İkinci dereceden denklem - çözülmesi kolay! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:

Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin aradığı anlamına gelir bu bilgi, bunun yazla ne ilgisi var ve okul yılı boyunca ne olacak - iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.

Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe göre ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Başlayalım! Makalenin içeriği:

İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:

burada katsayılar a,Bve c, a≠0 olan keyfi sayılardır.

Okul kursunda materyal şu ​​şekilde verilmektedir: aşağıdaki form– denklemler üç sınıfa ayrılmıştır:

1. İki kökleri vardır.

2. *Tek bir kökü vardır.

3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.

Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!

Diskriminant'ı hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:

Kök formülleri aşağıdaki gibidir:

*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.

Hemen yazıp çözebilirsiniz:

Örnek:

1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.

2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.

3. Eğer D ise< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Denkleme bakalım:

Bu bakımdan diskriminant sıfıra eşit olduğunda okul dersi bir kökün elde edildiğini söylüyor, burada dokuza eşit oluyor. Her şey doğru, öyle ama...

Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet, evet, şaşırmayın, iki eşit kök elde edersiniz ve matematiksel olarak kesin olmak gerekirse, cevabın iki kök yazması gerekir:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ama bu böyle - küçük bir ara söz. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.

Şimdi bir sonraki örnek:

Bildiğimiz gibi negatif bir sayının kökü alınamadığı için çözümler bu durumda HAYIR.

Bütün karar süreci bundan ibaret.

İkinci dereceden fonksiyon.

Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).

Bu formun bir fonksiyonudur:

burada x ve y değişkenlerdir

a, b, c – a ≠ 0 ile verilen sayılar

Grafik bir paraboldür:

Yani, “y” sıfıra eşit olan ikinci dereceden bir denklemi çözerek parabolün x ekseni ile kesişme noktalarını bulduğumuz ortaya çıkıyor. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. Hakkında ayrıntılar ikinci dereceden fonksiyon Görüntüleyebilirsiniz Inna Feldman'ın makalesi.

Örneklere bakalım:

Örnek 1: Çöz 2 kere 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12

*Denklemin sol ve sağ taraflarını hemen 2'ye bölmek, yani basitleştirmek mümkündü. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.

Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk

Cevapta x=11 yazmak caizdir.

Cevap: x = 11

Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant negatiftir, gerçek sayılarda çözüm yoktur.

Cevap: çözüm yok

Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!

Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. Karmaşık sayılar hakkında bir şey biliyor musun? Burada neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki özel rolleri ve gerekliliklerinin ne olduğunu ayrıntılarına girmeyeceğim; bu ayrı bir makalenin konusu.

Karmaşık sayı kavramı.

Küçük bir teori.

Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır

z = a + bi

a ve b'nin gerçel sayılar olduğu durumlarda, i sanal birim olarak adlandırılır.

a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değildir.

Sanal birim eksi birin köküne eşittir:

Şimdi denklemi düşünün:

İki eşlenik kök elde ediyoruz.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.

Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.

Durum 1. Katsayı b = 0.

Denklem şöyle olur:

Haydi dönüştürelim:

Örnek:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Durum 2. Katsayı c = 0.

Denklem şöyle olur:

Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:

*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.

Örnek:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.

Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.

Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.

Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.

AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A + B+ c = 0, O

- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A+ ç =B, O

Bu özellikler karar vermenize yardımcı olur belirli bir tür denklemler

Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı

Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Eşitlik geçerlidir A+ ç =B, Araç

Katsayıların düzenlilikleri.

1. Eğer ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse, kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Eğer ax 2 - bx - c = 0 denkleminde "b" katsayısı (a 2 - 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak "a" katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vieta'nın teoremi.

Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.

Ayrıca Vieta teoremi. İkinci dereceden bir denklemi olağan şekilde (bir diskriminant aracılığıyla) çözdükten sonra ortaya çıkan köklerin kontrol edilebilmesi uygundur. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.

ULAŞIM ŞEKLİ

Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.

Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.

Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:

Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:

İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.

Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.

*Üçünü tekrar atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.

Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5

meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.

Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan problemlerin çoğu, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesine indirgenir.

Dikkate değer bir şey!

1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:

15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.

Bunu standart bir forma getirmeniz gerekiyor (çözerken kafanızın karışmaması için).

2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.

Bibliyografik açıklama: Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. Çözüm yöntemleri ikinci dereceden denklemler// Genç bilim adamı. 2016. Sayı 6.1. S. 17-20..03.2019).



