Strādāsim ar kvadrātvienādojumi. Šie ir ļoti populāri vienādojumi! Vispārīgākajā formā kvadrātvienādojums izskatās šādi:
Piemēram:
Šeit A =1; b = 3; c = -4
Šeit A =2; b = -0,5; c = 2,2
Šeit A =-3; b = 6; c = -18
Nu tu saproti...
Kā atrisināt kvadrātvienādojumus? Ja jūsu priekšā ir kvadrātvienādojums šajā formā, tad viss ir vienkārši. Atcerieties burvju vārdu diskriminējošs . Reti kurš vidusskolnieks nav dzirdējis šo vārdu! Frāze “mēs risinām, izmantojot diskriminējošu līdzekli” iedvesmo pārliecību un pārliecību. Jo nav jāgaida triki no diskriminētāja! Tas ir vienkārši un bez problēmām lietojams. Tātad kvadrātvienādojuma sakņu atrašanas formula izskatās šādi:
Izteiciens zem saknes zīmes ir viens diskriminējošs. Kā redzat, lai atrastu X, mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi nomainiet vērtības a, b un cŠī ir formula, kuru mēs aprēķinām. Aizstāsim ar savām zīmēm! Piemēram, pirmajam vienādojumam A =1; b = 3; c= -4. Šeit mēs to pierakstām:
Piemērs ir gandrīz atrisināts:
Tas ir viss.
Kādi gadījumi ir iespējami, izmantojot šo formulu? Ir tikai trīs gadījumi.
1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka no tā var iegūt sakni. Tas, vai sakne ir iegūta labi vai slikti, ir cits jautājums. Svarīgi ir tas, kas tiek izvilkts principā. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divas dažādi risinājumi.
2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Stingri sakot, tā nav viena sakne, bet gan divi identiski. Bet tam ir nozīme nevienlīdzībā, kur mēs šo jautājumu pētīsim sīkāk.
3. Diskriminants ir negatīvs. No negatīva skaitļa Kvadrātsakne nav izvilkts. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.
Viss ir ļoti vienkārši. Un ko, jūs domājat, ka nav iespējams kļūdīties? Nu jā, kā...
Biežākās kļūdas ir sajaukšana ar zīmju vērtībām a, b un c. Vai drīzāk nevis ar to zīmēm (kur apjukt?), bet ar negatīvu vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit palīdz detalizēts formulas ieraksts ar konkrētiem skaitļiem. Ja rodas problēmas ar aprēķiniem, izdari to!
Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:
Šeit a = -6; b = -5; c = -1
Pieņemsim, ka zināt, ka reti saņemat atbildes pirmajā reizē.
Nu neesi slinks. Papildu rindas rakstīšana aizņems apmēram 30 sekundes.Un kļūdu skaits strauji samazināsies. Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:
Šķiet neticami grūti tik rūpīgi izrakstīt. Bet tā tikai šķiet. Pamēģināt. Nu, vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātri vai pareizi? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika vairs nevajadzēs tik rūpīgi visu pierakstīt. Tas izdosies pats no sevis. It īpaši, ja izmantojat praktiskus paņēmienus, kas aprakstīti tālāk. Šo ļauno piemēru ar daudziem mīnusiem var atrisināt viegli un bez kļūdām!
Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu, ko atcerējāmies. Vai arī viņi iemācījās, kas arī ir labi. Jūs zināt, kā pareizi noteikt a, b un c. Vai jūs zināt, kā? uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Vai tu to saprati atslēgvārdsŠeit - uzmanīgi?
Tomēr kvadrātvienādojumi bieži izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:
Šis nepilnīgi kvadrātvienādojumi . Tos var arī atrisināt, izmantojot diskriminantu. Jums tikai pareizi jāsaprot, ar ko viņi šeit ir vienādi. a, b un c.
Vai esat to izdomājuši? Pirmajā piemērā a = 1; b = -4; A c? Tā tur nemaz nav! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c = 0 ! Tas ir viss. Tā vietā formulā aizstājiet nulli c, un mums izdosies. Tas pats ar otro piemēru. Tikai mums šeit nav nulles Ar, A b !
Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vienkāršāk. Bez jebkādas diskriminācijas. Apskatīsim pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko jūs varat darīt kreisajā pusē? Jūs varat izņemt X no iekavām! Izņemsim ārā.
Un kas no šī? Un tas, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici man? Labi, tad izdomājiet divus skaitļus, kas nav nulle, kurus reizinot, tiks iegūta nulle!
Nestrādā? Tieši tā...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x = 0, vai x = 4
Visi. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi ir piemēroti. Aizvietojot kādu no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 = 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā izmantojot diskriminantu.
Otro vienādojumu var atrisināt arī vienkārši. Pārvietojiet 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:
Atliek tikai izvilkt sakni no 9, un viss. Izrādīsies:
Arī divas saknes . x = +3 un x = -3.
Šādi tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu ievietojot X no iekavām, vai vienkārši pārvietojot skaitli pa labi un pēc tam izvelkot sakni.
