības tika pieminētas Ēģiptes papirusos pirms četriem tūkstošiem gadu. Nedaudz vēlāk, pateicoties Pitagora teorēmai un Herona formulai, trīsstūra īpašību izpēte pārcēlās uz vairāk augsts līmenis, bet tomēr tas notika pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu.

15. – 16. gadsimtā sāka veikt daudz pētījumu par trijstūra īpašībām, un rezultātā radās tāda zinātne kā planimetrija, ko sauca par “Jaunā trijstūra ģeometriju”.

Krievu zinātnieks N. I. Lobačevskis sniedza milzīgu ieguldījumu zināšanā par trijstūra īpašībām. Viņa darbi vēlāk tika izmantoti matemātikā, fizikā un kibernētikā.

Pateicoties zināšanām par trīsstūru īpašībām, radās tāda zinātne kā trigonometrija. Tas izrādījās nepieciešams cilvēkam viņa praktiskajās vajadzībās, jo tā izmantošana ir vienkārši nepieciešama, sastādot kartes, mērot laukumus un pat projektējot dažādus mehānismus.

Kurš no tiem ir labākais? slavenais trīsstūris Jūs zināt? Tas, protams, ir Bermudu trijstūris! Savu nosaukumu tas ieguva 50. gados, jo ģeogrāfiskā atrašanās vieta punkti (trijstūra virsotnes), kuru ietvaros saskaņā ar esošo teoriju radās saistītās anomālijas. Bermudu trijstūra virsotnes ir Bermudu salas, Florida un Puertoriko.

Uzdevums: Kādas teorijas par Bermudu trijstūris vai tu dzirdēji?

Vai zinājāt, ka Lobačevska teorijā, saskaitot trijstūra leņķus, to summa vienmēr ir mazāka par 180º. Rīmaņa ģeometrijā trijstūra visu leņķu summa ir lielāka par 180º, bet Eiklida darbos tā ir vienāda ar 180 grādiem.

Mājasdarbs

Atrisiniet krustvārdu mīklu par noteiktu tēmu

Krustvārdu mīklas jautājumi:

1. Kā sauc perpendikulu, kas novilkts no trijstūra virsotnes līdz taisnei, kas atrodas pretējā pusē?
2. Kā vienā vārdā var nosaukt trijstūra malu garumu summu?
3. Nosauc trijstūri, kura abas malas ir vienādas?
4. Nosauciet trīsstūri, kura leņķis ir vienāds ar 90°?
5. Kā sauc trijstūra lielāko malu?
6. Kā sauc vienādsānu trīsstūra malu?
7. Jebkurā trijstūrī vienmēr ir trīs no tiem.
8. Kā sauc trīsstūri, kura viens no leņķiem pārsniedz 90°?
9. Nosaukums segmentam, kas savieno mūsu figūras augšdaļu ar pretējās puses vidu?
10. Vienkāršā daudzstūrī ABC lielais burts Un vai...?
11. Kā sauc nogriezni, kas dala trijstūra leņķi uz pusēm?

Jautājumi par trīsstūru tēmu:

1. Definējiet to.
2. Cik augstumu tai ir?
3. Cik bisektoru ir trijstūrim?
4. Kāda ir tā leņķu summa?
5. Kādus šī vienkāršā daudzstūra veidus jūs zināt?
6. Nosauc punktus trijstūriem, kurus sauc par ievērojamiem.
7. Ar kādu ierīci var izmērīt leņķi?
8. Ja pulksteņa rādītāji rāda pulksten 21. Kādu leņķi veido stundu rādītāji?
9. Kādā leņķī cilvēks pagriežas, ja viņam tiek dota komanda “pa kreisi”, “aplis”?
10. Kādas citas definīcijas jūs zināt, kas ir saistītas ar figūru, kurai ir trīs leņķi un trīs malas?

Priekšmeti > Matemātika > Matemātika 7. klase Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

Trīsstūru veidi

Aplūkosim trīs punktus, kas neatrodas uz vienas taisnes, un trīs segmentus, kas savieno šos punktus (1. att.).