Projemiz ikinci dereceden denklemleri çözmenin yolları hakkındadır. Projenin hedefi: İkinci dereceden denklemleri okul müfredatında yer almayan yollarla çözmeyi öğrenmek. Görev: her şeyi bul olası yollarİkinci dereceden denklemleri çözerek bunları nasıl kullanacağınızı kendiniz öğrenin ve bu yöntemleri sınıf arkadaşlarınıza tanıtın.

“İkinci dereceden denklemler” nedir?

İkinci dereceden denklem- formun denklemi balta2 + bx + c = 0, Nerede A, B, C- bazı sayılar ( bir ≠ 0), X- Bilinmeyen.

a, b, c sayılarına ikinci dereceden denklemin katsayıları denir.

• a'ya birinci katsayı denir;
• b'ye ikinci katsayı denir;
• c - ücretsiz üye.

İkinci dereceden denklemleri “icat eden” ilk kişi kimdi?

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu. MÖ 1800 ile 1600 yılları arasına tarihlenen eski Babil kil tabletlerinin keşfi, ikinci dereceden denklemlerin incelenmesine ilişkin en eski kanıtları sağlıyor. Aynı tabletler belirli ikinci dereceden denklem türlerini çözmek için yöntemler içerir.

Antik çağda sadece birinci değil ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, alan bulma ile ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanıyordu. arsalar Ve birlikte hafriyat işleri askeri nitelikte olduğu kadar astronomi ve matematiğin gelişmesiyle de.

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan çivi yazılı metinlerin neredeyse tamamı, nasıl bulunduklarına dair hiçbir belirti olmaksızın, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Aksine yüksek seviye Babil'de cebirin gelişmesiyle birlikte çivi yazılı metinler negatif sayı kavramından yoksundur ve genel yöntemlerİkinci dereceden denklemlerin çözümü.

MÖ 4. yüzyıldan kalma Babilli matematikçiler. Pozitif kökleri olan denklemleri çözmek için karenin tümleyen yöntemini kullandı. MÖ 300 civarında Öklid daha genel bir geometrik çözüm yöntemi buldu. Negatif köklü denklemlere cebirsel formül biçiminde çözüm bulan ilk matematikçi Hintli bir bilim adamıydı. Brahmagupta(Hindistan, MS 7. yüzyıl).

Brahmagupta, tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kural ortaya koydu:

ax2 + bx = c, a>0

Bu denklemdeki katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Bu tür yarışmalarla ilgili eski Hint kitaplarından biri şöyle diyor: “Güneş nasıl parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakırsa, öğrenmiş adam cebirsel problemler önererek ve çözerek halka açık toplantılarda ihtişamını gölgede bırakacak. Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Cebirsel bir incelemede El-Harezmi Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırması verilmiştir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax2 = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax2.

Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan Harizmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri çıkarılabilir değil, toplamlardır. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi, sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi, belirli sayısal örnekler ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyar.

Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak bazı yeni şeyler geliştirdi cebirsel örnekler problemleri çözüyordu ve Avrupa'da negatif sayıları uygulamaya koyan ilk kişiydi.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Genel kural Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü 1544'te Avrupa'da formüle edildi. M. Stiefel.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi Genel görünüm Viet'te bu var, ancak Viet yalnızca olumlu kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasında. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. çabalar sayesinde Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının yardımıyla ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir biçim alıyor.

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birkaç yoluna bakalım.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için standart yöntemler Okul müfredatı:

1. Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırmak.
2. Tam bir kare seçme yöntemi.
3. Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.
4. Grafik çözümü ikinci dereceden denklem.
5. Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme.

Vieta teoremini kullanarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek için çarpımları serbest terime eşit ve toplamı ters işaretli ikinci katsayıya eşit iki sayı bulmanın yeterli olduğunu hatırlayın.

Örnek.X 2 -5x+6=0

Çarpımı 6 ve toplamı 5 olan sayıları bulmanız gerekiyor. Bu sayılar 3 ve 2 olacaktır.

Cevap: x 1 =2, x 2 =3.

Ancak bu yöntemi birinci katsayısı bire eşit olmayan denklemler için de kullanabilirsiniz.

Örnek.3x 2 +2x-5=0

Birinci katsayıyı alın ve serbest terimle çarpın: x 2 +2x-15=0

Bu denklemin kökleri çarpımı -15, toplamı -2 olan sayılar olacaktır. Bu sayılar 5 ve 3'tür. Orijinal denklemin köklerini bulmak için elde edilen kökleri birinci katsayıya bölün.