Šīs metodes ir ārkārtīgi grūti sajaukt. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā būs jāizvelk X sakne, kas ir kaut kā nesaprotama, un otrajā gadījumā nav ko izņemt no iekavām...
Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Tie paši, kas ir neuzmanības dēļ... Par ko vēlāk kļūst sāpīgi un aizvainojoši...
Pirmā tikšanās. Neesiet slinks pirms kvadrātvienādojuma atrisināšanas un izveidojiet to standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc visām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:
Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms X kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais termiņš. Kā šis:
Un atkal nesteidzieties! Mīnuss X kvadrāta priekšā var jūs patiešām apbēdināt. To ir viegli aizmirst... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīja iepriekšējā tēmā! Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:
Bet tagad var droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru risināt. Izlemiet paši. Tagad jums vajadzētu būt saknēm 2 un -1.
Uzņemšana otrā. Pārbaudiet saknes! Saskaņā ar Vietas teorēmu. Nebaidies, es visu paskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. ar kuru mēs pierakstījām saknes formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a = 1, pārbaudīt saknes ir viegli. Pietiek tos pavairot. Rezultātā vajadzētu būt bezmaksas dalībniekam, t.i. mūsu gadījumā -2. Lūdzu, ņemiet vērā, nevis 2, bet -2! Bezmaksas dalībnieks ar savu zīmi
. Ja tas neizdodas, tas nozīmē, ka viņi jau ir kaut kur sabojājušies. Meklējiet kļūdu. Ja tas darbojas, jums jāpievieno saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Koeficientam jābūt b Ar pretī
pazīstami. Mūsu gadījumā -1+2 = +1. Koeficients b, kas ir pirms X, ir vienāds ar -1. Tātad, viss ir pareizi!
Žēl, ka tas ir tik vienkārši tikai piemēriem, kur x kvadrātā ir tīrs, ar koeficientu a = 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Kļūdu būs arvien mazāk.
Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucēju, kā aprakstīts iepriekšējā sadaļā. Strādājot ar daļskaitļiem, kļūdas nez kāpēc piezogas...
Starp citu, es solīju vienkāršot ļauno piemēru ar mīnusiem. Lūdzu! Šeit viņš ir.
Lai neapjuktu mīnusos, vienādojumu reizinām ar -1. Mēs iegūstam:
Tas ir viss! Risināt ir prieks!
Tātad, apkoposim tēmu.
1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu izveidojam standarta formā un izveidojam Pa labi.
2. Ja X kvadrātā priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.
3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.
4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, atrisinājumu var viegli pārbaudīt, izmantojot Vietas teorēmu. Izdari to!
Frakcionālie vienādojumi. ODZ.
Mēs turpinām apgūt vienādojumus. Mēs jau zinām, kā strādāt ar lineāriem un kvadrātvienādojumiem. Pēdējais skats palicis - daļskaitļu vienādojumi. Vai arī viņus sauc daudz cienījamāk - frakcionēti racionālie vienādojumi. Tas ir tas pats.
Frakcionālie vienādojumi.
Kā norāda nosaukums, šajos vienādojumos noteikti ir daļskaitļi. Bet ne tikai frakcijas, bet frakcijas, kurām ir saucējā nezināms. Vismaz vienā. Piemēram:
Atgādināšu, ja saucēji ir tikai cipariem, tie ir lineāri vienādojumi.
Kā izlemt daļskaitļu vienādojumi? Pirmkārt, atbrīvojieties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas lineārā vai kvadrātiskā. Un tad mēs zinām, ko darīt... Dažos gadījumos tas var pārvērsties par identitāti, piemēram, 5=5 vai nepareizu izteiksmi, piemēram, 7=2. Bet tas notiek reti. Es to pieminēšu zemāk.
Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Piemērojot tās pašas identiskās transformācijas.
Mums jāreizina viss vienādojums ar to pašu izteiksmi. Lai visi saucēji tiek samazināti! Viss uzreiz kļūs vieglāk. Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru. Ļaujiet mums atrisināt vienādojumu:
Kā tevi mācīja pamatskolā? Pārceļam visu uz vienu pusi, savedām pie kopsaucēja utt. Aizmirsti kā šausmīgs sapnis! Tas ir jādara, pievienojot vai atņemot daļskaitļus. Vai arī jūs strādājat ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs uzreiz reizinām abas puses ar izteiksmi, kas dos mums iespēju samazināt visus saucējus (t.i., pēc būtības, ar kopsaucēju). Un kas ir šis izteiciens?
Kreisajā pusē, lai samazinātu saucēju, ir jāreizina ar x+2. Un labajā pusē ir jāreizina ar 2. Tas nozīmē, ka vienādojums jāreizina ar 2(x+2). Reizināt:
Tas ir izplatīts daļskaitļu reizinājums, taču es to aprakstīšu sīkāk:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka es vēl neatveru kronšteinu (x + 2)! Tātad kopumā es to rakstu:
Kreisajā pusē tas pilnībā saraujas (x+2), un labajā pusē 2. Kas bija tas, kas bija vajadzīgs! Pēc samazināšanas mēs iegūstam lineārs vienādojums:
Un katrs var atrisināt šo vienādojumu! x = 2.