Trijstūris ir plaknes daļa, ko ierobežo šie segmenti, nogriežņus sauc par trijstūra malām, bet nogriežņu galus (trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes) ir trijstūra virsotnes.

1. tabulā ir uzskaitīti visi iespējamie trīsstūru veidi atkarībā no to leņķu lieluma .

1. tabula - Trīsstūru veidi atkarībā no leņķu izmēra

Zīmējums	Trīsstūra tips	Definīcija
	Akūts trīsstūris	Trīsstūris ar visi leņķi ir asi , ko sauc par akūtu leņķi
	Taisns trīsstūris	Trīsstūris ar viens no leņķiem ir pareizs , ko sauc par taisnstūrveida
	Strups trīsstūris	Trīsstūris ar viens no leņķiem ir strups , ko sauc par trulu

Akūts trīsstūris

Definīcija:

Trīsstūris ar visi leņķi ir asi , ko sauc par akūtu leņķi

Taisns trīsstūris

Definīcija:

Trīsstūris ar viens no leņķiem ir pareizs , ko sauc par taisnstūrveida

Strups trīsstūris

Definīcija:

Trīsstūris ar viens no leņķiem ir strups , ko sauc par trulu

Atkarībā no sānu garuma Ir divi svarīgi trīsstūru veidi.

2. tabula. Vienādsānu un vienādmalu trīsstūri

Zīmējums	Trīsstūra tips	Definīcija
	Vienādsānu trīsstūris	puses, un trešo malu sauc par vienādsānu trīsstūra pamatu
	Vienādmalu (pareizi) trīsstūris	Trijstūri, kurā visas trīs malas ir vienādas, sauc par vienādmalu vai regulāru trīsstūri.

Vienādsānu trīsstūris

Definīcija:

Trijstūri, kura abas malas ir vienādas, sauc par vienādsānu trīsstūri. Šajā gadījumā tiek izsauktas divas vienādas puses puses, un trešo malu sauc par vienādsānu trīsstūra pamatu

Vienādmalu (labais) trīsstūris

Definīcija:

Trijstūri, kurā visas trīs malas ir vienādas, sauc par vienādmalu vai regulāru trīsstūri.

Trīsstūru vienādības zīmes

Tiek uzskatīts, ka trīsstūri ir vienādi, ja tie ir var apvienot ar pārklājumu .

3. tabulā parādīts trīsstūru vienādības pazīmes.

3. tabula – Trīsstūru vienādības zīmes

Zīmējums	Līdzekļa nosaukums	Atribūtu formulējums
	Autors divas malas un leņķis starp tām
	Trīsstūru līdzvērtības pārbaude Autors sānu un divi blakus leņķi
	Trīsstūru līdzvērtības pārbaude Autors trīs partijas

Trīsstūru līdzvērtības pārbaude abās pusēs un leņķi starp tām

Atribūtu formulējums.
Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trijstūri ir vienādi

Trīsstūru līdzvērtības pārbaude gar sānu un diviem blakus esošajiem stūriem

Atribūtu formulējums.
Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti

Trīsstūru līdzvērtības pārbaude no trim pusēm

Atribūtu formulējums.
Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trijstūri ir kongruenti

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

Par ballītēm taisnie trīsstūri Parasti tiek izmantoti šādi nosaukumi.

Hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (2. att.), pārējās divas malas sauc par kājām.

4. tabula – Taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes

Zīmējums	Līdzekļa nosaukums	Atribūtu formulējums
	Autors divas puses
	Vienlīdzības tests taisnleņķa trijstūriem Autors kāju un blakus esošo asu leņķi
	Vienlīdzības tests taisnleņķa trijstūriem Autors kāju un pretējo asu leņķi	Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un pretējais akūtais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un pretējo akūto leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti
	Vienlīdzības tests taisnleņķa trijstūriem Autors hipotenūza un akūts leņķis	Ja viena taisnleņķa trijstūra hipotenūza un asais leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra hipotenūzu un akūto leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti
	Vienlīdzības tests taisnleņķa trijstūriem Autors kāju un hipotenūzu	Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un hipotenūza ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un hipotenūzu, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti

