Primitiv. Integrală nedefinită și proprietățile ei schițează o lecție de algebră (clasa a 11-a) pe această temă. Rezumatul lecției „antiderivative și integrale” Lecția antiderivative și integrale nedefinite

Clasa a XI-a Orlova E.V.

„Antiderivata și integrala nedefinită”

Slide 1

Obiectivele lecției:

    Educational : să formeze și să consolideze conceptul de antiderivat, să găsească funcții antiderivate de diferite niveluri.

    În curs de dezvoltare: să dezvolte activitatea psihică a elevilor, pe baza operaţiilor de analiză, comparaţie, generalizare, sistematizare.

    Educational: pentru a forma viziunea asupra lumii a elevilor, pentru a educa din responsabilitatea pentru rezultat, un sentiment de succes.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Echipament: calculator, placa multimedia.

Rezultate așteptate ale învățării: studentul trebuie

    definiția derivatului

    antiderivatul este definit ambiguu.

    găsiți funcții antiderivate în cele mai simple cazuri

    verificați dacă antiderivată pentru o funcție pe un interval de timp dat.

În timpul orelor

    Organizarea timpului Slide 2

    Verificarea temelor

    Mesajul temei, scopul lecției, sarcinile și motivația activităților educaționale.

Pe tabla de scris:

Derivat -produce „o nouă funcție”.

antiderivat - Imagine primară.

4. Actualizarea cunoștințelor, sistematizarea cunoștințelor în comparație.

Diferențiere-găsirea derivatei.

Integrarea este restaurarea unei funcții de către o derivată dată.

Introducere în personaje noi:

5. Exerciții orale:Slide 3

în loc de puncte, puneți o funcție care satisface egalitatea.

    autotestul elevului.

    actualizarea cunoștințelor elevilor.

5. Învățarea de material nou.

A) Operaţii reciproce în matematică.

Profesor: la matematică sunt 2 operații reciproc inverse la matematică. Să aruncăm o privire la comparație. Slide 4

B) Operații reciproce în fizică.

Două probleme reciproc inverse sunt luate în considerare în secțiunea de mecanică.

Aflarea vitezei conform ecuației date de mișcare a unui punct material (găsirea derivatei funcției) și găsirea ecuației pentru traiectoria mișcării folosind formula cunoscută pentru viteză.

C) Se introduce definiția unei integrale antiderivate, nedefinite

Slide 5, 6

Profesor: pentru ca sarcina să devină mai specifică, trebuie să remediem situația inițială.

D) Tabelul antiderivatelor Slide 7

Sarcini pentru formarea capacității de a găsi primitivul - lucrul în grup Slide 8

Sarcini pentru formarea capacității de a demonstra că antiderivată este pentru o funcție pe un interval dat - lucru în pereche.

6.FizminutkaSlide 9

7. Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat.Slide 10

8. Stabilirea temelorSlide 11

9. Rezumând lecția.Slide 12

În timpul sondajului frontal, împreună cu elevii, rezultatele lecției sunt rezumate, o înțelegere conștientă a conceptului de material nou poate fi sub formă de emoticoane.

A înțeles totul, a gestionat totul.

    parțial nu a înțeles (a), nu a reușit să facă totul.

Clasă: 11

Prezentare pentru lecție

















Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Harta tehnologică a lecției de algebră Clasa a 11-a.

„O persoană își poate recunoaște abilitățile doar încercând să le aplice.”
Seneca cel Tânăr.

Numărul de ore pe secțiune: 10 ore.

Tema blocului: Integrală antiderivată și nedefinită.

Tema principală a lecției: formarea de cunoștințe și deprinderi educaționale generale printr-un sistem de sarcini tipice, aproximative și pe mai multe niveluri.

Obiectivele lecției:

  • Educational: să formeze și să consolideze conceptul de antiderivat, să găsească funcții antiderivate de diferite niveluri.
  • În curs de dezvoltare: să dezvolte activitatea psihică a elevilor, pe baza operaţiilor de analiză, comparaţie, generalizare, sistematizare.
  • Educational: pentru a forma viziunea asupra lumii a elevilor, pentru a educa din responsabilitatea pentru rezultat, un sentiment de succes.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Metode de predare: verbal, verbal-vizual, problematic, euristic.

