Dažām matemātikas problēmām ir nepieciešama iespēja aprēķināt kvadrātsaknes vērtību. Šādas problēmas ietver otrās kārtas vienādojumu atrisināšanu. Šajā rakstā mēs iepazīstināsim efektīva metode aprēķinus kvadrātsaknes un izmantojiet to, strādājot ar kvadrātvienādojuma sakņu formulām.
Kas ir kvadrātsakne?
Matemātikā šis jēdziens atbilst simbolam √. Vēstures dati liecina, ka to pirmo reizi izmantoja aptuveni 16. gadsimta pirmajā pusē Vācijā (pirmais vācu darbs par algebru, ko veidojis Kristofs Rūdolfs). Zinātnieki uzskata, ka norādītais simbols ir pārveidots Latīņu burts r (radix latīņu valodā nozīmē "sakne").
Jebkura skaitļa sakne ir vienāda ar vērtību, kuras kvadrāts atbilst radikālai izteiksmei. Matemātikas valodā šī definīcija izskatīsies šādi: √x = y, ja y 2 = x.
Pozitīva skaitļa sakne (x > 0) arī ir pozitīvs skaitlis (y > 0), bet, ja ņemat negatīva skaitļa sakni (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Šeit ir divi vienkārši piemēri:
√9 = 3, jo 3 2 = 9; √(-9) = 3i, jo i 2 = -1.
Herona iteratīvā formula kvadrātsakņu vērtību atrašanai
Iepriekš minētie piemēri ir ļoti vienkārši, un tajos nav grūti aprēķināt saknes. Grūtības sāk parādīties, meklējot saknes vērtības jebkurai vērtībai, kuru nevar attēlot kā kvadrātu dabiskais skaitlis, piemēram, √10, √11, √12, √13, nemaz nerunājot par to, ka praksē ir jāatrod saknes skaitļiem, kas nav veseli: piemēram, √(12,15), √(8,5) un tā tālāk.
Visos iepriekšminētajos gadījumos ir jāizmanto īpaša kvadrātsaknes aprēķināšanas metode. Pašlaik ir zināmas vairākas šādas metodes: piemēram, Teilora sērijas paplašināšana, kolonnu sadalīšana un dažas citas. No visa zināmās metodes Iespējams, visvienkāršākā un efektīvākā ir izmantot Herona iteratīvo formulu, kas ir pazīstama arī kā babiloniešu metode kvadrātsakņu noteikšanai (ir pierādījumi, ka senie babilonieši to izmantoja savos praktiskajos aprēķinos).
Jānosaka √x vērtība. Kvadrātsaknes atrašanas formula ir nākamais skats:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kur lim n->∞ (a n) => x.
Atšifrēsim šo matemātisko apzīmējumu. Lai aprēķinātu √x, jāņem noteikts skaitlis 0 (tas var būt patvaļīgs, bet, lai ātri iegūtu rezultātu, tas jāizvēlas tā, lai (a 0) 2 būtu pēc iespējas tuvāk x. Pēc tam aizstājiet to ar norādīto formulu kvadrātsaknes aprēķināšanai un iegūstiet jaunu skaitli a 1, kas jau būs tuvāk vēlamajai vērtībai. Pēc tam izteiksmē jāaizstāj ar 1 un jāiegūst 2. Šī procedūra jāatkārto līdz vajadzīgajai vērtībai. tiek iegūta precizitāte.
Herona iteratīvās formulas izmantošanas piemērs
Iepriekš aprakstītais algoritms dotā skaitļa kvadrātsaknes iegūšanai daudziem var šķist diezgan sarežģīts un mulsinoši, taču patiesībā viss izrādās daudz vienkāršāk, jo šī formula saplūst ļoti ātri (it īpaši, ja tiek izvēlēts veiksmīgs skaitlis 0) .
Sniegsim vienkāršu piemēru: jums jāaprēķina √11. Izvēlēsimies 0 = 3, jo 3 2 = 9, kas ir tuvāk 11 nekā 4 2 = 16. Aizvietojot formulā, mēs iegūstam:
a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Nav jēgas turpināt aprēķinus, jo mēs atklājām, ka 2 un 3 sāk atšķirties tikai 5. zīmē aiz komata. Tādējādi pietika izmantot formulu tikai 2 reizes, lai aprēķinātu √11 ar precizitāti 0,0001.
Mūsdienās sakņu aprēķināšanai plaši tiek izmantoti kalkulatori un datori, tomēr ir lietderīgi atcerēties iezīmēto formulu, lai varētu manuāli aprēķināt to precīzu vērtību.
Otrās kārtas vienādojumi
Kvadrātvienādojumu risināšanā izmanto izpratni par to, kas ir kvadrātsakne un spēju to aprēķināt. Šos vienādojumus sauc par vienādībām ar vienu nezināmo, kuru vispārīgā forma ir parādīta attēlā zemāk.
Šeit c, b un a apzīmē dažus skaitļus, un a nedrīkst būt vienāds ar nulli, un c un b vērtības var būt pilnīgi patvaļīgas, tostarp vienādas ar nulli.
Jebkuras x vērtības, kas atbilst attēlā norādītajai vienādībai, sauc par tās saknēm (šo jēdzienu nevajadzētu sajaukt ar kvadrātsakni √). Tā kā aplūkojamais vienādojums ir 2. kārtas (x 2), tad tam nevar būt vairāk par divām saknēm. Apskatīsim tālāk rakstā, kā atrast šīs saknes.
Kvadrātvienādojuma (formulas) sakņu atrašana
Šo aplūkojamā vienādību veida risināšanas metodi sauc arī par universālo metodi jeb diskriminācijas metodi. To var izmantot jebkuriem kvadrātvienādojumiem. Kvadrātvienādojuma diskriminanta un sakņu formula ir šāda:
Tas parāda, ka saknes ir atkarīgas no katra vienādojuma trīs koeficienta vērtības. Turklāt x 1 aprēķins atšķiras no x 2 aprēķina tikai ar zīmi kvadrātsaknes priekšā. Radikālā izteiksme, kas ir vienāda ar b 2 - 4ac, nav nekas cits kā attiecīgās vienlīdzības diskriminants. Kvadrātvienādojuma sakņu formulas diskriminantam ir svarīga loma, jo tas nosaka risinājumu skaitu un veidu. Tātad, ja tas ir vienāds ar nulli, tad būs tikai viens risinājums, ja tas ir pozitīvs, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, un, visbeidzot, negatīvs diskriminants noved pie divām sarežģītām saknēm x 1 un x 2.