Vienādības zīme taisnleņķa trijstūriem abās pusēs

Atribūtu formulējums.
Ja viena taisnleņķa trijstūra divas kājas ir attiecīgi vienādas ar cita taisnleņķa trijstūra divām kājām, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti

Vienlīdzības tests taisnleņķa trijstūriem gar kāju un blakus esošo asu leņķi

Atribūtu formulējums.
Ja viena taisnleņķa trijstūra kāja un blakus esošais akūts leņķis ir attiecīgi vienādi ar cita taisnleņķa trijstūra kāju un blakus esošo akūto leņķi, tad šādi taisnleņķa trijstūri ir kongruenti

Vienlīdzības tests taisnleņķa trijstūriem gar kāju un pretējo akūto leņķi

Standarta apzīmējumi

Trijstūris ar virsotnēm A, B Un C ir apzīmēts kā (skatīt attēlu). Trīsstūrim ir trīs malas:

Trijstūra malu garumi ir norādīti ar mazajiem latīņu burtiem (a, b, c):

Trīsstūrim ir šādi leņķi:

Tradicionāli tiek apzīmētas leņķu vērtības attiecīgajās virsotnēs grieķu burti (α, β, γ).

Trīsstūru vienādības zīmes

Trīsstūri Eiklīda plaknē var unikāli noteikt (līdz kongruencei) ar šādiem pamatelementu tripletiem:

a, b, γ (vienlīdzība abās pusēs un leņķis, kas atrodas starp tām);
a, β, γ (vienādība sānos un divi blakus leņķi);
a, b, c (vienlīdzība no trim pusēm).

Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

gar kāju un hipotenūzu;
uz divām kājām;
gar kāju un akūtu leņķi;
gar hipotenūzu un akūtu leņķi.

Daži trīsstūra punkti ir “sapāroti”. Piemēram, ir divi punkti, no kuriem visas malas ir redzamas vai nu 60°, vai 120° leņķī. Viņus sauc Torricelli punktiņi. Ir arī divi punkti, kuru projekcijas uz sāniem atrodas virsotnēs regulārs trīsstūris. Šis - Apollonija punkti. Punkti un tā saucas Brokarda punkti.

Tieša

Jebkurā trijstūrī smaguma centrs, ortocentrs un apļveida apļa centrs atrodas uz vienas taisnes, ko sauc Eilera līnija.

Tiek saukta taisne, kas iet caur apļveida apļa centru un Lemoine punktu Brokāra ass. Uz tā atrodas Apollonija punkti. Torricelli punkts un Lemoine punkts arī atrodas uz vienas līnijas. Trijstūra leņķu ārējo bisektoru pamati atrodas uz vienas taisnes, ko sauc ārējo bisektoru ass. Tajā pašā taisnē atrodas arī taisnstūra malas saturošu līniju krustošanās punkti ar trijstūra malām. Šo līniju sauc ortocentriskā ass, tas ir perpendikulārs Eilera taisnei.

Ja ņemam punktu uz trijstūra apļa, tad tā projekcijas uz trijstūra malām atradīsies uz vienas taisnes, ko sauc Simsons ir taisnsšis punkts. Simsona diametrāli pretējo punktu līnijas ir perpendikulāras.

Trīsstūri

Tiek izsaukts trijstūris, kura virsotnes atrodas caur noteiktu punktu ceviāna trīsstūrisšis punkts.
Tiek saukts trīsstūris ar virsotnēm dotā punkta projekcijās uz malām velēna vai pedāļa trīsstūrisšis punkts.
Tiek saukts trijstūris ar virsotnēm, kas atrodas caur virsotnēm novilktu līniju un dotā punkta ar ierobežotu apli krustošanās punktos. apkārtmērs trīsstūris. Apkārtējais trīsstūris ir līdzīgs velēnu trīsstūrim.

Apļi

Ierakstīts aplis- aplis, kas skar visus trīs puses trīsstūris. Viņa ir vienīgā. Tiek saukts ierakstītā apļa centrs centrs.
Aplis- aplis, kas iet cauri visām trim trijstūra virsotnēm. Unikāls ir arī ierobežotais aplis.
Apcirpt- aplis, kas pieskaras vienai trijstūra malai, un pārējo divu malu turpinājums. Trīsstūrī ir trīs šādi apļi. To radikālais centrs ir mediālā trīsstūra ierakstītā apļa centrs, ko sauc Spikera viedoklis.

