Desimalen brukes når du skal utføre operasjoner med ikke-heltall. Dette kan virke irrasjonelt. Men denne typen tall forenkler i stor grad de matematiske operasjonene som må utføres med dem. Denne forståelsen kommer over tid, når det å skrive dem blir kjent, og det å lese dem ikke forårsaker vanskeligheter, og reglene for desimalbrøker har blitt mestret. Dessuten gjentar alle handlinger allerede kjente, som har blitt lært med naturlige tall. Du trenger bare å huske noen funksjoner.
Desimaldefinisjon
En desimal er en spesiell representasjon av et ikke-heltall med en nevner som er delelig med 10, og gir svaret som én og muligens null. Med andre ord, hvis nevneren er 10, 100, 1000, og så videre, er det mer praktisk å skrive om tallet med komma. Da vil hele delen ligge foran den, og deretter brøkdelen. Dessuten vil registreringen av andre halvdel av nummeret avhenge av nevneren. Antall sifre som er i brøkdelen må være lik sifferet til nevneren.
Ovenstående kan illustreres med disse tallene:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Grunner til å bruke desimaler
Matematikere trengte desimaler av flere grunner:
Forenkler opptak. En slik brøk er plassert langs en linje uten en strek mellom nevneren og telleren, mens klarheten ikke lider.
Enkelhet i sammenligning. Det er nok å bare korrelere tall som er i samme posisjon, mens du med vanlige brøker må redusere dem til en fellesnevner.
Forenkle beregninger.
Kalkulatorer er ikke laget for å akseptere brøker; de bruker desimalnotasjon for alle operasjoner.
Hvordan lese slike tall riktig?
Svaret er enkelt: akkurat som et vanlig blandet tall med en nevner som er et multiplum av 10. Det eneste unntaket er brøker uten en heltallsverdi, så når du leser, må du uttale "null heltall."
For eksempel skal 45/1000 uttales som førti-fem tusendeler, samtidig vil 0,045 høres ut som null komma førtifem tusendeler.
Blandet nummer med hele delen lik 7 og brøken 17/100, som vil bli skrevet som 7,17, vil i begge tilfeller leses som sju komma sytten.
Sifrenes rolle i å skrive brøker
Korrekt markering av rangeringen er det matematikk krever. Desimaler og deres betydning kan endre seg betydelig hvis du skriver sifferet på feil sted. Dette var imidlertid sant før.
For å lese sifrene til en heltallsdel desimal du trenger bare å bruke reglene kjent for naturlige tall. Og på høyre side er de speilvendt og lest annerledes. Hvis hele delen hørtes "tiere", vil den etter desimaltegn være "tideler".
Dette kan tydelig sees i denne tabellen.
| Klasse | tusenvis | enheter | , | brøkdel | |||||||
| utflod | celle | des. | enheter | celle | des. | enheter | tiende | hundredel | tusendel | ti tusendel | |
Hvordan skrive et blandet tall som en desimal riktig?
Hvis nevneren inneholder et tall som er lik 10 eller 100, og andre, er spørsmålet om hvordan du konverterer en brøk til en desimal ikke vanskelig. For å gjøre dette er det nok å omskrive alle komponentene annerledes. Følgende punkter vil hjelpe med dette:
skriv telleren til brøken litt til siden, i dette øyeblikk er desimalpunktet plassert til høyre, etter det siste sifferet;
flytt kommaet til venstre, det viktigste her er å telle tallene riktig - du må flytte det med så mange posisjoner som det er nuller i nevneren;
hvis det ikke er nok av dem, bør det være nuller i de tomme posisjonene;
nullene som var på slutten av telleren er nå ikke nødvendig og kan krysses ut;
Før kommaet, legg til hele delen; hvis den ikke var der, vil det også være null her.
Merk følgende. Du kan ikke krysse ut nuller som er omgitt av andre tall.
Du kan lese nedenfor om hva du skal gjøre i en situasjon der nevneren har et tall som ikke bare består av enere og nuller, og hvordan du konverterer en brøk til en desimal. Dette viktig informasjon, som absolutt er verdt å sjekke ut.
Hvordan konvertere en brøk til en desimal hvis nevneren er et vilkårlig tall?
Det er to alternativer her:
Når nevneren kan representeres som et tall som er lik ti i en hvilken som helst potens.
Hvis en slik operasjon ikke kan utføres.
Hvordan kan jeg sjekke dette? Du må faktorisere nevneren. Hvis bare 2 og 5 er til stede i produktet, er alt i orden, og brøken konverteres enkelt til en siste desimal. Ellers, hvis 3, 7 og andre primtall vises, vil resultatet være uendelig. Det er vanlig å avrunde en slik desimalbrøk for enkel bruk i matematiske operasjoner. Dette vil bli diskutert litt nedenfor.
Utforsker hvordan desimaler lages, 5. klasse. Eksempler her vil være til stor hjelp.
La nevnerne inneholde tallene: 40, 24 og 75. Dekomponeringen til primfaktorer for dem vil være som følger:
- 40=2.2.2.5;
- 24=2.2.2.3;
- 75=5·5·3.
I disse eksemplene kan bare den første brøken representeres som den siste brøken.
Algoritme for å konvertere en vanlig brøk til en siste desimal
Sjekk faktoriseringen av nevneren til primfaktorer og sørg for at den vil bestå av 2 og 5.
Legg til så mange 2-ere og 5-ere til disse tallene slik at det er like mange av dem. De vil gi verdien av tilleggsmultiplikatoren.
Multipliser nevneren og telleren med dette tallet. Resultatet vil være en vanlig brøk, under linjen som det er 10 til en viss grad.
Hvis i problemet disse handlingene utføres med et blandet tall, må det først representeres som en upassende brøk. Og først da handle i henhold til det beskrevne scenariet.
