Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesas kārtībā, in tiesa, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Saistībā ar
var uzstādīt uzdevumu atrast jebkuru no trim skaitļiem no pārējiem diviem dotajiem skaitļiem. Ja ir doti a un pēc tam N, tos atrod ar eksponenci. Ja N un pēc tam a ir doti, ņemot x pakāpes sakni (vai paaugstinot to pakāpē). Tagad apsveriet gadījumu, kad, ņemot vērā a un N, mums jāatrod x.
Lai skaitlis N ir pozitīvs: skaitlis a ir pozitīvs un nav vienāds ar vienu: .
Definīcija. Skaitļa N logaritms pret bāzi a ir eksponents, līdz kuram a jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli N; logaritmu apzīmē ar
Tādējādi vienādībā (26.1) eksponents tiek atrasts kā N logaritms bāzei a. Ziņas
ir tāda pati nozīme. Vienādību (26.1) dažkārt sauc par logaritmu teorijas galveno identitāti; patiesībā tas izsaka logaritma jēdziena definīciju. Autors šī definīcija Logaritma a bāze vienmēr ir pozitīva un atšķiras no vienotības; logaritmiskais skaitlis N ir pozitīvs. Negatīviem skaitļiem un nullei nav logaritmu. Var pierādīt, ka jebkuram skaitlim ar noteiktu bāzi ir precīzi definēts logaritms. Tāpēc vienlīdzība nozīmē . Ņemiet vērā, ka nosacījums šeit ir būtisks; pretējā gadījumā secinājums nebūtu pamatots, jo vienādība ir patiesa jebkurai x un y vērtībai.
Piemērs 1. Atrast
Risinājums. Lai iegūtu skaitli, jums jāpaaugstina bāze 2 līdz jaudai Tāpēc.
Risinot šādus piemērus, varat veikt piezīmes šādā formā:
Piemērs 2. Atrast .
Risinājums. Mums ir
1. un 2. piemērā mēs viegli atradām vēlamo logaritmu, attēlojot logaritma skaitli kā bāzes pakāpi ar racionālu eksponentu. IN vispārējs gadījums, piemēram, priekš utt., to nevar izdarīt, jo logaritmam ir iracionāla vērtība. Pievērsīsim uzmanību vienam ar šo paziņojumu saistītajam jautājumam. 12. punktā mēs sniedzām jēdzienu par iespēju noteikt jebkuru dotā pozitīva skaitļa reālo jaudu. Tas bija nepieciešams logaritmu ieviešanai, kas, vispārīgi runājot, var būt neracionāli skaitļi.
Apskatīsim dažas logaritmu īpašības.
Īpašība 1. Ja skaitlis un bāze ir vienādi, tad logaritms ir vienāds ar vienu, un, otrādi, ja logaritms ir vienāds ar vienu, tad skaitlis un bāze ir vienādi.
Pierādījums. Ļaujiet Pēc logaritma definīcijas mums ir un no kurienes
Un otrādi, ļaujiet Tad pēc definīcijas
Īpašība 2. Logaritms no viena pret jebkuru bāzi ir vienāds ar nulli.
Pierādījums. Pēc logaritma definīcijas (jebkuras pozitīvas bāzes nulles jauda ir vienāda ar vienu, sk. (10.1)). No šejienes
Q.E.D.
Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja , tad N = 1. Patiešām, mums ir .
Pirms formulēt nākamo logaritmu īpašību, vienosimies teikt, ka divi skaitļi a un b atrodas trešā skaitļa c vienā pusē, ja tie abi ir lielāki par c vai mazāki par c. Ja viens no šiem skaitļiem ir lielāks par c, bet otrs ir mazāks par c, tad mēs teiksim, ka tie atbilst dažādas puses no ciema
Īpašība 3. Ja skaitlis un bāze atrodas vienā pusē vienam, tad logaritms ir pozitīvs; Ja skaitlis un bāze atrodas vienā pretējās pusēs, tad logaritms ir negatīvs.
Īpašības 3 pierādījums ir balstīts uz to, ka a jauda ir lielāka par vienu, ja bāze ir lielāka par vienu un eksponents ir pozitīvs vai bāze ir mazāka par vienu un eksponents ir negatīvs. Pakāpe ir mazāka par vienu, ja bāze ir lielāka par vienu un eksponents ir negatīvs vai bāze ir mazāka par vienu un eksponents ir pozitīvs.
Ir jāapsver četri gadījumi:
Mēs aprobežosimies ar pirmā no tiem analīzi, pārējos lasītājs apsvērs pats.
Pieņemsim, ka tad vienādībā eksponents nevar būt ne negatīvs, ne vienāds ar nulli, tāpēc tas ir pozitīvs, t.i., kā jāpierāda.
3. piemērs. Uzziniet, kuri no tālāk norādītajiem logaritmiem ir pozitīvi un kuri negatīvi:
Risinājums, a) tā kā skaitlis 15 un bāze 12 atrodas vienā un tajā pašā pusē;
b) tā kā 1000 un 2 atrodas vienības vienā pusē; šajā gadījumā nav svarīgi, lai bāze būtu lielāka par logaritmisko skaitli;
c) jo 3.1 un 0.8 atrodas pretējās vienotības pusēs;
G) ; Kāpēc?
d) ; Kāpēc?
Sekojošās īpašības 4-6 bieži sauc par logaritmēšanas likumiem: tās ļauj, zinot dažu skaitļu logaritmus, atrast katra no tiem to reizinājuma, koeficienta un pakāpes logaritmus.
Rekvizīts 4 (produkta logaritma noteikums). Vairāku pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms noteiktai bāzei ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu summu vienā un tajā pašā bāzē.
Pierādījums. Ļaujiet dotajiem skaitļiem būt pozitīviem.
Viņu reizinājuma logaritmam mēs rakstām vienādību (26.1), kas definē logaritmu:
No šejienes mēs atradīsim
Salīdzinot pirmās un pēdējās izteiksmes eksponentus, iegūstam nepieciešamo vienādību:
Ņemiet vērā, ka nosacījums ir būtisks; divu reizinājuma logaritms negatīvi skaitļi ir jēga, bet šajā gadījumā mēs saņemam
Parasti, ja vairāku faktoru reizinājums ir pozitīvs, tad tā logaritms ir vienāds ar šo faktoru absolūto vērtību logaritmu summu.
Rekvizīts 5 (koeficientu logaritmu ņemšanas noteikums). Pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem, ņemot vērā to pašu bāzi. Pierādījums. Mēs pastāvīgi atrodam
Q.E.D.
Rekvizīts 6 (pakāpju logaritma noteikums). Jebkura pozitīva skaitļa jaudas logaritms ir vienāds ar šī skaitļa logaritmu, kas reizināts ar eksponentu.
Pierādījums. Vēlreiz ierakstīsim numura galveno identitāti (26.1):
Q.E.D.
Sekas. Pozitīva skaitļa saknes logaritms ir vienāds ar radikāļa logaritmu, kas dalīts ar saknes eksponentu:
Šīs sekas var pierādīt, iedomājoties, kā un izmantojot 6. īpašību.
4. piemērs. Izmantojiet logaritmu a bāzei:
a) (tiek pieņemts, ka visas vērtības b, c, d, e ir pozitīvas);
b) (tiek pieņemts, ka ).
Risinājums, a) Šajā izteiksmē ir ērti pāriet uz daļskaitļiem:
Pamatojoties uz vienādībām (26.5)-(26.7), tagad varam rakstīt:
Ievērojam, ka ar skaitļu logaritmiem tiek veiktas vienkāršākas darbības nekā ar pašiem skaitļiem: reizinot skaitļus, to logaritmus saskaita, dalot – atņem utt.
Tāpēc skaitļošanas praksē tiek izmantoti logaritmi (sk. 29. punktu).
Logaritma apgriezto darbību sauc par potenciāciju, proti: potenciācija ir darbība, ar kuru tiek atrasts pats skaitlis no dotā skaitļa logaritma. Būtībā potencēšana nav nekāda īpaša darbība: tā ir saistīta ar bāzes paaugstināšanu līdz pakāpei (vienāds ar skaitļa logaritmu). Terminu "potenciācija" var uzskatīt par sinonīmu terminam "pastiprināšana".
Potencējot, jums jāizmanto noteikumi, kas ir apgriezti logaritmēšanas likumiem: logaritmu summa jāaizstāj ar reizinājuma logaritmu, logaritmu starpība ar koeficienta logaritmu utt. Jo īpaši, ja priekšā ir faktors no logaritma zīmes, tad potenciācijas laikā tas jāpārnes uz eksponenta grādiem zem logaritma zīmes.
Piemērs 5. Atrodiet N, ja ir zināms, ka
Risinājums. Saistībā ar tikko norādīto potenciācijas likumu mēs pārnessim koeficientus 2/3 un 1/3, kas atrodas logaritmu zīmju priekšā šīs vienādības labajā pusē, eksponentos zem šo logaritmu zīmēm; mēs saņemam
Tagad mēs aizstājam logaritmu starpību ar koeficienta logaritmu:
lai iegūtu pēdējo daļskaitli šajā vienādību ķēdē, mēs atbrīvojām iepriekšējo daļskaitli no iracionalitātes saucējā (25. punkts).