Trīsstūra trīs malu viduspunkti, tā trīs augstumu pamati un trīs segmentu viduspunkti, kas savieno tā virsotnes ar ortocentru, atrodas uz viena apļa, ko sauc par deviņu punktu aplis vai Eilera aplis. Deviņu punktu apļa centrs atrodas uz Eilera līnijas. Deviņu punktu aplis pieskaras ierakstītam aplim un trim apļiem. Tiek saukts pieskares punkts starp ierakstīto apli un deviņu punktu apli Feuerbaha punkts. Ja no katras virsotnes mēs novietojam uz āru no trijstūra uz taisnām līnijām, kas satur malas, ortozes, kas vienādas garumā ar pretējām malām, tad iegūtie seši punkti atrodas uz viena apļa - Konveja aplis. Trīs apļus var ierakstīt jebkurā trijstūrī tā, lai katrs no tiem pieskaras divām trijstūra malām un diviem citiem apļiem. Tādus apļus sauc Malfatti apļi. Sešu trīsstūru, kuros trijstūris ir sadalīts ar mediānām, ierobežoto apļu centri atrodas uz viena apļa, ko sauc Lamun apkārtmērs.

Trijstūrim ir trīs apļi, kas pieskaras divām trijstūra malām un apli. Tādus apļus sauc daļēji ierakstīts vai Verjē aprindās. Segmenti, kas savieno Verjē riņķa pieskares punktus ar apļveida loku, krustojas vienā punktā, ko sauc Verjē viedoklis. Tas kalpo kā homotēzijas centrs, kas pārveido apli par ierakstītu apli. Verjē apļu saskares punkti ar malām atrodas uz taisnas līnijas, kas iet caur ierakstītā apļa centru.

Nogriežņi, kas savieno ierakstītā apļa pieskares punktus ar virsotnēm, krustojas vienā punktā, ko sauc Gergonne punkts, un segmenti, kas savieno virsotnes ar apļa pieskares punktiem, atrodas Nagel punkts.

Elipses, parabolas un hiperbolas

Ierakstīts konisks (elipse) un tā perspektors

Trijstūrī var ierakstīt bezgalīgu skaitu konusu (elipses, parabolas vai hiperbolas). Ja trijstūrī ierakstīsim patvaļīgu konisku un savienojam pieskares punktus ar pretējām virsotnēm, tad iegūtās taisnes krustosies vienā punktā, ko sauc par izredzes gultasvietas. Jebkuram plaknes punktam, kas neatrodas uz sāniem vai uz tā pagarinājuma, šajā punktā ir ierakstīts konuss ar perspektoru.

Aprakstītā Šteinera elipse un cevians, kas iet cauri tās perēkļiem

Jūs varat ierakstīt elipsi trīsstūrī, kas pieskaras malām vidū. Tādu elipsi sauc ierakstīta Šteinera elipse(tā perspektīva būs trijstūra centroīds). Apzīmēto elipsi, kas skar taisnes, kas iet caur virsotnēm paralēli malām, sauc apraksta Šteinera elipse. Ja mēs pārveidosim trijstūri par regulāru trīsstūri, izmantojot afīnu transformāciju (“šķībi”), tad tā ierakstītā un ierobežotā Šteinera elipse pārveidosies par ierakstītu un ierobežotu apli. Ševiāna līnijas, kas novilktas caur aprakstītās Šteinera elipses perēkļiem (Skūtina punkti), ir vienādas (Skūtina teorēma). No visām aprakstītajām elipsēm ir aprakstītā Šteinera elipse mazākā platība, un no visām ierakstītajām elipsei ar Šteinera uzrakstu ir vislielākais laukums.

Brokāra elipse un tās perspektors - Lemuina punkts

Tiek izsaukta elipsi ar fokusiem Brokarda punktos Brokāra elipse. Tās perspektīva ir Lemoine punkts.

