Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Turpmāk “KU”. Draugi, šķiet, ka matemātikā nevar būt nekā vienkāršāka par šāda vienādojuma atrisināšanu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik daudz seansu pēc pieprasījuma mēnesī sniedz Yandex. Lūk, kas notika, skatieties:
Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, kāds tam sakars ar vasaru un kas notiks mācību gada laikā - būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas vienotajam valsts eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.
Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī sniegt savu ieguldījumu un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni, pamatojoties uz šo pieprasījumu; otrkārt, citos rakstos, kad uznāks tēma “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:
Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:
kur koeficienti a,bun c ir patvaļīgi skaitļi ar a≠0.
Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumi ir sadalīti trīs klasēs:
1. Viņiem ir divas saknes.
2. *Ir tikai viena sakne.
3. Viņiem nav sakņu. Šeit ir īpaši vērts atzīmēt, ka tiem nav īstu sakņu
Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!
Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī “briesmīgā” vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:
Sakņu formulas ir šādas:
*Šīs formulas jāzina no galvas.
Jūs varat nekavējoties pierakstīt un atrisināt:
Piemērs:
1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.
2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.
3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Apskatīsim vienādojumu:
Šajā sakarā, kad diskriminants ir vienāds ar nulli, skolas kurss saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Viss ir pareizi, tā ir, bet...
Šī ideja ir nedaudz nepareiza. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, jūs iegūstat divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, atbildē ir jāraksta divas saknes:
x 1 = 3 x 2 = 3
Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā to var pierakstīt un teikt, ka ir viena sakne.
Tagad nākamais piemērs:
Kā zināms, negatīva skaitļa sakni nevar ņemt, tāpēc risinājumi iekšā šajā gadījumā Nē.
Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.
Kvadrātiskā funkcija.
Tas parāda, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).
Šī ir formas funkcija:
kur x un y ir mainīgie
a, b, c – doti skaitļi, ar a ≠ 0
Grafiks ir parabola:
Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar “y”, kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) un neviens (diskriminants ir negatīvs). Sīkāka informācija par kvadrātiskā funkcija Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.
Apskatīsim piemērus:
1. piemērs: Atrisiniet 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Atbilde: x 1 = 8 x 2 = –12
*Varēja uzreiz dalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.
2. piemērs: Izlemiet x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2–4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0
Mēs noskaidrojām, ka x 1 = 11 un x 2 = 11
Atbildē atļauts rakstīt x = 11.
Atbilde: x = 11
3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224
Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.
Atbilde: nav risinājuma
Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!
Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā; šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.
Kompleksā skaitļa jēdziens.
Nedaudz teorijas.
Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis
z = a + bi
kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.
a+bi – tas ir VIENS SKAITS, nevis papildinājums.
Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:
Tagad apsveriet vienādojumu:
Mēs iegūstam divas konjugētas saknes.
Nepilns kvadrātvienādojums.
Apskatīsim īpašus gadījumus, kad koeficients “b” vai “c” ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tos var viegli atrisināt bez jebkādiem diskriminācijas līdzekļiem.
1. gadījums. Koeficients b = 0.
Vienādojums kļūst:
Pārveidosim:
Piemērs:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
2. gadījums. Koeficients c = 0.
Vienādojums kļūst:
Pārveidosim un faktorinizēsim:
* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.
Piemērs:
9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.
Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.
Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.
Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.
Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv
a + b+ c = 0, Tas
- ja vienādojuma koeficientiem Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv
a+ s =b, Tas
Šīs īpašības palīdz izlemt noteiktu veidu vienādojumi
1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Likmes summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kas nozīmē
2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Vienlīdzība ir spēkā a+ s =b, Līdzekļi
Koeficientu likumsakarības.
1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Ja vienādojumā ax 2 – bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Ja vienād. ax 2 + bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Ja vienādojumā ax 2 – bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients c skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vietas teorēma.
Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, varam izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Kopumā skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.
Vietas teorēma, turklāt. ērti, jo pēc atrisināšanas kvadrātvienādojums iegūtās saknes var pārbaudīt parastajā veidā (izmantojot diskriminantu). Es iesaku to darīt vienmēr.
TRANSPORTĒŠANAS METODE
Ar šo metodi koeficients “a” tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam “uzmests”, tāpēc to sauc "pārsūtīšanas" metode.Šo metodi izmanto, ja jūs varat viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.