Rekvizīts 7. Ja bāze ir lielāka par vienu, tad lielāks skaits ir lielāks logaritms (un mazākam skaitlim ir mazāks), ja bāze ir mazāka par vienu, tad lielākam skaitlim ir mazāks logaritms (un mazākam skaitlim ir lielāks).
Šī īpašība ir arī formulēta kā likums nevienādību logaritmu ņemšanai, kuru abas puses ir pozitīvas:
Logaritējot nevienādības uz bāzi, kas lielāka par vienu, tiek saglabāta nevienādības zīme, savukārt, logaritējot uz bāzi, kas ir mazāka par vienu, nevienādības zīme mainās uz pretējo (sk. arī 80. punktu).
Pierādījums balstās uz īpašībām 5 un 3. Aplūkosim gadījumu, kad If , tad un, ņemot logaritmus, iegūstam
(a un N/M atrodas vienā un tajā pašā vienības pusē). No šejienes
Tālāk ir norādīts a gadījums, lasītājs to izdomās pats.
Šī raksta uzmanības centrā ir logaritms. Šeit mēs sniegsim logaritma definīciju, parādīsim pieņemts apzīmējums, mēs sniegsim logaritmu piemērus un runāsim par naturālajiem un decimālskaitļiem. Pēc tam apskatīsim galveno logaritmiskā identitāte.
Lapas navigācija.
Logaritma definīcija
Logaritma jēdziens rodas, risinot problēmu noteiktā apgrieztā nozīmē, kad jums ir jāatrod eksponents zināma vērtība grāds un zināmais pamats.
Bet pietiekami daudz priekšvārdu, ir pienācis laiks atbildēt uz jautājumu "kas ir logaritms"? Sniegsim atbilstošo definīciju.
Definīcija.
Logaritms no b līdz bāzei a, kur a>0, a≠1 un b>0 ir eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu b.
Šajā posmā mēs atzīmējam, ka izrunātam vārdam “logaritms” nekavējoties jāuzdod divi papildu jautājumi: “kāds skaitlis” un “uz kāda pamata”. Citiem vārdiem sakot, vienkārši nav logaritma, bet ir tikai skaitļa logaritms pret kādu bāzi.
Tūlīt ieejam logaritma apzīmējums: skaitļa b logaritmu bāzei a parasti apzīmē kā log a b. Skaitļa b logaritmam līdz bāzei e un logaritmam līdz bāzei 10 ir attiecīgi savi īpašie apzīmējumi lnb un logb, tas ir, tie raksta nevis log e b, bet lnb un nevis log 10 b, bet lgb.
Tagad mēs varam dot:.
Un ieraksti 
nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir negatīvs skaitlis, otrajā ir negatīvs skaitlis bāzē, bet trešajā ir negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes un vienība bāze.
Tagad parunāsim par logaritmu lasīšanas noteikumi. Log a b tiek lasīts kā "logaritms no b līdz bāzei a". Piemēram, logaritms 2 3 ir logaritms no trīs līdz 2. bāzei un ir logaritms no diviem punktiem divas trešdaļas līdz 2. bāzei. Kvadrātsakne no pieciem. Tiek izsaukts logaritms līdz e bāzei naturālais logaritms, un apzīmējums lnb skan "b dabiskais logaritms". Piemēram, ln7 ir septiņu naturālais logaritms, un mēs to lasīsim kā pi naturālo logaritmu. 10 bāzes logaritmam ir arī īpašs nosaukums - decimāllogaritms, un lgb tiek lasīts kā "b decimālais logaritms". Piemēram, lg1 ir viena decimālais logaritms, bet lg2.75 ir divu komatu septiņu piecu simtdaļu decimālais logaritms.
Atsevišķi ir vērts pakavēties pie nosacījumiem a>0, a≠1 un b>0, pie kuriem tiek dota logaritma definīcija. Paskaidrosim, no kurienes nāk šie ierobežojumi. To izdarīt mums palīdzēs formas vienādība ar nosaukumu , kas tieši izriet no iepriekš dotās logaritma definīcijas.
Sāksim ar a≠1. Tā kā viens pret jebkuru pakāpju ir vienāds ar vienu, vienādība var būt patiesa tikai tad, ja b=1, bet log 1 1 var būt jebkurš reāls skaitlis. Lai izvairītos no šīs neskaidrības, tiek pieņemts a≠1.
Pamatosim nosacījuma a>0 lietderību. Ja a=0, pēc logaritma definīcijas mums būtu vienādība, kas iespējama tikai ar b=0. Bet tad log 0 0 var būt jebkurš reālais skaitlis, kas nav nulle, jo nulle līdz jebkurai nulles pakāpei ir nulle. Nosacījums a≠0 ļauj izvairīties no šīs neskaidrības. Un kad a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Visbeidzot, nosacījums b>0 izriet no nevienādības a>0, jo , un pakāpes vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr ir pozitīva.
Noslēdzot šo punktu, pieņemsim, ka norādītā logaritma definīcija ļauj nekavējoties norādīt logaritma vērtību, ja skaitlis zem logaritma zīmes ir noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma definīcija ļauj apgalvot, ka, ja b=a p, tad skaitļa b logaritms līdz bāzei a ir vienāds ar p. Tas ir, vienādības log a a p =p ir patiess. Piemēram, mēs zinām, ka 2 3 = 8, tad log 2 8 = 3. Mēs par to vairāk runāsim rakstā.
Logaritma definīcija
B logaritms uz bāzi a ir eksponents, līdz kuram a jāpaaugstina, lai iegūtu b.
Numurs e matemātikā ir pieņemts apzīmēt robežu, līdz kurai izteiksme tiecas
Numurs e ir neracionāls skaitlis - skaitlis, kas nav samērojams ar vienu, to nevar precīzi izteikt ne kā veselu skaitli, ne daļskaitli racionāls numuru.
Vēstule e- latīņu vārda pirmais burts exponere- dižoties, no šejienes tāds nosaukums matemātikā eksponenciāls- eksponenciālā funkcija.
Numurs e plaši izmanto matemātikā un visās zinātnēs, kas vienā vai otrā veidā izmanto matemātiskos aprēķinus savām vajadzībām.
Logaritmi. Logaritmu īpašības
Definīcija: Pozitīva skaitļa b logaritms pret tā bāzi ir eksponents c, līdz kuram skaitlis a jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli b.
Pamatlogaritmiskā identitāte:
7) Formula pārejai uz jaunu bāzi:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Uzdevumi un testi par tēmu “Logaritmi. Logaritmu īpašības"
- Logaritmi – svarīgas tēmas matemātikā vienotā valsts eksāmena izskatīšanai
Lai veiksmīgi izpildītu uzdevumus par šo tēmu, jums jāzina logaritma definīcija, logaritmu īpašības, logaritmiskā pamatidentitāte, decimālo un naturālo logaritmu definīcijas. Galvenie problēmu veidi par šo tēmu ir problēmas, kas saistītas ar logaritmisko izteiksmju aprēķināšanu un pārveidošanu. Apskatīsim to risinājumu, izmantojot šādus piemērus.
Risinājums: Izmantojot logaritmu īpašības, mēs iegūstam
Risinājums: Izmantojot grādu īpašības, mēs iegūstam
1) (2 2) log 2 5 = (2 log 2 5) 2 = 5 2 =25
Logaritmu īpašības, formulējumi un pierādījumi.
Logaritmiem ir vairākas raksturīgas īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim galvenos logaritmu īpašības. Šeit mēs sniegsim to formulējumus, pierakstīsim logaritmu īpašības formulu veidā, parādīsim to pielietojuma piemērus, kā arī sniegsim logaritmu īpašību pierādījumus.
Lapas navigācija.
Logaritmu pamatīpašības, formulas
Lai atvieglotu atcerēšanos un lietošanu, iedomāsimies logaritmu pamatīpašības formulu saraksta veidā. Nākamajā rindkopā mēs sniegsim to formulējumus, pierādījumus, lietošanas piemērus un nepieciešamos paskaidrojumus.
un n pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritma īpašība: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0.
, kur a>0, a≠1, x>0, y>0.
, kur a>0, a≠1, n – dabiskais skaitlis, lielāks par vienu, b>0.
, a>0, a≠1, b>0, b≠1.
, a>0, a≠1, b>0, p un q ir reāli skaitļi, q≠0, jo īpaši attiecībā uz b=a mums ir 
.Formulējumi un īpašību pierādījumi
Mēs turpinām logaritmu rakstīto īpašību formulēšanu un pierādīšanu. Visas logaritmu īpašības tiek pierādītas, pamatojoties uz logaritma definīciju un no tā izrietošo logaritmiskās pamatidentitātes, kā arī pakāpes īpašībām.
