Copiii de la școală învață regulile de reducere a fracțiilor în clasa a VI-a. În acest articol, vă vom spune mai întâi ce înseamnă această acțiune, apoi vă vom explica cum să convertiți o fracție reductibilă într-o fracție ireductibilă. Următorul punct vor fi regulile de reducere a fracțiilor, iar apoi vom ajunge treptat la exemple.
Ce înseamnă „reducerea unei fracțiuni”?
Așa că știm cu toții asta fracții obișnuite sunt împărțite în două grupe: reductibile și ireductibile. Deja după nume puteți înțelege că cele care sunt contractabile sunt contractate, iar cele care sunt ireductibile nu sunt contractate.
- A reduce o fracție înseamnă a împărți numitorul și numărătorul acesteia la divizorul lor pozitiv (altul decât unul). Rezultatul, desigur, este o nouă fracție cu un numitor și un numărător mai mici. Fracția rezultată va fi egală cu fracția inițială.
Este de remarcat faptul că, în cărțile de matematică cu sarcina „reduceți o fracție”, aceasta înseamnă că trebuie să reduceți fracția originală la această formă ireductibilă. Dacă vorbim în cuvinte simple, apoi împărțiți numitorul și numărătorul la cel mai mare al lor divizor comunși există o reducere.
Cum se reduce o fracție. Reguli pentru reducerea fracțiilor (gradul 6)
Deci aici sunt doar două reguli.
- Prima regulă de reducere a fracțiilor este să găsiți mai întâi cel mai mare factor comun al numitorului și numărătorului fracției dvs.
- A doua regulă: împărțiți numitorul și numărătorul la cel mai mare divizor comun, obținând în final o fracție ireductibilă.
Cum se reduce o fracție necorespunzătoare?
Regulile de reducere a fracțiilor sunt identice cu regulile de reducere a fracțiilor improprii.
Pentru a reduce o fracție improprie, va trebui mai întâi să factorizați numitorul și numărătorul în factori primi și abia apoi să reduceți factorii comuni.
Reducerea fracțiilor mixte
Regulile pentru reducerea fracțiilor se aplică și în cazul reducerii fracțiilor mixte. Există doar o mică diferență: nu putem atinge întreaga parte, dar reducem fracția sau convertim fracția amestecată într-o fracție necorespunzătoare, apoi o reducem și o transformăm din nou într-o fracție adecvată.
Există două moduri de a reduce fracțiile mixte.
Mai întâi: scrieți partea fracțională în factori primi și apoi lăsați întreaga parte în pace.
A doua modalitate: mai întâi convertiți-o într-o fracție necorespunzătoare, scrieți-o în factori obișnuiți, apoi reduceți fracția. Transformați fracția improprie deja obținută într-o fracție proprie.
Exemple pot fi văzute în fotografia de mai sus.
Sperăm cu adevărat că am putut să vă ajutăm pe dumneavoastră și pe copiii dumneavoastră. La urma urmei, ei sunt adesea neatenți în clasă, așa că trebuie să studieze mai intens acasă, singuri.
În acest articol ne vom uita în detaliu cum fracții reducătoare. Mai întâi, să discutăm despre ceea ce se numește reducerea unei fracții. După aceasta, să vorbim despre reducerea unei fracții reductibile la o formă ireductibilă. În continuare vom obține regula pentru reducerea fracțiilor și, în final, vom lua în considerare exemple de aplicare a acestei reguli.
Navigare în pagină.
Ce înseamnă reducerea unei fracții?
Știm că fracțiile obișnuite sunt împărțite în fracții reductibile și ireductibile. Puteți ghici din nume că fracțiile reductibile pot fi reduse, dar fracțiile ireductibile nu.
Ce înseamnă reducerea unei fracții? Reduceți fracția- aceasta înseamnă împărțirea numărătorului și numitorului la pozitiv și diferit de unitate. Este clar că în urma reducerii unei fracții se obține o nouă fracție cu un numărător și un numitor mai mici, iar, datorită proprietății de bază a fracției, fracția rezultată este egală cu cea inițială.