Representerer en brøk som en avrundet desimal
Denne metoden for å konvertere en brøk til en desimal kan virke enda enklere for noen. For det har den ikke stor kvantitet handlinger. Du trenger bare å dele telleren med nevneren.
Ethvert tall med en desimaldel til høyre for desimaltegnet kan tildeles et uendelig antall nuller. Denne egenskapen er det du trenger å dra nytte av.
Skriv først ned hele delen og sett komma etter den. Hvis brøken er riktig, skriv null.
Deretter må du dele telleren på nevneren. Slik at de har samme antall sifre. Det vil si, legg til det nødvendige antallet nuller til høyre for telleren.
Utfør lang divisjon til ønsket antall sifre er nådd. Hvis du for eksempel trenger å runde av til hundredeler, bør svaret være 3. Generelt bør det være ett tall mer enn du trenger for å få til slutt.
Skriv ned mellomsvaret etter desimaltegn og rund etter reglene. Hvis siste siffer- fra 0 til 4, så trenger du bare å forkaste den. Og når den er lik 5-9, må den foran den økes med én, og forkaste den siste.
Gå tilbake fra desimal til vanlig brøk
I matematikk er det problemer når det er mer praktisk å representere desimalbrøker i form av vanlige brøker, der det er en teller med en nevner. Du kan puste lettet ut: denne operasjonen er alltid mulig.
For denne prosedyren må du gjøre følgende:
skriv ned hele delen, hvis den er lik null, er det ikke nødvendig å skrive noe;
tegne en brøklinje;
over den, skriv ned tallene fra høyre side, hvis nullene kommer først, må de krysses ut;
under linjen skriv en med like mange nuller som det er sifre etter desimaltegnet i den opprinnelige brøken.
Det er alt du trenger å gjøre for å konvertere en desimal til en brøk.
Hva kan du gjøre med desimaler?
I matematikk vil dette være visse operasjoner med desimaler som tidligere ble utført for andre tall.
De er:
sammenligning;
addisjon og subtraksjon;
multiplikasjon og divisjon.
Den første handlingen, sammenligning, ligner på hvordan den ble gjort for naturlige tall. For å finne ut hvilken som er størst, må du sammenligne sifrene til hele delen. Hvis de viser seg å være like, går de videre til brøken og sammenligner dem også med sifre. Tallet med det største sifferet i det mest signifikante sifferet vil være svaret.
Legge til og trekke fra desimaler
Dette er kanskje de enkleste trinnene. Fordi de utføres etter reglene for naturlige tall.
Så for å legge til desimalbrøker, må de skrives under hverandre, og plassere komma i en kolonne. Med denne notasjonen vises hele deler til venstre for kommaene, og brøkdeler til høyre. Og nå må du legge til tallene bit for bit, slik det gjøres med naturlige tall, og flytte kommaet ned. Du må begynne å legge til fra det minste sifferet i brøkdelen av tallet. Hvis det ikke er nok tall i høyre halvdel, legges det til nuller.
Det samme gjelder subtraksjon. Og her er det en regel som beskriver muligheten for å ta en enhet fra høyeste rang. Hvis det er et desimaltegn i brøken som reduseres færre tall enn subtrahenden, så blir nuller ganske enkelt tilordnet den.
Situasjonen er litt mer komplisert med oppgaver der du skal multiplisere og dele desimalbrøker.
Hvordan multiplisere en desimalbrøk i forskjellige eksempler?
Regelen for å multiplisere desimalbrøker med naturlig tall, som dette:
skriv dem ned i en kolonne, ignorer kommaet;
multiplisere som om de var naturlige;
Skill med komma så mange sifre som det var i brøkdelen av det opprinnelige tallet.
Et spesielt tilfelle er eksemplet der et naturlig tall er lik 10 i en hvilken som helst potens. Så for å få svaret trenger du bare å flytte desimaltegnet til høyre med like mange posisjoner som det er null i den andre faktoren. Med andre ord, når de multipliseres med 10, flyttes desimalpunktet med ett siffer, med 100 - det vil allerede være to av dem, og så videre. Hvis det ikke er nok tall i brøkdelen, må du skrive nuller i de tomme posisjonene.
Regelen som brukes når en oppgave krever å multiplisere desimalbrøker med et annet samme tall:
skriv dem ned etter hverandre, uten å ta hensyn til komma;
multiplisere som om de var naturlige;
Skill med komma så mange sifre som det var i brøkdelene av begge opprinnelige brøkene sammen.
Et spesielt tilfelle er eksempler der en av multiplikatorene er lik 0,1 eller 0,01 og så videre. I dem må du flytte desimaltegnet til venstre med antall sifre i de presenterte faktorene. Det vil si at hvis det multipliseres med 0,1, forskyves desimalpunktet med én posisjon.
Hvordan dele en desimalbrøk i ulike oppgaver?
Å dele desimalbrøker med et naturlig tall utføres i henhold til følgende regel:
skriv dem ned for deling i en kolonne som om de var naturlige;
del i henhold til den vanlige regelen til hele delen er over;
sette et komma i svaret;
fortsett å dele brøkkomponenten til resten er null;
om nødvendig kan du legge til det nødvendige antallet nuller.
Hvis heltallsdelen er lik null, vil den heller ikke stå i svaret.
Separat er det inndeling i tall lik ti, hundre, og så videre. I slike problemer må du flytte desimaltegnet til venstre med antall nuller i divisoren. Det hender at det ikke er nok tall i en hel del, da brukes nuller i stedet. Du kan se at denne operasjonen ligner på å multiplisere med 0,1 og lignende tall.
For å dele desimaler, må du bruke denne regelen:
gjør divisoren til et naturlig tall, og for å gjøre dette, flytt kommaet i det til høyre til slutten;
flytte desimaltegnet i utbyttet med samme antall sifre;
handle i henhold til forrige scenario.