Sāksim ar viena logaritma īpašības. Tās formulējums ir šāds: vienotības logaritms ir vienāds ar nulli, tas ir, log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Pierādījums nav grūts: tā kā a 0 =1 jebkuram a, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem a>0 un a≠1, tad no logaritma definīcijas uzreiz izriet pierādāmā vienādība log a 1=0.
Sniegsim aplūkojamās īpašības pielietojuma piemērus: log 3 1=0, log1=0 un .
Pāriesim pie uz šādu īpašumu: skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritms ir vienāds ar vienu, tas ir, log a a=1 ja a>0, a≠1. Patiešām, tā kā a 1 =a jebkuram a, tad pēc logaritma definīcijas log a a = 1.
Šīs logaritmu īpašības izmantošanas piemēri ir vienādības log 5 5=1, log 5.6 5.6 un lne=1.
Skaitļa, kas vienāds ar logaritma bāzi, pakāpju logaritms ir vienāds ar eksponentu. Šī logaritma īpašība atbilst formas formulai log a a p =p, kur a>0, a≠1 un p – jebkurš reāls skaitlis. Šī īpašība izriet tieši no logaritma definīcijas. Ņemiet vērā, ka tas ļauj nekavējoties norādīt logaritma vērtību, ja skaitli zem logaritma zīmes ir iespējams attēlot kā bāzes pakāpju, par to vairāk runāsim rakstā par logaritmu aprēķināšanu.
Piemēram, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 un 
.
Divu pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms x un y ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu reizinājumu: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Pierādīsim reizinājuma logaritma īpašību. Sakarā ar pakāpes īpašībām a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, un tā kā pēc galvenās logaritmiskās identitātes log a x =x un log a y =y, tad log a x ·a log a y =x· y. Tādējādi log a x+log a y =x·y, no kura pēc logaritma definīcijas izriet pierādāmā vienādība.
Parādīsim piemērus, kā izmantot reizinājuma logaritma īpašību: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 un 
.
Produkta logaritma īpašību var vispārināt ar pozitīvu skaitļu x 1 , x 2 , …, x n galīga skaita n reizinājumu kā log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Šo vienlīdzību bez problēmām var pierādīt, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.
Piemēram, reizinājuma naturālo logaritmu var aizstāt ar trīs skaitļu 4, e un naturālo logaritmu summu.
Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms x un y ir vienāds ar starpību starp šo skaitļu logaritmiem. Koeficienta logaritma īpašība atbilst formas formulai , kur a>0, a≠1, x un y ir daži pozitīvi skaitļi. Šīs formulas derīgums ir pierādīts, kā arī reizinājuma logaritma formula: kopš 
, tad pēc logaritma definīcijas .
Šeit ir piemērs, kā izmantot šo logaritma rekvizītu: 
.
Pāriesim pie jaudas logaritma īpašība. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta reizinājumu un šīs pakāpes bāzes moduļa logaritmu. Uzrakstīsim šo pakāpju logaritma īpašību kā formulu: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b un p ir tādi skaitļi, ka pakāpei b p ir jēga un b p >0.
Vispirms mēs pierādām šo īpašību pozitīvajam b. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj attēlot skaitli b kā log a b , tad b p =(a log a b) p , un iegūtā izteiksme, pateicoties jaudas īpašībai, ir vienāda ar p·log a b . Tātad nonākam pie vienādības b p =a p·log a b, no kuras pēc logaritma definīcijas secinām, ka log a b p =p·log a b.
Atliek pierādīt šo īpašību negatīvam b. Šeit mēs atzīmējam, ka izteiksmei log a b p negatīvam b ir jēga tikai pāra eksponentiem p (jo pakāpes b p vērtībai jābūt lielākai par nulli, pretējā gadījumā logaritmam nebūs jēgas), un šajā gadījumā b p =|b| lpp. Tad b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , no kurienes log a b p =p·log a |b| .
Piemēram, 
un ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Tas izriet no iepriekšējā īpašuma logaritma īpašība no saknes: n-tās saknes logaritms ir vienāds ar daļas 1/n reizinājumu ar radikālas izteiksmes logaritmu, tas ir, kur a>0, a≠1, n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu, b>0 .
Pierādījums balstās uz vienādību (sk. eksponenta definīciju ar daļēju eksponentu), kas ir derīga jebkuram pozitīvam b, un eksponenta logaritma īpašību: 
.
Šeit ir šī īpašuma izmantošanas piemērs: 
.
Tagad pierādīsim formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi laipns 
. Lai to izdarītu, pietiek pierādīt vienādības log c b=log a b·log c a pamatotību. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj mums attēlot skaitli b kā log a b , tad log c b=log c a log a b . Atliek izmantot pakāpes logaritma īpašību: log c a log a b =log a b·log c a . Tas pierāda vienādību log c b=log a b·log c a, kas nozīmē, ka ir pierādīta arī formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi .
Parādīsim dažus piemērus, kā izmantot šo logaritmu īpašību: un 
.
Formula pārejai uz jaunu bāzi ļauj pāriet uz darbu ar logaritmiem, kuriem ir “ērta” bāze. Piemēram, to var izmantot, lai pārietu uz naturālajiem vai decimālajiem logaritmiem, lai jūs varētu aprēķināt logaritma vērtību no logaritmu tabulas. Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi dažos gadījumos ļauj arī atrast noteiktā logaritma vērtību, ja ir zināmas dažu logaritmu vērtības ar citām bāzēm.
Bieži lietots īpašs gadījums formulas pārejai uz jaunu logaritma bāzi ar formas c=b. Tas parāda, ka log a b un log b a ir savstarpēji apgriezti skaitļi. Piemēram, 
.
Bieži tiek izmantota arī formula, kas ir ērta logaritmu vērtību atrašanai. Lai apstiprinātu savus vārdus, mēs parādīsim, kā to var izmantot, lai aprēķinātu formas logaritma vērtību. Mums ir 
. Lai pierādītu formulu, pietiek ar formulu pārejai uz jaunu logaritma a bāzi: 
.
Atliek pierādīt logaritmu salīdzināšanas īpašības.
Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka a 1 >1, a 2 >1 un a 1 2 un 0 1 log a 1 b≤log a 2 b ir patiesa. Pamatojoties uz logaritmu īpašībām, šīs nevienādības var pārrakstīt kā 
Un 
attiecīgi, un no tiem izriet, ka attiecīgi log b a 1 ≤log b a 2 un log b a 1 ≥log b a 2. Tad atbilstoši pakāpju īpašībām ar vienādām bāzēm ir jāsaglabā vienādības b log b a 1 ≥b log b a 2 un b log b a 1 ≥b log b a 2, tas ir, a 1 ≥a 2 . Tātad mēs nonācām pie pretrunas ar nosacījumu a 1 2. Tas pabeidz pierādījumu.
Logaritmu pamatīpašības
- Materiāli nodarbībai
- Lejupielādēt visas formulas
- log a x n = n · log a x ;
Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana
Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: log a x un log a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:
Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!
Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 6 4 + log 6 9.
Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.
Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.
Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tie izrādās diezgan normāli cipari. Daudzi ir balstīti uz šo faktu pārbaudes darbi. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).
Eksponenta izvilkšana no logaritma
Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:
Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.
Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .
Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
[Paraksts attēlam]
Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mums ir:
[Paraksts attēlam]
Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.
Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.
Pāreja uz jaunu pamatu
Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?
Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:
Dots logaritms log a x. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:
[Paraksts attēlam]
Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:
[Paraksts attēlam]
No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.
Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.
Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.
Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:
[Paraksts attēlam]
Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.
Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:
[Paraksts attēlam]
Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:
[Paraksts attēlam]
Pamatlogaritmiskā identitāte
Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:
- n = log a a n
-
Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.
Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: pamata logaritmiskā identitāte.
Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.
Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.
[Paraksts attēlam]
Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - mēs vienkārši paņēmām kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:
[Paraksts attēlam]
Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)
Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle
Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.
- log a a = 1 ir logaritmiska vienība. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
- log a 1 = 0 ir logaritmiskā nulle. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Tā kā a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.
Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.
Logaritms. Logaritma īpašības (saskaitīšana un atņemšana).
Logaritma īpašības izriet no tās definīcijas. Un tātad skaitļa logaritms b balstoties uz A ir definēts kā eksponents, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).
No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x=log a b, ir līdzvērtīgs vienādojuma atrisināšanai a x = b. Piemēram, log 2 8 = 3 jo 8 = 2 3 . Logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b balstoties uz a vienāds Ar. Tāpat skaidrs, ka logaritmu tēma ir cieši saistīta ar spēku tēmu.
Ar logaritmiem, tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat darīt saskaitīšanas, atņemšanas operācijas un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, ņemot vērā to, ka logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit tiek piemēroti savi īpašie noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana.
Ņemsim divus logaritmus ar vienādām bāzēm: piesakies x Un log a y. Pēc tam ir iespējams veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības:
Kā redzam, logaritmu summa ir vienāds ar reizinājuma logaritmu un atšķirība logaritmi- koeficienta logaritms. Turklāt tas ir taisnība, ja skaitļi A, X Un plkst pozitīvs un a ≠ 1.