Ierakstītas parabolas īpašības

Ķiperta parabola

Ierakstīto parabolu izredzes atrodas uz aprakstītās Šteinera elipses. Ierakstītas parabolas fokuss atrodas uz apli, un virziens iet caur ortocentru. Tiek saukta parabola, kas ierakstīta trijstūrī un kuras virziens ir Eilera virziens. Ķiperta parabola. Tās perspektors ir ceturtais ierobežotā apļa un ierobežotās Šteinera elipses krustpunkts, ko sauc Šteinera punkts.

Ķiperta hiperbola

Ja aprakstītā hiperbola iet caur augstumu krustpunktu, tad tā ir vienādmalu (tas ir, tās asimptoti ir perpendikulāri). Vienādmalu hiperbolas asimptotu krustpunkts atrodas uz deviņu punktu apļa.

Pārvērtības

Ja taisnes, kas iet caur virsotnēm un kādu punktu, kas neatrodas malās, un to paplašinājumi ir atspoguļoti attiecībā pret attiecīgajām bisektriecēm, tad arī to attēli krustosies vienā punktā, ko sauc. izogonāli konjugēts oriģinālais (ja punkts atrodas uz ierobežota apļa, tad iegūtās līnijas būs paralēlas). Daudzi ievērojamu punktu pāri ir izogonāli konjugēti: apļveida centrs un ortocentrs, centroīds un Lemuāna punkts, Brokāra punkti. Apollonija punkti ir izogonāli konjugēti ar Toričelli punktiem, un ierakstītā apļa centrs ir izogonāli konjugēts ar sevi. Izogonālas konjugācijas rezultātā taisnas līnijas pārvēršas ierobežotos konusos, bet ierobežotās konusus - taisnās līnijās. Tādējādi Kīperta hiperbola un Brokāra ass, Dženzabeka hiperbola un Eilera taisne, Fērbaha hiperbola un ierakstīto un ierobežoto apļu centru līnija ir izogonāli konjugētas. Izogonāli konjugētu punktu trīsstūru apļi sakrīt. Ierakstīto elipsi perēkļi ir izogonāli konjugēti.

Ja simetriskas ceviāna vietā ņemam ceviānu, kura pamatne ir tikpat tālu no malas vidus kā sākotnējās pamatne, tad arī šādi civini krustosies vienā punktā. Iegūto transformāciju sauc izotomiskā konjugācija. Tas arī pārvērš taisnas līnijas aprakstītajos konusos. Gergonne un Nagel punkti ir izotomiski konjugēti. Afīnās transformācijās izotomiski konjugētie punkti tiek pārveidoti par izotomiski konjugātiem punktiem. Ar izotomisko konjugāciju aprakstītā Šteinera elipse nonāks bezgalīgi tālu taisnē.

Ja segmentos, ko no apļveida loka nogriež trijstūra malas, mēs ierakstām apļus, kas pieskaras malām cevānu pamatnēs, kas novilktas caur noteiktu punktu, un pēc tam savienojam šo apļu pieskares punktus ar apli ar pretējām virsotnēm, tad šādas taisnes krustosies vienā punktā. Tiek izsaukta plaknes transformācija, kas saskaņo sākotnējo punktu ar iegūto izocirkulāra transformācija. Izogonālo un izotomisko konjugātu sastāvs ir izocirkulāras transformācijas sastāvs ar sevi. Šī kompozīcija ir projektīva transformācija, kas atstāj trijstūra malas savās vietās un pārveido ārējo bisektoru asi par taisnu līniju bezgalībā.

Ja mēs turpinām noteikta punkta Chevian trijstūra malas un ņemam to krustpunktus ar atbilstošajām malām, tad iegūtie krustojuma punkti atradīsies uz vienas taisnes, t.s. trīslīniju polārais sākumpunkts. Ortocentriskā ass ir ortocentra trilineārais polārs; ierakstītā apļa centra trīslīniju polārais ir ārējo bisektriņu ass. Punktu trīslīniju polāri, kas atrodas uz ierobežota konusa, krustojas vienā punktā (ierobežotam riņķim tas ir Lemuina punkts, bet ierobežotai Šteinera elipsei tas ir centroīds). Izogonāla (vai izotomiska) konjugāta un trilineāra polāra sastāvs ir dualitātes transformācija (ja punkts izogonāli (izotomiski) konjugāts ar punktu atrodas uz punkta trilineāra polāra, tad punkta trilineārais polārs izogonāli (izotomiski) konjugāts ar punktu atrodas uz punkta trilineāra polāra).

