număr irațional- aceasta numar real, care nu este rațional, adică nu poate fi reprezentat ca fracție, unde sunt numere întregi, . Un număr irațional poate fi reprezentat ca o zecimală infinită care nu se repetă.
Setul de numere iraționale este de obicei notat cu o literă latină majusculă cu caractere aldine, fără umbrire. Astfel: , i.e. set de numere iraționale este diferența de mulțimi de numere reale și raționale.
Despre existența numerelor iraționale, mai exact segmentele, incomensurabile cu un segment de unitate de lungime, erau deja cunoscute de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce echivalează cu iraționalitatea numărului.
Proprietăți
- Orice număr real poate fi scris ca o fracție zecimală infinită, în timp ce numerele iraționale și numai ele sunt scrise ca fracții zecimale infinite neperiodice.
- Numerele iraționale definesc tăieturile Dedekind în mulțimea numerelor raționale care nu au cel mai mare număr în clasa inferioară și nici cel mai mic număr în cea superioară.
- Fiecare număr transcendental real este irațional.
- Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental.
- Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe linia reală: între oricare două numere există un număr irațional.
- Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
- Mulțimea numerelor iraționale este de nenumărat, este o mulțime de a doua categorie.
Exemple
| Numere irationale - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde este un număr întreg și este un număr natural. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Atunci
Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.
Logaritmul binar al numărului 3
Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Atunci
Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.
e
Poveste
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că, dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- În măsura în care A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- pentru că A chiar, denotă A = 2y.
- Atunci A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
- Cu toate acestea, s-a dovedit că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Numerele iraționale sunt cunoscute oamenilor din cele mai vechi timpuri. Cu câteva secole înainte de era noastră, matematicianul indian Manava a aflat că rădăcinile pătrate ale unor numere (de exemplu, 2) nu pot fi exprimate în mod explicit.
Acest articol este un fel de lecție introductivă în tema „Numere iraționale”. Vom oferi o definiție și exemple de numere iraționale cu o explicație și, de asemenea, vom afla cum să stabilim dacă un anumit număr este irațional.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Numere irationale. Definiție
Însuși numele „numere iraționale” pare să ne sugereze o definiție. Un număr irațional este un număr real care nu este rațional. Cu alte cuvinte, un astfel de număr nu poate fi reprezentat ca o fracție m n , unde m este un număr întreg și n este un număr natural.
Definiție. Numere irationale
Numerele iraționale sunt acele numere care, în notație zecimală, sunt fracții zecimale infinite care nu se repetă.
Un număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție neperiodică infinită. Mulțimea numerelor iraționale se notează cu $I$ și este egală cu: $I=R / Q$ .
de exemplu. Numerele iraționale sunt:
Operații pe numere iraționale
Pe mulțimea numerelor iraționale se pot introduce patru operații aritmetice de bază: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea; dar pentru niciuna dintre operaţiile enumerate mulţimea numerelor iraţionale nu are proprietatea de închidere. De exemplu, suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional.
de exemplu. Aflați suma a două numere iraționale $0,1010010001 \ldots$ și $0,0101101110 \ldots$ . Primul dintre aceste numere este format dintr-o succesiune de unu, despărțite respectiv de un zero, două zerouri, trei zerouri etc., al doilea - printr-o succesiune de zerouri, între care unul, doi, trei, etc. sunt puse:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Astfel, suma a două numere iraționale date este numărul $\frac(1)(9)$ , care este rațional.
Exemplu
Exercițiu. Demonstrați că numărul $\sqrt(3)$ este irațional.
Dovada. Vom folosi metoda probei prin contradicție. Să presupunem că $\sqrt(3)$ este un număr rațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , unde $m$ și $n$ sunt numere naturale coprime numere.
Punem la patrat ambele părți ale egalității, obținem
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Numărul 3$\cdot n^(2)$ este divizibil cu 3. Prin urmare $m^(2)$ și deci $m$ este divizibil cu 3. Punând $m=3 \cdot k$, egalitatea $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ poate fi scris ca
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Din ultima egalitate rezultă că $n^(2)$ și $n$ sunt divizibile cu 3, deci fracția $\frac(m)(n)$ poate fi redusă cu 3. Dar prin presupunere, fracția $\ frac(m)( n)$ este ireductibil. Contradicția rezultată demonstrează că numărul $\sqrt(3)$ nu poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(m)(n)$ și, prin urmare, este irațional.
Q.E.D.
Toate numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție comună. Acest lucru se aplică numerelor întregi (de exemplu, 12, -6, 0) și fracțiilor zecimale finale (de exemplu, 0,5; -3,8921) și fracțiilor zecimale periodice infinite (de exemplu, 0,11(23); -3 ,(87); )).
dar infinite zecimale nerecurente nu pot fi reprezentate ca fracții obișnuite. Asta sunt ei numere irationale(adică irațional). Un exemplu de astfel de număr este π, care este aproximativ egal cu 3,14. Cu toate acestea, nu se poate determina exact ceea ce este egal, deoarece după numărul 4 există o serie nesfârșită de alte numere în care nu se pot distinge perioade care se repetă. În același timp, deși numărul π nu poate fi exprimat exact, el are o semnificație geometrică specifică. Numărul π este raportul dintre lungimea oricărui cerc și lungimea diametrului său. Astfel, numerele iraționale există în natură, la fel ca și numerele raționale.
Un alt exemplu de numere iraționale este rădăcinile pătrate ale numerelor pozitive. Extragerea rădăcinilor din unele numere dă valori raționale, din altele - iraționale. De exemplu, √4 = 2, adică rădăcina lui 4 este un număr rațional. Dar √2, √5, √7 și multe altele au ca rezultat numere iraționale, adică pot fi extrase doar cu o aproximare, rotunjită la o anumită zecimală. În acest caz, fracția se obține neperiodic. Adică, este imposibil să spunem exact și sigur care este rădăcina acestor numere.
