Konvertere potenser til heltall. Hvordan heve et tall til negativ potens - eksempler med beskrivelser i Excel

Fra skolen kjenner vi alle regelen om eksponentiering: ethvert tall med eksponent N er lik resultatet av å multiplisere dette tallet med seg selv N antall ganger. Med andre ord, 7 i potensen 3 er 7 multiplisert med seg selv tre ganger, det vil si 343. En annen regel er at å heve en hvilken som helst mengde til 0, gir en, og å heve en negativ mengde er resultatet av vanlig heving til styrken hvis den er partall, og samme resultat med et minustegn hvis den er oddetall.

Reglene gir også svaret på hvordan man hever et tall til negativ grad. For å gjøre dette må du øke den nødvendige verdien med modulen til indikatoren på vanlig måte, og deretter dele enheten med resultatet.

Av disse reglene blir det klart at gjennomføringen reelle problemer håndtering av store mengder vil kreve tilgjengelighet tekniske midler. Manuelt kan du multiplisere med deg selv en maksimal rekkevidde av tall opp til tjue til tretti, og deretter ikke mer enn tre eller fire ganger. Dette er ikke å nevne å dele en på resultatet. Derfor, for de som ikke har en spesiell ingeniørkalkulator for hånden, vil vi fortelle deg hvordan du øker et tall til en negativ potens i Excel.

Løse problemer i Excel

For å løse problemer som involverer eksponentiering, lar Excel deg bruke ett av to alternativer.

Den første er bruken av en formel med et standard "lokk"-tegn. Skriv inn følgende data i regnearkcellene:

På samme måte kan du heve ønsket verdi til hvilken som helst potens - negativ, brøkdel. La oss gjøre det følgende handlinger og svar på spørsmålet om hvordan du hever et tall til en negativ potens. Eksempel:

Du kan korrigere =B2^-C2 direkte i formelen.

Det andre alternativet er å bruke den ferdige "Degree" -funksjonen, som tar to nødvendige argumenter - et tall og en eksponent. For å begynne å bruke det, legg bare likhetstegnet (=) i en hvilken som helst ledig celle, som indikerer begynnelsen av formelen, og skriv inn ordene ovenfor. Alt som gjenstår er å velge to celler som skal delta i operasjonen (eller spesifisere spesifikke tall manuelt) og trykke på Enter-tasten. La oss se på noen få enkle eksempler.

			Formel	Resultat
			GRAD(B2;C2)
			GRAD(B3;C3)	0,002915

Som du kan se, er det ikke noe komplisert med hvordan du hever et tall til en negativ potens og til en vanlig potens ved hjelp av Excel. Tross alt, for å løse dette problemet, kan du bruke både det kjente "lokk"-symbolet og programmets innebygde funksjon, som er lett å huske. Dette er et klart pluss!

La oss gå videre til mer komplekse eksempler. La oss huske regelen om hvordan du hever et tall til en negativ brøkpotens, og vi vil se at dette problemet er veldig enkelt å løse i Excel.

Brøkindikatorer

Kort fortalt er algoritmen for å beregne et tall med en brøkeksponent som følger.

1. Gjør om en brøk til en riktig eller uekte brøk.
2. Hev tallet vårt til telleren for den resulterende konverterte brøken.
3. Beregn roten fra tallet oppnådd i forrige avsnitt, med betingelsen om at eksponenten til roten vil være nevneren til brøken oppnådd i det første trinnet.

Enig at selv når man opererer med små tall og riktige brøker Slike beregninger kan ta mye tid. Det er bra at Excel-regnearkprosessoren ikke bryr seg om hvilket tall som er hevet til hvilken kraft. Prøv å løse følgende eksempel på et Excel-regneark:

Ved å bruke reglene ovenfor kan du kontrollere og forsikre deg om at beregningen ble utført riktig.

På slutten av artikkelen vår vil vi presentere i form av en tabell med formler og resultater flere eksempler på hvordan man hever et tall til en negativ potens, samt flere eksempler på å operere med brøktall og potenser.

Eksempeltabell

Sjekk ut følgende eksempler i Excel-regnearket. For at alt skal fungere riktig, må du bruke en blandet referanse når du kopierer formelen. Fest nummeret på kolonnen som inneholder tallet som heves og nummeret på raden som inneholder indikatoren. Formelen din skal se omtrent slik ut: "=$B4^C$3."