Forme de studiu: individual, pereche, grup, clasă generală.

Mijloace de educatie: informație, computer, epigraf, fișă.

Rezultate așteptate ale învățării: studentul trebuie

  • definiția derivatului
  • antiderivatul este definit ambiguu.
  • găsiți funcții antiderivate în cele mai simple cazuri
  • verificați dacă antiderivată pentru o funcție pe un interval de timp dat.

STRUCTURA LECȚIEI:

  1. Stabilirea scopului lecției (2 min)
  2. Pregătire pentru învățarea materialelor noi (3 min)
  3. Cunoașterea materialului nou (25 min)
  4. Reflecție inițială și aplicarea a ceea ce s-a învățat (10 min)
  5. Stabilirea temelor (2 min)
  6. Rezumatul lecției (3 min)
  7. Rezervă sarcini.

În timpul orelor

1. Mesajul temei, scopul lecției, sarcinile și motivația activităților educaționale.

Pe tabla de scris:

*** Derivat - „produce” o nouă funcție. Primitiv - imaginea primară.

2. Actualizarea cunoștințelor, sistematizarea cunoștințelor în comparație.

Diferențiere-găsirea derivatei.

Integrarea este restaurarea unei funcții de către o derivată dată.

Introducere în personaje noi:

* exercitii orale: in loc de puncte se pune vreo functie care sa satisfaca egalitatea.(Vezi prezentarea) -lucrare individuala.

(în acest moment, 1 elev scrie pe tablă formule de diferențiere, 2 elevi - regulile de diferențiere).

  • autoexaminarea este efectuată de elevi.(lucru individual)
  • actualizarea cunoștințelor elevilor.

3. Învățarea de noi materiale.

A) Operaţii reciproce în matematică.

Profesor: la matematică sunt 2 operații reciproc inverse la matematică. Să aruncăm o privire la comparație.

B) Operații reciproce în fizică.

Două probleme reciproc inverse sunt luate în considerare în secțiunea de mecanică. Aflarea vitezei conform ecuației date de mișcare a unui punct material (găsirea derivatei funcției) și găsirea ecuației pentru traiectoria mișcării folosind formula cunoscută pentru viteză.

Exemplul 1 pagina 140 - lucru cu un manual (lucrare individuală).

Procesul de găsire a derivatei față de o anumită funcție se numește diferențiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții față de o anumită derivată, se numește integrare.

C) Se introduce o definiție a antiderivatului.

Profesor: pentru ca sarcina să devină mai specifică, trebuie să remediem situația inițială.

Sarcini pentru formarea capacității de a găsi primitivul - lucrul în grup. (vezi prezentarea)

Sarcini pentru formarea capacității de a demonstra că antiderivată este pentru o funcție pe un interval dat - lucru în pereche. (vezi prezentarea)

4. Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat.

Exemple cu soluții „Găsiți o greșeală” – muncă individuală (vezi prezentarea)

***efectuați verificarea încrucișată.

Concluzie: la îndeplinirea acestor sarcini, este ușor de observat că antiderivatul este determinat ambiguu.

5. Stabilirea temelor

Citiți textul explicativ capitolul 4 paragraful 20, memorați definiția 1. primitiv, rezolvați Nr. 20.1 -20.5 (c, d) - o sarcină obligatorie pentru toată lumea Nr. 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20,9 (b) - 4 exemple de alegere.

6. Rezumând lecția.

În timpul sondajului frontal, împreună cu elevii, rezultatele lecției sunt rezumate, o înțelegere conștientă a conceptului de material nou poate fi sub formă de emoticoane.

A înțeles totul, a gestionat totul.

Parțial nu a înțeles (a), nu a reușit să facă totul.

