Credeți că mai este timp până la Examenul Unificat de Stat și veți avea timp să vă pregătiți? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât un student începe mai devreme pregătirea, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține credit suplimentar.
Știți deja ce este un logaritm? Chiar sperăm că da. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Înțelegerea a ceea ce este un logaritm este foarte simplă.
De ce 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la această putere pentru a obține 81. Odată ce înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.
Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci le-ai întâlnit constant la matematică. Dacă aveți probleme în rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum că ne-am familiarizat cu conceptele în mod individual, să trecem la analizarea lor în general.
Cea mai simplă inegalitate logaritmică.
Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu; mai sunt trei, doar cu semne diferite. De ce este necesar acest lucru? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitățile cu logaritmi. Acum să dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu; vom lăsa inegalitățile logaritmice complexe pentru mai târziu.
Cum să rezolvi asta? Totul începe cu ODZ. Merită să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.
Ce este ODZ? ODZ pentru inegalitățile logaritmice
Abrevierea înseamnă zonă valori acceptabile. Această formulare apare adesea în sarcinile pentru examenul de stat unificat. ODZ vă va fi de folos nu numai în caz inegalități logaritmice.
Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar rezolvarea inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția unui logaritm rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.
Acest număr, prin definiție, trebuie să fie pozitiv. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice.
Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Cu ce ne rămâne ca rezultat? Inegalitate simplă.
Nu este greu de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute într-un sistem. Prin urmare,
Acesta va fi intervalul de valori acceptabile pentru inegalitatea logaritmică luată în considerare.
De ce avem nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită să ne amintim mult timp, deoarece în examenul de stat unificat este adesea nevoie să căutați ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.
Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice
Soluția constă din mai multe etape. În primul rând, trebuie să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două semnificații în ODZ, despre care am discutat mai sus. Apoi, trebuie să rezolvați inegalitatea în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:
- metoda de înlocuire a multiplicatorului;
- descompunere;
- metoda de raționalizare.
În funcție de situație, merită să utilizați una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Să dezvăluim cea mai populară metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor de examinare unificată de stat în aproape toate cazurile. În continuare ne vom uita la metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de complicată. Deci, un algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice.
Exemple de soluții :
Nu degeaba am luat exact această inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același la găsirea intervalului de valori acceptabile; în caz contrar, trebuie să schimbați semnul inegalității.
Ca rezultat, obținem inegalitatea:
Acum vă prezentăm partea stanga la forma ecuației egală cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât” punem „egal” și rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că nu veți avea probleme la rezolvarea unei astfel de ecuații simple. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe grafic, plasând „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.
Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.
Am găsit intervalul de valori acceptabile doar pentru partea stângă; acum trebuie să găsim intervalul de valori acceptabile pentru partea dreaptă. Acest lucru este mult mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone rezultate.
Și abia acum începem să abordăm inegalitatea în sine.
Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de rezolvat.
Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule; totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.
Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.
Rezolvarea ecuațiilor logaritmice și a inegalităților cu baze diferite necesită o reducere inițială la aceeași bază. Apoi, utilizați metoda descrisă mai sus. Dar există un caz mai complicat. Să luăm în considerare unul dintre cele mai complexe tipuri de inegalități logaritmice.
Inegalități logaritmice cu bază variabilă
Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și astfel de persoane pot fi găsite în examenul de stat unificat. Rezolvarea inegalităților în felul următor vă va aduce, de asemenea, beneficii proces educațional. Să ne uităm la problema în detaliu. Să renunțăm la teoria și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.
Pentru a rezolva o inegalitate logaritmică a formei prezentate, este necesar să se reducă partea dreaptă la un logaritm cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.
De fapt, tot ce rămâne este să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmăriți modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.
Când utilizați metoda raționalizării la rezolvarea inegalităților, trebuie să vă amintiți următoarele: unul trebuie să fie scăzut din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta de la stânga), două expresii sunt înmulțite și pus sub semnul original în raport cu zero.
Soluția ulterioară se realizează folosind metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.
Există multe nuanțe în inegalitățile logaritmice. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum le poți rezolva pe fiecare fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați în mod constant rezolvarea cel mai mult sarcini diferiteîn cadrul examenului și vei putea obține cel mai mare punctaj. Mult succes în sarcina ta grea!