Vietas teorēma vai dažas otrās kārtas vienādojumu sakņu īpašības
16. gadsimta beigās viens no mūsdienu algebras pamatlicējiem francūzis, pētot otrās kārtas vienādojumus, spēja iegūt tās sakņu īpašības. Matemātiski tos var uzrakstīt šādi:
x 1 + x 2 = -b / a un x 1 * x 2 = c / a.
Abas vienādības var viegli iegūt ikviens, lai to izdarītu, jums vienkārši jāveic atbilstošas matemātiskās darbības ar saknēm, kas iegūtas, izmantojot formulu ar diskriminantu.
Šo divu izteiksmju kombināciju pamatoti var saukt par kvadrātvienādojuma sakņu otro formulu, kas ļauj uzminēt tā risinājumus, neizmantojot diskriminantu. Šeit jāatzīmē, ka, lai gan abas izteiksmes vienmēr ir derīgas, ir ērti tās izmantot, lai atrisinātu vienādojumu tikai tad, ja to var faktorizēt.
Iegūto zināšanu nostiprināšanas uzdevums
Atrisināsim matemātisko problēmu, kurā demonstrēsim visus rakstā aplūkotos paņēmienus. Problēmas nosacījumi ir šādi: jāatrod divi skaitļi, kuriem reizinājums ir -13 un summa ir 4.
Šis nosacījums mums nekavējoties atgādina Vietas teorēmu; izmantojot kvadrātsakņu un to reizinājuma summas formulas, mēs rakstām:
x 1 + x 2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Ja pieņemam, ka a = 1, tad b = -4 un c = -13. Šie koeficienti ļauj mums izveidot otrās kārtas vienādojumu:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Izmantosim formulu ar diskriminantu un iegūsim šādas saknes:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Tas ir, problēma tika samazināta līdz skaitļa √68 atrašanai. Ņemiet vērā, ka 68 = 4 * 17, tad, izmantojot kvadrātsaknes īpašību, mēs iegūstam: √68 = 2√17.
Tagad izmantosim aplūkoto kvadrātsaknes formulu: a 0 = 4, tad:
a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Nav nepieciešams aprēķināt 3, jo atrastās vērtības atšķiras tikai par 0,02. Tādējādi √68 = 8,246. Aizvietojot to formulā x 1,2, mēs iegūstam:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 un x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Kā redzam, atrasto skaitļu summa tiešām ir vienāda ar 4, bet, ja atradīsim to reizinājumu, tad tas būs vienāds ar -12.999, kas apmierina uzdevuma nosacījumus ar precizitāti 0.001.
Mēs turpinām pētīt tēmu " vienādojumu risināšana" Mēs jau esam iepazinušies ar lineārajiem vienādojumiem un virzāmies uz iepazīšanos kvadrātvienādojumi.
Pirmkārt, mēs apskatīsim, kas ir kvadrātvienādojums, kā tas tiek uzrakstīts vispārīgā formā, un sniegsim saistītās definīcijas. Pēc tam mēs izmantosim piemērus, lai detalizēti izpētītu, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tālāk mēs pāriesim uz pilnīgu vienādojumu risināšanu, iegūsim saknes formulu, iepazīsimies ar kvadrātvienādojuma diskriminantu un izskatīsim tipisku piemēru risinājumus. Visbeidzot, izsekosim sakariem starp saknēm un koeficientiem.
Lapas navigācija.
Kas ir kvadrātvienādojums? Viņu veidi
Vispirms jums ir skaidri jāsaprot, kas ir kvadrātvienādojums. Tāpēc sarunu par kvadrātvienādojumiem ir loģiski sākt ar kvadrātvienādojuma definīciju, kā arī ar to saistītām definīcijām. Pēc tam jūs varat apsvērt galvenos kvadrātvienādojumu veidus: reducētos un nereducētos, kā arī pilnīgus un nepilnīgos vienādojumus.
Kvadrātvienādojumu definīcija un piemēri
Definīcija.
Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums a x 2 +b x+c=0, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi, un a nav nulle.
Teiksim uzreiz, ka kvadrātvienādojumus bieži sauc par otrās pakāpes vienādojumiem. Tas ir saistīts ar faktu, ka kvadrātvienādojums ir algebriskais vienādojums otrā pakāpe.
Norādītā definīcija ļauj sniegt kvadrātvienādojumu piemērus. Tātad 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 utt. Tie ir kvadrātvienādojumi.
Definīcija.
Skaitļi a, b un c sauc kvadrātvienādojuma koeficienti a·x 2 +b·x+c=0, un koeficients a tiek saukts par pirmo jeb augstāko, vai koeficients x 2, b ir otrais koeficients, vai koeficients x, un c ir brīvais termins .
Piemēram, pieņemsim kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x −3=0, šeit vadošais koeficients ir 5, otrais koeficients ir vienāds ar −2 un brīvais loceklis ir vienāds ar −3. Lūdzu, ņemiet vērā, ka, ja koeficienti b un/vai c ir negatīvi, kā tikko dotajā piemērā, kvadrātvienādojuma īsā forma ir 5 x 2 −2 x −3=0 , nevis 5 x 2 +(−2 ). ·x+(−3)=0 .
Ir vērts atzīmēt, ka gadījumos, kad koeficienti a un/vai b ir vienādi ar 1 vai −1, tie parasti nav skaidri norādīti kvadrātvienādojumā, kas ir saistīts ar to rakstīšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 −y+3=0 vadošais koeficients ir viens, un y koeficients ir vienāds ar −1.
Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi
Atkarībā no vadošā koeficienta vērtības izšķir reducētus un nereducētus kvadrātvienādojumus. Sniegsim atbilstošās definīcijas.