Antall/grad

Vær oppmerksom på at positive tall (selv ikke-heltall) kan beregnes uten problemer for noen eksponent. Det er ingen problemer med å heve noen tall til heltall. Men konstruksjonen negativt tall til en brøkpotens vil bli en feil for deg, siden det er umulig å følge regelen angitt i begynnelsen av artikkelen vår om å øke negative tall, fordi paritet er en karakteristikk utelukkende for et HELE tall.

Hvis du fortsetter samtalen om kraften til et tall, er det logisk å finne ut hvordan du finner verdien av potensen. Denne prosessen kalles eksponentiering. I denne artikkelen vil vi studere hvordan eksponentiering utføres, og vi vil berøre alt mulige indikatorer grader – naturlig, hel, rasjonell og irrasjonell. Og ifølge tradisjonen skal vi vurdere i detalj løsninger på eksempler på å heve tall til ulike makter.

Sidenavigering.

Hva betyr "eksponentiering"?

La oss starte med å forklare hva som kalles eksponentiering. Her er den relevante definisjonen.

Definisjon.

Eksponentiering- dette er å finne verdien av potensen til et tall.

Dermed er det samme å finne verdien av potensen til et tall a med eksponent r og heve tallet a til potensen r. For eksempel, hvis oppgaven er "beregn verdien av potensen (0,5) 5", kan den omformuleres som følger: "Høy tallet 0,5 til potensen 5."

Nå kan du gå direkte til reglene som eksponentieringen utføres etter.

Heve et tall til en naturlig kraft

I praksis brukes likestilling basert på vanligvis i skjemaet . Det vil si at når man hever et tall a til en brøkpotens m/n, tas først den n-te roten av tallet a, hvoretter det resulterende resultatet heves til en heltallspott m.

La oss se på løsninger på eksempler på å heve til en brøkstyrke.

Eksempel.

Regn ut verdien av graden.

Løsning.

Vi viser to løsninger.

Første vei. Per definisjon av en grad med en brøkeksponent. Vi beregner verdien av graden under rottegnet, og trekker deretter ut kuberoten: .

Andre vei. Ved definisjonen av en grad med en brøkeksponent og basert på egenskapene til røttene, er følgende likheter sanne: . Nå trekker vi ut roten , til slutt hever vi den til en heltalls potens .

Det er klart at de oppnådde resultatene av å heve til en brøkkraft sammenfaller.

Svar:

Legg merke til at en brøkeksponent kan skrives som en desimalbrøk eller et blandet tall, i disse tilfellene bør den erstattes med den tilsvarende ordinære brøken, og deretter heves til en potens.

Eksempel.

Regn ut (44,89) 2,5.

Løsning.

La oss skrive eksponenten i skjemaet vanlig brøk(om nødvendig, se artikkelen): . Nå utfører vi hevingen til en brøkkraft:

Svar:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Det skal også sies at det å heve tall til rasjonelle potenser er en ganske arbeidskrevende prosess (spesielt når telleren og nevneren til brøkeksponenten inneholder ganske mange store tall), som vanligvis utføres ved hjelp av datateknologi.

For å konkludere med dette punktet, la oss dvele ved å heve tallet null til en brøkpotens. Vi ga følgende betydning til brøkkraften til null i formen: når vi har , og ved null til m/n-effekten er ikke definert. Så null til en brøkdel positiv potens er null, for eksempel, . Og null i en negativ brøkpotens gir ikke mening, for eksempel gir ikke uttrykkene 0 -4,3 mening.

Heve til en irrasjonell makt

Noen ganger blir det nødvendig å finne ut verdien av potensen til et tall med en irrasjonell eksponent. I dette tilfellet er det for praktiske formål vanligvis tilstrekkelig å oppnå verdien av graden nøyaktig til et bestemt tegn. La oss umiddelbart merke seg at i praksis beregnes denne verdien ved hjelp av elektroniske datamaskiner, siden å heve den til en irrasjonell kraft manuelt krever stor kvantitet tungvinte beregninger. Men vi vil likevel beskrive i generell disposisjon essensen av handlingen.