Divisjonen med 0,1 er uthevet; 0,01 og andre lignende tall. I slike eksempler forskyves desimaltegnet til høyre med antall sifre i brøkdelen. Hvis de går tom, må du legge til det manglende antallet nuller. Det er verdt å merke seg at denne handlingen gjentar divisjon med 10 og lignende tall.
Konklusjon: Det handler om praksis
Ingenting i læring kommer lett eller uten anstrengelse. Pålitelig mestring av nytt materiale krever tid og øvelse. Matematikk er intet unntak.
For å sikre at emnet om desimalbrøker ikke forårsaker vanskeligheter, må du løse så mange eksempler med dem som mulig. Tross alt var det en tid da å legge til naturlige tall var en blindvei. Og nå er alt bra.
Derfor, for å parafrasere kjent setning: bestemme, bestemme og bestemme igjen. Da vil oppgaver med slike tall løses enkelt og naturlig, som et annet puslespill.
Forresten, gåter er vanskelig å løse til å begynne med, og da må du gjøre de vanlige bevegelsene. Det er det samme i matematiske eksempler: etter å ha gått langs den samme stien flere ganger, vil du ikke lenger tenke på hvor du skal snu.
Tilbake fremover
Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.
Hensikten med leksjonen:
- På en morsom måte, introduser for elevene regelen for å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall, med en plassverdienhet og regelen for å uttrykke en desimalbrøk i prosent. Utvikle evnen til å anvende ervervet kunnskap ved løsning av eksempler og problemer.
- Utvikle og aktivisere logisk tenkning elever, evne til å identifisere mønstre og generalisere dem, styrke hukommelsen, evne til å samarbeide, yte bistand, vurdere eget og hverandres arbeid.
- Dyrk interesse for matematikk, aktivitet, mobilitet og kommunikasjonsevner.
Utstyr: interaktiv tavle, en plakat med et syfergram, plakater med utsagn av matematikere.
I løpet av timene
- Organisering av tid.
- Muntlig regning – generalisering av tidligere studert materiale, forberedelse til å studere nytt materiale.
- Forklaring av nytt materiale.
- Hjemmelekse.
- Matematisk kroppsøving.
- Generalisering og systematisering av ervervet kunnskap i spillform Bruke en datamaskin.
- Karaktersetting.
2. Gutter, i dag vil leksjonen vår være noe uvanlig, fordi jeg ikke skal undervise den alene, men med vennen min. Og vennen min er også uvanlig, du vil se ham nå. (En tegneseriedatamaskin vises på skjermen.) Vennen min har et navn og han kan snakke. Hva heter du, kompis? Komposha svarer: "Mitt navn er Komposha." Er du klar til å hjelpe meg i dag? JA! Vel da, la oss starte leksjonen.
I dag mottok jeg et kryptert cyphergram, folkens, som vi må løse og tyde sammen. (En plakat henges opp på tavlen med en muntlig utregning for å legge til og trekke desimalbrøker, som et resultat av at barna får følgende kode 523914687. )
| 5 | 2 | 3 | 9 | 1 | 4 | 6 | 8 | 7 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Komposha hjelper til med å tyde den mottatte koden. Resultatet av dekoding er ordet MULTIPLIKASJON. Multiplikasjon er søkeord temaene i dagens leksjon. Temaet for leksjonen vises på skjermen: "Multipisere en desimalbrøk med et naturlig tall"
Gutter, vi vet hvordan man multipliserer naturlige tall. I dag skal vi se på multiplikasjon desimaltall til et naturlig tall. Å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall kan betraktes som en sum av ledd, som hver er lik denne desimalbrøken, og antall ledd er lik dette naturlige tallet. For eksempel: 5.21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Dette betyr 5,21·3 = 15,63. Presenterer 5,21 som en vanlig brøk til et naturlig tall, får vi
Og i dette tilfellet fikk vi samme resultat: 15,63. Når du ignorerer kommaet, i stedet for tallet 5,21, ta tallet 521 og multipliser det med dette naturlige tallet. Her må vi huske at i en av faktorene er kommaet flyttet to plasser til høyre. Når vi multipliserer tallene 5, 21 og 3, får vi et produkt lik 15,63. Nå i dette eksemplet flytter vi kommaet til venstre to steder. Dermed, hvor mange ganger en av faktorene ble økt, med hvor mange ganger produktet ble redusert. Basert på likhetene til disse metodene vil vi trekke en konklusjon.
For å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall, må du:
1) uten å ta hensyn til kommaet, multipliser naturlige tall;
2) i det resulterende produktet, skille så mange sifre fra høyre med komma som det er i desimalbrøken.
Følgende eksempler vises på skjermen, som vi analyserer sammen med Komposha og gutta: 5.21·3 = 15.63 og 7.624·15 = 114.34. Etterpå viser jeg multiplikasjon med rundt tall 12,6·50 = 630. Deretter går jeg videre til å multiplisere en desimalbrøk med en plassverdienhet. Jeg viser følgende eksempler: 7.423 ·100 = 742,3 og 5,2·1000 = 5200. Så, jeg introduserer regelen for å multiplisere en desimalbrøk med en sifferenhet:
For å multiplisere en desimalbrøk med sifferenheter 10, 100, 1000 osv., må du flytte desimaltegnet i denne brøken til høyre med så mange plasser som det er null i sifferenheten.
Jeg avslutter forklaringen min med å uttrykke desimalbrøken i prosent. Jeg introduserer regelen:
For å uttrykke en desimalbrøk i prosent, må du gange den med 100 og legge til %-tegnet.
Jeg skal gi et eksempel på en datamaskin: 0,5 100 = 50 eller 0,5 = 50%.
4. På slutten av forklaringen gir jeg gutta hjemmelekser, som også vises på dataskjermen: № 1030, № 1034, № 1032.
5. For at gutta skal hvile litt, gjør vi en matematisk kroppsøvingsøkt sammen med Komposha for å konsolidere temaet. Alle stiller seg opp, viser de løste eksemplene til klassen, og de skal svare på om eksemplet er løst riktig eller feil. Hvis eksemplet er løst riktig, så løfter de armene over hodet og klapper i håndflatene. Hvis eksemplet ikke er løst riktig, strekker gutta armene til sidene og strekker fingrene.