Deci √5 este un număr între 2 și 3, deoarece √4 = 2 și √9 = 3. De asemenea, putem concluziona că √5 este mai aproape de 2 decât de 3, deoarece √4 este mai aproape de √5 decât √9 de √5. Într-adevăr, √5 ≈ 2,23 sau √5 ≈ 2,24.
Numerele iraționale se obțin și în alte calcule (și nu numai la extragerea rădăcinilor), ele sunt negative.
În legătură cu numerele iraționale, putem spune că indiferent de ce segment de unitate luăm pentru a măsura lungimea exprimată de un astfel de număr, nu o vom putea măsura definitiv.
În operațiile aritmetice, numerele iraționale pot participa împreună cu cele raționale. În același timp, există o serie de regularități. De exemplu, dacă într-o operație aritmetică sunt implicate numai numere raționale, atunci rezultatul este întotdeauna un număr rațional. Dacă doar cei iraționali participă la operațiune, atunci este imposibil să spunem fără echivoc dacă va rezulta un număr rațional sau irațional.
De exemplu, dacă înmulțiți două numere iraționale √2 * √2, obțineți 2 - acesta este un număr rațional. Pe de altă parte, √2 * √3 = √6 este un număr irațional.
Dacă o operație aritmetică implică un număr rațional și un număr irațional, atunci se va obține un rezultat irațional. De exemplu, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.
De ce este √17 - 4 un număr irațional? Imaginați-vă că obțineți un număr rațional x. Atunci √17 = x + 4. Dar x + 4 este un număr rațional, deoarece am presupus că x este rațional. Numărul 4 este de asemenea rațional, deci x + 4 este rațional. Totuși, un număr rațional nu poate fi egal cu iraționalul √17. Prin urmare, ipoteza că √17 - 4 dă un rezultat rațional este incorectă. Rezultatul unei operații aritmetice va fi irațional.
Cu toate acestea, există o excepție de la această regulă. Dacă înmulțim un număr irațional cu 0, obținem un număr rațional 0.
Definiția unui număr irațional
Numerele iraționale sunt acele numere care, în notație zecimală, sunt fracții zecimale neperiodice infinite.
Deci, de exemplu, numerele obținute prin luarea rădăcinii pătrate a numerelor naturale sunt iraționale și nu sunt pătrate ale numerelor naturale. Dar nu toate numerele iraționale sunt obținute prin extragerea rădăcinilor pătrate, deoarece numărul „pi” obținut prin împărțire este și el irațional și este puțin probabil să îl obțineți atunci când încercați să extrageți rădăcina pătrată dintr-un număr natural.
Proprietățile numerelor iraționale
Spre deosebire de numerele scrise în fracții zecimale infinite, numai numerele iraționale sunt scrise în fracții zecimale infinite neperiodice.
Suma a două numere iraționale nenegative poate fi în cele din urmă un număr rațional.
Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, în clasa inferioară a cărora nu există cel mai mare număr, iar în clasa superioară nu există unul mai mic.
Orice număr transcendental real este irațional.
Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
Setul de numere iraționale de pe linie este dens împachetat, iar între oricare dintre numerele sale trebuie să existe un număr irațional.
Mulțimea numerelor iraționale este infinită, nenumărabilă și este o mulțime din categoria a 2-a.
Când se efectuează orice operație aritmetică pe numere raționale, cu excepția împărțirii cu 0, rezultatul acesteia va fi un număr rațional.
Când adăugați un număr rațional la un număr irațional, rezultatul este întotdeauna un număr irațional.
Când adunăm numere iraționale, putem obține un număr rațional ca rezultat.
Mulțimea numerelor iraționale nu este par.
Cifrele nu sunt iraționale
Uneori este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă un număr este irațional, mai ales în cazurile în care numărul este sub forma unei fracții zecimale sau sub forma unei expresii numerice, rădăcină sau logaritm.
Prin urmare, nu va fi de prisos să știm care numere nu sunt iraționale. Dacă urmăm definiția numerelor iraționale, atunci știm deja că numerele raționale nu pot fi iraționale.
Numerele iraționale nu sunt:
În primul rând, toate numerele naturale;
În al doilea rând, numere întregi;
În al treilea rând, fracțiile obișnuite;
În al patrulea rând, diferite numere mixte;
În al cincilea rând, acestea sunt fracții zecimale periodice infinite.
Pe lângă toate cele de mai sus, orice combinație de numere raționale care este realizată de semnele operațiilor aritmetice, cum ar fi +, -, , :, nu poate fi un număr irațional, deoarece în acest caz rezultatul a două numere raționale va fi un număr rațional.
Acum să vedem care dintre numere sunt iraționale:
Știți de existența unui fan club unde fanii acestui misterios fenomen matematic caută din ce în ce mai multe informații despre Pi, încercând să-i dezvăluie misterul. Orice persoană care știe pe de rost un anumit număr de numere Pi după virgulă poate deveni membru al acestui club;
Știați că în Germania, sub protecția UNESCO, există palatul Castadel Monte, datorită proporțiilor cărora puteți calcula Pi. Un întreg palat a fost dedicat acestui număr de regele Frederic al II-lea.
Se pare că au încercat să folosească numărul Pi în construcția Turnului Babel. Dar, spre marele nostru regret, acest lucru a dus la prăbușirea proiectului, deoarece la acel moment calculul exact al valorii lui Pi nu era suficient studiat.
Cântăreața Kate Bush a înregistrat pe noul său disc o melodie numită „Pi”, în care au sunat o sută douăzeci și patru de numere din celebra serie de numere 3, 141... ..
Se încarcă...