Definīcija.
Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā vadošais koeficients ir 1 dots kvadrātvienādojums. Pretējā gadījumā kvadrātvienādojums ir neskarts.
Saskaņā ar šī definīcija, kvadrātvienādojumi x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 utt. – dots, katrā no tiem pirmais koeficients ir vienāds ar vienu. A 5 x 2 −x−1=0 utt. - nereducēti kvadrātvienādojumi, kuru vadošie koeficienti atšķiras no 1.
No jebkura nereducēta kvadrātvienādojuma, abas puses dalot ar vadošo koeficientu, var pāriet uz reducēto. Šī darbība ir līdzvērtīga transformācija, tas ir, šādā veidā iegūtajam reducētajam kvadrātvienādojumam ir tādas pašas saknes kā sākotnējam nereducētajam kvadrātvienādojumam vai, tāpat kā tam, nav sakņu.
Apskatīsim piemēru, kā tiek veikta pāreja no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.
Piemērs.
No vienādojuma 3 x 2 +12 x−7=0 pārejiet uz atbilstošo reducēto kvadrātvienādojumu.
Risinājums.
Mums vienkārši jāsadala abas sākotnējā vienādojuma puses ar vadošo koeficientu 3, tas nav nulle, lai mēs varētu veikt šo darbību. Mums ir (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kas ir vienāds, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, un tad (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, no kurienes . Tādā veidā mēs ieguvām reducēto kvadrātvienādojumu, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam.
Atbilde:
Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi
Kvadrātvienādojuma definīcija satur nosacījumu a≠0. Šis nosacījums ir nepieciešams, lai vienādojums a x 2 + b x + c = 0 būtu kvadrātisks, jo, kad a = 0, tas faktiski kļūst par lineāru vienādojumu formā b x + c = 0.
Kas attiecas uz koeficientiem b un c, tie var būt vienādi ar nulli gan atsevišķi, gan kopā. Šajos gadījumos kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.
Definīcija.
Tiek izsaukts kvadrātvienādojums a x 2 +b x+c=0 nepilnīgs, ja vismaz viens no koeficientiem b, c ir vienāds ar nulli.
Savukārt
Definīcija.
Pilnīgs kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā visi koeficienti atšķiras no nulles.
Tādi vārdi netika doti nejauši. Tas kļūs skaidrs no turpmākajām diskusijām.
Ja koeficients b ir nulle, tad kvadrātvienādojums iegūst formu a·x 2 +0·x+c=0, un tas ir ekvivalents vienādojumam a·x 2 +c=0. Ja c=0, tas ir, kvadrātvienādojuma forma ir a·x 2 +b·x+0=0, tad to var pārrakstīt kā a·x 2 +b·x=0. Un ar b=0 un c=0 iegūstam kvadrātvienādojumu a·x 2 =0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vārda ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Līdz ar to viņu nosaukums - nepilnīgi kvadrātvienādojumi.
Tātad vienādojumi x 2 +x+1=0 un −2 x 2 −5 x+0,2=0 ir pilnīgu kvadrātvienādojumu piemēri, un x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 = 0 , −x 2 −5 x=0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana
No iepriekšējā punktā sniegtās informācijas izriet, ka ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:
- a·x 2 =0, tam atbilst koeficienti b=0 un c=0;
- a x 2 +c=0, ja b=0;
- un a·x 2 +b·x=0, ja c=0.
Pārbaudīsim secībā, kā tiek atrisināti katra no šiem tipiem nepilnīgi kvadrātvienādojumi.
a x 2 =0
Sāksim ar nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanu, kuros koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tas ir, ar vienādojumiem formā a x 2 =0. Vienādojums a·x 2 =0 ir ekvivalents vienādojumam x 2 =0, ko iegūst no oriģināla, abas daļas dalot ar skaitli, kas nav nulle a. Acīmredzot vienādojuma x 2 =0 sakne ir nulle, jo 0 2 =0. Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas izskaidrojams ar to, ka jebkuram skaitlim p, kas nav nulle, pastāv nevienādība p 2 >0, kas nozīmē, ka p≠0 vienādība p 2 =0 nekad netiek sasniegta.
Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a·x 2 =0 ir viena sakne x=0.
Kā piemēru sniedzam nepilna kvadrātvienādojuma atrisinājumu −4 x 2 =0. Tas ir ekvivalents vienādojumam x 2 =0, tā vienīgā sakne ir x=0, tāpēc sākotnējam vienādojumam ir viena saknes nulle.
Īsu risinājumu šajā gadījumā var uzrakstīt šādi:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0.
a x 2 +c=0
Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi, kuros koeficients b ir nulle un c≠0, tas ir, vienādojumi formā a x 2 +c=0. Mēs zinām, ka termina pārvietošana no vienas vienādojuma puses uz otru ar pretējā zīme, kā arī sadalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav nulle, iegūst līdzvērtīgu vienādojumu. Tāpēc mēs varam veikt šādas nepilnīgā kvadrātvienādojuma a x 2 +c=0 ekvivalentas transformācijas:
- pārvietojiet c uz labo pusi, kas dod vienādojumu a x 2 =-c,
- un sadaliet abas puses ar a, mēs iegūstam .
Iegūtais vienādojums ļauj izdarīt secinājumus par tā saknēm. Atkarībā no a un c vērtībām izteiksmes vērtība var būt negatīva (piemēram, ja a=1 un c=2, tad ) vai pozitīva (piemēram, ja a=−2 un c=6, tad ), tā nav nulle , jo pēc nosacījuma c≠0. Apskatīsim gadījumus atsevišķi.
Ja , tad vienādojumam nav sakņu. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs skaitlis. No tā izriet, ka kad , tad jebkuram skaitlim p vienādība nevar būt patiesa.
Ja , tad situācija ar vienādojuma saknēm ir atšķirīga. Šajā gadījumā, ja atceramies par , tad uzreiz kļūst acīmredzama vienādojuma sakne, tas ir skaitlis, jo . Ir viegli uzminēt, ka skaitlis ir arī vienādojuma sakne, patiešām, . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var parādīt, piemēram, ar pretrunu. Darīsim to.