Kubi

Attiecības trīsstūrī

Piezīme: V šajā sadaļā, , ir trīsstūra trīs malu garumi, un , , ir leņķi, kas atrodas attiecīgi pretī šīm trim malām (pretēji leņķi).

Trijstūra nevienlīdzība

Nedeģenerētā trijstūrī tā divu malu garumu summa ir lielāka par trešās malas garumu, deģenerētā trijstūrī tā ir vienāda. Citiem vārdiem sakot, trijstūra malu garumi ir saistīti ar šādām nevienādībām:

Trijstūra nevienlīdzība ir viena no metrikas aksiomām.

Trijstūra leņķa summas teorēma

Sinusu teorēma

kur R ir ap trijstūri norobežotā riņķa rādiuss. No teorēmas izriet, ka, ja a< b < c, то α < β < γ.

Kosinusa teorēma

Pieskares teorēma

Citas attiecības

Metriskās attiecības trīsstūrī ir norādītas:

Trīsstūru risināšana

Trijstūra nezināmo malu un leņķu aprēķināšana, pamatojoties uz zināmajām malām un leņķiem, vēsturiski tika saukta par "atrisināšanas trijstūriem". Tiek izmantotas iepriekš minētās vispārīgās trigonometriskās teorēmas.

Trijstūra laukums

Īpaši gadījumi Apzīmējumi

Apgabalam ir spēkā šādas nevienādības:

Trīsstūra laukuma aprēķināšana telpā, izmantojot vektorus

Ļaujiet trijstūra virsotnēm būt punktos , , .

Ieviesīsim laukuma vektoru . Šī vektora garums ir vienāds ar trīsstūra laukumu, un tas ir vērsts normāli pret trijstūra plakni:

Ļaujiet mums noteikt , Kur , , ir trīsstūra projekcijas uz koordinātu plaknēm. Kurā

un līdzīgi

Trijstūra laukums ir.

Alternatīva ir aprēķināt malu garumus (izmantojot Pitagora teorēmu) un pēc tam izmantojot Herona formulu.

Trijstūra teorēmas

Desarga teorēma: ja divi trijstūri ir perspektīvi (taisnes, kas iet caur attiecīgajām trīsstūru virsotnēm, krustojas vienā punktā), tad to atbilstošās malas krustojas vienā taisnē.

Sondas teorēma: ja divi trijstūri ir perspektīvi un ortoloģiski (perpendikuli, kas novilkti no viena trijstūra virsotnēm uz malām, kas ir pretējās trijstūra attiecīgajām virsotnēm, un otrādi), tad abi ortoloģijas centri (šo perpendikulu krustpunkti) un centrs perspektīvas atrodas uz tās pašas taisnes, kas ir perpendikulāra perspektīvas asij (taisne no Desarga teorēmas).

Vienkāršākais daudzstūris, kas tiek pētīts skolā, ir trīsstūris. Skolēniem tas ir saprotamāks un mazāk grūtību. Neskatoties uz to, ka ir Dažādi trijstūri, kuriem ir īpašas īpašības.

Kādu formu sauc par trīsstūri?

Veido trīs punkti un segmenti. Pirmās sauc par virsotnēm, otrās par malām. Turklāt visiem trim segmentiem jābūt savienotiem tā, lai starp tiem veidotos leņķi. Līdz ar to "trijstūra" figūras nosaukums.

Atšķirības nosaukumos pa stūriem

Tā kā tie var būt akūti, strupi un taisni, trīsstūru veidus nosaka šie nosaukumi. Attiecīgi ir trīs šādu skaitļu grupas.

Pirmkārt. Ja visi trijstūra leņķi ir asi, tad to sauks par akūtu. Viss ir loģiski.

Otrkārt. Viens no leņķiem ir neass, kas nozīmē, ka trīsstūris ir neass. Tas nevarētu būt vienkāršāk.

Trešais. Ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem, ko sauc par taisnu leņķi. Trijstūris kļūst taisnstūrveida.