Ir svarīgi atzīmēt, ka galvenais aspekts šajās formulās ir vienas un tās pašas bāzes. Ja pamatojums ir atšķirīgs, šie noteikumi nav spēkā!
Noteikumi logaritmu saskaitīšanai un atņemšanai ar vienādām bāzēm tiek lasīti ne tikai no kreisās puses uz labo, bet arī otrādi. Rezultātā mums ir teorēmas reizinājuma logaritmam un koeficienta logaritmam.
Produkta logaritms divi pozitīvi skaitļi ir vienādi ar to logaritmu summu ; pārfrāzējot šo teorēmu, iegūstam sekojošo, ja skaitļi A, x Un plkst pozitīvs un a ≠ 1, Tas:
Koeficienta logaritms divi pozitīvi skaitļi ir vienādi ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem. Citiem vārdiem sakot, ja skaitļi A, X Un plkst pozitīvs un a ≠ 1, Tas:
Atrisināšanai izmantosim iepriekš minētās teorēmas piemēri:
Ja skaitļi x Un plkst tad ir negatīvi produkta logaritma formula kļūst bezjēdzīga. Tāpēc ir aizliegts rakstīt:
jo izteiksmes log 2 (-8) un log 2 (-4) vispār nav definētas (logaritmiskā funkcija plkst= žurnāls 2 X definēts tikai pozitīvām argumentu vērtībām X).
Produkta teorēma attiecas ne tikai uz diviem, bet arī uz neierobežotu skaitu faktoru. Tas nozīmē, ka katram dabiskajam k un jebkuri pozitīvi skaitļi x 1 , x 2 , . . . ,x n ir identitāte:
No logaritma koeficienta teorēma Var iegūt vēl vienu logaritma īpašību. Ir vispārzināms, ka log a 1 = 0, tātad
Tas nozīmē, ka pastāv vienlīdzība:
Divu apgrieztu skaitļu logaritmi tā paša iemesla dēļ atšķirsies viens no otra tikai ar zīmi. Tātad:
Logaritms. Logaritmu īpašības
Logaritms. Logaritmu īpašības
Padomāsim par vienlīdzību. Paziņojiet mums un vērtības, un mēs vēlamies atrast vērtību.
Tas nozīmē, ka mēs meklējam eksponentu, pēc kura mums tas jāpalielina, lai iegūtu .
Ļaujiet
mainīgajam var būt jebkura reāla vērtība, tad mainīgajiem tiek noteikti šādi ierobežojumi: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />Ja mēs zinām un vērtības un mēs saskaramies ar uzdevumu atrast nezināmo, tad šim nolūkam mēs ieviešam matemātiskā darbība ko sauc logaritms.
Lai atrastu vērtību, ko mēs pieņemam skaitļa logaritms Autors pamata :
Skaitļa logaritms līdz tā bāzei ir eksponents, līdz kuram tas jāpaaugstina, lai iegūtu .
Tas ir logaritmiskā identitāte:
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
būtībā ir matemātisks apzīmējums logaritma definīcijas.
Logaritma matemātiskā darbība ir paaugstināšanas darbības apgrieztā vērtība, tātad logaritmu īpašības ir cieši saistīti ar pakāpes īpašībām.
Uzskaitīsim galvenos logaritmu īpašības:
(o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
Sekojošā īpašību grupa ļauj attēlot izteiksmes eksponentu zem logaritma zīmes vai stāvot logaritma pamatnē koeficienta veidā logaritma zīmes priekšā:
6.
7.
8.
9.
Nākamā formulu grupa ļauj pāriet no logaritma ar noteiktu bāzi uz logaritmu ar patvaļīgu bāzi, un to sauc formulas pārejai uz jaunu bāzi:
10.
12. (secinājums no īpašuma 11)
Šīs trīs īpašības nav labi zināmas, taču tās bieži izmanto, risinot logaritmiskos vienādojumus vai vienkāršojot izteiksmes, kas satur logaritmus:
13.
14.
15.
Īpaši gadījumi:
— decimāllogaritms
— naturālais logaritmsVienkāršojot izteiksmes, kas satur logaritmus, tiek izmantota vispārīga pieeja:
1. Iepazīstinām decimāldaļas parasto formā.
2. Jauktos skaitļus attēlojam kā nepareizas daļskaitļus.
3. Skaitļus logaritma pamatnē un zem logaritma zīmes sadalām vienkāršos faktoros.
4. Mēs cenšamies samazināt visus logaritmus līdz vienai un tai pašai bāzei.
5. Pielietot logaritmu īpašības.
Apskatīsim logaritmus saturošu izteiksmju vienkāršošanas piemērus.
1. piemērs.
Aprēķināt:
Vienkāršosim visus eksponentus: mūsu uzdevums ir reducēt tos līdz logaritmiem, kuru bāze ir tāds pats skaitlis kā eksponenta bāze.
==(pēc rekvizīta 7)=(pēc rekvizīta 6) =
Aizstāsim rādītājus, kurus ieguvām sākotnējā izteiksmē. Mēs iegūstam:
Atbilde: 5.25
2. piemērs. Aprēķiniet:
Samazināsim visus logaritmus līdz 6. bāzei (šajā gadījumā logaritmi no daļdaļas saucēja “migrēs” uz skaitītāju):
Sadalīsim skaitļus zem logaritma zīmes vienkāršos faktoros:
Piemērosim 4. un 6. rekvizītus:
Ieviesīsim nomaiņu
Mēs iegūstam:
Atbilde: 1
Logaritms . Pamatlogaritmiskā identitāte.
Logaritmu īpašības. Decimālais logaritms. Dabiskais logaritms.
Logaritms pozitīvs skaitlis N uz bāzi (b > 0, b 1) ir eksponents x, līdz kuram b ir jāpaaugstina, lai iegūtu N .
Šis ieraksts ir līdzvērtīgs šim: b x = N .
Piemēri: log 3 81 = 4, jo 3 4 = 81;
log 1/3 27 = – 3, jo (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
Iepriekš minēto logaritma definīciju var uzrakstīt kā identitāti:
Logaritmu pamatīpašības.
2) log 1 = 0, kopš b 0 = 1 .
3) Produkta logaritms ir vienāds ar faktoru logaritmu summu:
4) Koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem:
5) Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta un tā bāzes logaritma reizinājumu:
Šī īpašuma sekas ir šādas: saknes logaritms vienāds ar radikālā skaitļa logaritmu, kas dalīts ar saknes spēku:
6) Ja logaritma bāze ir grāds, tad vērtība eksponenta apgriezto vērtību var izņemt kā log atskaņu:
Pēdējās divas īpašības var apvienot vienā:
7) Pārejas moduļa formula (t.i., pāreja no vienas logaritma bāzes uz citu bāzi):
Īpašā gadījumā, kad N=a mums ir:
Decimālais logaritms sauca bāzes logaritms 10. To apzīmē ar lg, t.i. žurnāls 10 N= baļķis N. Logaritmi skaitļiem 10, 100, 1000, . p ir attiecīgi 1, 2, 3, …, t.i. ir tik daudz pozitīva
vienības, cik nulles ir logaritmiskajā skaitlī aiz viena. Skaitļu logaritmi 0,1, 0,01, 0,001, . p ir attiecīgi –1, –2, –3, …, t.i. ir tik daudz negatīvu, cik ir nulles logaritmiskajā skaitlī pirms viena (ieskaitot nulles veselus skaitļus). Citu skaitļu logaritmiem ir daļēja daļa, ko sauc mantisa. Visa daļa tiek saukts logaritms raksturīga. Praktiskai lietošanai visērtākie ir decimāllogaritmi.
Dabiskais logaritms sauca bāzes logaritms e. To apzīmē ar ln, t.i. žurnāls e N= baļķis N. Numurs e ir neracionāls, tā aptuvenā vērtība ir 2,718281828. Tā ir robeža, līdz kurai skaitlis tiecas (1 + 1 / n) n ar neierobežotu pieaugumu n(cm. pirmā brīnišķīgā robeža lapā "Numuru secības ierobežojumi").
Lai cik dīvaini tas neliktos, naturālie logaritmi izrādījās ļoti ērti, veicot dažāda veida darbības, kas saistītas ar funkciju analīzi. Logaritmu aprēķināšana uz bāzi e veikta daudz ātrāk nekā jebkura cita iemesla dēļ.
