În această lecție, continuăm să studiem derivatele de funcții și trecem la un subiect mai avansat, și anume, derivatele produselor și coeficientilor. Dacă ați urmărit lecția anterioară, probabil v-ați dat seama că am luat în considerare doar cele mai simple construcții, și anume, derivata unei funcții de putere, sumă și diferență. În special, am învățat că derivata unei sume este egală cu suma lor, iar derivata unei diferențe este egală, respectiv, cu diferența lor. Din păcate, în cazul derivatelor de coeficient și produs, formulele vor fi mult mai complicate. Vom începe cu formula pentru derivata unui produs de funcții.
Derivate ale funcţiilor trigonometrice
Pentru început, permiteți-mi să fac o mică digresiune lirică. Cert este că, pe lângă funcția standard de putere - $y=((x)^(n))$, în această lecție vom întâlni și alte funcții, și anume, $y=\sin x$, precum și $ y=\ cos x$ și alte trigonometrie - $y=tgx$ și, desigur, $y=ctgx$.
Dacă toți cunoaștem perfect derivata unei funcții putere și anume $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, atunci ca pentru funcțiile trigonometrice, trebuie menționate separat. Hai sa o scriem:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Dar știi foarte bine aceste formule, hai să mergem mai departe.
Care este derivatul unui produs?
În primul rând, cel mai important lucru: dacă o funcție este produsul altor două funcții, de exemplu, $f\cdot g$, atunci derivata acestei construcții va fi egală cu următoarea expresie:
După cum puteți vedea, această formulă este semnificativ diferită și mai complexă decât formulele pe care le-am analizat mai devreme. De exemplu, derivata unei sume este calculată în mod elementar - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, sau derivata lui o diferență, care se calculează și în mod elementar - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Să încercăm să aplicăm prima formulă pentru a calcula derivatele celor două funcții care ne sunt date în problemă. Să începem cu primul exemplu:
Evident, următoarea construcție acționează ca un produs, sau mai precis, ca un multiplicator: $((x)^(3))$, o putem considera $f$ și $\left(x-5 \right) $ putem considera ca $g$. Atunci produsul lor va fi tocmai produsul a două funcții. Noi decidem:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) dreapta))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].
Acum să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre termenii noștri. Vedem că atât primul cât și al doilea termen conțin gradul $x$: în primul caz este $((x)^(2))$, iar în al doilea este $((x)^(3)) $. Să scoatem cel mai mic grad din paranteze, lăsând între paranteze:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]
Asta e, am găsit răspunsul.
Să revenim la problemele noastre și să încercăm să rezolvăm:
Deci, să rescriem:
Din nou, observăm că vorbim despre produsul produsului a două funcții: $x$, care poate fi notat cu $f$ și $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, care poate fi notat cu $g$.
Astfel, avem din nou în fața noastră produsul a două funcții. Pentru a găsi derivata funcției $f\left(x \right)$ vom folosi din nou formula noastră. Primim:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Răspunsul a fost găsit.
De ce derivate de factor?
Tocmai am folosit câteva fapte matematice foarte importante, care în sine nu sunt legate de derivate, dar fără cunoștințele lor, orice studiu suplimentar al acestui subiect pur și simplu nu are sens.
În primul rând, rezolvând prima problemă și scăpând deja de toate semnele derivatelor, din anumite motive am început să factorăm această expresie.
În al doilea rând, la rezolvarea următoarei probleme, am trecut de mai multe ori de la rădăcină la putere cu un exponent rațional și înapoi, utilizând în același timp formula de clasa a 8-a, care ar merita repetată separat.
În ceea ce privește factorizarea – de ce sunt necesare toate aceste eforturi și transformări suplimentare? De fapt, dacă problema spune pur și simplu „găsiți derivata unei funcții”, atunci acești pași suplimentari nu sunt necesari. Cu toate acestea, în problemele reale care vă așteaptă la tot felul de examene și teste, pur și simplu găsirea derivatului nu este adesea suficientă. Faptul este că derivata este doar un instrument cu care puteți afla, de exemplu, creșterea sau scăderea unei funcții, iar pentru aceasta trebuie să rezolvați ecuația și să o factorizați. Și aici această tehnică va fi foarte potrivită. Și, în general, este mult mai convenabil și mai plăcut să lucrezi cu o funcție factorizată în viitor dacă sunt necesare transformări. Prin urmare, regula nr. 1: dacă derivata poate fi factorizată, asta ar trebui să faceți. Și imediat regula nr. 2 (în esență, acesta este material de clasa a 8-a-9): dacă problema conține o rădăcină n-al-lea grad, iar rădăcina este clar mai mare decât doi, atunci această rădăcină poate fi înlocuită cu un grad obișnuit cu un exponent rațional, iar în exponent va apărea o fracție, unde n― chiar acel grad ― va fi în numitorul acestei fracții.