Inegalități logaritmice
În lecțiile anterioare, ne-am familiarizat cu ecuațiile logaritmice și acum știm ce sunt acestea și cum să le rezolvăm. Lecția de astăzi va fi dedicată studiului inegalităților logaritmice. Care sunt aceste inegalități și care este diferența dintre rezolvarea unei ecuații logaritmice și a unei inegalități?
Inegalitățile logaritmice sunt inegalități care au o variabilă care apare sub semnul logaritmului sau la baza acestuia.
Sau, mai putem spune că o inegalitate logaritmică este o inegalitate în care valoarea ei necunoscută, ca într-o ecuație logaritmică, va apărea sub semnul logaritmului.
Cele mai simple inegalități logaritmice au următoarea formă:
unde f(x) și g(x) sunt niște expresii care depind de x.
Să ne uităm la asta folosind acest exemplu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Rezolvarea inegalităților logaritmice
Înainte de a rezolva inegalitățile logaritmice, este de remarcat faptul că atunci când sunt rezolvate, acestea sunt similare cu inegalități exponențiale, și anume:
În primul rând, când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să comparăm și baza logaritmului cu una;
În al doilea rând, atunci când rezolvăm o inegalitate logaritmică folosind o modificare a variabilelor, trebuie să rezolvăm inegalitățile în raport cu modificarea până când obținem cea mai simplă inegalitate.
Dar tu și cu mine am luat în considerare aspecte similare ale rezolvării inegalităților logaritmice. Acum să acordăm atenție unei diferențe destul de semnificative. Tu și cu mine știm că funcția logaritmică are zonă limitată definiții, prin urmare, trecând de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să țineți cont de intervalul de valori admisibile (APV).
Adică, trebuie luat în considerare faptul că atunci când rezolvăm o ecuație logaritmică, tu și cu mine putem găsi mai întâi rădăcinile ecuației și apoi verificăm această soluție. Dar rezolvarea unei inegalități logaritmice nu va funcționa în acest fel, deoarece trecând de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, va fi necesar să se noteze ODZ a inegalității.
În plus, merită să ne amintim că teoria inegalităților constă din numere reale, care sunt pozitive și numere negative, precum și numărul 0.
De exemplu, când numărul „a” este pozitiv, atunci trebuie să utilizați următoarea notație: a >0. În acest caz, atât suma, cât și produsul acestor numere vor fi, de asemenea, pozitive.
Principiul principal pentru rezolvarea unei inegalități este înlocuirea acesteia cu o inegalitate mai simplă, dar principalul lucru este că este echivalentă cu cea dată. În plus, am obținut și o inegalitate și am înlocuit-o din nou cu una care are o formă mai simplă etc.
Când rezolvați inegalitățile cu o variabilă, trebuie să găsiți toate soluțiile acesteia. Dacă două inegalități au aceeași variabilă x, atunci astfel de inegalități sunt echivalente, cu condiția ca soluțiile lor să coincidă.
Când efectuați sarcini de rezolvare a inegalităților logaritmice, trebuie să vă amintiți că atunci când a > 1, funcția logaritmică crește și când 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metode de rezolvare a inegalităților logaritmice
Acum să ne uităm la câteva dintre metodele care au loc la rezolvarea inegalităților logaritmice. Pentru intelegere mai bunași asimilare, vom încerca să le înțelegem folosind exemple specifice.
Știm cu toții că cea mai simplă inegalitate logaritmică are următoarea formă:
În această inegalitate, V – este unul dintre următoarele semne de inegalitate:<,>, ≤ sau ≥.