- Kas šodien nepieciešams, lai adoptētu bērnu Krievijā? Adopcija Krievijā papildus atbildīgam personiskam lēmumam ietver vairākas kandidātu valsts pārbaudes procedūras. Grūts atlase priekš sagatavošanās posms veicina vairāk […]
- Bezmaksas informācija par TIN vai OGRN no nodokļu reģistra visā Krievijā - tiešsaistē.Informāciju par valsts reģistrāciju var iegūt vienotajā nodokļu pakalpojumu portālā juridiskām personām, individuālie uzņēmēji, […]
- Sods par braukšanu bez dokumentiem ( vadītāja apliecība, apdrošināšana, STS) Dažkārt aizmāršības dēļ autovadītāji sēžas pie stūres bez vadītāja apliecības un saņem naudas sodu par braukšanu bez dokumentiem. Atgādināsim, ka auto entuziasts brauc ar savējo obligāts […]
- Ziedi vīriešiem. Kādus ziedus jūs varat uzdāvināt vīrietim? Kādus ziedus jūs varat uzdāvināt vīrietim? “Vīriešu” ziedu nav daudz, bet ir tādi, kas tiek dāvināti vīriešiem. Jūsu priekšā neliels ziedu saraksts: krizantēmas. Rozes. Neļķes. […]
- Piezīme ir īpaša dokumenta forma, kas tiek izmantota iekšējā vide uzņēmumiem un kalpo ātrs risinājums pašreizējās ražošanas problēmas. Parasti šis dokuments ir sagatavots, lai ieviestu dažus […]
- Kad un kā saņemt pensijas fondēto daļu no Sberbank? Sberbank ir valsts pensiju fonda partnerbanka. Pamatojoties uz to, pilsoņi, kuri reģistrējās fondētajai pensijai, varēja pārskaitīt fondēto daļu […]
- Bērnu pabalsti Uļjanovskā un Uļjanovskas reģionā 2018. gadā Turklāt visos reģionos darbojas federālo tiesību aktu apstiprinātās programmas. Paskatīsimies, kurš var rēķināties ar kādiem labumiem. Kā reģionālās iestādes […]
- Detalizēts ceļvedis, kā noformēt pilnvaru privātpersonas interešu pārstāvēšanai tiesā Civilprasībā vai šķīrējtiesā, administratīvajā vai krimināllietā gan prasītāja, gan atbildētāja intereses var pārstāvēt advokāts: [… ]
Ar šo video es sāku garu nodarbību sēriju par logaritmiskiem vienādojumiem. Tagad jūsu priekšā ir trīs piemēri, uz kuru pamata mēs iemācīsimies atrisināt visvienkāršākās problēmas, kuras sauc - vienšūņi.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Atgādināšu, ka vienkāršākais logaritmiskais vienādojums ir šāds:
log a f (x) = b
Šajā gadījumā ir svarīgi, lai mainīgais x atrastos tikai argumenta iekšpusē, tas ir, tikai funkcijā f (x). Un skaitļi a un b ir tikai skaitļi, un nekādā gadījumā nav funkcijas, kas satur mainīgo x.
Pamata risinājumu metodes
Ir daudz veidu, kā atrisināt šādas struktūras. Piemēram, lielākā daļa skolotāju skolā piedāvā šo metodi: Nekavējoties izsakiet funkciju f (x), izmantojot formulu f ( x ) = a b . Tas ir, kad jūs saskaraties ar visvienkāršāko konstrukciju, nekavējoties bez papildu darbības un konstrukcijas, jūs varat pāriet uz risinājumu.
Jā, protams, lēmums būs pareizs. Tomēr problēma ar šo formulu ir tā, ka lielākā daļa studentu nesaprotu, no kurienes tas nāk un kāpēc mēs paceļam burtu a uz burtu b.
Rezultātā es bieži redzu ļoti kaitinošas kļūdas, kad, piemēram, tiek apmainīti šie burti. Šī formula ir vai nu jāsaprot, vai arī jāpieblīvē, un otrā metode noved pie kļūdām visnepiemērotākajos un izšķirošākajos brīžos: eksāmenu, kontroldarbu utt.
Tāpēc es iesaku visiem saviem skolēniem atteikties no standarta skolas formulas un izmantot otro pieeju logaritmisko vienādojumu risināšanai, kas, kā jūs droši vien nopratāt pēc nosaukuma, saucas kanoniskā forma.
Kanoniskās formas ideja ir vienkārša. Apskatīsim mūsu problēmu vēlreiz: kreisajā pusē ir log a, un ar burtu a mēs saprotam skaitli, un nekādā gadījumā funkciju, kas satur mainīgo x. Līdz ar to uz šo vēstuli attiecas visi ierobežojumi, kas tiek uzlikti logaritma bāzei. proti:
1 ≠ a > 0
No otras puses, no šī paša vienādojuma mēs redzam, ka logaritmam ir jābūt vienādam ar skaitli b, un šim burtam netiek uzlikti nekādi ierobežojumi, jo tam var būt jebkura vērtība - gan pozitīva, gan negatīva. Tas viss ir atkarīgs no tā, kādas vērtības ir funkcijai f(x).
Un šeit mēs atceramies mūsu brīnišķīgo likumu, ka jebkuru skaitli b var attēlot kā logaritmu bāzei a no a līdz pakāpei b:
b = log a a b
Kā atcerēties šo formulu? Jā, ļoti vienkārši. Uzrakstīsim šādu konstrukciju:
b = b 1 = b log a a
Protams, šajā gadījumā rodas visi ierobežojumi, kurus pierakstījām sākumā. Tagad izmantosim logaritma pamatīpašību un ieviesīsim reizinātāju b kā a pakāpju. Mēs iegūstam:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Rezultātā sākotnējais vienādojums tiks pārrakstīts šādi:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Tas ir viss. Jauna funkcija vairs nesatur logaritmu, un to var atrisināt, izmantojot standarta algebriskās metodes.
Protams, kāds tagad iebildīs: kāpēc vispār vajadzēja izdomāt kaut kādu kanonisku formulu, kāpēc veikt divas papildu nevajadzīgas darbības, ja uzreiz varēja pāriet no sākotnējā dizaina uz galīgo formulu? Jā, kaut vai tāpēc, ka lielākā daļa skolēnu nesaprot, no kurienes šī formula rodas, un rezultātā regulāri kļūdās, to piemērojot.
Bet šī darbību secība, kas sastāv no trim soļiem, ļauj atrisināt sākotnējo logaritmisko vienādojumu, pat ja jūs nesaprotat, no kurienes nāk galīgā formula. Starp citu, šo ierakstu sauc par kanonisko formulu:
log a f (x) = log a a b
Kanoniskās formas ērtība slēpjas arī tajā, ka ar to var atrisināt ļoti plašu logaritmisko vienādojumu klasi, nevis tikai vienkāršākos, ko mēs šodien apsveram.
Risinājumu piemēri
Tagad paskatīsimies reāli piemēri. Tātad, pieņemsim lēmumu:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Pārrakstīsim to šādi:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Daudzi studenti steidzas un mēģina nekavējoties pacelt skaitli 0,5 līdz jaudai, kas mums radās no sākotnējās problēmas. Patiešām, kad esat jau labi apmācīts šādu problēmu risināšanā, varat nekavējoties veikt šo darbību.
Tomēr, ja jūs tagad tikai sākat pētīt šo tēmu, labāk nekur nesteigties, lai nepieļautu aizvainojošas kļūdas. Tātad mums ir kanoniskā forma. Mums ir:
3x − 1 = 0,5 −3
Tas vairs nav logaritmisks vienādojums, bet gan lineārs attiecībā pret mainīgo x. Lai to atrisinātu, vispirms apskatīsim skaitli 0,5 pakāpē no −3. Ņemiet vērā, ka 0,5 ir 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Atrisinot logaritmisko vienādojumu, visas decimāldaļdaļas pārveido par parastajām daļām.
Mēs pārrakstām un iegūstam:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Tas ir viss, mēs saņēmām atbildi. Pirmā problēma ir atrisināta.
Otrais uzdevums
Pārejam pie otrā uzdevuma:
Kā redzam, šis vienādojums vairs nav tas vienkāršākais. Kaut vai tāpēc, ka pa kreisi ir atšķirība, un nav neviena logaritma vienai bāzei.
Tāpēc mums ir kaut kā jāatbrīvojas no šīs atšķirības. IN šajā gadījumā viss ir ļoti vienkārši. Apskatīsim pamatus tuvāk: kreisajā pusē ir skaitlis zem saknes:
Vispārīgs ieteikums: visos logaritmiskajos vienādojumos mēģiniet atbrīvoties no radikāļiem, t.i., no ierakstiem ar saknēm un pārejiet uz pakāpju funkcijām vienkārši tāpēc, ka šo pakāpju eksponenti ir viegli izņemami no logaritma zīmes un, galu galā, tādi. ieraksts ievērojami vienkāršo un paātrina aprēķinus. Pierakstīsim to šādi:
Tagad atcerēsimies ievērojamo logaritma īpašību: pilnvaras var iegūt no argumenta, kā arī no bāzes. Pamatojuma gadījumā notiek sekojošais:
log a k b = 1/k loga b
Citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas bija bāzes pakāpē, tiek virzīts uz priekšu un tajā pašā laikā apgriezts, tas ir, tas kļūst par abpusēju skaitli. Mūsu gadījumā bāzes pakāpe bija 1/2. Tāpēc mēs to varam izņemt kā 2/1. Mēs iegūstam:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Lūdzu, ņemiet vērā: šajā solī nekādā gadījumā nevajadzētu atbrīvoties no logaritmiem. Atcerieties 4.-5.klases matemātiku un darbību secību: vispirms tiek veikta reizināšana un tikai tad saskaitīšana un atņemšana. Šajā gadījumā mēs no 10 elementiem atņemam vienu no tiem pašiem elementiem:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Tagad mūsu vienādojums izskatās tā, kā vajadzētu. Šī ir vienkāršākā konstrukcija, un mēs to atrisinām, izmantojot kanonisko formu:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Tas ir viss. Otra problēma ir atrisināta.