For å få en omtrentlig verdi av potensen til et tall a med en irrasjonell eksponent, tas en desimal tilnærming av eksponenten og verdien av potensen beregnes. Denne verdien er en omtrentlig verdi av potensen til tallet a med en irrasjonell eksponent. Jo mer nøyaktig desimaltilnærmingen til et tall tas i utgangspunktet, jo mer eksakt verdi grad vil bli oppnådd til slutt.

Som et eksempel, la oss beregne den omtrentlige verdien av potensen 2 1,174367... . La oss ta følgende desimaltilnærming av den irrasjonelle eksponenten: . Nå hever vi 2 til den rasjonelle kraften 1.17 (vi beskrev essensen av denne prosessen i forrige avsnitt), vi får 2 1.17 ≈2.250116. Dermed, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Hvis vi for eksempel tar en mer nøyaktig desimal tilnærming av den irrasjonelle eksponenten, får vi en mer nøyaktig verdi av den opprinnelige eksponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk lærebok for 5. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 7. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 9. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

Å heve til en negativ makt er et av de grunnleggende elementene i matematikk og støtes ofte på når man løser algebraiske problemer. Nedenfor er detaljerte instruksjoner.

Hvordan heve til en negativ makt - teori

Når vi hever et tall til en vanlig potens, multipliserer vi verdien flere ganger. For eksempel, 3 3 = 3×3×3 = 27. Med en negativ brøk er det motsatte sant. Den generelle formen for formelen vil være som følger: a -n = 1/a n. For å heve et tall til en negativ potens, må du dele en på det gitte tallet, men til en positiv potens.

Hvordan heve til en negativ potens - eksempler på vanlige tall

Med regelen ovenfor i tankene, la oss løse noen få eksempler.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Svar: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Svar -4 -2 = 1/16.

Men hvorfor er svarene i det første og andre eksemplet like? Faktum er at når et negativt tall heves til en jevn potens (2, 4, 6 osv.), blir tegnet positivt. Hvis graden var jevn, ville minus forbli:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hvordan heve tall fra 0 til 1 til en negativ potens

Husk at når et tall mellom 0 og 1 heves til en positiv potens, synker verdien når potensen øker. Så for eksempel, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Eksempel 3: Regn ut 0,5 -2
Løsning: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Svar: 0,5 -2 = 4

Analyse (handlingssekvens):

• Vi oversetter desimal 0,5 til brøk 1/2. Det er lettere på den måten.
  Øk 1/2 til en negativ styrke. 1/(2) -2. Del 1 med 1/(2) 2, vi får 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Eksempel 4: Regn ut 0,5 -3
Løsning: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Eksempel 5: Regn ut -0,5 -3
Løsning: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Svar: -0,5 -3 = -8

Basert på det fjerde og femte eksemplet kan vi trekke flere konklusjoner:

• For et positivt tall i området fra 0 til 1 (eksempel 4), hevet til negativ potens, om potensen er partall eller oddetall er ikke viktig, vil verdien av uttrykket være positiv. Dessuten, jo større grad, jo større verdi.
• For et negativt tall i området fra 0 til 1 (eksempel 5), hevet til negativ potens, om potensen er partall eller oddetall er ikke viktig, vil verdien av uttrykket være negativ. I dette tilfellet, jo høyere grad, jo lavere verdi.

Hvordan heve til en negativ potens - en potens i form av et brøktall

Uttrykkene av denne typen ha følgende form: a -m/n, der a er et vanlig tall, m er telleren for graden, n er nevneren for graden.

La oss se på et eksempel:
Regn ut: 8 -1/3

Løsning (handlingssekvens):

• La oss huske regelen for å heve et tall til en negativ potens. Vi får: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Legg merke til at nevneren har tallet 8 i en brøkpotens. Den generelle formen for å beregne en brøkpotens er som følger: a m/n = n √8 m.
• Dermed er 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Vi får terningroten av åtte, som er lik 2. Herfra er 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Svar: 8 -1/3 = 2

I en av de tidligere artiklene har vi allerede nevnt kraften til et tall. I dag vil vi prøve å navigere i prosessen med å finne betydningen. Vitenskapelig sett vil vi finne ut hvordan vi kan heve til en makt på riktig måte. Vi vil finne ut hvordan denne prosessen utføres, og samtidig vil vi berøre alle mulige eksponenter: naturlig, irrasjonell, rasjonell, heltall.