Atrisināsim citu piemēru, nedaudz sarežģītāku:
Ja atceramies, ka 3 = 3/1, un 2x = 2x/ 1, mēs varam rakstīt:
Un atkal mēs atbrīvojamies no tā, kas mums īsti nepatīk - no frakcijām.
Mēs redzam, ka, lai samazinātu saucēju ar X, mums daļa jāreizina ar (x–2). Un daži mums nav šķērslis. Nu vairosim. Visi kreisā puse Un visi labā puse:
Atkal iekavas (x–2) Es neatklāju. Es strādāju ar kronšteinu kopumā tā, it kā tas būtu viens skaitlis! Tas ir jādara vienmēr, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.
Ar dziļa gandarījuma sajūtu mēs samazinām (x–2) un iegūstam vienādojumu bez daļskaitļiem, ar lineālu!
Tagad atvērsim iekavas:
Mēs atvedam līdzīgus, pārvietojam visu uz kreiso pusi un iegūstam:
Klasisks kvadrātvienādojums. Bet mīnuss priekšā nav labs. Jūs vienmēr varat no tā atbrīvoties, reizinot vai dalot ar -1. Bet, ja paskatās uzmanīgi uz piemēru, jūs ievērosiet, ka vislabāk ir dalīt šo vienādojumu ar -2! Vienā rāvienā mīnuss pazudīs, un izredzes kļūs pievilcīgākas! Sadaliet ar -2. Kreisajā pusē - termins pa vārdam, bet labajā pusē - vienkārši sadaliet nulli ar -2, nulli un mēs iegūstam:
Mēs atrisinām, izmantojot diskriminantu un pārbaudām, izmantojot Vietas teorēmu. Mēs saņemam x = 1 un x = 3. Divas saknes.
Kā redzat, pirmajā gadījumā vienādojums pēc transformācijas kļuva lineārs, bet šeit tas kļūst kvadrātisks. Gadās, ka pēc atbrīvošanās no frakcijām visi X tiek samazināti. Kaut kas paliek, piemēram, 5=5. Tas nozīmē, ka x var būt jebkas. Lai kas tas būtu, tas joprojām tiks samazināts. Un tā izrādās tīra patiesība, 5=5. Bet, atbrīvojoties no frakcijām, tas var izrādīties pilnīgi nepatiess, piemēram, 2=7. Un tas nozīmē to nekādu risinājumu! Jebkurš X izrādās nepatiess.
Saprata galvenais veids risinājumus daļskaitļu vienādojumi? Tas ir vienkārši un loģiski. Mēs mainām sākotnējo izteiksmi, lai pazustu viss, kas mums nepatīk. Vai arī tas traucē. IN šajā gadījumā tās ir frakcijas. Mēs darīsim to pašu ar visu veidu sarežģīti piemēri ar logaritmiem, sinusiem un citām šausmām. Mēs Vienmēr Atbrīvosimies no šī visa.
Tomēr mums ir jāmaina sākotnējā izteiksme mums vajadzīgajā virzienā saskaņā ar noteikumiem, jā... Kuru meistarība ir gatavošanās Vienotajam valsts eksāmenam matemātikā. Tāpēc mēs to apgūstam.
Tagad mēs uzzināsim, kā apiet vienu no galvenās slazds par vienoto valsts eksāmenu! Bet vispirms paskatīsimies, vai jūs tajā iekrītat vai nē?
Apskatīsim vienkāršu piemēru:
Lieta jau pazīstama, reizinām abas puses ar (x–2), mēs iegūstam:
Es jums atgādinu, ar iekavām (x–2) Strādājam it kā ar vienu, integrālu izteiksmi!
Šeit es vairs vienu nerakstīju saucējos, tas ir necienīgi... Un es nevilku saucējos iekavas, izņemot x-2 nav nekā, nav jāzīmē. Saīsināsim:
Atveriet iekavas, pārvietojiet visu pa kreisi un ievadiet līdzīgas:
Atrisinām, pārbaudām, iegūstam divas saknes. x = 2 Un x = 3. Lieliski.
Pieņemsim, ka uzdevumā ir norādīts pierakstīt sakni vai to summu, ja ir vairāk nekā viena sakne. Ko mēs rakstīsim?
Ja jūs nolemjat, ka atbilde ir 5, jūs tika uzbrukti slazdam. Un uzdevums jums netiks ieskaitīts. Viņi strādāja veltīgi... Pareizā atbilde ir 3.
Kas noticis?! Un jūs mēģināt veikt pārbaudi. Aizstāt nezināmā vērtības ar oriģināls piemērs. Un ja plkst x = 3 viss brīnišķīgi saaugs, sanāk 9 = 9, tad kad x = 2 Tā būs dalīšana ar nulli! Ko jūs absolūti nevarat izdarīt. Līdzekļi x = 2 nav risinājums, un tas nav ņemts vērā atbildē. Šī ir tā sauktā svešā vai papildu sakne. Mēs to vienkārši izmetam. Pēdējā sakne ir viena. x = 3.