Ja A± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Izmantojot Vietas teorēmu (2) vienādojumā, ir viegli noteikt, ka x 1 = 10 x 2 = 1
Iegūtās vienādojuma saknes ir jādala ar 2 (jo abi tika “izmesti” no x 2), mēs iegūstam
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.
(1) un (2) vienādojumu diskriminanti ir vienādi:
Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, jūs iegūstat tikai dažādus saucējus, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta x 2:
Otrajam (modificētajam) ir 2 reizes lielākas saknes.
Tāpēc rezultātu dalām ar 2.
*Ja pārrullēsim trīs, rezultātu dalīsim ar 3 utt.
Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5
kv. ur-ie un vienotais valsts eksāmens.
Īsi pastāstīšu par tā nozīmi - IR JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu un diskriminējošo faktoru formulas jāzina no galvas. Daudzas no problēmām, kas iekļautas vienotā valsts eksāmena uzdevumos, ir saistītas ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).
Kaut kas ievērības cienīgs!
1. Vienādojuma rakstīšanas forma var būt “netieša”. Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:
15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 -5x + 10x 2 = 0.
Jums tas jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).
2. Atcerieties, ka x ir nezināms lielums un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.
Strādāsim ar kvadrātvienādojumi. Šie ir ļoti populāri vienādojumi! Pašā vispārējs skats kvadrātvienādojums izskatās šādi:
Piemēram:
Šeit A =1; b = 3; c = -4
Šeit A =2; b = -0,5; c = 2,2
Šeit A =-3; b = 6; c = -18
Nu tu saproti...
Kā atrisināt kvadrātvienādojumus? Ja jūsu priekšā ir kvadrātvienādojums šajā formā, tad viss ir vienkārši. Atcerieties burvju vārdu diskriminējošs . Reti kurš vidusskolnieks nav dzirdējis šo vārdu! Frāze “mēs risinām, izmantojot diskriminējošu līdzekli” iedvesmo pārliecību un pārliecību. Jo nav jāgaida triki no diskriminētāja! Tas ir vienkārši un bez problēmām lietojams. Tātad kvadrātvienādojuma sakņu atrašanas formula izskatās šādi:
Izteiciens zem saknes zīmes ir viens diskriminējošs. Kā redzat, lai atrastu X, mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi nomainiet vērtības a, b un cŠī ir formula, kuru mēs aprēķinām. Aizstāsim ar savām zīmēm! Piemēram, pirmajam vienādojumam A =1; b = 3; c= -4. Šeit mēs to pierakstām:
Piemērs ir gandrīz atrisināts:
Tas ir viss.
Kādi gadījumi ir iespējami, izmantojot šo formulu? Ir tikai trīs gadījumi.
1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka no tā var iegūt sakni. Tas, vai sakne ir iegūta labi vai slikti, ir cits jautājums. Svarīgi ir tas, kas tiek izvilkts principā. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.
2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Stingri sakot, tā nav viena sakne, bet gan divi identiski. Bet tam ir nozīme nevienlīdzībā, kur mēs šo jautājumu pētīsim sīkāk.
3. Diskriminants ir negatīvs. Negatīvā skaitļa kvadrātsakni nevar ņemt. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.
Viss ir ļoti vienkārši. Un ko, jūs domājat, ka nav iespējams kļūdīties? Nu jā, kā...
Biežākās kļūdas ir sajaukšana ar zīmju vērtībām a, b un c. Vai drīzāk nevis ar to zīmēm (kur apjukt?), bet ar negatīvu vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit palīdz detalizēts formulas ieraksts ar konkrētiem skaitļiem. Ja rodas problēmas ar aprēķiniem, izdari to!
Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:
Šeit a = -6; b = -5; c = -1
Pieņemsim, ka zināt, ka reti saņemat atbildes pirmajā reizē.
Nu neesi slinks. Papildu rindas rakstīšana aizņems apmēram 30 sekundes.Un kļūdu skaits strauji samazināsies. Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:
Šķiet neticami grūti tik rūpīgi izrakstīt. Bet tā tikai šķiet. Pamēģināt. Nu, vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātri vai pareizi? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika vairs nevajadzēs tik rūpīgi visu pierakstīt. Tas izdosies pats no sevis. It īpaši, ja izmantojat praktiskus paņēmienus, kas aprakstīti tālāk. Šo ļauno piemēru ar daudziem mīnusiem var atrisināt viegli un bez kļūdām!
Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu, ko atcerējāmies. Vai arī viņi iemācījās, kas arī ir labi. Jūs zināt, kā pareizi noteikt a, b un c. Vai jūs zināt, kā? uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Vai tu to saprati atslēgvārdsŠeit - uzmanīgi?
Tomēr kvadrātvienādojumi bieži izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:
Šis nepilnīgi kvadrātvienādojumi . Tos var arī atrisināt, izmantojot diskriminantu. Jums tikai pareizi jāsaprot, ar ko viņi šeit ir vienādi. a, b un c.
Vai esat to izdomājuši? Pirmajā piemērā a = 1; b = -4; A c? Tā tur nemaz nav! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c = 0 ! Tas ir viss. Tā vietā formulā aizstājiet nulli c, un mums izdosies. Tas pats ar otro piemēru. Tikai mums šeit nav nulles Ar, A b !
Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vienkāršāk. Bez jebkādas diskriminācijas. Apskatīsim pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko jūs varat darīt kreisajā pusē? Jūs varat izņemt X no iekavām! Izņemsim ārā.
Un kas no šī? Un tas, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici man? Labi, tad izdomājiet divus skaitļus, kas nav nulle, kurus reizinot, tiks iegūta nulle!
Nestrādā? Tieši tā...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x = 0, vai x = 4
Visi. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi ir piemēroti. Aizvietojot kādu no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 = 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā izmantojot diskriminantu.
Otro vienādojumu var atrisināt arī vienkārši. Pārvietojiet 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:
Atliek tikai izvilkt sakni no 9, un viss. Izrādīsies:
Arī divas saknes . x = +3 un x = -3.
Šādi tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu ievietojot X no iekavām, vai vienkārši pārvietojot skaitli pa labi un pēc tam izvelkot sakni.
Šīs metodes ir ārkārtīgi grūti sajaukt. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā būs jāizvelk X sakne, kas ir kaut kā nesaprotama, un otrajā gadījumā nav ko izņemt no iekavām...
Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Tie paši, kas ir neuzmanības dēļ... Par ko vēlāk kļūst sāpīgi un aizvainojoši...
Pirmā tikšanās. Neesiet slinks pirms kvadrātvienādojuma atrisināšanas un izveidojiet to standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc visām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:
Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms X kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais termiņš. Kā šis:
Un atkal nesteidzieties! Mīnuss X kvadrāta priekšā var jūs patiešām apbēdināt. To ir viegli aizmirst... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīja iepriekšējā tēmā! Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:
Bet tagad var droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru risināt. Izlemiet paši. Tagad jums vajadzētu būt saknēm 2 un -1.
Uzņemšana otrā. Pārbaudiet saknes! Saskaņā ar Vietas teorēmu. Nebaidies, es visu paskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. ar kuru mēs pierakstījām saknes formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a = 1, pārbaudīt saknes ir viegli. Pietiek tos pavairot. Rezultātā vajadzētu būt bezmaksas dalībniekam, t.i. mūsu gadījumā -2. Lūdzu, ņemiet vērā, nevis 2, bet -2! Bezmaksas dalībnieks ar savu zīmi
. Ja tas neizdodas, tas nozīmē, ka viņi jau ir kaut kur sabojājušies. Meklējiet kļūdu. Ja tas darbojas, jums jāpievieno saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Koeficientam jābūt b Ar pretī
pazīstami. Mūsu gadījumā -1+2 = +1. Koeficients b, kas ir pirms X, ir vienāds ar -1. Tātad, viss ir pareizi!
Žēl, ka tas ir tik vienkārši tikai piemēriem, kur x kvadrātā ir tīrs, ar koeficientu a = 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Kļūdu būs arvien mazāk.
Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucēju, kā aprakstīts iepriekšējā sadaļā. Strādājot ar daļskaitļiem, kļūdas nez kāpēc piezogas...
Starp citu, es solīju vienkāršot ļauno piemēru ar mīnusiem. Lūdzu! Šeit viņš ir.
Lai neapjuktu mīnusos, vienādojumu reizinām ar -1. Mēs iegūstam:
Tas ir viss! Risināt ir prieks!
Tātad, apkoposim tēmu.
1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu izveidojam standarta formā un izveidojam Pa labi.
2. Ja X kvadrātā priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.
3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.