De exemplu, să reducem fracția comună 8/24 împărțind numărătorul și numitorul la 2. Cu alte cuvinte, să reducem fracția 8/24 cu 2. Deoarece 8:2=4 și 24:2=12, această reducere are ca rezultat fracția 4/12, care este egală cu fracția inițială 8/24 (vezi fracții egale și inegale). Ca urmare, avem .
Reducerea fracțiilor obișnuite la formă ireductibilă
De obicei, scopul final al reducerii unei fracții este de a obține o fracție ireductibilă care este egală cu fracția reductibilă inițială. Acest obiectiv poate fi atins prin reducerea fracției reductibile inițiale cu numărătorul și numitorul ei. Ca urmare a unei astfel de reduceri, se obține întotdeauna o fracție ireductibilă. Într-adevăr, o fracțiune 
este ireductibil, din moment ce se ştie că 
Și 
- . Aici vom spune că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului unei fracții este cel mai mare număr, prin care această fracție poate fi redusă.
Asa de, reducerea unei fracții comune la o formă ireductibilă constă în împărțirea numărătorului și numitorului fracției reductibile inițiale la mcd-ul lor.
Să ne uităm la un exemplu, pentru care ne întoarcem la fracția 8/24 și o reducem cu cel mai mare divizor comun al numerelor 8 și 24, care este egal cu 8. Deoarece 8:8=1 și 24:8=3, ajungem la fracția ireductibilă 1/3. Asa de, .
Rețineți că expresia „reduceți o fracție” înseamnă adesea reducerea fracției inițiale la forma sa ireductibilă. Cu alte cuvinte, reducerea unei fracții se referă foarte des la împărțirea numărătorului și numitorului la cel mai mare factor comun al lor (mai degrabă decât la orice factor comun).
Cum se reduce o fracție? Reguli și exemple de fracții reducătoare
Tot ce rămâne este să ne uităm la regula de reducere a fracțiilor, care explică cum se reduce o anumită fracție.
Regula pentru reducerea fracțiilor constă din două etape:
- în primul rând, se găsește mcd-ul numărătorului și numitorului fracției;
- în al doilea rând, numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la mcd-ul lor, ceea ce dă o fracție ireductibilă egală cu cea inițială.
Să rezolvăm exemplu de reducere a unei fracții conform regulii enunţate.
Exemplu.
Reduceți fracția 182/195.
Soluţie.
Să efectuăm ambii pași prescriși de regula pentru reducerea unei fracții.
Mai întâi găsim GCD(182, 195) . Cel mai convenabil este să utilizați algoritmul Euclid (vezi): 195=182·1+13, 182=13·14, adică GCD(182, 195)=13.
Acum împărțim numărătorul și numitorul fracției 182/195 la 13 și obținem fracția ireductibilă 14/15, care este egală cu fracția inițială. Aceasta completează reducerea fracției.
Pe scurt, soluția poate fi scrisă astfel: .
Răspuns:
Aici putem termina reducerea fracțiilor. Dar pentru a completa imaginea, să ne uităm la alte două moduri de a reduce fracțiile, care sunt de obicei folosite în cazuri ușoare.
Uneori, numărătorul și numitorul fracției care se reduce nu este dificil. Reducerea unei fracții în acest caz este foarte simplă: trebuie doar să eliminați toți factorii comuni de la numărător și numitor.
Este de remarcat faptul că această metodă decurge direct din regula fracțiilor reducătoare, deoarece produsul tuturor factorilor primi comuni ai numărătorului și numitorului este egal cu cel mai mare divizor comun al acestora.
Să ne uităm la soluția exemplului.
Exemplu.
Reduceți fracția 360/2 940.
Soluţie.
Să factorizăm numărătorul și numitorul în factori simpli: 360=2·2·2·3·3·5 și 2.940=2·2·3·5·7·7. Prin urmare, 
.
Acum scăpăm de factorii comuni din numărător și numitor; pentru comoditate, pur și simplu îi tăiem: 
.