7. Rezervă sarcini.

În cazul îndeplinirii timpurii de către întreaga clasă a sarcinilor propuse mai sus, pentru a asigura angajarea și dezvoltarea celor mai pregătiți elevi, se preconizează și utilizarea sarcinilor nr. 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)

Literatură:

  1. A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, Algebra analizei, nivel de profil, partea 1, partea 2 cartea de probleme, Manvelov S. G. „Fundamentals of creative lecture development”.

Subiectul lecției : Primitiv. Integrală nedefinită și proprietățile acesteia

Obiectivele lecției:

Educational:

să familiarizeze elevii cu conceptele de antiderivată și integrală nedefinită, principala proprietate a antiderivatei și regulile de găsire a antiderivatei și a integralei nedefinite.

În curs de dezvoltare:

dezvoltarea abilităților de muncă independentă,

pentru a activa activitatea mentală, vorbirea matematică.

Educational:

sa cultive simtul responsabilitatii pentru calitatea si rezultatul muncii prestate;

formați responsabilitatea pentru rezultatul final.

Un fel lecţie : mesaje de cunoștințe noi

Metoda de conduită : lucru verbal, vizual, independent.

Securitate lecţie :

Echipamente multimedia și software pentru afișarea de prezentări și videoclipuri;

Fișă: un tabel de integrale simple (în etapa de consolidare).

Structura lecției.

1. Moment organizatoric (2 min.)

    Motivarea activității educaționale. (5 min.)

    Prezentarea de material nou. (50 min.)

    Consolidarea materialului studiat. (25 min.)

    Rezumând lecția. Reflecţie. (6 min.)

    Mesajul temei pentru acasă. (2 min.)

Progresul cursului.

    Organizarea timpului. (2 minute.)

metode de predare

Tehnici de predare

Profesorul salută elevii, îi verifică pe cei prezenți în audiență.

Elevii se pregătesc de muncă. Șeful completează un raport. Ofițerii distribuie fișe.

    Motivarea activității educaționale. 5 minute.)

metode de predare

Tehnici de predare

Subiectul lecției de astăzi"Vechi.Integrală nedefinită și proprietățile ei”.(Diapozitivul 1)

Cunoștințele pe această temă vor fi folosite de noi în următoarele lecții atunci când găsim anumite integrale, zone de figuri plate. Se acordă multă atenție calculului integral la secțiile de matematică superioară din instituțiile de învățământ superior la rezolvarea problemelor aplicate.

Lecția noastră de astăzi este lecția de a studia materiale noi, prin urmare va fi de natură teoretică. Scopul lecției este de a forma idei despre calculul integral, de a înțelege esența acestuia, de a dezvolta abilități în găsirea antiderivatelor și a integralelor nedefinite.(Diapozitivul 2)

Elevii notează data și tema lecției.

3. Prezentarea de material nou (50 min)

metode de predare

Tehnici de predare

1. Am parcurs recent subiectul „Derivate ale unor funcții elementare”. De exemplu:

Derivată de funcțief (x)= X 9 , Noi stim aiaf ′(x)= 9x 8 . Acum vom lua în considerare un exemplu de găsire a unei funcții a cărei derivată este cunoscută.

Să presupunem că ni se dă o derivatăf ′(x)= 6x 5 . Folosind cunoștințele despre derivată, putem determina care este derivata funcțieif (x)= X 6 . O funcție care poate fi determinată de derivata sa se numește antiderivată. (Dați o definiție pentru antiderivată. (diapozitivul 3))

Definiția 1 : Funcţie F ( X ) se numește antiderivată pentru funcție f ( X ) pe segment [ A; b], dacă egalitatea este valabilă în toate punctele acestui segment = f ( X )

Exemplul 1 (diapozitivul 4): Să demonstrăm că pentru oricarexϵ(-∞;+∞) funcţieF ( X )=x 5 -5x f (x)=5 X 4 -5.

Dovada: Folosind definiția antiderivată, găsim derivata funcției

=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.

Exemplul 2 (diapozitivul 5): Să demonstrăm că pentru oricarexϵ(-∞;+∞) funcţieF ( X )= nueste antiderivată pentru funcțief (x)= .