6. Og nå du har hvilt deg litt, kan du løse oppgavene. Åpne læreboken til side 205, № 1029. I denne oppgaven må du beregne verdien av uttrykkene:
Oppgavene vises på datamaskinen. Etter hvert som de er løst, dukker det opp et bilde med bildet av en båt som flyter bort når den er ferdig montert.
nr. 1031 Regn ut:
Ved å løse denne oppgaven på en datamaskin, bretter raketten seg gradvis sammen, etter å ha løst det siste eksempelet, flyr raketten bort. Læreren gir litt informasjon til elevene: «Hvert år letter romskip fra Baikonur Cosmodrome fra Kasakhstans jord til stjernene. Kasakhstan bygger sin nye Baiterek-kosmodrom nær Baikonur.
nr. 1035. Problem.
Hvor langt vil en personbil kjøre på 4 timer hvis hastigheten på personbilen er 74,8 km/t.
Denne oppgaven er ledsaget av lyddesign og en kort tilstand av oppgaven som vises på skjermen. Hvis problemet er løst, riktig, begynner bilen å bevege seg fremover til målflagget.
№ 1033. Skriv desimalene i prosent.
0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.
Ved å løse hvert eksempel, når svaret vises, vises en bokstav som resulterer i et ord Bra gjort.
Læreren spør Komposha hvorfor dette ordet dukker opp? Komposha svarer: "Godt gjort, folkens!" og sier farvel til alle.
Læreren oppsummerer timen og gir karakterer.
Multiplisere desimaler skjer i tre stadier.
Desimalbrøker skrives i en kolonne og multipliseres som vanlige tall.
Vi teller antall desimaler for den første desimalbrøken og den andre. Vi legger sammen antallet deres.
I resultatet teller vi fra høyre til venstre samme antall tall som vi fikk i avsnittet ovenfor og setter komma.
Hvordan multiplisere desimaler
Vi skriver desimalbrøkene i en kolonne og multipliserer dem som naturlige tall, og ignorerer kommaene. Det vil si at vi anser 3,11 som 311 og 0,01 som 1.
Vi mottok 311. Nå teller vi antall tegn (siffer) etter desimaltegnet for begge brøkene. Den første desimalen har to sifre og den andre har to. Totalt antall desimaler:
Vi teller fra høyre til venstre 4 tegn (siffer) av det resulterende tallet. Det resulterende resultatet inneholder færre tall enn det som må skilles med komma. I dette tilfellet trenger du venstre legg til det manglende antallet nuller.
Vi mangler ett siffer, så vi legger til en null til venstre.
Når du multipliserer en desimalbrøk på 10; 100; 1000 osv. Desimaltegnet flyttes til høyre like mange steder som det er nuller etter den ene.
Å multiplisere en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv., må du flytte desimaltegnet i denne brøken til venstre med så mange plasser som det er nuller før den ene.
Vi teller null heltall!
- 12 0,1 = 1,2
- 0,05 · 0,1 = 0,005
- 1,256 · 0,01 = 0,012 56
- uten å ta hensyn til kommaer, utfør multiplikasjon i henhold til alle multiplikasjonsreglene med en kolonne med naturlige tall;
- i det resulterende tallet, skilles med et desimaltegn like mange sifre til høyre som det er desimaler i begge faktorene sammen, og hvis det ikke er nok sifre i produktet, må det nødvendige antallet nuller legges til til venstre.
For å forstå hvordan du multipliserer desimaler, la oss se på spesifikke eksempler.
Regel for å multiplisere desimaler
1) Multipliser uten å ta hensyn til kommaet.
2) Som et resultat skiller vi like mange sifre etter desimaltegn som det er etter desimaltegn i begge faktorene sammen.
Finn produktet av desimalbrøker:
For å multiplisere desimalbrøker, multipliserer vi uten å ta hensyn til komma. Det vil si at vi multipliserer ikke 6,8 og 3,4, men 68 og 34. Som et resultat skiller vi like mange sifre etter desimaltegnet som det er etter desimaltegnet i begge faktorer sammen. I den første faktoren er det ett siffer etter desimaltegnet, i den andre er det også ett. Totalt skiller vi to tall etter desimaltegnet.Dermed fikk vi det endelige svaret: 6,8∙3,4=23,12.
Vi multipliserer desimaler uten å ta hensyn til desimaltegn. Det vil si at i stedet for å multiplisere 36,85 med 1,14, multipliserer vi 3685 med 14. Vi får 51590. Nå i dette resultatet må vi skille så mange sifre med komma som det er i begge faktorer sammen. Det første tallet har to sifre etter desimaltegnet, det andre har ett. Totalt skiller vi tre sifre med komma. Siden det er en null etter desimaltegnet på slutten av oppføringen, skriver vi det ikke i svaret: 36,85∙1,4=51,59.
For å multiplisere disse desimalene, la oss multiplisere tallene uten å ta hensyn til kommaene. Det vil si at vi multipliserer de naturlige tallene 2315 og 7. Vi får 16205. I dette tallet må du skille fire sifre etter desimaltegn - så mange som det er i begge faktorer til sammen (to i hver). Endelig svar: 23.15∙0.07=1.6205.
Å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall gjøres på samme måte. Vi multipliserer tallene uten å ta hensyn til kommaet, det vil si at vi multipliserer 75 med 16. Det resulterende resultatet skal inneholde samme antall tegn etter desimaltegnet som det er i begge faktorer sammen - ett. Dermed 75∙1,6=120,0=120.