Apzīmēsim tikko paziņotā vienādojuma saknes kā x 1 un −x 1 . Pieņemsim, ka vienādojumam ir vēl viena sakne x 2, kas atšķiras no norādītajām saknēm x 1 un −x 1. Ir zināms, ka tā sakņu aizstāšana ar vienādojumu, nevis x, pārvērš vienādojumu par pareizu skaitlisko vienādību. Attiecībā uz x 1 un −x 1 mums ir , un attiecībā uz x 2 mums ir . Skaitlisko vienādību īpašības ļauj veikt pareizu skaitlisko vienādību atņemšanu pa termiņam, tāpēc, atņemot atbilstošās vienādību daļas, iegūst x 1 2 −x 2 2 =0. Darbību ar skaitļiem īpašības ļauj iegūto vienādību pārrakstīt kā (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Mēs zinām, ka divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli. Tāpēc no iegūtās vienādības izriet, ka x 1 −x 2 =0 un/vai x 1 +x 2 =0, kas ir vienāds, x 2 =x 1 un/vai x 2 = −x 1. Tātad mēs nonācām pie pretrunas, jo sākumā mēs teicām, ka vienādojuma sakne x 2 atšķiras no x 1 un −x 1. Tas pierāda, ka vienādojumam nav citu sakņu kā un .
Apkoposim informāciju šajā punktā. Nepabeigtais kvadrātvienādojums a x 2 +c=0 ir līdzvērtīgs vienādojumam, kas
- nav sakņu, ja
- ir divas saknes un , ja .
Aplūkosim piemērus nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai formā a·x 2 +c=0.
Sāksim ar kvadrātvienādojumu 9 x 2 +7=0. Pēc brīvā termina pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi tas iegūs formu 9 x 2 =−7. Sadalot abas iegūtā vienādojuma puses ar 9, mēs nonākam pie . Tā kā labajā pusē izrādījās negatīvs skaitlis, tad šim vienādojumam nav sakņu, tāpēc sākotnējam nepilnīgajam kvadrātvienādojumam 9 x 2 +7=0 nav sakņu.
Atrisināsim vēl vienu nepilnu kvadrātvienādojumu −x 2 +9=0. Pārvietojam deviņus uz labo pusi: −x 2 =−9. Tagad abas puses sadalām ar −1, iegūstam x 2 =9. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura secinām, ka vai . Pēc tam pierakstām galīgo atbildi: nepilnīgajam kvadrātvienādojumam −x 2 +9=0 ir divas saknes x=3 vai x=−3.
a x 2 +b x=0
Atliek risināt pēdējā veida nepilnīgo kvadrātvienādojumu atrisinājumu c=0. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi formā a x 2 + b x = 0 ļauj atrisināt faktorizācijas metode. Acīmredzot mēs varam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kam pietiek ar kopējo koeficientu x izņemt no iekavām. Tas ļauj pāriet no sākotnējā nepilnīgā kvadrātvienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu formā x·(a·x+b)=0. Un šis vienādojums ir ekvivalents divu vienādojumu kopai x=0 un a·x+b=0, no kuriem pēdējais ir lineārs un kura sakne ir x=-b/a.
Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x=0 ir divas saknes x=0 un x=−b/a.
Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim risinājumu konkrētam piemēram.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums.
Izņemot x no iekavām, tiek iegūts vienādojums . Tas ir līdzvērtīgs diviem vienādojumiem x=0 un . Atrisinām iegūto lineāro vienādojumu: , un jaukto skaitli dalām ar kopējā frakcija, mēs atradām . Tāpēc sākotnējā vienādojuma saknes ir x=0 un .
Pēc nepieciešamās prakses iegūšanas šādu vienādojumu risinājumus var uzrakstīt īsi:
Atbilde:
x=0 , .
Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumus, ir saknes formula. Pierakstīsim to kvadrātvienādojuma sakņu formula: , Kur D=b 2 −4 a c- ts kvadrātvienādojuma diskriminants. Ieraksts būtībā nozīmē, ka .
Ir noderīgi zināt, kā tika iegūta saknes formula un kā tā tiek izmantota kvadrātvienādojumu sakņu atrašanai. Noskaidrosim šo.
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana
Atrisināsim kvadrātvienādojumu a·x 2 +b·x+c=0. Veiksim dažas līdzvērtīgas transformācijas:
- Mēs varam dalīt abas šī vienādojuma puses ar skaitli a, kas nav nulle, kā rezultātā iegūstam šādu kvadrātvienādojumu.
- Tagad atlasiet pilnu kvadrātu tās kreisajā pusē: . Pēc tam vienādojums iegūst formu .
- Šajā posmā ir iespējams pārcelt pēdējos divus terminus uz labo pusi ar pretējo zīmi, mums ir .
- Un pārveidosim arī izteiksmi labajā pusē: .
Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma, kas ir ekvivalents sākotnējam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x+c=0.
Mēs jau esam atrisinājuši vienādojumus, kas līdzīgi pēc formas iepriekšējās rindkopās, kad mēs pārbaudījām. Tas ļauj jums darīt šādus secinājumus par vienādojuma saknēm:
- ja , tad vienādojumam nav reālu atrisinājumu;
- ja , tad vienādojumam ir forma , tāpēc, , no kura ir redzama tā vienīgā sakne;
- ja , Tad vai , kas ir tāds pats kā vai , Tas ir, vienādojumam ir divas saknes.
Tādējādi vienādojuma sakņu esamība vai neesamība un līdz ar to sākotnējais kvadrātvienādojums ir atkarīgs no izteiksmes zīmes labajā pusē. Savukārt šīs izteiksmes zīmi nosaka skaitītāja zīme, jo saucējs 4·a 2 vienmēr ir pozitīvs, tas ir, izteiksmes b 2 −4·a·c zīme. Šo izteiksmi sauca b 2 −4 a c kvadrātvienādojuma diskriminants un apzīmēta ar vēstuli D. No šejienes ir skaidra diskriminanta būtība - pamatojoties uz tā vērtību un zīmi, viņi secina, vai kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, un, ja ir, tad kāds ir to skaits - viens vai divi.