Desigur, dacă există un anumit grad sub rădăcină (în cazul nostru acesta este gradul k), atunci nu merge nicăieri, ci pur și simplu ajunge la numărătorul acestui grad.
Acum că înțelegeți toate acestea, să revenim la derivatele produsului și să mai calculăm câteva ecuații.
Dar înainte de a trece direct la calcule, aș dori să vă reamintesc următoarele modele:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Să luăm în considerare primul exemplu:
Din nou avem un produs de două funcții: prima este $f$, a doua este $g$. Permiteți-mi să vă reamintesc formula:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Hai sa decidem:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]
Să trecem la a doua funcție:
Din nou, $\left(3x-2 \right)$ este o funcție a lui $f$, $\cos x$ este o funcție a lui $g$. În total, derivata produsului a două funcții va fi egală cu:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ stânga(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Să-l notăm separat:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Nu factorizăm această expresie, deoarece acesta nu este încă răspunsul final. Acum trebuie să rezolvăm a doua parte. Să-l scriem:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Acum să revenim la sarcina noastră inițială și să punem totul împreună într-o singură structură:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
Gata, acesta este răspunsul final.
Să trecem la ultimul exemplu - va fi cel mai complex și mai voluminos din punct de vedere al calculelor. Deci, un exemplu:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Numărăm fiecare parte separat:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Revenind la funcția inițială, să calculăm derivata ei ca întreg:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun despre lucrările derivate. După cum puteți vedea, principala problemă a formulei nu constă în memorarea acesteia, ci în faptul că implică o cantitate destul de mare de calcule. Dar e în regulă, pentru că acum trecem la derivatul coeficient, unde va trebui să muncim foarte mult.
Care este derivata unui cot?
Deci, formula pentru derivata coeficientului. Aceasta este poate cea mai complexă formulă din cursul școlar despre derivate. Să presupunem că avem o funcție de forma $\frac(f)(g)$, unde $f$ și $g$ sunt, de asemenea, funcții din care putem elimina și primul. Apoi se va calcula după următoarea formulă:
Numătorul ne amintește oarecum de formula pentru derivata unui produs, dar există un semn minus între termeni și pătratul numitorului inițial a fost adăugat și la numitor. Să vedem cum funcționează acest lucru în practică:
Să încercăm să rezolvăm:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Vă sugerez să scrieți fiecare parte separat și să scrieți:
\[\begin(align)& ((\left((((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ dreapta))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]
Să ne rescriem expresia:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(align)\]
Am găsit răspunsul. Să trecem la a doua funcție:
Judecând după faptul că numărătorul său este pur și simplu unul, calculele de aici vor fi puțin mai simple. Deci, hai sa scriem:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\stânga(((x)^(2))+4 \dreapta))^(2)))\]
Să calculăm fiecare parte a exemplului separat:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left((((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
Să ne rescriem expresia:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Am găsit răspunsul. După cum era de așteptat, cantitatea de calcul s-a dovedit a fi semnificativ mai mică decât pentru prima funcție.
Care este diferența dintre denumiri?
Elevii atenți probabil au deja o întrebare: de ce în unele cazuri notăm funcția $f\left(x \right)$, iar în alte cazuri scriem pur și simplu $y$? De fapt, din punctul de vedere al matematicii, nu există absolut nicio diferență - aveți dreptul să utilizați atât prima desemnare, cât și a doua, și nu vor exista penalități la examene sau teste. Pentru cei care sunt încă interesați, voi explica de ce autorii de manuale și probleme în unele cazuri scriu $f\left(x \right)$, iar în altele (mult mai frecvente) - pur și simplu $y$. Cert este că prin scrierea unei funcții sub forma \, sugerăm implicit celor care citesc calculele noastre că vorbim în mod specific despre interpretarea algebrică a dependenței funcționale. Adică există o anumită variabilă $x$, luăm în considerare dependența de această variabilă și o notăm $f\left(x \right)$. În același timp, după ce a văzut o astfel de desemnare, cel care vă citește calculele, de exemplu, inspectorul, se va aștepta subconștient ca în viitor să-l aștepte doar transformări algebrice - fără grafice și fără geometrie.