Så la oss se nærmere på løsningene på eksemplene og finne ut hva det betyr:

1. Definisjon av konseptet.
2. Oppdra til negativ kunst.
3. En hel indikator.
4. Å heve et tall til en irrasjonell makt.

Her er en definisjon som nøyaktig gjenspeiler betydningen: "Eksponentiering er definisjonen av verdien av en potens av et tall."

Følgelig øker tallet a i art. r og prosessen med å finne verdien av graden a med eksponenten r er identiske begreper. For eksempel, hvis oppgaven er å beregne verdien av potensen (0,6)6″, kan den forenkles til uttrykket "Høy tallet 0,6 til potensen 6."

Etter dette kan du gå direkte til byggereglene.

Heve til en negativ makt

For klarhetens skyld bør du ta hensyn til følgende kjede av uttrykk:

110=0,1=1* 10 minus 1 ss.,

1100=0,01=1*10 i minus 2 grader,

11000=0,0001=1*10 i minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 til minus 4 grader.

Takket være disse eksemplene kan du tydelig se muligheten til å umiddelbart beregne 10 til en hvilken som helst minusstyrke. For dette formålet er det nok å bare flytte desimalkomponenten:

• 10 til -1 grad - før en er det 1 null;
• i -3 - tre nuller før en;
• i -9 er det 9 nuller og så videre.

Det er også lett å forstå ut fra dette diagrammet hvor mye 10 minus 5 ss vil være. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Hvordan heve et tall til en naturlig kraft

Når vi husker definisjonen, tar vi hensyn til det naturlig tall a i Art. n er lik produktet av n faktorer, som hver er lik a. La oss illustrere: (a*a*...a)n, hvor n er antall tall som multipliseres. Følgelig, for å heve a til n, er det nødvendig å beregne produktet følgende type: a*a*...a delt på n ganger.

Av dette blir det åpenbart at heve til naturlig st. er avhengig av evnen til å utføre multiplikasjon(dette materialet er dekket i avsnittet om å multiplisere reelle tall). La oss se på problemet:

Hev -2 til 4. m.

Vi har å gjøre med en naturlig indikator. Følgelig vil forløpet av vedtaket være som følger: (-2) i art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nå gjenstår det bare å multiplisere heltallene: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Vi får 16.

Svar på problemet:

(-2) i art. 4=16.

Eksempel:

Regn ut verdien: tre komma to syvendedeler i annen.

Dette eksemplet er lik følgende produkt: tre komma to syvendedeler multiplisert med tre komma to syvendedeler. Når vi husker hvordan blandede tall multipliseres, fullfører vi konstruksjonen:

• 3 poeng 2 syvendedeler multiplisert med seg selv;
• tilsvarer 23 syvendedeler multiplisert med 23 syvendedeler;
• tilsvarer 529 førti-niende deler;
• vi reduserer og vi får 10 trettini førti-niendedeler.

Svar: 10 39/49

Når det gjelder spørsmålet om å heve til en irrasjonell eksponent, bør det bemerkes at beregninger begynner å bli utført etter fullføringen av den foreløpige avrundingen av grunnlaget for graden til et hvilket som helst siffer som gjør det mulig å oppnå verdien med en gitt nøyaktighet. For eksempel må vi kvadrere tallet P (pi).

Vi starter med å runde P til hundredeler og får:

P kvadrat = (3,14)2=9,8596. Men hvis vi reduserer P til ti tusendeler, får vi P = 3,14159. Da gir kvadratur et helt annet tall: 9,8695877281.

Det skal her bemerkes at det i mange oppgaver ikke er behov for å bygge irrasjonelle tall til en grad. Som regel legges svaret inn enten i form av den faktiske graden, for eksempel roten av 6 i kraften 3, eller, hvis uttrykket tillater det, utføres transformasjonen: roten av 5 til 7 grader = 125 rot av 5.

Hvordan heve et tall til en heltallspotens

Denne algebraiske manipulasjonen er passende ta hensyn til følgende tilfeller:

• for heltall;
• for en nullindikator;
• for en positiv heltallseksponent.