Atgriezīsimies pie vienādojuma un pārrakstīsim to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: . Un mēs izdarām secinājumus:
- ja D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ja D=0, tad šim vienādojumam ir viena sakne;
- visbeidzot, ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes vai, ko var pārrakstīt formā vai, un pēc daļskaitļu izvēršanas un salikšanas līdz kopsaucējam iegūstam.
Tātad mēs atvasinājām kvadrātvienādojuma sakņu formulas, tās izskatās kā , kur diskriminantu D aprēķina pēc formulas D=b 2 −4·a·c.
Ar to palīdzību ar pozitīvo diskriminantu jūs varat aprēķināt abas kvadrātvienādojuma reālās saknes. Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, abas formulas dod vienu un to pašu saknes vērtību, kas atbilst unikālam kvadrātvienādojuma risinājumam. Un ar negatīvu diskriminantu, mēģinot izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs saskaramies ar negatīva skaitļa kvadrātsaknes izņemšanu, kas mūs izved ārpus darbības jomas un skolas mācību programma. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, bet tam ir pāris komplekss konjugāts saknes, kuras var atrast, izmantojot tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.
Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas
Praksē, risinot kvadrātvienādojumus, varat nekavējoties izmantot saknes formulu, lai aprēķinātu to vērtības. Bet tas vairāk saistīts ar sarežģītu sakņu atrašanu.
Tomēr skolas algebras kursā mēs parasti runājam nevis par sarežģītām, bet par reālām kvadrātvienādojuma saknēm. Šajā gadījumā pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ieteicams vispirms atrast diskriminantu, pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā mēs varam secināt, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un tikai pēc tam aprēķiniet sakņu vērtības.
Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums rakstīt Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 +b x+c=0, jums ir nepieciešams:
- izmantojot diskriminanta formulu D=b 2 −4·a·c, aprēķina tā vērtību;
- secināt, ka kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, ja diskriminants ir negatīvs;
- aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu, ja D=0;
- atrast divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot saknes formulu, ja diskriminants ir pozitīvs.
Šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, varat izmantot arī formulu; tā dos tādu pašu vērtību kā .
Varat pāriet uz kvadrātvienādojumu risināšanas algoritma izmantošanas piemēriem.
Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri
Apskatīsim trīs kvadrātvienādojumu risinājumus ar pozitīvo, negatīvo un nulles diskriminantu. Izskatot to risinājumu, pēc analoģijas būs iespējams atrisināt jebkuru citu kvadrātvienādojumu. Sāksim.
Piemērs.
Atrodiet vienādojuma saknes x 2 +2·x−6=0.
Risinājums.
Šajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=1, b=2 un c=−6. Saskaņā ar algoritmu vispirms ir jāaprēķina diskriminants; lai to izdarītu, mēs aizstājam norādītos a, b un c diskriminanta formulā, mums ir D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Tā kā 28>0, tas ir, diskriminants ir lielāks par nulli, kvadrātvienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos, izmantojot saknes formulu, mēs iegūstam , šeit jūs varat vienkāršot iegūtās izteiksmes, rīkojoties reizinātāja pārvietošana ārpus saknes zīmes kam seko frakcijas samazināšana:
Atbilde:
Pāriesim pie nākamā tipiskā piemēra.
Piemērs.
Atrisiniet kvadrātvienādojumu −4 x 2 +28 x−49=0 .
Risinājums.
Mēs sākam, meklējot diskriminantu: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Tāpēc šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne, ko mēs atrodam kā , tas ir,
Atbilde:
x=3,5.
Atliek apsvērt kvadrātvienādojumu risināšanu ar negatīvu diskriminantu.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu 5·y 2 +6·y+2=0.
Risinājums.
Šeit ir kvadrātvienādojuma koeficienti: a=5, b=6 un c=2. Mēs šīs vērtības aizstājam diskriminējošā formulā, kas mums ir D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminants ir negatīvs, tāpēc šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.
Ja jums ir jānorāda sarežģītas saknes, izmantojiet labi zināma formula kvadrātvienādojuma saknes un izpildīt operācijas ar kompleksajiem skaitļiem:
Atbilde:
īstu sakņu nav, sarežģītās saknes ir: .
Vēlreiz atzīmēsim, ka, ja kvadrātvienādojuma diskriminants ir negatīvs, tad skolā parasti uzreiz pieraksta atbildi, kurā norāda, ka īstu sakņu nav un sarežģītas saknes nav atrastas.
Saknes formula pat otrajam koeficientam
Kvadrātvienādojuma sakņu formula, kur D=b 2 −4·a·c ļauj iegūt kompaktākas formas formulu, ļaujot atrisināt kvadrātvienādojumus ar pāra koeficientu x (vai vienkārši ar koeficients, kura forma ir, piemēram, 2·n vai 14· ln5=2·7·ln5 ). Izvedīsim viņu ārā.
Pieņemsim, ka jāatrisina kvadrātvienādojums formā a x 2 +2 n x+c=0. Atradīsim tās saknes, izmantojot mums zināmo formulu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām diskriminantu D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), un tad mēs izmantojam saknes formulu:
Apzīmēsim izteiksmi n 2 −a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad apskatāmā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūs formu 
, kur D 1 =n 2 −a·c.
Ir viegli redzēt, ka D=4·D 1 vai D 1 =D/4. Citiem vārdiem sakot, D 1 ir diskriminanta ceturtā daļa. Ir skaidrs, ka D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme. Tas ir, zīme D 1 ir arī kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības rādītājs.
Tātad, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ar otro koeficientu 2·n, jums ir nepieciešams
- Aprēķināt D 1 =n 2 −a·c ;
- Ja D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Ja D 1 =0, tad aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu;
- Ja D 1 >0, tad, izmantojot formulu, atrodiet divas reālas saknes.
Apsvērsim piemēra risināšanu, izmantojot šajā punktā iegūto saknes formulu.
Piemērs.
Atrisiniet kvadrātvienādojumu 5 x 2 −6 x −32=0 .
Risinājums.