Kā tā?! – dzirdu sašutus izsaucienus. Mums mācīja, ka vienādojumu var reizināt ar izteiksmi! Šī ir identiska pārvērtība!
Jā, identiski. Plkst mazs stāvoklis- izteiksme, ar kuru mēs reizinām (dalām) - atšķiras no nulles. A x-2 plkst x = 2 vienāds ar nulli! Tātad viss ir godīgi.
Un ko es tagad varu darīt?! Vai nereizināt ar izteiksmi? Vai man vajadzētu pārbaudīt katru reizi? Atkal nav skaidrs!
mierīgi! Neļauties panikai!
Šajā sarežģītajā situācijā mūs izglābs trīs burvju burti. Es zinu, ko tu domā. Pa labi! Šis ODZ . Pieņemamo vērtību zona.
Ar šo matemātikas programmu jūs varat atrisināt kvadrātvienādojumu.
Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma procesu divos veidos:
- izmantojot diskriminantu
- izmantojot Vietas teorēmu (ja iespējams).
Turklāt atbilde tiek parādīta kā precīza, nevis aptuvena.
Piemēram, vienādojumam \(81x^2-16x-1=0\) atbilde tiek parādīta šādā formā:
Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.
Tādā veidā jūs varat pavadīt savu pašu apmācību un/vai apmāca savus jaunākos brāļus vai māsas, vienlaikus pieaugot izglītības līmenim risināmo problēmu jomā.
Ja neesat pazīstams ar kvadrātiskā polinoma ievadīšanas noteikumiem, iesakām iepazīties ar tiem.
Kvadrātiskā polinoma ievadīšanas noteikumi
Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.
Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) utt.
Skaitļus var ievadīt kā veselus vai daļskaitļus.
Turklāt daļskaitļus var ievadīt ne tikai decimāldaļas, bet arī parastās daļskaitļa formā.
Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Decimāldaļās daļskaitļu daļu no veselās daļas var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas kā šis: 2,5x - 3,5x^2
Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.
Saucējs nevar būt negatīvs.
Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi: /
Visa daļa no daļdaļas atdalīts ar & zīmi: &
Ievade: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultāts: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Ievadot izteiksmi varat izmantot iekavas. Šajā gadījumā, risinot kvadrātvienādojumu, vispirms tiek vienkāršota ieviestā izteiksme.
Piemēram: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Izlemiet
Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...
Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.
Mūsu spēles, puzles, emulatori:
Nedaudz teorijas.
Kvadrātvienādojums un tā saknes. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi
Katrs no vienādojumiem
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izskatās kā
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x ir mainīgais, a, b un c ir skaitļi.
Pirmajā vienādojumā a = -1, b = 6 un c = 1,4, otrajā a = 8, b = -7 un c = 0, trešajā a = 1, b = 0 un c = 4/9. Tādus vienādojumus sauc kvadrātvienādojumi.
Definīcija.
Kvadrātvienādojums sauc par vienādojumu formā ax 2 +bx+c=0, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi un \(a \neq 0 \).
Skaitļi a, b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti. Skaitlis a tiek saukts par pirmo koeficientu, skaitlis b ir otrais koeficients, un skaitlis c ir brīvais termins.
Katrā vienādojumā ar formu ax 2 +bx+c=0, kur \(a\neq 0\), mainīgā x lielākā pakāpe ir kvadrāts. Līdz ar to nosaukums: kvadrātvienādojums.
Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojumu sauc arī par otrās pakāpes vienādojumu, jo tā kreisā puse ir otrās pakāpes polinoms.
Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā koeficients x 2 ir vienāds ar 1 dots kvadrātvienādojums. Piemēram, dotie kvadrātvienādojumi ir vienādojumi
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Ja kvadrātvienādojumā ax 2 +bx+c=0 vismaz viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar nulli, tad šādu vienādojumu sauc nepilnīgs kvadrātvienādojums. Tādējādi vienādojumi -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Pirmajā no tām b=0, otrajā c=0, trešajā b=0 un c=0.
Ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) cirvis 2 =0.
Apsvērsim katra šāda veida vienādojumu risināšanu.
Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 +c=0 \(c \neq 0 \), pārvietojiet tā brīvo terminu uz labo pusi un sadaliet abas vienādojuma puses ar a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Labā bultiņa x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Kopš \(c \neq 0 \), tad \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Ja \(-\frac(c)(a)>0\), tad vienādojumam ir divas saknes.
Ja \(-\frac(c)(a) Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 +bx=0 ar \(b \neq 0 \) koeficientu, tā kreiso pusi un iegūt vienādojumu
\(x(ax+b)=0 \Labā bultiņa \left\( \begin(masīvs)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masīvs) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masīvs)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masīvs) \pa labi. \)
Tas nozīmē, ka nepilnīgam kvadrātvienādojumam formā ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) vienmēr ir divas saknes.
Nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 =0 ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 =0, un tāpēc tam ir viena sakne 0.
Kvadrātvienādojuma sakņu formula
Tagad apskatīsim, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, kuros gan nezināmo koeficienti, gan brīvais termins nav nulle.
Atrisināsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā un rezultātā iegūstam sakņu formulu. Pēc tam šo formulu var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.
Atrisiniet kvadrātvienādojumu ax 2 +bx+c=0
Sadalot abas puses ar a, iegūstam ekvivalentu reducētu kvadrātvienādojumu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Pārveidosim šo vienādojumu, izvēloties binoma kvadrātu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \labā bultiņa \)
Radikālo izteiksmi sauc kvadrātvienādojuma diskriminants ax 2 +bx+c=0 (“diskriminants” latīņu valodā – diskriminators). To apzīmē ar burtu D, t.i.
\(D = b^2-4ac\)
Tagad, izmantojot diskriminējošo apzīmējumu, mēs pārrakstām kvadrātvienādojuma sakņu formulu:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)
Ir skaidrs, ka:
1) Ja D>0, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.
2) Ja D=0, tad kvadrātvienādojumam ir viena sakne \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ja D Tātad, atkarībā no diskriminanta vērtības, kvadrātvienādojumam var būt divas saknes (ja D > 0), viena sakne (ja D = 0) vai nav sakņu (D Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot š. formulu, ieteicams rīkoties šādi:
1) aprēķināt diskriminantu un salīdzināt to ar nulli;
2) ja diskriminants ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, tad izmanto saknes formulu, ja diskriminants ir negatīvs, tad pierakstiet, ka nav sakņu.
Vietas teorēma
Dotajam kvadrātvienādojumam ax 2 -7x+10=0 ir saknes 2 un 5. Sakņu summa ir 7, un reizinājums ir 10. Redzam, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts no pretējā zīme, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Jebkuram samazinātam kvadrātvienādojumam, kuram ir saknes, ir šī īpašība.
Iepriekš minētā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.
Tie. Vietas teorēma nosaka, ka reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +px+q=0 saknēm x 1 un x 2 ir īpašība:
\(\left\( \begin(masīvs)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masīvs) \right. \)
Kvadrātvienādojumi bieži parādās, risinot dažādus uzdevumus fizikā un matemātikā. Šajā rakstā mēs aplūkosim, kā šīs vienlīdzības atrisināt universālā veidā “izmantojot diskriminantu”. Rakstā sniegti arī iegūto zināšanu izmantošanas piemēri.
Par kādiem vienādojumiem mēs runāsim?
Zemāk redzamajā attēlā parādīta formula, kurā x ir nezināms mainīgais un latīņu simboli a, b, c apzīmē dažus zināmus skaitļus.
Katru no šiem simboliem sauc par koeficientu. Kā redzat, skaitlis "a" parādās pirms mainīgā x kvadrātā. Šī ir attēlotās izteiksmes maksimālā jauda, tāpēc to sauc par kvadrātvienādojumu. Bieži tiek izmantots arī cits tā nosaukums: otrās kārtas vienādojums. Pati vērtība a ir kvadrātveida koeficients (stāv ar mainīgo kvadrātā), b ir lineārais koeficients (tas atrodas blakus mainīgajam, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei), un, visbeidzot, skaitlis c ir brīvais termins.
Ņemiet vērā, ka attēlā redzamais vienādojuma veids ir vispārīga klasiska kvadrātiskā izteiksme. Papildus tam ir arī citi otrās kārtas vienādojumi, kuros koeficienti b un c var būt nulle.
Kad uzdevums ir uzstādīts, lai atrisinātu attiecīgo vienādību, tas nozīmē, ka ir jāatrod tādas mainīgā x vērtības, kas to apmierinātu. Pirmā lieta, kas jums šeit jāatceras, ir nākamā lieta: tā kā X maksimālā jauda ir 2, tad šis tips izteiksmēm nevar būt vairāk par 2 risinājumiem. Tas nozīmē, ka, ja, risinot vienādojumu, tiek atrastas 2 x vērtības, kas to apmierina, tad varat būt pārliecināti, ka nav 3. skaitļa, aizstājot to ar x, arī vienādība būtu patiesa. Vienādojuma atrisinājumus matemātikā sauc par tā saknēm.
Otrās kārtas vienādojumu risināšanas metodes
Lai atrisinātu šāda veida vienādojumus, ir jāzina kāda teorija par tiem. Skolas algebras kursā viņi uzskata 4 dažādas metodes risinājumus. Uzskaitīsim tos:
- izmantojot faktorizēšanu;
- izmantojot perfekta kvadrāta formulu;
- pielietojot atbilstošās kvadrātfunkcijas grafiku;
- izmantojot diskriminanta vienādojumu.
Pirmās metodes priekšrocība ir tās vienkāršība, taču to nevar izmantot visiem vienādojumiem. Otrā metode ir universāla, bet nedaudz apgrūtinoša. Trešā metode atšķiras ar tās skaidrību, taču tā ne vienmēr ir ērta un piemērojama. Un visbeidzot, diskriminējošā vienādojuma izmantošana ir universāls un diezgan vienkāršs veids, kā atrast absolūti jebkura otrās kārtas vienādojuma saknes. Tāpēc šajā rakstā mēs apsvērsim tikai to.