Vi begynner å multiplisere desimalbrøker ved å multiplisere naturlige tall, siden vi ikke tar hensyn til komma. Etter dette skiller vi like mange sifre etter desimaltegnet som det er i begge faktorene til sammen. Det første tallet har to desimaler, det andre har også to. Totalt skal resultatet være fire sifre etter desimaltegnet: 4,72∙5,04=23,7888.
Og et par flere eksempler på å multiplisere desimalbrøker:
www.for6cl.uznateshe.ru
Multiplisere desimaler, regler, eksempler, løsninger.
La oss gå videre til å studere neste handling med desimalbrøker skal vi nå ta en omfattende titt multiplisere desimaler. La oss snakke først generelle prinsipper multiplisere desimalbrøker. Etter dette vil vi gå videre til å multiplisere en desimalbrøk med en desimalbrøk, vi vil vise hvordan du multipliserer desimalbrøk med en kolonne, og vi vil vurdere løsninger på eksempler. Deretter vil vi se på å multiplisere desimalbrøker med naturlige tall, spesielt med 10, 100 osv. Til slutt, la oss snakke om å multiplisere desimaler med brøker og blandede tall.
La oss si med en gang at vi i denne artikkelen bare vil snakke om å multiplisere positive desimalbrøker (se positive og negative tall). De resterende tilfellene er omtalt i artiklene multiplikasjon av rasjonelle tall og multiplisere reelle tall.
Sidenavigering.
Generelle prinsipper for å multiplisere desimaler
La oss diskutere de generelle prinsippene som bør følges når du multipliserer med desimaler.
Siden endelige desimaler og uendelige periodiske brøker er desimalformen til vanlige brøker, er å multiplisere slike desimaler i hovedsak å multiplisere vanlige brøker. Med andre ord, multiplisere endelige desimaler, multiplisere endelige og periodiske desimalbrøker, og multiplisere periodiske desimaler kommer ned til å multiplisere vanlige brøker etter å ha konvertert desimalbrøker til vanlige.
La oss se på eksempler på bruk av det angitte prinsippet om å multiplisere desimalbrøker.
Multipliser desimalene 1,5 og 0,75.
La oss erstatte desimalbrøkene som multipliseres med de tilsvarende vanlige brøkene. Siden 1,5=15/10 og 0,75=75/100, da. Du kan redusere en brøkdel og deretter velge hele delen fra uekte brøk, og det er mer praktisk å skrive den resulterende ordinære brøken 1 125/1 000 som en desimalbrøk 1,125.
Det skal bemerkes at det er praktisk å multiplisere endelige desimalbrøker i en kolonne; vi vil snakke om denne metoden for å multiplisere desimalbrøker i neste avsnitt.
La oss se på et eksempel på å multiplisere periodiske desimalbrøker.
Regn ut produktet av de periodiske desimalbrøkene 0,(3) og 2,(36) .
La oss konvertere periodiske desimalbrøker til vanlige brøker:
Deretter. Du kan konvertere den resulterende ordinære brøken til en desimalbrøk: 
Hvis det blant de multipliserte desimalbrøkene er uendelige ikke-periodiske brøker, bør alle multipliserte brøker, inkludert endelige og periodiske, avrundes til et bestemt siffer (se avrunde tall), og multipliser deretter de siste desimalbrøkene oppnådd etter avrunding.
Multipliser desimalene 5,382... og 0,2.
Først, la oss runde av en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk, avrunding kan gjøres til hundredeler, vi har 5,382...≈5,38. Den siste desimalbrøken 0,2 trenger ikke å avrundes til nærmeste hundredel. Således, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Det gjenstår å beregne produktet av endelige desimalbrøker: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.
Multiplisere desimalbrøker med kolonne
Multiplisere endelige desimalbrøker kan gjøres i en kolonne, på samme måte som å multiplisere naturlige tall i en kolonne.
La oss formulere regel for å multiplisere desimalbrøker med kolonne. For å multiplisere desimalbrøker med kolonne, må du:
La oss se på eksempler på å multiplisere desimalbrøker med kolonner.
Multipliser desimalene 63,37 og 0,12.
La oss multiplisere desimalbrøker i en kolonne. Først multipliserer vi tallene, og ignorerer kommaer: 
Alt som gjenstår er å legge til et komma til det resulterende produktet. Hun må skille 4 sifre til høyre fordi faktorene har totalt fire desimaler (to i brøken 3,37 og to i brøken 0,12). Det er nok tall der, så du trenger ikke legge til nuller til venstre. La oss fullføre innspillingen: 
Som et resultat har vi 3,37·0,12=7,6044.
Regn ut produktet av desimalene 3,2601 og 0,0254.
Etter å ha utført multiplikasjon i en kolonne uten å ta hensyn til kommaer, får vi følgende bilde: 
Nå i produktet må du skille de 8 sifrene til høyre med komma, siden Total Desimalplassene til brøkene som multipliseres er lik åtte. Men det er bare 7 sifre i produktet, derfor må du legge til så mange nuller til venstre slik at du kan skille 8 sifre med komma. I vårt tilfelle må vi tilordne to nuller: 
Dette fullfører multiplikasjonen av desimalbrøker etter kolonne.
Multiplisere desimaler med 0,1, 0,01 osv.
Ganske ofte må du multiplisere desimalbrøker med 0,1, 0,01, og så videre. Derfor er det lurt å formulere en regel for å multiplisere en desimalbrøk med disse tallene, som følger av prinsippene for å multiplisere desimalbrøker diskutert ovenfor.
Så, multiplisere en gitt desimal med 0,1, 0,01, 0,001, og så videre gir en brøk som er hentet fra den opprinnelige hvis kommaet i notasjonen flyttes til venstre med henholdsvis 1, 2, 3 og så videre sifre, og hvis det ikke er nok sifre til å flytte kommaet, må du legg til det nødvendige antallet nuller til venstre.