Šī vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2·(−3) . Tas ir, jūs varat pārrakstīt sākotnējo kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, šeit a=5, n=-3 un c=-32, un aprēķināt ceturto daļu diskriminējošais: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Tā kā tā vērtība ir pozitīva, vienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos, izmantojot atbilstošo saknes formulu:
Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojuma saknēm bija iespējams izmantot parasto formulu, taču šajā gadījumā būtu jāveic vairāk skaitļošanas darba.
Atbilde:
Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana
Dažreiz, pirms sākt aprēķināt kvadrātvienādojuma saknes, izmantojot formulas, nenāk par ļaunu uzdot jautājumu: "Vai ir iespējams vienkāršot šī vienādojuma formu?" Piekrītiet, ka aprēķinu ziņā kvadrātvienādojumu 11 x 2 −4 x−6=0 būs vieglāk atrisināt nekā 1100 x 2 −400 x−600=0.
Parasti kvadrātvienādojuma formas vienkāršošanu panāk, reizinot vai dalot abas puses ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekšējā rindkopā bija iespējams vienkāršot vienādojumu 1100 x 2 −400 x −600=0, abas puses dalot ar 100.
Līdzīga transformācija tiek veikta ar kvadrātvienādojumiem, kuru koeficienti nav . Šajā gadījumā abas vienādojuma puses parasti tiek dalītas ar tā koeficientu absolūtajām vērtībām. Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 12 x 2 −42 x+48=0. tā koeficientu absolūtās vērtības: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Sadalot abas sākotnējā kvadrātvienādojuma puses ar 6, iegūstam līdzvērtīgu kvadrātvienādojumu 2 x 2 −7 x+8=0.
Un kvadrātvienādojuma abu pušu reizināšana parasti tiek veikta, lai atbrīvotos no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā reizināšanu veic ar tā koeficientu saucējiem. Piemēram, ja kvadrātvienādojuma abas puses tiek reizinātas ar LCM(6, 3, 1)=6, tad tas iegūs vienkāršāku formu x 2 +4·x−18=0.
Noslēgumā mēs atzīmējam, ka viņi gandrīz vienmēr atbrīvojas no mīnusa pie augstākā kvadrātvienādojuma koeficienta, mainot visu terminu zīmes, kas atbilst abu pušu reizināšanai (vai dalīšanai) ar −1. Piemēram, parasti no kvadrātvienādojuma −2 x 2 −3 x+7=0 pāriet uz risinājumu 2 x 2 +3 x−7=0 .
Kvadrātvienādojuma sakņu un koeficientu saistība
Kvadrātvienādojuma sakņu formula izsaka vienādojuma saknes caur tā koeficientiem. Pamatojoties uz saknes formulu, jūs varat iegūt citas attiecības starp saknēm un koeficientiem.
Vispazīstamākās un pielietojamākās Vjetas teorēmas formulas ir formā un . Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, aplūkojot kvadrātvienādojuma formu 3 x 2 −7 x + 22 = 0, mēs uzreiz varam teikt, ka tā sakņu summa ir vienāda ar 7/3, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar 22. /3.
Izmantojot jau uzrakstītās formulas, jūs varat iegūt vairākus citus savienojumus starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar tā koeficientiem: .
Bibliogrāfija.
- Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1.daļa.Mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
", tas ir, pirmās pakāpes vienādojumi. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim ko sauc par kvadrātvienādojumu un kā to atrisināt.
Kas ir kvadrātvienādojums?
Svarīgs!
Vienādojuma pakāpi nosaka pēc augstākās pakāpes, kādā atrodas nezināmais.
Ja maksimālā jauda, kurā nezināmais ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.
Kvadrātvienādojumu piemēri
- 5x 2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2–8 = 0
Svarīgs! Kvadrātvienādojuma vispārējā forma izskatās šādi:
A x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” un “c” ir doti skaitļi.- “a” ir pirmais vai augstākais koeficients;
- “b” ir otrais koeficients;
- “c” ir bezmaksas dalībnieks.
Lai atrastu "a", "b" un "c", jums jāsalīdzina jūsu vienādojums ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c = 0".
Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.
| Vienādojums | Likmes | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = –1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = –8
Kā atrisināt kvadrātvienādojumus
Atšķirībā no lineārajiem vienādojumiem kvadrātvienādojumu atrisināšanai tiek izmantota īpaša metode. formula sakņu atrašanai.
Atcerieties!
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:
- samaziniet kvadrātvienādojumu līdz vispārējais izskats"ax 2 + bx + c = 0". Tas nozīmē, ka labajā pusē jāpaliek tikai “0”;
- izmantojiet formulu saknēm:
Apskatīsim piemēru, kā izmantot formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.
X 2 - 3x - 4 = 0
Vienādojums “x 2 − 3x − 4 = 0” jau ir reducēts uz vispārīgo formu “ax 2 + bx + c = 0”, un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums vienkārši jāpiesakās formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
To var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.
Formulā “x 1;2 = ” radikālā izteiksme bieži tiek aizstāta
“b 2 – 4ac” burtam “D”, un to sauc par diskriminējošu. Diskriminanta jēdziens sīkāk aplūkots nodarbībā “Kas ir diskriminants”.
Apskatīsim vēl vienu kvadrātvienādojuma piemēru.
x 2 + 9 + x = 7x
Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus “a”, “b” un “c”. Vispirms reducēsim vienādojumu līdz vispārīgajai formai “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0
Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Atbilde: x = 3
Ir reizes, kad kvadrātvienādojumiem nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formula satur negatīvu skaitli zem saknes.
Es ceru, ka pēc šī raksta izpētes jūs uzzināsit, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.
Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti tikai pilnie kvadrātvienādojumi, nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsit rakstā “Nepilnu kvadrātvienādojumu risināšana”.
Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pabeigtiem? Šis vienādojumi formā ax 2 + b x + c = 0, kur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnīgu kvadrātvienādojumu, mums jāaprēķina diskriminants D.
D = b 2 – 4ac.
Atkarībā no diskriminanta vērtības mēs pierakstīsim atbildi.
Ja diskriminants ir negatīvs skaitlis (D< 0),то корней нет.