În cele din urmă, înmulțim factorii rămași: , iar reducerea fracției este finalizată.
Iată un scurt rezumat al soluției: 
.
Răspuns:
Să luăm în considerare o altă modalitate de a reduce o fracție, care constă în reducerea secvențială. Aici, la fiecare pas, fracția este redusă cu un divizor comun al numărătorului și numitorului, care este fie evident, fie ușor de determinat folosind
Mulți elevi fac aceleași greșeli atunci când lucrează cu fracții. Și totul pentru că uită regulile de bază aritmetic. Astăzi vom repeta aceste reguli pe sarcini specifice pe care le dau la cursurile mele.
Iată sarcina pe care o ofer tuturor celor care se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică:
Sarcină. Un marsuin mănâncă 150 de grame de hrană pe zi. Dar ea a crescut și a început să mănânce cu 20% mai mult. Câte grame de furaj mănâncă porcul acum?
Nu solutie corecta. Aceasta este o problemă procentuală care se rezumă la ecuația:
Mulți (foarte mulți) reduc numărul 100 la numărătorul și numitorul unei fracții:
Aceasta este greșeala făcută de studentul meu chiar în ziua scrierii acestui articol. Numerele care au fost trunchiate sunt marcate cu roșu.
Inutil să spun că răspunsul a fost greșit. Judecă singur: porcul a mâncat 150 de grame, dar a început să mănânce 3150 de grame. Creșterea nu este de 20%, ci de 21 de ori, adică. cu 2000%.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, amintiți-vă regula de bază:
Numai multiplicatorii pot fi redusi. Termenele nu pot fi reduse!
Astfel, soluția corectă la problema anterioară arată astfel:
Numerele care sunt prescurtate la numărător și numitor sunt marcate cu roșu. După cum puteți vedea, numărătorul este un produs, numitorul este un număr obișnuit. Prin urmare, reducerea este complet legală.
Lucrul cu proporțiile
O alta zona cu probleme — proporții. Mai ales când variabila este pe ambele părți. De exemplu:
Sarcină. Rezolvați ecuația:
Soluție greșită - unii oameni sunt literalmente dornici să scurteze totul cu m:
Variabilele reduse sunt afișate cu roșu. Expresia 1/4 = 1/5 se dovedește a fi un nonsens complet, aceste numere nu sunt niciodată egale.
Și acum - decizia corectă. În esență, este obișnuit ecuație liniară. Poate fi rezolvată fie prin mutarea tuturor elementelor într-o parte, fie prin proprietatea de bază a proporției:
Mulți cititori vor obiecta: „Unde este greșeala în prima soluție?” Ei bine, hai să aflăm. Să ne amintim regula pentru lucrul cu ecuații:
Orice ecuație poate fi împărțită și înmulțită cu orice număr, diferit de zero.
Ai ratat trucul? Poți împărți doar cu numere diferit de zero. În special, puteți împărți la variabila m numai dacă m != 0. Dar dacă, până la urmă, m = 0? Să înlocuim și să verificăm:
Am primit egalitatea numerică corectă, adică. m = 0 este rădăcina ecuației. Pentru restul m != 0 obținem o expresie de forma 1/4 = 1/5, care este în mod natural incorectă. Astfel, nu există rădăcini diferite de zero.
Concluzii: a pune totul împreună
Deci, pentru a rezolva ecuații raționale fracționale, amintiți-vă trei reguli:
- Numai multiplicatorii pot fi redusi. Adăugările nu sunt posibile. Prin urmare, învață să factorizezi numărătorul și numitorul;
- Principala proprietate a proporției: produsul elementelor extreme este egal cu produsul celor din mijloc;
- Ecuațiile pot fi înmulțite și împărțite doar cu alte numere k decât zero. Cazul k = 0 trebuie verificat separat.
Amintiți-vă aceste reguli și nu faceți greșeli.
Divizia iar numărătorul și numitorul fracției de pe lor divizor comun, diferit de unul, se numește reducerea unei fracții.