For eksempel, for å multiplisere desimalbrøken 54,34 med 0,1, må du flytte desimalpunktet i brøken 54,34 til venstre med 1 siffer, som vil gi deg brøken 5,434, det vil si 54,34·0,1=5,434. La oss gi et annet eksempel. Multipliser desimalbrøken 9,3 med 0,0001. For å gjøre dette må vi flytte desimaltegnet 4 sifre til venstre i den multipliserte desimalbrøken 9.3, men notasjonen til brøken 9.3 inneholder ikke så mange sifre. Derfor må vi tildele så mange nuller til venstre for brøken 9,3 slik at vi enkelt kan flytte desimaltegnet til 4 sifre, vi har 9,3·0,0001=0,00093.
Merk at den oppgitte regelen for å multiplisere en desimalbrøk med 0,1, 0,01, ... også er gyldig for uendelige desimalbrøker. For eksempel, 0.(18)·0.01=0.00(18) eller 93.938…·0.1=9.3938….
Multiplisere en desimal med et naturlig tall
I sin kjerne multiplisere desimaler med naturlige tall ikke forskjellig fra å multiplisere en desimal med en desimal.
Det er mest praktisk å multiplisere en siste desimalbrøk med et naturlig tall i en kolonne; i dette tilfellet bør du følge reglene for å multiplisere desimalbrøker i en kolonne, diskutert i et av de foregående avsnittene.
Regn ut produktet 15·2,27.
La oss multiplisere et naturlig tall med en desimalbrøk i en kolonne: 
Når du multipliserer en periodisk desimalbrøk med et naturlig tall, bør den periodiske brøken erstattes med en vanlig brøk.
Multipliser desimalbrøken 0.(42) med det naturlige tallet 22.
Først, la oss konvertere den periodiske desimalbrøken til en vanlig brøk:
La oss nå multiplisere: . Dette resultatet som en desimal er 9,(3) .
Og når du multipliserer en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk med et naturlig tall, må du først utføre avrunding.
Multipliser 4·2,145….
Etter å ha rundet den opprinnelige uendelige desimalbrøken til hundredeler, kommer vi til multiplikasjonen av et naturlig tall og en siste desimalbrøk. Vi har 4·2,145…≈4·2,15=8,60.
Multiplisere en desimal med 10, 100, ...
Ganske ofte må du multiplisere desimalbrøker med 10, 100, ... Derfor er det tilrådelig å dvele ved disse tilfellene i detalj.
La oss gi uttrykk for det regel for å multiplisere en desimalbrøk med 10, 100, 1000 osv. Når du multipliserer en desimalbrøk med 10, 100, ... i notasjonen, må du flytte desimaltegnet til høyre til henholdsvis 1, 2, 3, ... sifre, og forkaste de ekstra nullene til venstre; hvis notasjonen til brøken som multipliseres ikke har nok sifre til å flytte desimaltegnet, må du legge til det nødvendige antallet nuller til høyre.
Multipliser desimalbrøken 0,0783 med 100.
La oss flytte brøken 0,0783 to sifre til høyre, og vi får 007,83. Å slippe de to nullene til venstre gir desimalbrøken 7,38. Dermed 0,0783·100=7,83.
Multipliser desimalbrøken 0,02 med 10 000.
For å multiplisere 0,02 med 10 000, må vi flytte desimaltegnet 4 sifre til høyre. I brøken 0,02 er det åpenbart ikke nok sifre til å flytte desimaltegnet med 4 sifre, så vi legger til noen nuller til høyre slik at desimaltegnet kan flyttes. I vårt eksempel er det nok å legge til tre nuller, vi har 0,02000. Etter å ha flyttet kommaet får vi oppføringen 00200.0. Hvis vi forkaster nullene til venstre, har vi tallet 200,0, som er lik det naturlige tallet 200, som er resultatet av å multiplisere desimalbrøken 0,02 med 10 000.
Den oppgitte regelen gjelder også for å multiplisere uendelige desimalbrøker med 10, 100, ... Når du multipliserer periodiske desimalbrøker, må du være forsiktig med perioden til brøken som er resultatet av multiplikasjonen.
Multipliser den periodiske desimalbrøken 5,32(672) med 1000.
Før du multipliserer, la oss skrive den periodiske desimalbrøken som 5,32672672672..., dette vil tillate oss å unngå feil. Flytt nå kommaet til høyre med 3 plasser, vi har 5 326.726726…. Etter multiplikasjon oppnås således den periodiske desimalbrøken 5 326,(726).
5,32(672)·1000=5326,(726) .
Når du multipliserer uendelige ikke-periodiske brøker med 10, 100, ..., må du først runde av uendelig brøkdel opp til et visst siffer, hvoretter multiplikasjon utføres.
Multiplisere en desimal med en brøk eller et blandet tall
For å multiplisere en endelig desimalbrøk eller en uendelig periodisk desimalbrøk med en fellesbrøk eller et blandet tall, må du representere desimalbrøken som en fellesbrøk, og deretter utføre multiplikasjonen.
Multipliser desimalbrøken 0,4 med et blandet tall.
Siden 0.4=4/10=2/5 og deretter. Det resulterende tallet kan skrives som en periodisk desimalbrøk 1,5(3).
Når du multipliserer en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk med en brøk eller et blandet tall, erstatter du brøken eller det blandede tallet med en desimalbrøk, runder av de multipliserte brøkene og fullfør beregningen.
Siden 2/3=0,6666..., da. Etter å ha avrundet de multipliserte brøkene til tusendeler, kommer vi til produktet av to siste desimalbrøker 3,568 og 0,667. La oss gjøre kolonnemultiplikasjon: 
Resultatet som oppnås bør avrundes til nærmeste tusendel, siden de multipliserte brøkene ble tatt nøyaktig til tusendelen, har vi 2,379856≈2,380.
www.cleverstudents.ru
29. Multiplisere desimaler. Regler
Finn arealet til et rektangel med like sider
1,4 dm og 0,3 dm. La oss konvertere desimeter til centimeter:
1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.