Demonstrați cu studenții pe tablă.

Știm că găsirea derivatei se numeștediferenţiere . Găsirea unei funcții prin derivata ei va fi numităintegrare. (Diapozitivul 6). Scopul integrării este de a găsi toate antiderivatele unei funcții date.

De exemplu: (diapozitivul 7)

Principala proprietate a antiderivatei:

Teorema: DacăF ( X ) - unul dintre antiderivatele pentru funcție f (X) pe intervalul X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții este determinată de formula G ( X )= F ( X )+ C unde C este un număr real.

(Diapozitivul 8) tabelul cu antiderivate

Trei reguli pentru găsirea antiderivatelor

Regula #1: Dacă Fexistă o antiderivată pentru funcțief, A G- original pentrug, atunci F+ G- există un prototip pentruf+ g.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

Regula #2: Dacă F- original pentruf, A keste constantă, apoi funcțiace faci- original pentruce faci.

(ce faci)’ = ce faci’ = ce faci

Regula #3: Dacă F- original pentruf, A kși b sunt constante (), apoi funcția

antiderivat pentruf(kx+ b).

Istoria conceptului de integrală este strâns legată de problemele de găsire a pătrarilor. Matematicienii Greciei Antice și ai Romei au numit problemele de pătrare a uneia sau altei figuri plate drept probleme la care acum ne referim drept probleme pentru calcularea suprafețelor. Multe realizări semnificative ale matematicienilor din Grecia Antică în rezolvarea unor astfel de probleme sunt asociate cu utilizarea epuizării. metoda propusă de Eudoxus din Knidos. Cu această metodă, Eudoxus a demonstrat:

1. Arii a două cercuri sunt legate ca pătratele diametrelor lor.

2. Volumul unui con este egal cu 1/3 din volumul unui cilindru având aceeași înălțime și bază.

Metoda lui Eudoxus a fost perfecționată de Arhimede și s-au dovedit următoarele lucruri:

1. Derivarea formulei pentru aria unui cerc.

2. Volumul sferei este de 2/3 din volumul cilindrului.

Toate realizările au fost dovedite de mari matematicieni folosind integrale.

Să revenim la teorema 1 și să obținem o nouă definiție.

Definiția 2 : Expresie F ( X ) + C , Unde C - o constantă arbitrară, numită integrală nedefinită și notată prin simbol

Din definitie avem:

(1)

Integrală nedefinită a unei funcțiif(X), astfel, este mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate pentruf(X) .

În egalitatea (1), funcțiaf(X) se numește integrand , și expresia f(X) dx– integrand , variabil X – variabila de integrare , termen C - constanta de integrare .

Integrarea este inversul diferențierii. Pentru a verifica dacă integrarea este corectă, este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.

Proprietățile integralei nedefinite.

Pe baza definiției unui antiderivat, este ușor de demonstrat următoareleproprietățile integralei nedefinite

    Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie plus o constantă arbitrară

    Integrala nedefinită a sumei algebrice a două sau mai multe funcții este egală cu suma algebrică a integralelor lor

    Factorul constant poate fi scos din semnul integral, adică dacăA= const, atunci

Elevii înregistrează prelegerea folosind fișa și explicațiile profesorului. Atunci când demonstrează proprietățile antiderivatelor și integralelor, aceștia folosesc cunoștințe pe tema diferențierii.

4. Tabelul integralelor simple

1. ,( n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Se numesc integralele cuprinse în acest tabeltabular . Remarcăm un caz special al formulei 1:

Iată o altă formulă evidentă:

Lecție de algebră în clasa a XII-a.

Tema lecției: „Antiprimitiv. integral"

Obiective:

    educational

Pentru a generaliza și consolida materialul pe această temă: definiția și proprietatea antiderivatei, tabelul antiderivatelor, regulile de găsire a antiderivatelor, conceptul de integrală, formula Newton-Leibniz, calcularea ariei \u200b\ u200bcifre. Pentru a diagnostica asimilarea sistemului de cunoștințe și abilități și aplicarea acestuia pentru a îndeplini sarcini practice de nivel standard cu trecerea la un nivel superior, pentru a promova dezvoltarea capacității de a analiza, compara, trage concluzii.