A scurta fracție comună, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul la același număr natural.
Acest număr este cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției date.
Următoarele sunt posibile formulare de înregistrare a deciziilor Exemple pentru reducerea fracțiilor comune.
Studentul are dreptul de a alege orice formă de înregistrare.
Exemple. Simplificați fracțiile.
Reduceți fracția cu 3 (împărțiți numărătorul la 3;
împărțiți numitorul la 3).
Reduceți fracția cu 7.
Efectuăm acțiunile indicate în numărătorul și numitorul fracției.
Fracția rezultată se reduce cu 5.
Să reducem această fracție 4)
pe 5,7³- cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului, care constă din factorii comuni ai numărătorului și numitorului, luați la puterea cu cel mai mic exponent.
Să factorizăm numărătorul și numitorul acestei fracții în factori primi.
Primim: 756=2²·3³·7Și 1176=2³·3·7².
Determinați MCD (cel mai mare divizor comun) al numărătorului și numitorului fracției 5) .
Acesta este produsul factorilor comuni luați cu cei mai mici exponenți.
mcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la mcd-ul lor, adică cu 2²·3·7 obținem o fracție ireductibilă 9/14
.
Sau a fost posibil să scrieți descompunerea numărătorului și numitorului sub forma unui produs al factorilor primi, fără a utiliza conceptul de putere, și apoi să reduceți fracția prin tăierea acelorași factori la numărător și numitor. Când nu mai sunt factori identici, înmulțim factorii rămași separat la numărător și separat la numitor și scriem fracția rezultată 9/14 .
Și, în sfârșit, a fost posibil să se reducă această fracție 5) treptat, aplicând semne de împărțire a numerelor atât numărătorului cât și numitorului fracției. Să gândim așa: numere 756 Și 1176 se termină cu un număr par, ceea ce înseamnă că ambele sunt divizibile cu 2 . Reducem fracția cu 2 . Numătorul și numitorul noii fracții sunt numere 378 Și 588 de asemenea împărțit în 2 . Reducem fracția cu 2 . Observăm că numărul 294 - chiar și 189 este impar, iar reducerea cu 2 nu mai este posibilă. Să verificăm divizibilitatea numerelor 189 Și 294 pe 3 .
(1+8+9)=18 este divizibil cu 3 și (2+9+4)=15 este divizibil cu 3, prin urmare numerele în sine 189 Și 294 sunt împărțite în 3 . Reducem fracția cu 3 . Mai departe, 63 este divizibil cu 3 și 98 - Nu. Să ne uităm la alți factori primi. Ambele numere sunt divizibile cu 7 . Reducem fracția cu 7 și obținem fracția ireductibilă 9/14 .
Pentru a înțelege cum să reduceți fracțiile, să ne uităm mai întâi la un exemplu.
A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același lucru. Atât 360, cât și 420 se termină într-o cifră, deci putem reduce această fracție cu 2. În noua fracție, atât 180, cât și 210 sunt de asemenea divizibile cu 2, așa că reducem această fracție cu 2. În numerele 90 și 105, suma dintre cifre este divizibil cu 3, deci ambele numere sunt divizibile cu 3, reducem fracția cu 3. În noua fracție, 30 și 35 se termină în 0 și 5, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt divizibile cu 5, deci reducem fracția cu 5. Fracția rezultată de șase șaptimi este ireductibilă. Acesta este răspunsul final.
Putem ajunge la același răspuns într-un mod diferit.
Atât 360, cât și 420 se termină cu zero, ceea ce înseamnă că sunt divizibili cu 10. Reducem fracția cu 10. În noua fracție, atât numărătorul 36, cât și numitorul 42 sunt împărțiți la 2. Reducem fracția cu 2. În următoarea fracție, atât numărătorul 18, cât și numitorul 21 sunt împărțite la 3, ceea ce înseamnă că reducem fracția cu 3. Am ajuns la rezultat - șase șaptimi.
Și încă o soluție.
Data viitoare ne vom uita la exemple de fracții reducătoare.
Se încarcă...