Când baza unui logaritm dat este mai mare decât unu (a>1), făcând tranziția de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, atunci în această versiune semnul inegalității este păstrat, iar inegalitatea va avea următoarea formă:
care este echivalent cu acest sistem:
În cazul în care baza logaritmului este mai mare decât zero și mai mică decât unu (0 Acesta este echivalent cu acest sistem: Să ne uităm la mai multe exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități logaritmice prezentate în imaginea de mai jos: Exercițiu. Să încercăm să rezolvăm această inegalitate: Rezolvarea intervalului de valori acceptabile. Acum să încercăm să-i înmulțim partea dreaptă cu: Să vedem cu ce putem veni: Acum, să trecem la conversia expresiilor sublogaritmice. Datorită faptului că baza logaritmului este 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Și de aici rezultă că intervalul pe care l-am obținut aparține în întregime ODZ și este o soluție la o astfel de inegalitate. Iată răspunsul pe care l-am primit: Acum să încercăm să analizăm de ce avem nevoie pentru a rezolva cu succes inegalitățile logaritmice? În primul rând, concentrează-ți toată atenția și încearcă să nu faci greșeli atunci când faci transformările care sunt date în această inegalitate. De asemenea, trebuie amintit că atunci când se rezolvă astfel de inegalități, este necesar să se evite extinderile și contracțiile inegalităților, care pot duce la pierderea sau achiziționarea de soluții străine. În al doilea rând, atunci când rezolvați inegalități logaritmice, trebuie să învățați să gândiți logic și să înțelegeți diferența dintre concepte precum un sistem de inegalități și un set de inegalități, astfel încât să puteți selecta cu ușurință soluții la inegalitate, ghidându-vă în același timp de DL-ul său. În al treilea rând, pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, fiecare dintre voi trebuie să cunoască perfect toate proprietățile funcțiilor elementare și să înțeleagă clar sensul acestora. Astfel de funcții includ nu numai logaritmice, ci și raționale, de putere, trigonometrice etc., într-un cuvânt, toate cele pe care le-ați studiat în timpul algebrei școlare. După cum puteți vedea, după ce ați studiat subiectul inegalităților logaritmice, nu este nimic dificil în rezolvarea acestor inegalități, cu condiția să fiți atent și perseverent în atingerea obiectivelor. Pentru a evita orice probleme în rezolvarea inegalităților, trebuie să exersați cât mai mult posibil, rezolvând diverse sarcini și, în același timp, să vă amintiți metodele de bază de rezolvare a unor astfel de inegalități și sistemele lor. Dacă nu reușiți să rezolvați inegalitățile logaritmice, ar trebui să vă analizați cu atenție greșelile pentru a nu mai reveni la ele în viitor. Pentru a înțelege mai bine subiectul și a consolida materialul tratat, rezolvați următoarele inegalități: INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE
Sechin Mihail Alexandrovici Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Iskatel” MBOU „Școala Gimnazială Nr. 1 Sovetskaya”, clasa a XI-a, oraș. districtul Sovetsky Sovetsky Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor al instituției de învățământ bugetar municipal „Școala Gimnazială nr. 1 Sovetskaya” districtul Sovetsky Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode non-standard, identificând fapte interesante despre logaritm. Subiect de studiu:
3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard. Rezultate:
Conţinut
Introducere…………………………………………………………………………………………….4
Capitolul 1. Istoricul problemei………………………………………………………….5
Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7
2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7 2.2. Metoda raționalizării………………………………………………………………… 15 2.3. Înlocuirea non-standard .................................................................. ............ ..... 22 2.4. Sarcini cu capcane……………………………………………………27 Concluzie……………………………………………………………………………… 30
Literatură……………………………………………………………………. 31
Introducere
Sunt în clasa a XI-a și intenționez să intru într-o universitate unde materia de bază este matematica. De aceea lucrez mult cu problemele din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolv o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei legat de logaritmi. Când mă pregăteam pentru examen, m-am confruntat cu problema deficitului de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metodele care sunt studiate în programa școlară pe această temă nu oferă o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez independent la temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: întâlnim logaritmi în viața noastră? Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema: „Inegalități logaritmice în examenul de stat unificat”
Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, identificând fapte interesante despre logaritm. Subiect de studiu:
1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice. 2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi. 3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard. Rezultate:
Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru cluburi și la cursuri opționale de matematică. Produsul proiectului va fi colecția „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”. Capitolul 1. Context
De-a lungul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studierea mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori multianuale. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, erau necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite rate ale dobânzii. Principala dificultate a fost înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice. Descoperirea logaritmilor s-a bazat pe proprietățile progresiilor care erau bine cunoscute până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Arhimede a vorbit despre legătura dintre termenii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a exponenților lor 1, 2, 3,... din Psalm. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor în progresie geometrică corespund în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Aici a fost ideea logaritmului ca exponent. În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape. Etapa 1
Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Bürgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un mijloc nou, convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și astfel a intrat într-un nou domeniu al teoriei funcțiilor. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A apărut dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos - „relație” și ariqmo - „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”. În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să se ia zero ca logaritm al lui unu și 100 ca logaritm al lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. lucru, doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, mesele lui Briggs au fost completate de librarul și pasionatul de matematică olandez Adrian Flaccus (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi mai devreme decât toți ceilalți, și-au publicat tabelele mai târziu decât ceilalți - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659 și urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Speidel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „Noi logaritmi”. Primele tabele logaritmice au fost publicate în limba rusă în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au existat erori de calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin, prelucrate de matematicianul german K. Bremiker (1804-1877). Etapa 2
Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până atunci, legătura dintre cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural fusese stabilită. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni. Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator într-un eseu „Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care oferă expansiunea lui ln(x+1) în puteri ale lui x: Această expresie corespunde exact trenului său de gândire, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci o simbolistică mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, susținute în 1907-1908, F. Klein a propus utilizarea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor. Etapa 3
Definirea unei funcții logaritmice ca funcție inversă exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date nu a fost formulată imediat. Eseu de Leonhard Euler (1707-1783) „O introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit la continuarea dezvoltarea teoriei funcţiilor logaritmice. Prin urmare, Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată (contând din 1614), înainte ca matematicienii să ajungă la definiție conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar. Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor. Tranziții echivalente
Metoda intervalului generalizat
Această metodă este cea mai universală pentru rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Diagrama soluției arată astfel: 1. Aduceți inegalitatea într-o formă în care se află funcția din partea stângă 2. Găsiți domeniul funcției 3. Aflați zerourile funcției 4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe dreapta numerică. 5. Determinați semnele funcției 6. Selectați intervale în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul. Exemplul 1.
Soluţie:
Să aplicăm metoda intervalului Unde Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmice sunt pozitive. Răspuns:
Exemplul 2.
Soluţie:
1
cale
.
ADL este determinată de inegalitate X> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de Xîn baza 10, obținem Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de expansiune, i.e. compararea factorilor cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de semn constant ale funcției prin urmare, se poate aplica metoda intervalului. Funcţie f(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ este continuă la X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de semn constant ale funcției f(X):
Răspuns: a 2-a metoda
.
Să aplicăm direct ideile metodei intervalului la inegalitatea originală. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că expresiile A b- A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră la X> 3 este echivalent cu inegalitatea sau Ultima inegalitate este rezolvată folosind metoda intervalului Răspuns: Exemplul 3.
Soluţie:
Să aplicăm metoda intervalului Răspuns: Exemplul 4.
Soluţie:
Din 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pentru toate reale X, Acea Pentru a rezolva a doua inegalitate folosim metoda intervalului În prima inegalitate facem înlocuirea apoi ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.
De unde, pentru că obținem inegalitatea care se realizează când X, pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit Răspuns:
Exemplul 5.
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu o colecție de sisteme sau Să folosim metoda intervalului sau Răspuns:
Exemplul 6.
Soluţie:
Inegalitatea este egală cu sistemul Lăsa Apoi y > 0,
și prima inegalitate sistemul ia forma sau, desfășurarea trinom pătratic factorizat, Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate, vedem că soluțiile sale satisfac condiția y> 0 va fi tot y > 4.
Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul: Deci, soluțiile la inegalitate sunt toate 2.2. Metoda raționalizării. Anterior, inegalitatea nu era rezolvată prin metoda raționalizării; nu era cunoscută. Aceasta este „o nouă metodă modernă eficientă pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui S.I. Kolesnikova) „Masa magică”
În alte surse
Dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0; Dacă a >1 și 0 daca 0<A<1 и b
>1, apoi log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
daca 0<A<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0. Raționamentul efectuat este simplu, dar simplifică semnificativ soluția inegalităților logaritmice. Exemplul 4.
log x (x 2 -3)<0
Soluţie:
Exemplul 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Soluţie: Exemplul 6.
Pentru a rezolva această inegalitate, în locul numitorului, scriem (x-1-1)(x-1), iar în loc de numărător, scriem produsul (x-1)(x-3-9 + x). Exemplul 7.
Exemplul 8.