Atšķirības nosaukumos sānos

Atkarībā no malu īpašībām izšķir šādus trijstūri:

vispārējais gadījums ir skalēns, kurā visas malas ir patvaļīga garuma;

vienādsānu, kuru divām malām ir vienādas skaitliskās vērtības;

vienādmalu, visu tā malu garumi ir vienādi.

Ja problēma nenorāda konkrētu trīsstūra veidu, jums ir jāzīmē patvaļīgs. Kurā visi stūri ir asi un malām ir dažāda garuma.

Visiem trijstūriem kopīgas īpašības

Ja saskaitāt visus trijstūra leņķus, iegūstat skaitli, kas vienāds ar 180º. Un nav svarīgi, kāda veida tas ir. Šis noteikums vienmēr ir spēkā.
Trijstūra jebkuras malas skaitliskā vērtība ir mazāka par pārējām divām kopā. Turklāt tas ir lielāks par to atšķirību.
Katram ārējam leņķim ir vērtība, ko iegūst, pievienojot divus iekšējos leņķus, kas tam nav blakus. Turklāt tas vienmēr ir lielāks nekā tam blakus esošais iekšējais.
Mazākais leņķis vienmēr atrodas pretī trijstūra mazākajai malai. Un otrādi, ja mala ir liela, tad leņķis būs lielākais.

Šīs īpašības vienmēr ir spēkā neatkarīgi no tā, kāda veida trīsstūri tiek apskatīti uzdevumos. Viss pārējais izriet no konkrētām iezīmēm.

Vienādsānu trīsstūra īpašības

Leņķi, kas atrodas blakus pamatnei, ir vienādi.
Augstums, kas tiek uzvilkts uz pamatni, ir arī mediāna un bisektrise.
Augstumi, mediānas un bisektrise, kas ir veidoti uz trijstūra sānu malām, ir attiecīgi vienādi.

Vienādmalu trijstūra īpašības

Ja ir šāds skaitlis, tad visas nedaudz augstāk aprakstītās īpašības būs patiesas. Jo vienādmalu vienmēr būs vienādsānu. Bet ne otrādi; vienādsānu trīsstūris ne vienmēr būs vienādmalu.

Visi tā leņķi ir vienādi viens ar otru, un to vērtība ir 60º.
Jebkura vienādmalu trīsstūra mediāna ir tā augstums un bisektrise. Turklāt viņi visi ir līdzvērtīgi viens otram. Lai noteiktu to vērtības, ir formula, kas sastāv no malas reizinājuma un kvadrātsaknes no 3, kas dalīta ar 2.

Taisnstūra trīsstūra īpašības

Divi asi leņķi kopā veido 90º.
Hipotenūzas garums vienmēr ir lielāks nekā jebkuras kājas garums.
Hipotenūzai piesaistītās mediānas skaitliskā vērtība ir vienāda ar tās pusi.
Kāja ir vienāda ar tādu pašu vērtību, ja tā atrodas pretī 30º leņķim.
Augstumam, kas tiek ņemts no virsotnes ar vērtību 90º, ir noteikta matemātiska atkarība no kājām: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Šeit: a, b - kājas, n - augstums.

Problēmas ar dažāda veida trijstūriem

Nr.1. Dots vienādsānu trīsstūris. Tā perimetrs ir zināms un vienāds ar 90 cm Mums ir jānoskaidro tā malas. Kā papildu nosacījums: sānu puse ir 1,2 reizes mazāka par pamatni.

Perimetra vērtība ir tieši atkarīga no daudzumiem, kas jāatrod. Visu trīs malu summa dos 90 cm Tagad jums ir jāatceras trijstūra zīme, saskaņā ar kuru tas ir vienādsānu. Tas ir, abas puses ir vienādas. Jūs varat izveidot vienādojumu ar diviem nezināmajiem: 2a + b = 90. Šeit a ir mala, b ir bāze.