    Educational

îndeplini sarcini de complexitate crescută, dezvoltă abilități generale de învățare și învață să gândească și să exercite controlul și autocontrolul

    educatorilor

A educa, o atitudine pozitivă față de învățare, față de matematică

Tipul lecției: Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor

Forme de lucru: grup, individual, diferenţiat

Echipament: carduri pentru munca independenta, pentru munca diferentiata, fisa de autocontrol, proiector.

În timpul orelor

    Organizarea timpului

Scopurile și obiectivele lecției: Să rezumă și să consolideze materialul pe tema „Antiprimitive. Integrală - definiția și proprietatea antiderivatei, tabelul antiderivatelor, regulile de găsire a antiderivatelor, conceptul de integrală, formula Newton-Leibniz, calculul ariei figurilor. Pentru a diagnostica asimilarea sistemului de cunoștințe și abilități și aplicarea acestuia pentru a îndeplini sarcini practice de nivel standard cu trecerea la un nivel superior, pentru a promova dezvoltarea capacității de a analiza, compara, trage concluzii.

Lecția va fi sub formă de joc.

Reguli:

Lecția este formată din 6 etape. Fiecare etapă valorează un anumit număr de puncte. În fișa de evaluare, stabilești puncte pentru munca ta în toate etapele.

Etapa 1. Teoretic. Dictare matematică „Tic-tac-toe”.

Etapa 2. Practic. Muncă independentă. Găsiți setul tuturor antiderivatelor.

Etapa 3. "Um este bine, dar 2 este mai bine." Lucrați în caiete și 2 elevi pe reverele tablei. Aflați antiderivată a funcției al cărei grafic trece prin punctul A).

4.etapa. „Corectează greșelile”.

5. etapa. „Faceți un cuvânt” Calculul integralelor.

6. etapa. — Grăbește-te să vezi. Calculul ariilor figurilor delimitate prin linii.

2. Fişa de evaluare.

Matematic

dictare

Muncă independentă

Răspuns oral

Corectați greșelile

Alcătuiește un cuvânt

grăbește-te să vezi

9 puncte

5+1 puncte

1 punct

5 puncte

5 puncte

20 de puncte

3 min.

5 minute.

5 minute.

6 min

2. Actualizarea cunoștințelor:

    etapă. Teoretic. Dictare matematică „Tic-tac-toe”

Dacă afirmația este adevărată - X, dacă este falsă - 0

    Funcţie F(X) se numește antiderivată pe un interval dat dacă pentru toți х din acest interval egalitatea

    Antiderivata unei funcții de putere este întotdeauna o funcție de putere

    Un antiderivat al unei funcții complexe

    Aceasta este formula Newton-Leibniz

    Aria unui trapez curbiliniu

    Antiderivată a sumei funcțiilor = suma antiderivatelor considerate pe un interval dat

    Graficele funcțiilor antiderivate sunt obținute prin translație paralelă de-a lungul axei X cu o constantă C.

    Produsul unui număr înmulțit cu o funcție este egal cu produsul acelui număr înmulțit cu antiderivata funcției date.

    Setul tuturor antiderivatelor are forma

Răspuns oral - 1 punct

Total 9 puncte

3. Consolidare și generalizare

2 etapă . Muncă independentă.

„Exemplele învață mai bine decât teoria”.

Isaac Newton

Găsiți setul tuturor antiderivatelor:

1 opțiune

Ansamblul tuturor primitivilor Ansamblul tuturor primitivilor

    opțiune

Ansamblul tuturor primitivilor Ansamblul tuturor primitivilor

Autotestare.

Pentru sarcini îndeplinite corect

Opțiunea 1 - 5 puncte,

pentru varianta 2 +1 punct

1 punct pentru adunare.

    etapă . "Mintea este bună, a - 2 este mai bună."