Formula vienādojuma sakņu iegūšanai
Pievērsīsimies vispārējais izskats kvadrātvienādojums. Pierakstīsim: a*x²+ b*x + c =0. Pirms izmantot metodi, lai to atrisinātu “izmantojot diskriminantu”, jums vienmēr ir jāievieš vienlīdzība tās rakstiskajā formā. Tas ir, tam jāsastāv no trim vārdiem (vai mazāk, ja b vai c ir 0).
Piemēram, ja ir izteiksme: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tad vispirms ir jāpārvieto visi tās termini uz vienu vienādības pusi un jāpievieno termini, kas satur mainīgo x. tās pašas pilnvaras.
Šajā gadījumā šī darbība novedīs pie šādas izteiksmes: -6*x²-4*x+8=0, kas ir ekvivalents vienādojumam 6*x²+4*x-8=0 (šeit mēs reizinām kreiso un vienādības labās puses ar -1) .
Iepriekš minētajā piemērā a = 6, b = 4, c = -8. Ņemiet vērā, ka visi aplūkojamās vienādības termini vienmēr tiek summēti kopā, tāpēc, ja parādās zīme “-”, tas nozīmē, ka attiecīgais koeficients ir negatīvs, tāpat kā šajā gadījumā skaitlis c.
Izpētījuši šo punktu, pāriesim pie pašas formulas, kas ļauj iegūt kvadrātvienādojuma saknes. Tas izskatās kā tas, kas parādīts zemāk esošajā fotoattēlā.
Kā redzams no šī izteiciena, tas ļauj iegūt divas saknes (pievērsiet uzmanību zīmei “±”). Lai to izdarītu, pietiek ar to aizstāt koeficientus b, c un a.
Diskriminanta jēdziens
Iepriekšējā rindkopā tika dota formula, kas ļauj ātri atrisināt jebkuru otrās kārtas vienādojumu. Tajā radikālo izteiksmi sauc par diskriminantu, tas ir, D = b²-4*a*c.
Kāpēc šī formulas daļa ir izcelta un kāpēc tai pat ir savs nosaukums? Fakts ir tāds, ka diskriminants savieno visus trīs vienādojuma koeficientus vienā izteiksmē. Pēdējais fakts nozīmē, ka tas pilnībā satur informāciju par saknēm, ko var izteikt šādā sarakstā:
- D>0: Vienādībai ir 2 dažādi risinājumi, kuri abi ir reāli skaitļi.
- D=0: vienādojumam ir tikai viena sakne, un tas ir reāls skaitlis.
Diskriminantu noteikšanas uzdevums
Sniegsim vienkāršu piemēru, kā atrast diskriminantu. Pieņemsim šādu vienādību: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Ņemsim to uz standarta formu, iegūstam: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, no kā mēs nonākam pie vienādības : -2*x² +2*x-11 = 0. Šeit a=-2, b=2, c=-11.
Tagad varat izmantot iepriekš minēto formulu diskriminantam: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Iegūtais skaitlis ir atbilde uz uzdevumu. Tā kā piemērā diskriminants mazāks par nulli, tad mēs varam teikt, ka šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu. Tā risinājums būs tikai kompleksa tipa skaitļi.
Piemērs nevienlīdzībai, izmantojot diskriminantu
Atrisināsim nedaudz cita veida uzdevumus: pie vienādības -3*x²-6*x+c = 0. Jāatrod c vērtības, kurām D>0.
Šajā gadījumā ir zināmi tikai 2 no 3 koeficientiem, tāpēc nav iespējams precīzi aprēķināt diskriminanta vērtību, taču ir zināms, ka tā ir pozitīva. Sastādot nevienlīdzību, mēs izmantojam pēdējo faktu: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Atrisinot iegūto nevienādību, tiek iegūts rezultāts: c>-3.
Pārbaudīsim iegūto skaitli. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām D 2 gadījumiem: c=-2 un c=-4. Skaitlis -2 apmierina iegūto rezultātu (-2>-3), atbilstošajam diskriminantam būs vērtība: D = 12>0. Savukārt skaitlis -4 neapmierina nevienādību (-4. Tādējādi visi skaitļi c, kas ir lielāki par -3, apmierinās nosacījumu.
Vienādojuma risināšanas piemērs
Iesniegsim problēmu, kas ietver ne tikai diskriminanta atrašanu, bet arī vienādojuma atrisināšanu. Ir jāatrod saknes vienādībai -2*x²+7-9*x = 0.
Šajā piemērā diskriminants ir vienāds ar šādu vērtību: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tad vienādojuma saknes nosaka šādi: x = (9±√137)/(- 4). Šis precīzas vērtības saknes, ja aprēķina sakni aptuveni, tad iegūst skaitļus: x = -5,176 un x = 0,676.
Ģeometriskā problēma
Risināsim uzdevumu, kas prasīs ne tikai spēju aprēķināt diskriminantu, bet arī izmantot abstraktās domāšanas prasmes un zināšanas, kā rakstīt kvadrātvienādojumus.