4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, atrisinājumu var viegli pārbaudīt, izmantojot Vietas teorēmu. Izdari to!
Frakcionālie vienādojumi. ODZ.
Mēs turpinām apgūt vienādojumus. Mēs jau zinām, kā strādāt ar lineāriem un kvadrātvienādojumiem. Pēdējais skats palicis - daļskaitļu vienādojumi. Vai arī viņus sauc daudz cienījamāk - frakcionēti racionālie vienādojumi. Tas ir tas pats.
Frakcionālie vienādojumi.
Kā norāda nosaukums, šajos vienādojumos noteikti ir daļskaitļi. Bet ne tikai frakcijas, bet frakcijas, kurām ir saucējā nezināms. Vismaz vienā. Piemēram:
Atgādināšu, ja saucēji ir tikai cipariem, tie ir lineāri vienādojumi.
Kā izlemt daļskaitļu vienādojumi? Pirmkārt, atbrīvojieties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas lineārā vai kvadrātiskā. Un tad mēs zinām, ko darīt... Dažos gadījumos tas var pārvērsties par identitāti, piemēram, 5=5 vai nepareizu izteiksmi, piemēram, 7=2. Bet tas notiek reti. Es to pieminēšu zemāk.
Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Piemērojot tās pašas identiskās transformācijas.
Mums jāreizina viss vienādojums ar to pašu izteiksmi. Lai visi saucēji tiek samazināti! Viss uzreiz kļūs vieglāk. Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru. Ļaujiet mums atrisināt vienādojumu:
Kā tevi mācīja pamatskolā? Pārceļam visu uz vienu pusi, savedām pie kopsaucēja utt. Aizmirsti kā šausmīgs sapnis! Tas ir jādara, pievienojot vai atņemot daļskaitļus. Vai arī jūs strādājat ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs uzreiz reizinām abas puses ar izteiksmi, kas dos mums iespēju samazināt visus saucējus (t.i., pēc būtības, ar kopsaucēju). Un kas ir šis izteiciens?
Kreisajā pusē, lai samazinātu saucēju, ir jāreizina ar x+2. Un labajā pusē ir jāreizina ar 2. Tas nozīmē, ka vienādojums jāreizina ar 2(x+2). Reizināt:
Tas ir izplatīts daļskaitļu reizinājums, taču es to aprakstīšu sīkāk:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka es vēl neatveru kronšteinu (x + 2)! Tātad kopumā es to rakstu:
Kreisajā pusē tas pilnībā saraujas (x+2), un labajā pusē 2. Kas bija tas, kas bija vajadzīgs! Pēc samazināšanas mēs iegūstam lineārs vienādojums:
Un katrs var atrisināt šo vienādojumu! x = 2.
Atrisināsim citu piemēru, nedaudz sarežģītāku:
Ja atceramies, ka 3 = 3/1, un 2x = 2x/ 1, mēs varam rakstīt:
Un atkal mēs atbrīvojamies no tā, kas mums īsti nepatīk - no frakcijām.
Mēs redzam, ka, lai samazinātu saucēju ar X, mums daļa jāreizina ar (x–2). Un daži mums nav šķērslis. Nu vairosim. Visi kreisā puse Un visi labā puse:
Atkal iekavas (x–2) Es neatklāju. Es strādāju ar kronšteinu kopumā tā, it kā tas būtu viens skaitlis! Tas ir jādara vienmēr, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.
Ar dziļa gandarījuma sajūtu mēs samazinām (x–2) un iegūstam vienādojumu bez daļskaitļiem, ar lineālu!
Tagad atvērsim iekavas:
Mēs atvedam līdzīgus, pārvietojam visu uz kreiso pusi un iegūstam:
Klasisks kvadrātvienādojums. Bet mīnuss priekšā nav labs. Jūs vienmēr varat no tā atbrīvoties, reizinot vai dalot ar -1. Bet, ja paskatās uzmanīgi uz piemēru, jūs ievērosiet, ka vislabāk ir dalīt šo vienādojumu ar -2! Vienā rāvienā mīnuss pazudīs, un izredzes kļūs pievilcīgākas! Sadaliet ar -2. Kreisajā pusē - termins pa vārdam, bet labajā pusē - vienkārši sadaliet nulli ar -2, nulli un mēs iegūstam:
Mēs atrisinām, izmantojot diskriminantu un pārbaudām, izmantojot Vietas teorēmu. Mēs saņemam x = 1 un x = 3. Divas saknes.