Pe de altă parte, folosind notații de forma \, adică notând o variabilă cu o singură literă, clarificăm imediat că în viitor ne interesează interpretarea geometrică a funcției, adică ne interesează, în primul rând, toate, în graficul său. În consecință, atunci când se confruntă cu o înregistrare a formei\, cititorul are dreptul de a aștepta calcule grafice, adică grafice, construcții etc., dar, în niciun caz, transformări analitice.
De asemenea, aș dori să vă atrag atenția asupra unei caracteristici a designului sarcinilor pe care le luăm în considerare astăzi. Mulți studenți cred că dau calcule prea detaliate, iar multe dintre ele ar putea fi sărite sau pur și simplu rezolvate în capul lor. Cu toate acestea, tocmai o înregistrare atât de detaliată vă va permite să scăpați de greșelile ofensatoare și să creșteți semnificativ procentul de probleme rezolvate corect, de exemplu, în cazul autopregătirii pentru teste sau examene. Prin urmare, dacă încă nu ești sigur de abilitățile tale, dacă abia începi să studiezi acest subiect, nu te grăbi - descrie fiecare pas în detaliu, notează fiecare factor, fiecare accident vascular cerebral și foarte curând vei învăța să rezolvi mai bine astfel de exemple decât mulți profesori de școală. Sper că acest lucru este clar. Să mai numărăm câteva exemple.
Mai multe sarcini interesante
De data aceasta, după cum vedem, trigonometria este prezentă în derivatele care se calculează. Prin urmare, permiteți-mi să vă reamintesc următoarele:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]
Desigur, nu ne putem lipsi de derivata coeficientului, și anume:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Să luăm în considerare prima funcție:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Deci am găsit o soluție la această expresie.
Să trecem la al doilea exemplu:
Evident, derivata sa va fi mai complexă, fie și doar pentru că trigonometria este prezentă atât în numărător, cât și în numitorul acestei funcții. Noi decidem:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Rețineți că avem un derivat al produsului. În acest caz, va fi egal cu:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ dreapta))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Să revenim la calculele noastre. Scriem:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Asta e tot! Am făcut calculul.
Cum se reduce derivata unui cot la o formulă simplă pentru derivata unui produs?
Și aici aș dori să fac o remarcă foarte importantă referitoare la funcțiile trigonometrice. Faptul este că construcția noastră originală conține o expresie de forma $\frac(\sin x)(\cos x)$, care poate fi ușor înlocuită pur și simplu cu $tgx$. Astfel, reducem derivata unui coeficient la o formulă mai simplă pentru derivata unui produs. Să calculăm din nou acest exemplu și să comparăm rezultatele.
Deci acum trebuie să luăm în considerare următoarele:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Să rescriem funcția noastră originală $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ ținând cont de acest fapt. Primim:
Hai să numărăm:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Acum, dacă comparăm rezultatul obținut cu ceea ce am obținut mai devreme când calculăm într-un mod diferit, atunci ne vom convinge că am primit aceeași expresie. Astfel, indiferent în ce direcție mergem atunci când calculăm derivata, dacă totul este calculat corect, atunci răspunsul va fi același.
Nuanțe importante la rezolvarea problemelor
În concluzie, aș vrea să vă spun încă o subtilitate legată de calcularea derivatei unui coeficient. Ceea ce o să vă spun acum nu a fost în scenariul original al lecției video. Cu toate acestea, cu câteva ore înainte de filmare, studiam cu unul dintre studenții mei și tocmai discutam subiectul derivatelor de coeficient. Și, după cum sa dovedit, mulți studenți nu înțeleg acest punct. Deci, să presupunem că trebuie să calculăm cursa de eliminare a următoarei funcții:
În principiu, la prima vedere nu există nimic supranatural în ea. Totuși, în procesul de calcul putem face multe greșeli stupide și jignitoare, despre care aș vrea să le discut acum.