Siden nesten alle positive heltall faller sammen med massen av naturlige tall, er innstilling til en positiv heltalls potens den samme prosessen som innstilling i Art. naturlig. Vi beskrev denne prosessen i forrige avsnitt.

La oss nå snakke om å beregne st. null. Vi har allerede funnet ut ovenfor at nullpotensen til tallet a kan bestemmes for enhver ikke-null a (reell), mens a i Art. 0 vil være lik 1.

Følgelig, heve ethvert reelt tall til null st. vil gi en.

For eksempel, 10 i st. 0=1, (-3,65)0=1 og 0 i st. 0 kan ikke bestemmes.

For å fullføre heving til en heltalls potens, gjenstår det å bestemme alternativene for negative heltallsverdier. Vi husker at Art. fra a med en heltallseksponent -z vil bli definert som en brøk. Nevneren til brøken er st. med en positiv heltallsverdi, verdien som vi allerede har lært å finne. Nå gjenstår det bare å vurdere et eksempel på konstruksjon.

Eksempel:

Beregn verdien av tallet 2 i terninger med en negativ heltallseksponent.

Løsningsprosess:

I henhold til definisjonen av en grad med negativ eksponent, betegner vi: to minus 3 grader. er lik en til to til tredje potens.

Nevneren beregnes enkelt: to terninger;

3 = 2*2*2=8.

Svar: to til minus 3. art. = en åttendedel.

kan finnes ved hjelp av multiplikasjon. For eksempel: 5+5+5+5+5+5=5x6. Et slikt uttrykk sies å være at summen av like ledd brettes til et produkt. Og omvendt, hvis vi leser denne likheten fra høyre til venstre, finner vi at vi har utvidet summen av like ledd. På samme måte kan du kollapse produktet av flere like faktorer 5x5x5x5x5x5=5 6.

Det vil si at i stedet for å multiplisere seks identiske faktorer 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 og sier "fem til sjette potens."

Uttrykket 5 6 er en potens av et tall, der:

5 - grad base;

6 - eksponent.

Handlinger der produktet av like faktorer reduseres til en potens kalles heve til en makt.

I generelt syn grad med grunntall "a" og eksponent "n" skrives slik

Å heve tallet a til potensen n betyr å finne produktet av n faktorer, som hver er lik en

Hvis basisen til graden "a" er lik 1, vil verdien av graden for et hvilket som helst naturlig tall n være lik 1. For eksempel, 1 5 =1, 1 256 =1

Hvis du hever tallet "a" til første grad, så får vi tallet a selv: a 1 = a

Hvis du hever et tall til null grader, så som et resultat av beregninger får vi en. a 0 = 1

Den andre og tredje potensen til et tall anses som spesielle. De kom opp med navn for dem: den andre graden kalles kvadrat tallet, tredje - kube dette nummeret.

Ethvert tall kan heves til en potens - positiv, negativ eller null. I dette tilfellet gjelder ikke følgende regler:

Når man finner potensen til et positivt tall, er resultatet et positivt tall.

Når vi beregner null til naturkraften, får vi null.

x m · x n = x m + n

for eksempel: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Til dele potenser med de samme grunnene Vi endrer ikke grunntallet, men trekker fra eksponentene:

x m / x n = x m - n , Hvor, m > n,

for eksempel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Ved beregning heve en makt til en makt Vi endrer ikke grunntallet, men multipliserer eksponentene med hverandre.

(på m ) n = y m n

for eksempel: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

for eksempel:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Ved utførelse av beregninger iht heve en brøkdel til en makt vi hever telleren og nevneren til brøken til en gitt potens

(x/y)n = x n / y n

for eksempel: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Rekkefølgen av beregninger når du arbeider med uttrykk som inneholder en grad.

Når du utfører beregninger av uttrykk uten parentes, men som inneholder potenser, utfører de først og fremst eksponentiering, deretter multiplikasjon og divisjon, og først deretter addisjons- og subtraksjonsoperasjoner.

Hvis du trenger å beregne et uttrykk som inneholder parenteser, gjør du først beregningene i parentes i den rekkefølgen som er angitt ovenfor, og deretter de resterende handlingene i samme rekkefølge fra venstre til høyre.

Svært utbredt i praktiske beregninger brukes ferdige potenstabeller for å forenkle beregninger.