Bobam bija 5x4 metru sega. Zēns gribēja piešūt tai nepārtrauktu skaista auduma sloksni pa visu perimetru. Cik bieza būs šī sloksne, ja mēs zinām, ka Bobam ir 10 m² auduma.
Lai strēmeles biezums ir x m, tad auduma laukums gar segas garo malu būs (5+2*x)*x, un tā kā ir 2 garās malas, mums ir: 2*x *(5+2*x). Īsajā pusē šūtā auduma laukums būs 4*x, jo ir 2 no šīm pusēm, mēs iegūstam vērtību 8*x. Ņemiet vērā, ka vērtība 2*x tika pievienota garajai pusei, jo segas garums palielinājās par šo skaitli. Pie segas piešūtā auduma kopējā platība ir 10 m². Tādējādi mēs iegūstam vienādību: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Šajā piemērā diskriminants ir vienāds ar: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Tā sakne ir 22. Izmantojot formulu, atrodam vajadzīgās saknes: x = (-18±22)/( 2*4) = (-5; 0,5). Acīmredzot no abām saknēm tikai skaitlis 0,5 ir piemērots atbilstoši problēmas apstākļiem.
Tādējādi auduma sloksne, ko Bobs piešuj pie savas segas, būs 50 cm plata.
Vairāk vienkāršā veidā. Lai to izdarītu, iekavās ievietojiet z. Iegūsiet: z(аz + b) = 0. Koeficientus var uzrakstīt: z=0 un аz + b = 0, jo abi var rezultēties ar nulli. Apzīmējumā az + b = 0 mēs pārvietojam otro pa labi ar citu zīmi. No šejienes mēs iegūstam z1 = 0 un z2 = -b/a. Tās ir oriģināla saknes.
Ja ir nepilnīgs vienādojums formā az² + c = 0, šajā gadījumā tos atrod, vienkārši pārvietojot brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi. Mainiet arī tā zīmi. Rezultāts būs az² = -с. Izteikt z² = -c/a. Paņemiet sakni un pierakstiet divus risinājumus - pozitīvo un negatīvo kvadrātsakni.
Piezīme
Ja vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, reiziniet visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai atbrīvotos no daļām.
Kvadrātvienādojumu risināšanas zināšanas ir nepieciešamas gan skolēniem, gan studentiem, dažkārt tas var palīdzēt arī pieaugušajam ikdienas dzīvē. Ir vairākas specifiskas risināšanas metodes.
Kvadrātvienādojumu risināšana
Kvadrātvienādojums formā a*x^2+b*x+c=0. Koeficients x ir vēlamais mainīgais, a, b, c ir skaitliskie koeficienti. Atcerieties, ka "+" zīme var mainīties uz "-" zīmi.Lai atrisinātu šo vienādojumu, ir jāizmanto Vietas teorēma vai jāatrod diskriminants. Visizplatītākā metode ir atrast diskriminantu, jo dažām a, b, c vērtībām nav iespējams izmantot Vietas teorēmu.
Lai atrastu diskriminantu (D), jāuzraksta formula D=b^2 - 4*a*c. D vērtība var būt lielāka par, mazāka par nulli vai vienāda ar nulli. Ja D ir lielāks vai mazāks par nulli, tad būs divas saknes, ja D = 0, tad paliek tikai viena sakne, precīzāk var teikt, ka D šajā gadījumā ir divas līdzvērtīgas saknes. Formulā aizstāj zināmos koeficientus a, b, c un aprēķini vērtību.
Kad esat atradis diskriminantu, izmantojiet formulas, lai atrastu x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kur sqrt ir funkcija, kas nozīmē kvadrātsaknes ņemšanu dotais numurs. Pēc šo izteiksmju aprēķināšanas jūs atradīsit divas sava vienādojuma saknes, pēc kurām vienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu.
Ja D ir mazāks par nulli, tad tam joprojām ir saknes. Skolā šajā sadaļā praktiski nav pētīta. Universitātes studentiem ir jāzina, ka zem saknes parādās negatīvs skaitlis. Viņi no tā atbrīvojas, izceļot iedomāto daļu, tas ir, -1 zem saknes vienmēr ir vienāds ar iedomāto elementu “i”, kas tiek reizināts ar sakni ar tādu pašu pozitīvo skaitli. Piemēram, ja D=sqrt(-20), pēc transformācijas iegūstam D=sqrt(20)*i. Pēc šīs transformācijas vienādojuma atrisināšana tiek reducēta uz tādu pašu sakņu atrašanu, kā aprakstīts iepriekš.
Vietas teorēma sastāv no x(1) un x(2) vērtību izvēles. Tiek izmantoti divi identiski vienādojumi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Un ļoti svarīgs punkts ir zīme koeficienta b priekšā, atcerieties, ka šī zīme ir pretēja vienādojuma zīmei. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka aprēķināt x(1) un x(2) ir ļoti vienkārši, taču risinot nāksies saskarties ar faktu, ka būs jāizvēlas skaitļi.