Trešais piemērs
Pārejam pie trešā uzdevuma:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Ļaujiet man jums atgādināt šādu formulu:
log b = log 10 b
Ja kādu iemeslu dēļ jūs mulsina apzīmējumu žurnāls b , tad veicot visus aprēķinus varat vienkārši ierakstīt log 10 b . Jūs varat strādāt ar decimāllogaritmiem tāpat kā ar citiem: ņemiet pakāpju, pievienojiet un attēlojiet jebkurus skaitļus formā lg 10.
Tieši šīs īpašības mēs tagad izmantosim, lai atrisinātu problēmu, jo tas nav pats vienkāršākais, ko mēs pierakstījām nodarbības pašā sākumā.
Pirmkārt, ņemiet vērā, ka koeficientu 2 pirms lg 5 var pievienot, un tas kļūst par 5. bāzes pakāpi. Turklāt brīvo terminu 3 var attēlot arī kā logaritmu - to ir ļoti viegli novērot no mūsu apzīmējuma.
Spriediet paši: jebkuru skaitli var attēlot kā žurnālu līdz 10. bāzei:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Pārrakstīsim sākotnējo problēmu, ņemot vērā iegūtās izmaiņas:
log (x – 3) = log 1000 + log 25
log (x – 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Mūsu priekšā atkal ir kanoniskā forma, un mēs to ieguvām, neizejot cauri transformācijas stadijai, t.i., vienkāršākais logaritmiskais vienādojums nekur neparādījās.
Tieši par to es runāju pašā nodarbības sākumā. Kanoniskā forma ļauj atrisināt plašāku problēmu grupu nekā standarta skolas formula, ko sniedz lielākā daļa skolu skolotāju.
Nu, lūk, mēs atbrīvojamies no decimāllogaritma zīmes un iegūstam vienkāršu lineāru konstrukciju:
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Visi! Problēma ir atrisināta.
Piezīme par darbības jomu
Šeit es vēlētos izteikt svarīgu piezīmi par definīcijas darbības jomu. Noteikti tagad būs skolēni un skolotāji, kuri teiks: "Atrisinot izteiksmes ar logaritmiem, jāatceras, ka argumentam f (x) jābūt lielākam par nulli!" Šajā sakarā rodas loģisks jautājums: kāpēc mēs nepieprasījām, lai šī nevienlīdzība tiktu apmierināta nevienā no aplūkotajām problēmām?
Neuztraucies. Šajos gadījumos papildu saknes neparādīsies. Un tas ir vēl viens lielisks triks, kas ļauj paātrināt risinājumu. Tikai ziniet, ka, ja uzdevumā mainīgais x ir sastopams tikai vienā vietā (vai drīzāk, viena logaritma vienā argumentā), un mūsu gadījumā nekur citur neparādās mainīgais x, tad pierakstiet definīcijas domēnu. nav vajadzības, jo tas tiks izpildīts automātiski.
Spriediet paši: pirmajā vienādojumā mēs saņēmām, ka 3x − 1, t.i., argumentam jābūt vienādam ar 8. Tas automātiski nozīmē, ka 3x − 1 būs lielāks par nulli.
Ar tādiem pašiem panākumiem mēs varam rakstīt, ka otrajā gadījumā x ir jābūt vienādam ar 5 2, t.i., tas noteikti ir lielāks par nulli. Un trešajā gadījumā, kur x + 3 = 25 000, t.i., atkal, acīmredzami lielāks par nulli. Citiem vārdiem sakot, apjoms tiek izpildīts automātiski, bet tikai tad, ja x ir tikai viena logaritma argumentā.
Tas ir viss, kas jums jāzina, lai atrisinātu visvienkāršākās problēmas. Šis noteikums vien kopā ar transformācijas noteikumiem ļaus atrisināt ļoti plašu problēmu klasi.
Bet būsim godīgi: lai beidzot izprastu šo paņēmienu un iemācītos pielietot logaritmiskā vienādojuma kanonisko formu, nepietiek tikai noskatīties vienu video nodarbību. Tāpēc lejupielādējiet opcijas tieši tagad neatkarīgs lēmums, kas pievienoti šai video nodarbībai un sākt risināt vismaz vienu no šiem diviem patstāvīgajiem darbiem.
Tas aizņems burtiski dažas minūtes. Bet šādas apmācības efekts būs daudz lielāks nekā tad, ja jūs vienkārši noskatītos šo video nodarbību.
Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums izprast logaritmiskos vienādojumus. Izmantojiet kanonisko formu, vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot noteikumus darbam ar logaritmiem - un jūs nebaidīsities no problēmām. Tas ir viss, kas man šodien ir.
Ņemot vērā definīcijas jomu
Tagad parunāsim par logaritmiskās funkcijas definīcijas jomu un to, kā tas ietekmē logaritmisko vienādojumu risinājumu. Apsveriet veidlapas konstrukciju
log a f (x) = b
Šādu izteiksmi sauc par vienkāršāko - tajā ir tikai viena funkcija, un skaitļi a un b ir tikai skaitļi, un nekādā gadījumā nav funkcija, kas ir atkarīga no mainīgā x. To var atrisināt ļoti vienkārši. Jums vienkārši jāizmanto formula:
b = log a a b
Šī formula ir viena no galvenajām logaritma īpašībām, un, aizstājot to sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam sekojošo:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Šī ir pazīstama formula no skolas mācību grāmatām. Iespējams, daudziem studentiem radīsies jautājums: tā kā sākotnējā izteiksmē funkcija f (x) atrodas zem žurnāla zīmes, tai tiek noteikti šādi ierobežojumi:
f(x) > 0
Šis ierobežojums ir spēkā, jo negatīvo skaitļu logaritms nepastāv. Tātad, iespējams, šī ierobežojuma rezultātā būtu jāievieš atbilžu pārbaude? Varbūt tie ir jāievieto avotā?
Nē, vienkāršākajos logaritmiskajos vienādojumos papildu pārbaude nav nepieciešama. Un tāpēc. Apskatiet mūsu galīgo formulu:
f (x) = a b
Fakts ir tāds, ka skaitlis a jebkurā gadījumā ir lielāks par 0 - šo prasību nosaka arī logaritms. Skaitlis a ir bāze. Šajā gadījumā ciparam b netiek noteikti nekādi ierobežojumi. Bet tam nav nozīmes, jo neatkarīgi no tā, uz kādu jaudu mēs paaugstināsim pozitīvu skaitli, mēs joprojām saņemsim pozitīvu skaitli izejā. Tādējādi prasība f (x) > 0 tiek izpildīta automātiski.
Tas, kas patiešām ir vērts pārbaudīt, ir funkcijas domēns zem žurnāla zīmes. Var būt diezgan sarežģītas struktūras, un jums noteikti ir jāseko līdzi risināšanas procesa laikā. Paskatīsimies.
Pirmais uzdevums:
Pirmais solis: konvertējiet labajā pusē esošo daļu. Mēs iegūstam:
Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes un iegūstam parasto iracionālo vienādojumu:
No iegūtajām saknēm mums der tikai pirmā, kopš otrā sakne mazāks par nulli. Vienīgā atbilde būs cipars 9. Tas arī viss, problēma ir atrisināta. Nav papildu pārbaudes tas, ka izteiksme zem logaritma zīmes ir lielāka par 0, nav nepieciešama, jo tā ir ne tikai lielāka par 0, bet pēc vienādojuma nosacījuma ir vienāda ar 2. Līdz ar to prasība “lielāka par nulli” ir apmierināts automātiski.
Pārejam pie otrā uzdevuma:
Šeit viss ir vienāds. Mēs pārrakstām konstrukciju, aizstājot trīskāršo:
Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmēm un iegūstam iracionālu vienādojumu:
Mēs sagriežam abas puses, ņemot vērā ierobežojumus, un iegūstam:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, izmantojot diskriminantu:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = –6
Bet x = −6 mums neder, jo, ja šo skaitli aizstājam savā nevienādībā, mēs iegūstam:
−6 + 4 = −2 < 0
Mūsu gadījumā ir nepieciešams, lai būtu vairāk par 0 vai kā pēdējo līdzekli vienāds. Bet x = −1 mums ir piemērots:
−1 + 4 = 3 > 0
Vienīgā atbilde mūsu gadījumā būs x = −1. Tas ir risinājums. Atgriezīsimies mūsu aprēķinu pašā sākumā.