Ja diskriminants ir nulle, tad x = (-b)/2a. Ja diskriminants ir pozitīvs skaitlis (D > 0),
tad x 1 = (-b - √D)/2a un x 2 = (-b + √D)/2a.
Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2– 4x + 4 = 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Atbilde: 2.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Atbilde: nav sakņu.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2–4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4 = 1
Atbilde: – 3,5; 1.
Tāpēc iedomāsimies pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, izmantojot diagrammu 1. attēlā.
Izmantojot šīs formulas, jūs varat atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu. Jums vienkārši jābūt uzmanīgiem, lai vienādojums tika uzrakstīts kā standarta formas polinoms
A x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 = 0, jūs varat kļūdaini izlemt, ka
a = 1, b = 3 un c = 2. Tad
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Skatiet iepriekš 2. piemēra risinājumu).
Tāpēc, ja vienādojums nav uzrakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms ir jāuzraksta pilns kvadrātvienādojums kā standarta formas polinoms (vienādojums ar lielāko eksponentu ir jābūt pirmajā vietā, tas ir A x 2 , tad ar mazāku – bx un tad bezmaksas biedrs Ar.
Atrisinot reducēto kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar pāra koeficientu otrajā termiņā, var izmantot citas formulas. Iepazīsimies ar šīm formulām. Ja pilnā kvadrātvienādojumā otrajam vārdam ir pāra koeficients (b = 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 2. attēlā.
Pilnu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + pikseļi + q = 0. Šādu vienādojumu var dot atrisinājumam, vai arī to var iegūt, visus vienādojuma koeficientus dalot ar koeficientu A, stāvot plkst x 2 .
3. attēlā parādīta diagramma samazinātā kvadrāta risināšanai 
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu pielietojuma piemēru.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 1. attēlā.
D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3
Var pamanīt, ka x koeficients šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b = 6 vai b = 2k, no kurienes k = 3. Pēc tam mēģināsim atrisināt vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas attēla D diagrammā. 1 = 3 2–3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3. Ievērojot, ka šajā kvadrātvienādojumā visi koeficienti dalās ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu x 2 + 2x – 2 = 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot reducētā kvadrātvienādojuma formulas. 
vienādojumi 3. attēls.
D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = - 1 - √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3.
Kā redzam, risinot šo vienādojumu ar dažādas formulas mēs saņēmām tādu pašu atbildi. Tāpēc, rūpīgi apguvis 1. attēla diagrammā redzamās formulas, jūs vienmēr varēsiet atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu.
blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0.
Kvadrātiskajam trinomam ax 2 + bx + c piemērosim tās pašas transformācijas, kuras veicām 13.§, kad pierādījām teorēmu, ka funkcijas y = ax 2 + bx + c grafiks ir parabola.
Mums ir
Parasti izteiksmi b 2 - 4ac apzīmē ar burtu D un sauc par kvadrātvienādojuma ax 2 + bx + c = 0 diskriminantu (vai kvadrātvienādojuma ax + bx + c diskriminantu).
Tādējādi
Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojumu ax 2 + tie + c = O var pārrakstīt formā
Jebkuru kvadrātvienādojumu var pārveidot formā (1), kas ir ērti, kā mēs tagad redzēsim, lai noteiktu kvadrātvienādojuma sakņu skaitu un atrastu šīs saknes.
Pierādījums. Ja D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время kreisā puse vienādojums (1) ņem nenegatīvas vērtības jebkurām x vērtībām. Tas nozīmē, ka nav nevienas x vērtības, kas atbilstu (1) vienādojumam, un tāpēc (1) vienādojumam nav sakņu.
1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Risinājums. Šeit a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Kopš D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Pierādījums. Ja D = 0, tad vienādojums (1) iegūst formu
ir vienīgā vienādojuma sakne.
1. piezīme.
Vai atceraties, ka x = - ir parabolas virsotnes abscisa, kas kalpo kā funkcijas y = ax 2 + tie + c grafiks? Kādēl šis
vērtība izrādījās vienīgā kvadrātvienādojuma sakne ax 2 + tie + c - 0? “Zārks” tiek atvērts vienkārši: ja D ir 0, tad, kā mēs noskaidrojām iepriekš,
Tās pašas funkcijas grafiks 
ir parabola ar virsotni punktā (sk., piemēram, 98. att.). Tas nozīmē, ka parabolas virsotnes abscisa un vienīgā kvadrātvienādojuma sakne, ja D = 0, ir vienādi.
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Risinājums. Šeit a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.
Tā kā D = 0, tad saskaņā ar 2. teorēmu šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne. Šo sakni atrod pēc formulas
Atbilde: 2.5.
2. piezīme.
Ņemiet vērā, ka 4x 2 - 20x +25 ir ideāls kvadrāts: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Ja mēs to būtu pamanījuši uzreiz, tad vienādojumu būtu atrisinājis šādi: (2x - 5) 2 = 0, kas nozīmē 2x - 5 = 0, no kā iegūstam x = 2,5. Kopumā, ja D = 0, tad
ax 2 + bx + c = - mēs to atzīmējām iepriekš 1. piezīmē.
Ja D > 0, tad kvadrātvienādojumam ax 2 + bx + c = 0 ir divas saknes, kuras atrod pēc formulām
Pierādījums. Pārrakstīsim kvadrātvienādojumu ax 2 + b x + c = 0 formā (1)
Liekam 
Pēc nosacījuma D > 0, kas nozīmē, ka vienādojuma labā puse ir pozitīvs skaitlis. Tad no (2) vienādojuma mēs to iegūstam
Tātad dotajam kvadrātvienādojumam ir divas saknes:
3. piezīme.
Matemātikā reti gadās, ka ieviestajam terminam nav, tēlaini izsakoties, ikdienas fona. Ņemsim kaut ko jaunu
jēdziens - diskriminants. Atcerieties vārdu "diskriminācija". Ko tas nozīmē? Tas nozīmē dažu pazemošanu un citu paaugstināšanu, t.i. atšķirīga attieksme
dažādiem cilvēkiem. Abi vārdi (diskriminants un diskriminācija) nāk no latīņu vārda discriminan - “diskriminējoša”. Diskriminants atšķir kvadrātvienādojumus pēc sakņu skaita.