Lucrați pe reverele tablei a doi elevi și restul în caiete.

Exercițiu

1 opțiune. Aflați antiderivată a funcției, al cărei grafic trece prin punctul A (3; 2)

Opțiunea 2. Găsiți antiderivată a unei funcții al cărei grafic trece prin origine.

Verificare reciprocă.

Pentru soluția corectă -5 puncte.

    etapă . Dacă vrei, crede - dacă vrei, verifică.

Sarcină: corectați greșelile, dacă există.

Găsiți exerciții cu o eroare:

    Etapă . Compune un cuvânt.

Calculați integralele

1 opțiune.

    opțiune.

Raspuns: BRAVO

Autotestare. Pentru o sarcină îndeplinită corect - 5 puncte.

    etapă. — Grăbește-te să vezi.

calcul zone de figuri delimitate prin linii.

Sarcină: desenați o figură și calculați-i aria.

    2 puncte

    2 puncte

    4 puncte

    6 puncte

    6 puncte

Verificat individual cu profesorul.

Pentru îndeplinite corect toate sarcinile - 20 de puncte

    Rezumat:

Lecția a acoperit principalele întrebări

LECȚIE DESCHISĂ PE TEMA

« INTEGRAL GENERAL ȘI NEDETERMINAT.

PROPRIETATI ALE INTEGRALULUI NEDETERMINAT”.

2 ore.

11a clasa cu studiu aprofundat al matematicii

Prezentarea problemei.

Tehnologii de învățare prin căutarea problemelor.

INTEGRAL PRIMAR ŞI NEDETERMINAT.

PROPRIETATI ALE INTEGRALULUI NEDETERMINAT.


SCOPUL LECȚIEI:

Activați activitatea mentală;

Contribuie la asimilarea metodelor de cercetare


- să asigure o asimilare mai solidă a cunoştinţelor.

OBIECTIVELE LECȚIEI:


  • introducerea conceptului de antiderivat;

  • demonstrați teorema asupra mulțimii de antiderivate pentru o funcție dată (folosind definiția unei antiderivate);

  • introduceți definiția unei integrale nedefinite;

  • demonstrați proprietățile integralei nedefinite;

  • pentru a dezvolta abilitățile de utilizare a proprietăților integralei nedefinite.

MUNCĂ PRELIMINARĂ:


  • repeta regulile si formulele de diferentiere

  • conceptul de diferential.
ÎN CURILE CLASURILOR
Se propune rezolvarea problemelor. Problemele sunt scrise pe tablă.

Elevii dau răspunsuri pentru a rezolva problemele 1, 2.

(Actualizarea experienței de rezolvare a problemelor privind utilizarea diferenţialului

citând).


1. Legea de mișcare a corpului S(t) , găsiți-i instantanee

viteza la un moment dat.


- V(t) = S(t).
2. Știind că cantitatea de energie electrică care curge

prin conductor se exprimă prin formula q (t) = 3t - 2 t,

deduceți o formulă pentru calcularea puterii curente în oricare

punct de timp t.


- I (t) = 6t - 2.

3 . Cunoașterea vitezei unui corp în mișcare în fiecare moment de timp

eu, pentru a găsi legea mișcării sale.


  1. Știind că puterea curentului care trece prin conductor în orice
punct de luptă în timp I (t) = 6t - 2 , deduceți o formulă pentru

determinarea cantității de energie electrică care trece

prin conductor.
Profesor: Este posibil să rezolvi problemele numărul 3 și 4 folosind

fondurile pe care le avem?

(Crearea unei situații problematice).
Ghicirile elevilor:
- Pentru a rezolva această problemă, este necesară introducerea unei operații,

opusul diferențierii.

Operația de diferențiere se compară cu un dat

funcția F (x) derivata ei.


F(x) = f(x).

Profesor: Care este sarcina diferențierii?


Concluzia elevilor:

Pe baza funcției date f (x), găsiți o astfel de funcție

F (x) a cărui derivată este f (x) , i.e.
f(x) = F(x) .