Kvadrātvienādojumu risināšanas elementi
Saskaņā ar matemātikas likumiem dažus var faktorizēt: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ja izdevās konvertēt, izmantojot matemātiskās formulas Līdzīgā veidā dots kvadrātvienādojums, tad droši pierakstiet atbildi. x(1) un x(2) būs vienādi ar blakus esošajiem koeficientiem iekavās, bet ar pretēju zīmi.Tāpat neaizmirstiet par nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem. Iespējams, ka jums trūkst dažu terminu; ja tā, tad visi tā koeficienti ir vienkārši vienādi ar nulli. Ja x^2 vai x priekšā nav nekā, tad koeficienti a un b ir vienādi ar 1.
Šī tēma sākumā var šķist sarežģīta daudzo ne pārāk vienkāršo formulu dēļ. Pašiem kvadrātvienādojumiem ir ne tikai gari apzīmējumi, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Kopumā tiek iegūtas trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc šādu vienādojumu biežas risināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.
Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats
Šeit mēs piedāvājam to skaidru ierakstu, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad noteikumi ir pretrunīgi. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.
Ieviesīsim dažus apzīmējumus. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.
Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.
Turklāt koeficients a ≠ 0. Lai šī formula ir numur viens.
Kad ir dots vienādojums, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:
- šķīdumam būs divas saknes;
- atbilde būs viens skaitlis;
- vienādojumam vispār nebūs sakņu.
Un, kamēr lēmums nav galīgs, ir grūti saprast, kurš variants parādīsies konkrētajā gadījumā.
Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi
Uzdevumos var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies vispārējā formula kvadrātvienādojums. Dažreiz tajā pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.
Turklāt var pazust tikai termini ar koeficientiem “b” un “c”. Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula pārvēršas par lineāru vienādojumu. Nepilnīgas vienādojumu formas formulas būs šādas:
Tātad ir tikai divi veidi; papildus pilnīgiem ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Ļaujiet pirmajai formulai būt divi, bet otrajai - trīs.
Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības
Šis skaitlis ir jāzina, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs ceturtais numurs.
Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā jūs varat iegūt skaitļus ar dažādas zīmes. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Plkst negatīvs skaitlis trūks kvadrātvienādojuma saknes. Ja tas ir vienāds ar nulli, būs tikai viena atbilde.
Kā atrisināt pilnīgu kvadrātvienādojumu?
Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un ir zināms to skaits, jums ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, jums jāpiemēro šāda formula.
Tā kā tajā ir zīme “±”, būs divas vērtības. Izteiciens zem kvadrātsaknes zīmes ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt savādāk.
Piektā formula. No tā paša ieraksta ir skaidrs, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.
Ja risinājums kvadrātvienādojumi vēl nav izstrādāts, pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.
Kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu?
Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat nav vajadzīgas papildu formulas. Un tie, kas jau pierakstīti diskriminējošajam un nezināmajam, nebūs vajadzīgi.
Vispirms apskatīsim nepilnīgo vienādojumu numur divi. Šajā vienādībā ir jāizņem nezināmais daudzums no iekavām un jāatrisina lineārais vienādojums, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir reizinātājs, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūsim, atrisinot lineāru vienādojumu.
Nepilns vienādojums numurs trīs tiek atrisināts, pārvietojot skaitli no vienādības kreisās puses uz labo pusi. Tad jums jādala ar koeficientu, kas vērsts pret nezināmo. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un atcerēties to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.
Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdzēs jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības var izraisīt sliktas atzīmes, apgūstot plašo tēmu “Kvadrātvienādojumi (8. klase).” Pēc tam šīs darbības nebūs jāveic pastāvīgi. Jo parādīsies stabila prasme.
- Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes, un pēdējais - tikai skaitlis.
- Ja pirms koeficienta “a” parādās mīnuss, tas var sarežģīt darbu iesācējam, kas studē kvadrātvienādojumus. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar “-1”. Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.
- Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.
Piemēri
Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
Pirmais vienādojums: x 2 − 7x = 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tiek atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.
Izņemot to no iekavām, izrādās: x (x - 7) = 0.
Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 = 0. Otro tiks atrasts no lineārā vienādojuma: x - 7 = 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 = 7.
Otrais vienādojums: 5x 2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.
Pēc 30 pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Trešais vienādojums: 15 − 2x − x 2 = 0. Šeit un turpmāk kvadrātvienādojumu risināšana sāksies, pārrakstot tos standarta formā: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens. Izrādās x 2 + 2x - 15 = 0. Izmantojot ceturto formulu, jums jāaprēķina diskriminants: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No tā, kas teikts iepriekš, izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie ir jāaprēķina, izmantojot piekto formulu. Izrādās, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 = 3, x 2 = - 5.
Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x = 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 = 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."
Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Sestais vienādojums (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka jāienes līdzīgi termini, vispirms atverot iekavas. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc tam, kad būs saskaitīti līdzīgi vārdi, vienādojums būs šādā formā: x 2 - x = 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Kaut kas līdzīgs šim jau ir apspriests nedaudz augstāk. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.
Notiek ielāde...