Tagad ir pienācis laiks izpildīt papildu nosacījumu. Pēc tā tiek iegūts otrais vienādojums: b = 1.2a. Jūs varat aizstāt šo izteiksmi ar pirmo. Izrādās: 2a + 1,2a = 90. Pēc pārveidojumiem: 3,2a = 90. Tātad a = 28,125 (cm). Tagad ir viegli noskaidrot pamatu. To vislabāk var izdarīt no otrā nosacījuma: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Lai pārbaudītu, varat pievienot trīs vērtības: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Pareizi.

Atbilde: Trijstūra malas ir 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nr.2. Vienādmalu trijstūra mala ir 12 cm.Jāaprēķina tā augstums.

Risinājums. Lai atrastu atbildi, pietiek atgriezties brīdī, kad tika aprakstītas trīsstūra īpašības. Šī ir formula vienādmalu trīsstūra augstuma, mediānas un bisektrise atrašanai.

n = a * √3 / 2, kur n ir augstums un a ir mala.

Aizstāšana un aprēķins dod šādu rezultātu: n = 6 √3 (cm).

Šī formula nav jāiegaumē. Pietiek atcerēties, ka augstums sadala trīsstūri divos taisnstūrveida. Turklāt izrādās, ka tā ir kāja, un hipotenūza tajā ir sākotnējās puses puse, otrā kāja ir puse no zināmās puses. Tagad jums ir jāpieraksta Pitagora teorēma un jāatvasina augstuma formula.

Atbilde: augstums ir 6√3 cm.

Nr.3. Dots MKR ir trijstūris, kurā leņķis K veido 90 grādus. Ir zināmas malas MR un KR, tās ir vienādas ar attiecīgi 30 un 15 cm Jānoskaidro leņķa P vērtība.

Risinājums. Ja jūs izveidojat zīmējumu, kļūst skaidrs, ka MR ir hipotenūza. Turklāt tas ir divreiz lielāks par KR malu. Atkal jums jāgriežas pie īpašumiem. Viens no tiem ir saistīts ar leņķiem. No tā ir skaidrs, ka KMR leņķis ir 30º. Tas nozīmē, ka vēlamais leņķis P būs vienāds ar 60º. Tas izriet no citas īpašības, kas nosaka, ka divu asu leņķu summai ir jābūt vienādai ar 90º.

Atbilde: leņķis P ir 60º.

Nr.4. Mums jāatrod visi vienādsānu trīsstūra leņķi. Par to ir zināms, ka ārējais leņķis no leņķa pie pamatnes ir 110º.

Risinājums. Tā kā ir norādīts tikai ārējais leņķis, tas ir jāizmanto. Tas veido nesalocītu leņķi ar iekšējo. Tas nozīmē, ka kopumā tie dos 180º. Tas ir, leņķis trijstūra pamatnē būs vienāds ar 70º. Tā kā tas ir vienādsānu, otrajam leņķim ir tāda pati vērtība. Atliek aprēķināt trešo leņķi. Saskaņā ar īpašību, kas ir kopīga visiem trijstūriem, leņķu summa ir 180º. Tas nozīmē, ka trešais tiks definēts kā 180º - 70º - 70º = 40º.

Atbilde: leņķi ir 70º, 70º, 40º.

Nr.5. Ir zināms, ka in vienādsānu trīsstūris Leņķis pretī pamatnei ir 90º. Uz pamatnes ir atzīmēts punkts. Segments, kas savieno to ar taisnu leņķi, sadala to proporcijā 1 pret 4. Jānoskaidro visi mazākā trīsstūra leņķi.

Risinājums. Vienu no leņķiem var noteikt uzreiz. Tā kā trīsstūris ir taisnleņķa un vienādsānu, tiem, kas atrodas tā pamatnē, katrs būs 45º, tas ir, 90º/2.

Otrais no tiem palīdzēs jums atrast nosacījumā zināmo attiecību. Tā kā tas ir vienāds ar 1 pret 4, daļas, kurās tas ir sadalīts, ir tikai 5. Tas nozīmē, ka, lai noskaidrotu trijstūra mazāko leņķi, ir nepieciešams 90º/5 = 18º. Atliek noskaidrot trešo. Lai to izdarītu, no 180º (visu trīsstūra leņķu summa) ir jāatņem 45º un 18º. Aprēķini ir vienkārši, un jūs iegūstat: 117º.