La oss nå beregne arealet i centimeter.
S = 14 3 = 42 cm 2.
Gjør om kvadratcentimeter til kvadratcentimeter
desimeter:
d m 2 = 0,42 d m 2.
Dette betyr S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.
Å multiplisere to desimalbrøker gjøres slik:
1) tall multipliseres uten å ta hensyn til komma.
2) kommaet i produktet er plassert slik at det skiller det til høyre
samme antall tegn som er separert i begge faktorer
kombinert. For eksempel:
1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .
Eksempler på å multiplisere desimalbrøker i en kolonne:
I stedet for å multiplisere et hvilket som helst tall med 0,1; 0,01; 0,001
du kan dele dette tallet på 10; 100; eller 1000,-.
For eksempel:
22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .
Når vi multipliserer en desimalbrøk med et naturlig tall, må vi:
1) multipliser tall uten å ta hensyn til kommaet;
2) i det resulterende produktet, plasser et komma slik at til høyre
den hadde samme antall sifre som en desimalbrøk.
La oss finne produktet 3.12 10. I henhold til regelen ovenfor
Først multipliserer vi 312 med 10. Vi får: 312 10 = 3120.
Nå skiller vi de to sifrene til høyre med komma og får:
3,12 10 = 31,20 = 31,2 .
Dette betyr at når vi multipliserer 3,12 med 10, flyttet vi desimaltegnet med én
nummer til høyre. Hvis vi ganger 3,12 med 100, får vi 312, altså
Kommaet ble flyttet to sifre til høyre.
3,12 100 = 312,00 = 312 .
Når du multipliserer en desimalbrøk med 10, 100, 1000 osv., må du
i denne brøken flyttes desimaltegnet til høyre med så mange plasser som det er nuller
er verdt multiplikatoren. For eksempel:
0,065 1000 = 0065, = 65 ;
2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .
Problemer om emnet "Multiplikering av desimaler"
school-assistent.ru
Legge til, subtrahere, multiplisere og dele desimaler
Å legge til og subtrahere desimaler ligner på å legge til og trekke fra naturlige tall, men med visse betingelser.
Regel. utføres i henhold til sifrene til heltalls- og brøkdelene som naturlige tall.
Skriftlig legge til og trekke fra desimaler kommaet som skiller heltallsdelen fra brøkdelen skal være plassert ved adderingene og summen eller ved minuend, subtrahend og differanse i én kolonne (et komma under kommaet fra å skrive betingelsen til slutten av beregningen).
Legge til og trekke fra desimaler til linjen:
243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651
843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589
Legge til og trekke fra desimaler i en kolonne:
Å legge til desimaler krever en ekstra topplinje for å registrere tall når summen av plassverdien går over ti. Å trekke desimaler krever en ekstra topplinje for å markere stedet der 1-en er lånt.
Hvis det ikke er nok sifre i brøkdelen til høyre for tillegget eller minuend, kan du til høyre i brøkdelen legge til like mange nuller (øke sifferet til brøkdelen) som det er sifre i det andre tillegget eller minuend.
Multiplisere desimaler utføres på samme måte som å multiplisere naturlige tall, i henhold til de samme reglene, men i produktet settes et komma i henhold til summen av sifrene til faktorene i brøkdelen, tellende fra høyre til venstre (summen av sifrene til multiplikatorene er antall sifre etter desimaltegnet til faktorene tatt sammen).
På multiplisere desimaler i kolonnen først fra høyre Betydelig figur signert under det første signifikante sifferet til høyre, som i naturlige tall:
Ta opp multiplisere desimaler i en kolonne:
Ta opp deling av desimaler i en kolonne:
De understrekede tegnene er tegnene som blir fulgt av et komma fordi divisor må være et heltall.
Regel. På dele brøker Desimaldivisoren økes med like mange sifre som det er sifre i brøkdelen. For å sikre at brøken ikke endres, økes utbyttet med samme antall sifre (i utbytte og divisor flyttes desimaltegnet til samme antall sifre). Et komma settes i kvotienten på det trinnet av deling når hele delen av brøken er delt.
For desimalbrøker, som for naturlige tall, forblir regelen: Du kan ikke dele en desimalbrøk med null!
I den siste leksjonen lærte vi å legge til og subtrahere desimaler (se leksjonen "Legge til og trekke desimaler"). Samtidig vurderte vi hvor mye beregninger som er forenklet sammenlignet med vanlige «to-etasjers» brøker.
Dessverre oppstår ikke denne effekten ved å multiplisere og dele desimaler. I noen tilfeller kompliserer desimalnotasjon til og med disse operasjonene.
Først, la oss introdusere en ny definisjon. Vi vil se ham ganske ofte, og ikke bare i denne leksjonen.
Den signifikante delen av et tall er alt mellom det første og siste ikke-null-sifferet, inkludert endene. Vi snakker kun om tall, desimaltegn er ikke tatt i betraktning.
Sifrene som inngår i den signifikante delen av et tall kalles signifikante sifre. De kan gjentas og til og med være lik null.
Tenk for eksempel på flere desimalbrøker og skriv ut de tilsvarende betydelige delene:
- 91,25 → 9125 (signifikante tall: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (signifikante tall: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (signifikante tall: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (signifikante tall: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (det er bare ett signifikant tall: 3).
Vær oppmerksom på: nullene i den betydelige delen av tallet går ingen vei. Vi har allerede støtt på noe lignende da vi lærte å konvertere desimalbrøker til vanlige (se leksjonen “Desimaler”).
Dette punktet er så viktig, og feil blir gjort her så ofte, at jeg i nær fremtid vil publisere en test om dette emnet. Sørg for å øve! Og vi, bevæpnet med konseptet med den betydelige delen, vil faktisk gå videre til temaet for leksjonen.