Această operație se numește integrare, mai exact

integrare nedeterminată.


Secțiunea de matematică care studiază proprietățile operației de integrare a funcțiilor și aplicațiile acesteia la rezolvarea problemelor din fizică și geometrie se numește calcul integral.
Calculul integral este o secțiune a analizei matematice, împreună cu calculul diferențial, formează baza aparatului de analiză matematică.

Calculul integral a apărut din luarea în considerare a unui număr mare de probleme din științe naturale și matematică. Cea mai importantă dintre ele este problema fizică a determinării distanței parcurse într-un timp dat de-a lungul unei viteze de mișcare cunoscute, dar poate variabile, și o problemă mult mai veche - calcularea ariilor și volumelor figurilor geometrice.


Care este incertitudinea acestei operații inverse rămâne de văzut.
Să introducem o definiție. (scris pe scurt simbolic

Pe birou).


Definiție 1. Funcția F (x) definită pe un anumit interval

ke X, se numește antiderivată pentru funcția dată

pe același interval dacă pentru tot x X

egalitate

F(x) = f (x) sau d F(x) = f (x) dx .
De exemplu. (x) = 2x, această egalitate implică faptul că funcția

x este antiderivată pe întreaga dreaptă numerică

pentru funcția 2x.

Folosind definiția unui antiderivat, faceți exercițiul


Nr. 2 (1,3,6). Verificați dacă funcția F este o antiderivată

noah pentru funcția f, dacă


1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F(x) = x sin x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.

Soluțiile la exemple sunt scrise pe tablă de către elevi, comentarii

conduce acțiunile tale.

Funcția x este singura antiderivată

pentru funcția 2x?

Elevii dau exemple

x + 3; x - 92 etc. ,


Elevii trag propriile concluzii:
Fiecare funcție are infinit de antiderivate.
Orice funcție de forma x + C, unde C este un număr,

este antiderivata lui x.


Teorema antiderivată este scrisă într-un caiet sub dictare

profesori.


Teorema. Dacă funcţia f are o antiderivată pe interval

F, atunci pentru orice număr C funcția F + C de asemenea

este antiderivata lui f . Alte primitive

funcția f pe X nu.


Dovada este efectuată de elevi sub îndrumarea unui profesor.
a) Pentru că F este antiderivată pentru f pe intervalul X, atunci

F(x) = f(x) pentru toate x X.

Atunci pentru x X pentru orice C avem:

(F(x) + C) = f(x) . Aceasta înseamnă că F (x) + C este de asemenea

antiderivată f pe X.

b) Să demonstrăm că pentru alte antiderivate pe X funcția f

nu are.

Să presupunem că Ф este, de asemenea, o antiderivată pentru f pe X.

Atunci Ф(x) = f (x) și deci pentru tot x X avem:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, prin urmare

Ф - F este constantă pe X. Fie Ф (x) - F (x) = C, atunci

Ф (x) = F (x) + C, deci orice antiderivată

funcția f pe X are forma F + C.

Profesor: care este sarcina de a găsi toate prototipurile

pentru aceasta functie?

Elevii ajung la următoarea concluzie:

Problema găsirii tuturor antiderivatelor este rezolvată

găsind pe cineva: dacă asemenea a

se găsește diferit, apoi se obține orice altul din ea

adăugând o constantă.


Profesorul formulează definiția unei integrale nedefinite.
Definiție 2. Mulțimea tuturor antiderivatelor funcției f

se numește integrala nedefinită a acesteia

funcții.
Desemnare.
; - se citește integrala.
= F (x) + C, unde F este unul dintre antiderivate

pentru f , C trece prin mulțime

numere reale.

f - integrand;

f (x)dx - integrand;

x - variabila de integrare;

C este constanta integrării.
Elevii studiază singuri proprietățile integralei nedefinite din manual și le notează într-un caiet.

.

Elevii scriu soluții în caiete, lucrând la tablă

Se încarcă...Se încarcă...