Kā redzat, pirmajā gadījumā vienādojums pēc transformācijas kļuva lineārs, bet šeit tas kļūst kvadrātisks. Gadās, ka pēc atbrīvošanās no frakcijām visi X tiek samazināti. Kaut kas paliek, piemēram, 5=5. Tas nozīmē, ka x var būt jebkas. Lai kas tas būtu, tas joprojām tiks samazināts. Un tā izrādās tīra patiesība, 5=5. Bet, atbrīvojoties no frakcijām, tas var izrādīties pilnīgi nepatiess, piemēram, 2=7. Un tas nozīmē to nekādu risinājumu! Jebkurš X izrādās nepatiess.
Saprata galvenais veids risinājumus daļskaitļu vienādojumi? Tas ir vienkārši un loģiski. Mēs mainām sākotnējo izteiksmi, lai pazustu viss, kas mums nepatīk. Vai arī tas traucē. Šajā gadījumā tās ir frakcijas. Mēs darīsim to pašu ar visu veidu sarežģīti piemēri ar logaritmiem, sinusiem un citām šausmām. Mēs Vienmēr Atbrīvosimies no šī visa.
Tomēr mums ir jāmaina sākotnējā izteiksme mums vajadzīgajā virzienā saskaņā ar noteikumiem, jā... Kuru meistarība ir gatavošanās Vienotajam valsts eksāmenam matemātikā. Tāpēc mēs to apgūstam.
Tagad mēs uzzināsim, kā apiet vienu no galvenās slazds par vienoto valsts eksāmenu! Bet vispirms paskatīsimies, vai jūs tajā iekrītat vai nē?
Apskatīsim vienkāršu piemēru:
Lieta jau pazīstama, reizinām abas puses ar (x–2), mēs iegūstam:
Es jums atgādinu, ar iekavām (x–2) Strādājam it kā ar vienu, integrālu izteiksmi!
Šeit es vairs vienu nerakstīju saucējos, tas ir necienīgi... Un es nevilku saucējos iekavas, izņemot x-2 nav nekā, nav jāzīmē. Saīsināsim:
Atveriet iekavas, pārvietojiet visu pa kreisi un ievadiet līdzīgas:
Atrisinām, pārbaudām, iegūstam divas saknes. x = 2 Un x = 3. Lieliski.
Pieņemsim, ka uzdevumā ir norādīts pierakstīt sakni vai to summu, ja ir vairāk nekā viena sakne. Ko mēs rakstīsim?
Ja jūs nolemjat, ka atbilde ir 5, jūs tika uzbrukti slazdam. Un uzdevums jums netiks ieskaitīts. Viņi strādāja veltīgi... Pareizā atbilde ir 3.
Kas noticis?! Un jūs mēģināt veikt pārbaudi. Aizstāt nezināmā vērtības ar oriģināls piemērs. Un ja plkst x = 3 viss brīnišķīgi saaugs, sanāk 9 = 9, tad kad x = 2 Tā būs dalīšana ar nulli! Ko jūs absolūti nevarat izdarīt. Līdzekļi x = 2 nav risinājums, un tas nav ņemts vērā atbildē. Šī ir tā sauktā svešā vai papildu sakne. Mēs to vienkārši izmetam. Pēdējā sakne ir viena. x = 3.
Kā tā?! – dzirdu sašutus izsaucienus. Mums mācīja, ka vienādojumu var reizināt ar izteiksmi! Šī ir identiska pārvērtība!
Jā, identiski. Plkst mazs stāvoklis- izteiksme, ar kuru mēs reizinām (dalām) - atšķiras no nulles. A x-2 plkst x = 2 vienāds ar nulli! Tātad viss ir godīgi.
Un ko es tagad varu darīt?! Vai nereizināt ar izteiksmi? Vai man vajadzētu pārbaudīt katru reizi? Atkal nav skaidrs!
mierīgi! Neļauties panikai!
Šajā sarežģītajā situācijā mūs izglābs trīs burvju burti. Es zinu, ko tu domā. Pa labi! Šis ODZ . Pieņemamo vērtību zona.
Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Cilvēks izmantoja vienādojumus senos laikos, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Diskriminants ļauj atrisināt jebkuru kvadrātvienādojumu, izmantojot vispārējā formula, kas izskatās šādi:
Diskriminanta formula ir atkarīga no polinoma pakāpes. Iepriekš minētā formula ir piemērota kvadrātvienādojumu risināšanai šāda veida:
Diskriminantam ir sekojošas īpašības lietas, kas jums jāzina:
* "D" ir 0, ja polinomam ir vairākas saknes ( vienādas saknes);
* "D" ir simetrisks polinoms attiecībā pret polinoma saknēm un tāpēc tā koeficientos ir polinoms; turklāt šī polinoma koeficienti ir veseli skaitļi neatkarīgi no paplašinājuma, kurā ņemtas saknes.
Pieņemsim, ka mums ir dots kvadrātvienādojums ar šādu formu:
1 vienādojums
Saskaņā ar formulu mums ir:
Kopš \ vienādojumam ir 2 saknes. Definēsim tos:
Kur es varu atrisināt vienādojumu, izmantojot diskriminējošu tiešsaistes risinātāju?
Jūs varat atrisināt vienādojumu mūsu vietnē https://site. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumus. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus risinātājā. Varat arī noskatīties video instrukcijas un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu mūsu vietnē.Un, ja jums ir kādi jautājumi, varat tos uzdot mūsu VKontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.
Vairāk vienkāršā veidā. Lai to izdarītu, iekavās ievietojiet z. Iegūsiet: z(аz + b) = 0. Koeficientus var uzrakstīt: z=0 un аz + b = 0, jo abi var rezultēties ar nulli. Apzīmējumā az + b = 0 mēs pārvietojam otro pa labi ar citu zīmi. No šejienes mēs iegūstam z1 = 0 un z2 = -b/a. Tās ir oriģināla saknes.
Ja ir nepilnīgs vienādojums formā az² + c = 0, šajā gadījumā tos atrod, vienkārši pārvietojot brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi. Mainiet arī tā zīmi. Rezultāts būs az² = -с. Izteikt z² = -c/a. Paņemiet sakni un pierakstiet divus risinājumus - pozitīvo un negatīvo kvadrātsakni.
Piezīme
Ja vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, reiziniet visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai atbrīvotos no daļām.
Kvadrātvienādojumu risināšanas zināšanas ir nepieciešamas gan skolēniem, gan studentiem, dažkārt tas var palīdzēt arī pieaugušajam ikdienas dzīvē. Ir vairākas specifiskas risināšanas metodes.
Kvadrātvienādojumu risināšana
Kvadrātvienādojums formā a*x^2+b*x+c=0. Koeficients x ir vēlamais mainīgais, a, b, c ir skaitliskie koeficienti. Atcerieties, ka "+" zīme var mainīties uz "-" zīmi.Lai atrisinātu šo vienādojumu, ir jāizmanto Vietas teorēma vai jāatrod diskriminants. Visizplatītākā metode ir atrast diskriminantu, jo dažām a, b, c vērtībām nav iespējams izmantot Vietas teorēmu.
Lai atrastu diskriminantu (D), jāuzraksta formula D=b^2 - 4*a*c. D vērtība var būt lielāka par, mazāka par nulli vai vienāda ar nulli. Ja D ir lielāks vai mazāks par nulli, tad būs divas saknes; ja D=0, tad paliek tikai viena sakne; precīzāk var teikt, ka D šajā gadījumā ir divas līdzvērtīgas saknes. Formulā aizstāj zināmos koeficientus a, b, c un aprēķini vērtību.
Kad esat atradis diskriminantu, izmantojiet formulas, lai atrastu x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kur sqrt ir funkcija, kas nozīmē ekstrakts kvadrātsakne no dotais numurs. Pēc šo izteiksmju aprēķināšanas jūs atradīsit divas sava vienādojuma saknes, pēc kurām vienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu.
Ja D ir mazāks par nulli, tad tam joprojām ir saknes. Skolā šajā sadaļā praktiski nav pētīta. Universitātes studentiem ir jāapzinās, kas notiek negatīvs skaitlis zem saknes. Viņi no tā atbrīvojas, izceļot iedomāto daļu, tas ir, -1 zem saknes vienmēr ir vienāds ar iedomāto elementu “i”, kas tiek reizināts ar sakni ar tādu pašu pozitīvo skaitli. Piemēram, ja D=sqrt(-20), pēc transformācijas iegūstam D=sqrt(20)*i. Pēc šīs transformācijas vienādojuma atrisināšana tiek reducēta uz tādu pašu sakņu atrašanu, kā aprakstīts iepriekš.