Multiplisere desimaler
Multiplikasjonsoperasjonen består av tre påfølgende trinn:
- For hver brøk, skriv ned den betydelige delen. Du vil få to vanlige heltall - uten noen nevnere og desimaltegn;
- Multipliser disse tallene med et hvilket som helst på en praktisk måte. Direkte, hvis tallene er små, eller i en kolonne. Vi oppnår den betydelige delen av den ønskede brøken;
- Finn ut hvor og med hvor mange sifre desimaltegnet i de opprinnelige brøkene forskyves for å få den tilsvarende signifikante delen. Utfør reverserte skift for den betydelige delen oppnådd i forrige trinn.
La meg minne deg nok en gang om at nuller på sidene av den betydelige delen aldri blir tatt i betraktning. Å ignorere denne regelen fører til feil.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Vi jobber med det første uttrykket: 0,28 · 12,5.
- La oss skrive ut de signifikante delene for tallene fra dette uttrykket: 28 og 125;
- Produktet deres: 28 · 125 = 3500;
- I den første faktoren forskyves desimalpunktet 2 sifre til høyre (0,28 → 28), og i den andre forskyves det med 1 siffer til. Totalt trenger du en forskyvning til venstre med tre sifre: 3500 → 3500 = 3,5.
La oss nå se på uttrykket 6.3 · 1.08.
- La oss skrive ut de vesentlige delene: 63 og 108;
- Produktet deres: 63 · 108 = 6804;
- Igjen, to skift til høyre: med henholdsvis 2 og 1 siffer. Totalt - igjen 3 sifre til høyre, så omvendt skift vil være 3 sifre til venstre: 6804 → 6.804. Denne gangen er det ingen etterfølgende nuller.
Vi nådde det tredje uttrykket: 132,5 · 0,0034.
- Vesentlige deler: 1325 og 34;
- Produktet deres: 1325 · 34 = 45 050;
- I den første brøken flyttes desimalpunktet til høyre med 1 siffer, og i den andre - med så mange som 4. Totalt: 5 til høyre. Vi skifter med 5 til venstre: 45 050 → .45050 = 0,4505. Nulltallet ble fjernet på slutten og lagt til foran for ikke å etterlate et "nakent" desimaltegn.
Følgende uttrykk er: 0,0108 · 1600,5.
- Vi skriver de vesentlige delene: 108 og 16 005;
- Vi multipliserer dem: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Vi teller tallene etter desimaltegnet: i det første tallet er det 4, i det andre er det 1. Totalen er igjen 5. Vi har: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. På slutten ble den "ekstra" nullen fjernet.
Til slutt det siste uttrykket: 5,25 10 000.
- Vesentlige deler: 525 og 1;
- Vi multipliserer dem: 525 · 1 = 525;
- Den første brøken flyttes 2 siffer til høyre, og den andre brøken flyttes 4 siffer til venstre (10 000 → 1,0000 = 1). Totalt 4 − 2 = 2 sifre til venstre. Vi utfører en omvendt forskyvning med 2 sifre til høyre: 525, → 52 500 (vi måtte legge til nuller).
Merk i det siste eksemplet: siden desimaltegnet beveger seg i forskjellige retninger, blir det totale skiftet funnet gjennom differansen. Dette er veldig viktig poeng! Her er et annet eksempel:
Tenk på tallene 1,5 og 12 500. Vi har: 1,5 → 15 (forskyv med 1 til høyre); 12 500 → 125 (skift 2 til venstre). Vi "tråkker" 1 siffer til høyre, og deretter 2 til venstre. Som et resultat gikk vi 2 − 1 = 1 siffer til venstre.
Desimaldeling
Divisjon er kanskje den vanskeligste operasjonen. Her kan du selvfølgelig handle analogt med multiplikasjon: dele de signifikante delene, og deretter "flytte" desimaltegnet. Men i dette tilfellet er det mange finesser som negerer potensielle besparelser.
Derfor, la oss se på en universell algoritme, som er litt lengre, men mye mer pålitelig:
- Konverter alle desimalbrøker til vanlige brøker. Med litt øvelse vil dette trinnet ta deg noen sekunder;
- Del de resulterende brøkene på klassisk måte. Med andre ord, multipliser den første brøken med den "inverterte" andre (se leksjonen "Multipisere og dele numeriske brøker");
- Hvis mulig, presenter resultatet på nytt som en desimalbrøk. Dette trinnet er også raskt, siden nevneren ofte allerede er en potens på ti.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
La oss vurdere det første uttrykket. Først, la oss konvertere brøker til desimaler:
La oss gjøre det samme med det andre uttrykket. Telleren til den første brøken vil igjen bli faktorisert:
Det er et viktig poeng i det tredje og fjerde eksemplet: etter å ha blitt kvitt desimalnotasjonen, vises reduserbare brøker. Vi vil imidlertid ikke utføre denne reduksjonen.
Det siste eksemplet er interessant fordi telleren til den andre brøken inneholder et primtall. Det er rett og slett ingenting å faktorisere her, så vi vurderer det rett frem:
Noen ganger resulterer divisjon i et heltall (jeg snakker om det siste eksemplet). I dette tilfellet utføres ikke det tredje trinnet i det hele tatt.
I tillegg oppstår det ofte «stygge» brøker ved deling som ikke kan konverteres til desimaler. Dette skiller divisjon fra multiplikasjon, hvor resultatene alltid er representert i desimalform. Selvfølgelig, i dette tilfellet blir det siste trinnet igjen ikke utført.
Vær også oppmerksom på det tredje og fjerde eksemplet. I dem forkorter vi ikke med vilje vanlige brøker, avledet fra desimaler. Ellers vil dette komplisere den inverse oppgaven - representere det endelige svaret igjen i desimalform.
Husk: den grunnleggende egenskapen til en brøk (som enhver annen regel i matematikk) i seg selv betyr ikke at den må brukes overalt og alltid, ved enhver anledning.
Laster inn...