Šīs nodarbības galvenā atziņa ir tāda, ka jums nav jāpārbauda funkcijas ierobežojumi vienkāršos logaritmiskos vienādojumos. Jo risinājuma procesā visi ierobežojumi tiek izpildīti automātiski.
Tomēr tas nekādā gadījumā nenozīmē, ka varat aizmirst par pārbaudi. Strādājot pie logaritmiskā vienādojuma, tas var pārvērsties par iracionālu, kuram būs savi ierobežojumi un prasības labajā pusē, ko mēs šodien esam redzējuši divos dažādos piemēros.
Jūtieties brīvi risināt šādas problēmas un esiet īpaši uzmanīgs, ja strīdam ir sakne.
Logaritmiskie vienādojumi ar dažādām bāzēm
Turpinām pētīt logaritmiskos vienādojumus un aplūkojam vēl divus diezgan interesantus paņēmienus, ar kuriem modē risināt sarežģītākas konstrukcijas. Bet vispirms atcerēsimies, kā tiek atrisinātas vienkāršākās problēmas:
log a f (x) = b
Šajā ierakstā a un b ir skaitļi, un funkcijā f (x) ir jābūt mainīgajam x, un tikai tur, tas ir, x ir jābūt tikai argumentā. Mēs pārveidosim šādus logaritmiskos vienādojumus, izmantojot kanonisko formu. Lai to izdarītu, ņemiet vērā to
b = log a a b
Turklāt a b ir tieši arguments. Pārrakstīsim šo izteiksmi šādi:
log a f (x) = log a a b
Tas ir tieši tas, ko mēs cenšamies panākt, lai būtu logaritms, kas pamatotu a gan pa kreisi, gan pa labi. Šajā gadījumā mēs varam, tēlaini izsakoties, izsvītrot baļķa zīmes, un no matemātiskā viedokļa mēs varam teikt, ka mēs vienkārši pielīdzinām argumentus:
f (x) = a b
Rezultātā mēs iegūsim jaunu izteiksmi, kuru būs daudz vieglāk atrisināt. Piemērosim šo noteikumu mūsu šodienas problēmām.
Tātad, pirmais dizains:
Pirmkārt, es atzīmēju, ka labajā pusē ir daļa, kuras saucējs ir log. Kad redzat šādu izteiksmi, ir ieteicams atcerēties brīnišķīgu logaritmu īpašību:
Tulkots krievu valodā, tas nozīmē, ka jebkuru logaritmu var attēlot kā divu logaritmu koeficientu ar jebkuru bāzi c. Protams 0< с ≠ 1.
Tātad: šai formulai ir viens brīnišķīgs īpašs gadījums, kad mainīgais c ir vienāds ar mainīgo b. Šajā gadījumā mēs iegūstam šādu konstrukciju:
Tieši šādu konstrukciju mēs redzam no zīmes labajā vienādojumā. Aizstāsim šo konstrukciju ar log a b , iegūstam:
Citiem vārdiem sakot, salīdzinot ar sākotnējo uzdevumu, mēs apmainījām argumentu un logaritma bāzi. Tā vietā mums bija jāapgriež daļskaitlis.
Mēs atgādinām, ka jebkuru grādu var iegūt no bāzes saskaņā ar šādu noteikumu:
Citiem vārdiem sakot, koeficientu k, kas ir bāzes jauda, izsaka kā apgrieztu daļu. Atveidosim to kā apgrieztu daļskaitli:
Daļskaitlības koeficientu nevar atstāt priekšā, jo šajā gadījumā mēs nevarēsim attēlot šo apzīmējumu kā kanonisko formu (galu galā kanoniskajā formā pirms otrā logaritma nav papildu faktora). Tāpēc pievienosim argumentam daļu 1/4 kā pakāpju:
Tagad mēs pielīdzinām argumentus, kuru pamati ir vienādi (un mūsu pamati patiešām ir vienādi), un rakstām:
x + 5 = 1
x = −4
Tas ir viss. Mēs saņēmām atbildi uz pirmo logaritmisko vienādojumu. Lūdzu, ņemiet vērā: sākotnējā uzdevumā mainīgais x parādās tikai vienā žurnālā, un tas parādās tā argumentā. Tāpēc nav nepieciešams pārbaudīt domēnu, un mūsu skaitlis x = −4 patiešām ir atbilde.
Tagad pāriesim pie otrās izteiksmes:
log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)
Šeit papildus parastajiem logaritmiem mums būs jāstrādā ar log f (x). Kā atrisināt šādu vienādojumu? Nesagatavotam studentam var šķist, ka tas ir kaut kāds grūts uzdevums, bet patiesībā visu var atrisināt elementāri.
Uzmanīgi apskatiet terminu lg 2 log 2 7. Ko mēs par to varam teikt? Log un lg pamati un argumenti ir vienādi, un tam vajadzētu dot dažas idejas. Atcerēsimies vēlreiz, kā no logaritma zīmes tiek izņemti pilnvari:
log a b n = nlog a b
Citiem vārdiem sakot, tas, kas argumentā bija b jauda, kļūst par faktoru paša loga priekšā. Pielietosim šo formulu izteiksmei lg 2 log 2 7. Nebaidieties no lg 2 - šī ir visizplatītākā izteiksme. Varat to pārrakstīt šādi:
Uz to attiecas visi noteikumi, kas attiecas uz jebkuru citu logaritmu. Jo īpaši argumenta pakāpei var pievienot priekšā esošo faktoru. Pierakstīsim to:
Ļoti bieži skolēni šo darbību neredz tieši, jo nav labi ieiet vienā baļķī zem cita zīmes. Patiesībā šajā nav nekā krimināla. Turklāt mēs iegūstam formulu, kuru ir viegli aprēķināt, ja atceraties svarīgu noteikumu:
Šo formulu var uzskatīt gan par definīciju, gan par vienu no tās īpašībām. Jebkurā gadījumā, ja konvertējat logaritmisko vienādojumu, šī formula ir jāzina tāpat kā jebkura skaitļa logaritmis.
Atgriezīsimies pie sava uzdevuma. Mēs to pārrakstām, ņemot vērā faktu, ka pirmais vārds pa labi no vienādības zīmes būs vienkārši vienāds ar lg 7. Mums ir:
lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)
Pārvietosim lg 7 pa kreisi, iegūstam:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
Mēs atņemam izteiksmes kreisajā pusē, jo tām ir vienāda bāze:
lg (56/7) = –3 lg (x + 4)
Tagad aplūkosim iegūto vienādojumu tuvāk. Tā ir praktiski kanoniskā forma, bet labajā pusē ir koeficients −3. Pievienosim to pareizajam lg argumentam:
log 8 = log (x + 4) −3
Pirms mums ir logaritmiskā vienādojuma kanoniskā forma, tāpēc mēs izsvītrojam lg zīmes un pielīdzinām argumentus:
(x + 4) –3 = 8
x + 4 = 0,5
Tas ir viss! Mēs atrisinājām otro logaritmisko vienādojumu. Šajā gadījumā papildu pārbaudes nav nepieciešamas, jo sākotnējā uzdevumā x bija tikai vienā argumentā.
Ļaujiet man vēlreiz uzskaitīt šīs nodarbības galvenos punktus.
Galvenā formula, kas tiek mācīta visās šīs lapas nodarbībās, kas veltītas logaritmisko vienādojumu risināšanai, ir kanoniskā forma. Un nebaidieties no tā, ka vairums skolas mācību grāmatu māca šādas problēmas risināt atšķirīgi. Šis rīks darbojas ļoti efektīvi un ļauj atrisināt daudz plašāku problēmu klāstu nekā vienkāršākās, kuras mēs pētījām nodarbības pašā sākumā.
Turklāt, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus, būs noderīgi zināt pamatīpašības. Proti:
- Formula pārejai uz vienu bāzi un īpašais gadījums, kad mēs reversējam žurnālu (tas mums ļoti noderēja pirmajā uzdevumā);
- Formula pakāpju pievienošanai un atņemšanai no logaritma zīmes. Šeit daudzi studenti iestrēgst un neredz, ka izņemtais un ieviestais grāds pats par sevi var saturēt log f (x). Nekas nepareizs ar to. Mēs varam ieviest vienu baļķi atbilstoši otra zīmei un tajā pašā laikā būtiski vienkāršot problēmas risinājumu, ko mēs novērojam otrajā gadījumā.
Nobeigumā vēlos piebilst, ka katrā no šiem gadījumiem nav nepieciešams pārbaudīt definīcijas apgabalu, jo visur mainīgais x atrodas tikai vienā loga zīmē, un tajā pašā laikā ir tā argumentā. Rezultātā visas darbības jomas prasības tiek izpildītas automātiski.
Problēmas ar mainīgo bāzi
Šodien aplūkosim logaritmiskos vienādojumus, kas daudziem studentiem šķiet nestandarta, ja ne gluži neatrisināmi. Mēs runājam par izteiksmēm, kuru pamatā ir nevis skaitļi, bet gan mainīgie un pat funkcijas. Šādas konstrukcijas risināsim, izmantojot mūsu standarta tehniku, proti, izmantojot kanonisko formu.