Deci, calculăm această derivată. În primul rând, observăm că avem termenul $3((x)^(2))$, deci este potrivit să reamintim următoarea formulă:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
În plus, avem termenul $\frac(48)(x)$ - ne vom ocupa de el prin derivata coeficientului și anume:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Deci, hai să decidem:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Nu există probleme cu primul termen, vezi:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Dar cu primul termen, $\frac(48)(x)$, trebuie să lucrați separat. Faptul este că mulți studenți confundă situația când trebuie să găsească $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ și când trebuie să găsească $((\left) (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Adică se confundă atunci când constanta este la numitor și, respectiv, când constanta este la numărător, când variabila este la numărător sau la numitor.
Să începem cu prima opțiune:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Pe de altă parte, dacă încercăm să facem același lucru cu a doua fracție, vom obține următoarele:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Totuși, același exemplu ar putea fi calculat diferit: în etapa în care am trecut la derivata coeficientului, putem considera $\frac(1)(x)$ ca o putere cu exponent negativ, adică obținem următoarele :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Și așa, și așa am primit același răspuns.
Astfel, suntem din nou convinși de două fapte importante. În primul rând, aceeași derivată poate fi calculată în moduri complet diferite. De exemplu, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ poate fi considerat atât ca derivată a unui coeficient, cât și ca derivată a unei funcții de putere. Mai mult, dacă toate calculele sunt efectuate corect, atunci răspunsul va fi întotdeauna același. În al doilea rând, atunci când se calculează derivate care conțin atât o variabilă, cât și o constantă, este esențial important unde se află variabila - la numărător sau la numitor. În primul caz, când variabila este în numărător, obținem o funcție liniară simplă care poate fi calculată ușor. Și dacă variabila este la numitor, atunci obținem o expresie mai complexă cu calculele însoțitoare date mai devreme.
În acest moment, lecția poate fi considerată completă, așa că dacă nu înțelegeți nimic despre derivatele unui coeficient sau a unui produs și, în general, dacă aveți întrebări pe această temă, nu ezitați - accesați site-ul meu , scrieți, sunați și cu siguranță voi încerca să vă ajut.
Derivatele în sine nu sunt un subiect complex, dar sunt foarte extinse, iar ceea ce studiem acum va fi folosit în viitor la rezolvarea unor probleme mai complexe. De aceea, este mai bine să identificați imediat toate neînțelegerile legate de calcularea derivatelor unui coeficient sau a unui produs, chiar acum. Nu atunci când sunt un bulgăre de zăpadă uriaș al neînțelegerii, ci când sunt o minge mică de tenis cu care este ușor de tratat.
Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: setați o constantă
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata funcției:
Regula trei: derivata produsului de funcții
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.
În exemplul de mai sus întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.
Regula a patra: derivată a câtului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.
Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului dintre increment și increment al argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.
Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.
Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.
Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:
Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant; acesta poate fi scos din semnul derivatei:
Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce vă familiarizați cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.
Tabel de derivate ale funcțiilor simple
| 1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des | |
| 2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp | |
| 3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri. | |
| 4. Derivată a unei variabile la puterea -1 | |
| 5. Derivată de rădăcină pătrată | |
| 6. Derivată de sinus | |
| 7. Derivată a cosinusului |  |
| 8. Derivata tangentei |  |
| 9. Derivat de cotangente |  |
| 10. Derivată de arcsinus |  |
| 11. Derivatul arccosinului |  |
| 12. Derivată a arctangentei |  |
| 13. Derivată a cotangentei arcului |  |
| 14. Derivată a logaritmului natural | |
| 15. Derivata unei functii logaritmice |  |
| 16. Derivată a exponentului | |
| 17. Derivata unei functii exponentiale |
Reguli de diferențiere
| 1. Derivată a unei sume sau diferențe |  |
| 2. Derivat al produsului |  |
| 2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant | |
| 3. Derivată a coeficientului |  |
| 4. Derivata unei functii complexe |  |
Regula 1.Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct
și
acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.
Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică
Regula 2.Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct
și
acestea. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.
Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:
Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.
De exemplu, pentru trei multiplicatori:
Regula 3.Dacă funcţiile
diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și
acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.
Unde să cauți lucruri pe alte pagini
La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.
Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una sau două părți, el nu mai face această greșeală.
Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).
O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.
Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .
Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca 
, apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.
Dacă aveți o sarcină ca 
, apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.
Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul
Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:
În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:
Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:
Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:
Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:
Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, 
, atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .
Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .
Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .
Se încarcă...