3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Risinājums. Šeit a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Tā kā D > 0, tad saskaņā ar 3. teorēmu šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šīs saknes atrodamas pēc formulām (3)
Patiesībā mēs esam izstrādājuši šādu noteikumu:
Vienādojuma risināšanas noteikums
ax 2 + bx + c = 0
Šis noteikums ir universāls; tas attiecas gan uz pilnīgiem, gan nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem. Tomēr nepilnīgus kvadrātvienādojumus parasti neatrisina, izmantojot šo noteikumu, ir ērtāk tos atrisināt, kā mēs to darījām iepriekšējā punktā.
4. piemērs. Atrisiniet vienādojumus:
a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x2 -x + 3,5 = 0.
Risinājums. a) Šeit a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.
Tā kā D > 0, šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Mēs atrodam šīs saknes, izmantojot formulas (3)
B) Kā liecina pieredze, ērtāk ir rīkoties ar kvadrātvienādojumiem, kuros vadošais koeficients ir pozitīvs. Tāpēc vispirms mēs reizinām abas vienādojuma puses ar -1, mēs iegūstam
9x 2 - 6x + 1 = 0.
Šeit a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Tā kā D = 0, šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne. Šo sakni atrod pēc formulas x = -. nozīmē,
Šo vienādojumu varētu atrisināt citādi: kopš
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, tad iegūstam vienādojumu (Зх - I) 2 = 0, no kurienes atrodam Зх - 1 = 0, t.i., x = .
c) Šeit a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Tā kā D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Matemātiķi ir praktiski, ekonomiski cilvēki. Kāpēc, viņi saka, kvadrātvienādojuma risināšanai izmantojiet tik garu noteikumu, labāk nekavējoties uzrakstīt vispārīgu formulu:
Ja izrādās, ka diskriminants D = b 2 - 4ac ir negatīvs skaitlis, tad rakstītajai formulai nav jēgas (zem kvadrātsaknes zīmes ir negatīvs skaitlis), kas nozīmē, ka nav sakņu. Ja izrādās, ka diskriminants ir vienāds ar nulli, tad mēs iegūstam
Tas ir, viena sakne (viņi arī saka, ka kvadrātvienādojumam šajā gadījumā ir divas identiskas saknes:
Visbeidzot, ja izrādās, ka b 2 - 4ac > 0, tad iegūstam divas saknes x 1 un x 2, kuras aprēķina, izmantojot tās pašas formulas (3), kā norādīts iepriekš.
Pats skaitlis šajā gadījumā ir pozitīvs (tāpat kā jebkurš Kvadrātsakne no pozitīva skaitļa), un dubultzīme tās priekšā nozīmē, ka vienā gadījumā (atrodot x 1) šis pozitīvais skaitlis tiek pievienots skaitlim - b, bet citā gadījumā (atrodot x 2) šis pozitīvais skaitlis ir noņemts
lasīt no skaitļa - b.
Jums ir izvēles brīvība. Vai vēlaties detalizēti atrisināt kvadrātvienādojumu, izmantojot iepriekš formulēto noteikumu; Ja vēlaties, nekavējoties pierakstiet formulu (4) un izmantojiet to, lai izdarītu nepieciešamos secinājumus.
5. piemērs. Atrisiniet vienādojumus:
Risinājums, a) Protams, var izmantot formulas (4) vai (3), ņemot vērā, ka in šajā gadījumā 
Bet kāpēc darīt lietas ar daļskaitļiem, ja ir vieglāk un, pats galvenais, patīkamāk rīkoties ar veseliem skaitļiem? Atbrīvosimies no saucējiem. Lai to izdarītu, abas vienādojuma puses jāreizina ar 12, tas ir, ar mazāko kopsaucēju frakcijām, kas kalpo kā vienādojuma koeficienti. Mēs saņemam
no kurienes 8x 2 + 10x - 7 = 0.
Tagad izmantosim formulu (4)
B) Mums atkal ir vienādojums ar daļskaitļu koeficientiem: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Reizināsim abas vienādojuma puses ar 100, tad iegūstam vienādojumu ar veselu skaitļu koeficientiem:
300x2 - 20x + 277 = 0.
Tālāk mēs izmantojam formulu (4):
Vienkāršs aprēķins parāda, ka diskriminants (radikālā izteiksme) ir negatīvs skaitlis. Tas nozīmē, ka vienādojumam nav sakņu.
6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 
Risinājums. Šeit, atšķirībā no iepriekšējā piemēra, ir vēlams rīkoties saskaņā ar noteikumu, nevis saskaņā ar saīsināto formulu (4).
Mums ir a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Tā kā D > 0, kvadrātvienādojumam ir divas saknes, kuras meklēsim, izmantojot formulas (3)
7. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
x 2 — (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0
Risinājums. Šis kvadrātvienādojums atšķiras no visiem līdz šim apskatītajiem kvadrātvienādojumiem ar to, ka koeficienti nav konkrēti skaitļi, bet gan burtu izteiksmes. Šādus vienādojumus sauc par vienādojumiem ar burtu koeficientiem vai vienādojumiem ar parametriem. Šajā gadījumā parametrs (burts) p ir iekļauts vienādojuma otrajā koeficientā un brīvajā vietā.
Atradīsim diskriminantu:
8. piemērs. Atrisiniet vienādojumu px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Risinājums. Šis ir arī vienādojums ar parametru p, taču atšķirībā no iepriekšējā piemēra to nevar uzreiz atrisināt, izmantojot formulas (4) vai (3). Fakts ir tāds, ka norādītās formulas ir piemērojamas kvadrātvienādojumiem, taču mēs to vēl nevaram pateikt par doto vienādojumu. Patiešām, ja p = 0? Tad
vienādojums būs 0 formā. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, t.i., x - 1 = 0, no kā iegūstam x = 1. Tagad, ja jūs noteikti zināt, ka , tad varat izmantot kvadrāta sakņu formulas vienādojums:
Notiek ielāde...