Vispirms atcerēsimies, kā tiek atrisinātas visvienkāršākās problēmas, pamatojoties uz parastajiem skaitļiem. Tātad, tiek saukta vienkāršākā konstrukcija
log a f (x) = b
Lai atrisinātu šādas problēmas, mēs varam izmantot šādu formulu:
b = log a a b
Mēs pārrakstām savu sākotnējo izteiksmi un iegūstam:
log a f (x) = log a a b
Tad mēs pielīdzinām argumentus, t.i., mēs rakstām:
f (x) = a b
Tādējādi atbrīvojamies no baļķa zīmes un atrisinām ierasto problēmu. Šajā gadījumā no risinājuma iegūtās saknes būs sākotnējā logaritmiskā vienādojuma saknes. Turklāt ierakstu, kad gan kreisais, gan labais atrodas vienā logaritmā ar vienu un to pašu bāzi, precīzi sauc par kanonisko formu. Tieši līdz tādam rekordam mēs centīsimies samazināt šodienas dizainus. Tātad, ejam.
Pirmais uzdevums:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Aizstāt 1 ar log x − 2 (x − 2) 1 . Pakāpe, ko mēs novērojam argumentā, patiesībā ir skaitlis b, kas stāvēja pa labi no vienādības zīmes. Tādējādi pārrakstīsim savu izteiksmi. Mēs iegūstam:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Ko mēs redzam? Pirms mums ir logaritmiskā vienādojuma kanoniskā forma, tāpēc mēs varam droši pielīdzināt argumentus. Mēs iegūstam:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
Taču risinājums ar to nebeidzas, jo šis vienādojums nav līdzvērtīgs sākotnējam. Galu galā iegūtā konstrukcija sastāv no funkcijām, kas ir definētas visā skaitļu rindā, un mūsu sākotnējie logaritmi nav noteikti visur un ne vienmēr.
Tāpēc definīcijas domēns ir jāpieraksta atsevišķi. Neskaldīsim matus un vispirms pierakstīsim visas prasības:
Pirmkārt, katra logaritma argumentam ir jābūt lielākam par 0:
2x 2 - 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Otrkārt, bāzei jābūt ne tikai lielākai par 0, bet arī jāatšķiras no 1:
x - 2 ≠ 1
Rezultātā mēs iegūstam sistēmu:
Bet neuztraucieties: apstrādājot logaritmiskos vienādojumus, šādu sistēmu var ievērojami vienkāršot.
Spriediet paši: no vienas puses, mums tiek prasīts, lai kvadrātfunkcija būtu lielāka par nulli, un, no otras puses, šī kvadrātiskā funkcija tiek pielīdzināta noteiktai lineārai izteiksmei, kas arī tiek prasīta, lai tā būtu lielāka par nulli.
Tādā gadījumā, ja pieprasām, lai x − 2 > 0, tad automātiski tiks izpildīta prasība 2x 2 − 13x + 18 > 0. Līdz ar to varam droši izsvītrot nevienādību, kas satur kvadrātiskā funkcija. Tādējādi mūsu sistēmā ietverto izteiksmju skaits tiks samazināts līdz trim.
Protams, ar tādiem pašiem panākumiem mēs varētu izsvītrot lineāro nevienādību, tas ir, izsvītrot x − 2 > 0 un pieprasīt, lai 2x 2 − 13x + 18 > 0. Taču jūs piekrītat, ka vienkāršākās lineārās nevienādības atrisināšana ir daudz ātrāka. un vienkāršāk, nekā kvadrātiskā, pat ar nosacījumu, ka visas šīs sistēmas atrisināšanas rezultātā mēs iegūstam vienas un tās pašas saknes.
Kopumā mēģiniet optimizēt aprēķinus, kad vien iespējams. Un logaritmisko vienādojumu gadījumā izsvītrojiet vissarežģītākās nevienādības.
Pārrakstīsim mūsu sistēmu:
Šeit ir trīs izteicienu sistēma, no kurām divas mēs faktiski jau esam izskatījuši. Pierakstīsim to atsevišķi kvadrātvienādojums un atrisināsim:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 - 7x + 10 = 0
Pirms mums ir samazināts kvadrātveida trinomāls, un tāpēc mēs varam izmantot Vietas formulas. Mēs iegūstam:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Tagad mēs atgriežamies pie mūsu sistēmas un atklājam, ka x = 2 mums neder, jo mums tiek prasīts, lai x būtu stingri lielāks par 2.
Bet x = 5 mums lieliski der: skaitlis 5 ir lielāks par 2, un tajā pašā laikā 5 nav vienāds ar 3. Tāpēc šīs sistēmas vienīgais risinājums būs x = 5.
Tas arī viss, problēma ir atrisināta, tostarp ņemot vērā ODZ. Pārejam pie otrā vienādojuma. Vairāk interesantu un informatīvu aprēķinu mūs gaida šeit:
Pirmais solis: tāpat kā pagājušajā reizē, mēs visu šo lietu nododam kanoniskā formā. Lai to izdarītu, mēs varam uzrakstīt skaitli 9 šādi:
Jums nav jāpieskaras pamatnei ar sakni, bet labāk ir pārveidot argumentu. Pāriesim no saknes uz jaudu ar racionālu eksponentu. Pierakstīsim:
Ļaujiet man nepārrakstīt visu mūsu lielo logaritmisko vienādojumu, bet uzreiz pielīdzināt argumentus:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Pirms mums ir tikko reducēts kvadrātveida trinomāls, izmantosim Vietas formulas un ierakstīsim:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = –3
x 2 = −1
Tātad, mēs saņēmām saknes, taču neviens mums negarantēja, ka tās atbilst sākotnējam logaritmiskajam vienādojumam. Galu galā baļķu zīmes uzliek papildu ierobežojumus (šeit mums vajadzēja pierakstīt sistēmu, taču visas struktūras apgrūtinošā rakstura dēļ es nolēmu definīcijas domēnu aprēķināt atsevišķi).
Pirmkārt, atcerieties, ka argumentiem ir jābūt lielākiem par 0, proti:
Šīs ir prasības, ko nosaka definīcijas darbības joma.
Tūlīt atzīmēsim, ka, tā kā sistēmas pirmās divas izteiksmes tiek pielīdzinātas viena otrai, mēs varam izsvītrot jebkuru no tām. Izsvītrosim pirmo, jo tas izskatās draudīgāk nekā otrais.
Turklāt ņemiet vērā, ka otrās un trešās nevienādības risinājums būs vienas un tās pašas kopas (kāda skaitļa kubs ir lielāks par nulli, ja šis skaitlis pats ir lielāks par nulli; tāpat ar trešās pakāpes sakni - šīs nevienādības ir pilnīgi analogas, tāpēc mēs to varam izsvītrot).
Bet ar trešo nevienlīdzību tas nedarbosies. Atbrīvosimies no radikālas zīmes kreisajā pusē, paceļot abas daļas kubā. Mēs iegūstam:
Tātad mēs iegūstam šādas prasības:
− 2 ≠ x > −3
Kura no mūsu saknēm: x 1 = −3 vai x 2 = −1 atbilst šīm prasībām? Acīmredzot tikai x = −1, jo x = −3 neapmierina pirmo nevienādību (jo mūsu nevienlīdzība ir stingra). Tātad, atgriežoties pie mūsu problēmas, mēs iegūstam vienu sakni: x = −1. Tas arī viss, problēma atrisināta.
Vēlreiz šī uzdevuma galvenie punkti:
- Jūtieties brīvi piemērot un atrisināt logaritmiskos vienādojumus, izmantojot kanonisko formu. Studenti, kuri veic šādu pierakstu, nevis pāriet tieši no sākotnējās problēmas uz tādu konstrukciju kā log a f (x) = b, pieļauj daudz mazāk kļūdu nekā tie, kuri kaut kur steidzas, izlaižot aprēķinu starpposmus;
- Tiklīdz logaritmā parādās mainīgā bāze, problēma pārstāj būt vienkāršākā. Tāpēc, risinot to, jāņem vērā definīcijas joma: argumentiem jābūt lielākiem par nulli, un bāzēm jābūt ne tikai lielākiem par 0, bet arī nedrīkst būt vienādām ar 1.
Galīgās prasības gala atbildēm var piemērot dažādos veidos. Piemēram, varat atrisināt visu sistēmu, kas satur visas definīcijas domēna prasības. No otras puses, vispirms var atrisināt pašu problēmu un pēc tam atcerēties definīcijas jomu, atsevišķi izstrādāt to sistēmas veidā un piemērot iegūtajām saknēm.
Kuru metodi izvēlēties, risinot konkrētu logaritmisko vienādojumu, ir atkarīgs no jums. Jebkurā gadījumā atbilde būs tāda pati.
Notiek ielāde...