Vietas teorēma sastāv no x(1) un x(2) vērtību izvēles. Tiek izmantoti divi identiski vienādojumi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Un ļoti svarīgs punkts ir zīme koeficienta b priekšā, atcerieties, ka šī zīme ir pretēja vienādojuma zīmei. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka aprēķināt x(1) un x(2) ir ļoti vienkārši, taču risinot nāksies saskarties ar faktu, ka būs jāizvēlas skaitļi.
Kvadrātvienādojumu risināšanas elementi
Saskaņā ar matemātikas likumiem dažus var faktorizēt: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ja izdevās konvertēt, izmantojot matemātiskās formulas Līdzīgā veidā dots kvadrātvienādojums, tad droši pierakstiet atbildi. x(1) un x(2) būs vienādi ar blakus esošajiem koeficientiem iekavās, bet ar pretējā zīme.Tāpat neaizmirstiet par nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem. Iespējams, ka jums trūkst dažu terminu; ja tā, tad visi tā koeficienti ir vienkārši vienādi ar nulli. Ja x^2 vai x priekšā nav nekā, tad koeficienti a un b ir vienādi ar 1.
Es ceru, ka pēc šī raksta izpētes jūs uzzināsit, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.
Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti tikai pilnie kvadrātvienādojumi, nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsiet rakstā “Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana”.
Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pabeigtiem? Šis vienādojumi formā ax 2 + b x + c = 0, kur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnīgu kvadrātvienādojumu, mums jāaprēķina diskriminants D.
D = b 2 – 4ac.
Atkarībā no diskriminanta vērtības mēs pierakstīsim atbildi.
Ja diskriminants ir negatīvs skaitlis (D< 0),то корней нет.
Ja diskriminants ir nulle, tad x = (-b)/2a. Ja diskriminants ir pozitīvs skaitlis (D > 0),
tad x 1 = (-b - √D)/2a un x 2 = (-b + √D)/2a.
Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2– 4x + 4 = 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Atbilde: 2.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Atbilde: nav sakņu.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2–4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4 = 1
Atbilde: – 3,5; 1.
Tāpēc iedomāsimies pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, izmantojot diagrammu 1. attēlā.
Izmantojot šīs formulas, jūs varat atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu. Jums vienkārši jābūt uzmanīgiem, lai vienādojums tika uzrakstīts kā standarta formas polinoms
A x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 = 0, jūs varat kļūdaini izlemt, ka
a = 1, b = 3 un c = 2. Tad
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Skatiet iepriekš 2. piemēra risinājumu).
Tāpēc, ja vienādojums nav uzrakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms ir jāuzraksta pilns kvadrātvienādojums kā standarta formas polinoms (vienādojums ar lielāko eksponentu ir jābūt pirmajā vietā, tas ir A x 2 , tad ar mazāku – bx un tad bezmaksas biedrs Ar.
Atrisinot reducēto kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar pāra koeficientu otrajā termiņā, var izmantot citas formulas. Iepazīsimies ar šīm formulām. Ja pilnā kvadrātvienādojumā otrajam vārdam ir pāra koeficients (b = 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 2. attēlā.
Pilnu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + pikseļi + q = 0. Šādu vienādojumu var dot atrisinājumam, vai arī to var iegūt, visus vienādojuma koeficientus dalot ar koeficientu A, stāvot plkst x 2 .
3. attēlā parādīta diagramma samazinātā kvadrāta risināšanai 
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu pielietojuma piemēru.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 1. attēlā.
D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3
Var pamanīt, ka koeficients x šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b = 6 vai b = 2k, no kurienes k = 3. Pēc tam mēģināsim atrisināt vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas attēla D diagrammā. 1 = 3 2–3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3. Ievērojot, ka šajā kvadrātvienādojumā visi koeficienti dalās ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu x 2 + 2x – 2 = 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot reducētā kvadrātvienādojuma formulas 
vienādojumi 3. attēls.
D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = - 1 - √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3.
Kā redzam, risinot šo vienādojumu ar dažādas formulas mēs saņēmām tādu pašu atbildi. Tāpēc, rūpīgi apguvis 1. attēla diagrammā redzamās formulas, jūs vienmēr varēsiet atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu.
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.
Notiek ielāde...