2.3. Înlocuire non-standard. Exemplul 1.
Exemplul 2.
Exemplul 3.
Exemplul 4.
Exemplul 5.
Exemplul 6.
Exemplul 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate va lua forma Log 4 log 0,25 Deoarece log 0,25 Să facem înlocuirea t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - Astfel, pentru a găsi valorile lui y avem o mulțime de două inegalități simple Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale, Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplul 8.
Soluţie:
Inegalitatea este egală cu sistemul Soluția la a doua inegalitate care definește ODZ va fi setul celor X,
pentru care X > 0.
Pentru a rezolva prima inegalitate facem substituția Apoi obținem inegalitatea sau Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim sau Multe dintre ele X, care satisfac ultima inegalitate aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului, și de aici inegalitatea inițială. Răspuns: 2.4. Sarcini cu capcane. Exemplul 1.
Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 Exemplul 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1. Concluzie
Nu a fost ușor să găsești metode specifice de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare abundență de diferite surse educaționale. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării ,
substituție non-standard ,
sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode nu sunt incluse în programa școlară. Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități propuse la Examenul Unificat de Stat în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „C3 Logarithmic Inegalities with Solutions”, care a devenit un produs de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am pus-o la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă cunoașteți aceste metode. În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să fac asta. Produsele proiectului meu vor fi utile atât studenților, cât și profesorilor. Concluzii:
Astfel, scopul proiectului a fost atins și problema a fost rezolvată. Și am primit cea mai completă și variată experiență a activităților de proiect în toate etapele de lucru. În timp ce lucram la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate. O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am dobândit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a obține informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea și de a le clasifica după importanță. Pe lângă cunoștințele directe ale disciplinei în matematică, mi-am extins abilitățile practice în domeniul informaticii, am acumulat noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, am stabilit contacte cu colegii de clasă și am învățat să cooperez cu adulții. În cadrul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative. Literatură
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini standard C3). 2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică. 3. Samarova S. S. Rezolvarea inegalităților logaritmice. 4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semenov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0 În loc de caseta de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași. Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Dacă ați uitat ODZ al unui logaritm, vă recomand insistent să îl repetați - vedeți „Ce este un logaritm”. Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când a fost găsit intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectăm cu soluția inegalității raționale - și răspunsul este gata. Sarcină. Rezolvați inegalitatea: Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului: Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem: x 2 + 1 ≠ 1; Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală: Facem tranziția de la inegalitatea logaritmică la una rațională. Inegalitatea originală are un semn „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”. Avem: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0; Zerourile acestei expresii sunt: x = 3; x = −3; x = 0. Mai mult, x = 0 este o rădăcină a celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Avem: Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul. Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru poate fi corectat cu ușurință folosind regulile standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume: Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea: Sarcină. Rezolvați inegalitatea: Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm: Rezolvăm folosind metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului: 3x − 2 = 0; Apoi - zerourile numitorului: x − 1 = 0; Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate: Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu crezi, poți să verifici. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două: După cum puteți vedea, treisurile de la bază și din fața logaritmului au fost reduse. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Să le adunăm: log 2 (x − 1) 2< 2; Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi folosind formula. Deoarece inegalitatea originală conține un semn „mai puțin decât”, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Avem: (f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0; Avem două seturi: Rămâne să intersectăm aceste mulțimi - obținem răspunsul real: Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.
Rezolvarea exemplelor
3x > 24;
x > 8. 
Ce este necesar pentru a rezolva inegalitățile logaritmice?
Teme pentru acasă
, dacă a > 1
, dacă 0 <
а <
1
, iar în dreapta 0..
, adică rezolvați ecuația 
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).pe intervalele obţinute.
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, a existat o teamă - expertul Unified State Exam îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații în care profesorul i-a spus elevului: „De unde l-ai luat? Stai jos - 2.”
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Edițiile cele mai complete de opțiuni standard...” din Soluția C3 se folosește această metodă.
METODA MINUNATĂ!
Răspuns. (0; 0,5)U.
Răspuns :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Soluția acestei mulțimi este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.
adică agregate 
. Astfel, inegalitatea inițială este satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Prin urmare, toți x sunt din intervalul 0
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Conversia inegalităților logaritmice
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Se încarcă...