Cevap: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Denklemleri "atma" yöntemini kullanarak çözme.

İkinci dereceden denklemi düşünün: ax 2 + bx + c = 0, burada a≠0.

Her iki tarafı a ile çarparak a 2 x 2 + abx + ac = 0 denklemini elde ederiz.

ax = y olsun, dolayısıyla x = y/a; sonra verilen denklemin eşdeğeri olan y 2 + by + ac = 0 denklemine ulaşırız. Vieta teoremini kullanarak 1 ve 2'nin köklerini buluyoruz.

Sonunda x 1 = y 1 /a ve x 2 = y 2 /a'yı elde ederiz.

Bu yöntemle a katsayısı, sanki kendisine “atılmış” gibi serbest terimle çarpılır, bu yüzden buna “atma” yöntemi denir. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Örnek.2 kere 2 - 11x + 15 = 0.

2 katsayısını serbest terime “atalım” ve yerine bir değişiklik yapalım ve y 2 - 11y + 30 = 0 denklemini elde edelim.

Vieta'nın ters teoremine göre

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Cevap: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri.

İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 verilsin.

1. Eğer a+ b + c = 0 ise (yani denklemin katsayılarının toplamı sıfır ise), o zaman x 1 = 1.

2. Eğer a - b + c = 0 veya b = a + c ise x 1 = - 1 olur.

Örnek.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) olduğuna göre x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Cevap: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Örnek.132x 2 + 247x + 115 = 0

Çünkü a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), bu durumda x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Cevap: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının başka özellikleri de vardır. ancak bunların kullanımı daha karmaşıktır.

8. İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme.

Şekil 1. Nomogram

Bu, ikinci dereceden denklemleri çözmenin eski ve şu anda unutulmuş bir yöntemidir ve koleksiyonun 83. sayfasında yer almaktadır: Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. - M., Eğitim, 1990.

Tablo XXII. Denklemi çözmek için nomogram z 2 + pz + q = 0. Bu nomogram ikinci dereceden bir denklemi çözmeden denklemin köklerini katsayılarından belirlemeye olanak tanır.

Nomogramın eğrisel ölçeği aşağıdaki formüllere göre oluşturulmuştur (Şekil 1):

İnanmak OS = p, ED = q, OE = a(tümü cm cinsinden), Şekil 1'deki üçgenlerin benzerliklerinden SAN Ve CDF orantıyı elde ederiz

ikameler ve basitleştirmelerden sonra denklemi verir z 2 + pz + q = 0, ve mektup z Eğri ölçekte herhangi bir noktanın işareti anlamına gelir.

Pirinç. 2 İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme

Örnekler.

1) Denklem için z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram z 1 = 8,0 ve z 2 = 1,0 köklerini verir

Cevap:8.0; 1.0.

2) Bir nomogram kullanarak denklemi çözeriz

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu denklemin katsayılarını 2'ye bölerek z 2 - 4.5z + 1 = 0 denklemini elde ederiz.

Nomogram z 1 = 4 ve z 2 = 0,5 köklerini verir.

Cevap: 4; 0,5.

9. İkinci dereceden denklemlerin çözümü için geometrik yöntem.

Örnek.X 2 + 10x = 39.

Orijinalde bu problem şu şekilde formüle edilmiştir: “Kare ve on kök 39'a eşittir.”

Kenarı x olan bir kare düşünün, her birinin diğer tarafı 2,5 olacak şekilde kenarlarına dikdörtgenler yapılır, dolayısıyla her birinin alanı 2,5x olur. Ortaya çıkan şekil daha sonra yeni bir ABCD karesine tamamlanır, köşelerde her birinin kenarı 2,5 ve alanı 6,25 olan dört eşit kare oluşturulur.

Pirinç. 3 Denklemi çözmek için grafiksel yöntem x 2 + 10x = 39

ABCD karesinin S alanı, orijinal kare x 2, dört dikdörtgen (4∙2,5x = 10x) ve dört ek karenin (6,25∙4 = 25) alanlarının toplamı olarak temsil edilebilir; S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x'i 39 sayısıyla değiştirirsek S = 39 + 25 = 64 sonucunu elde ederiz, bu da karenin kenarının ABCD olduğu anlamına gelir. AB segmenti = 8. Orijinal karenin gerekli x tarafı için şunu elde ederiz:

10. Bezout teoremini kullanarak denklem çözme.

Bezout'un teoremi. P(x) polinomunun binom x - α'ya bölünmesinin geri kalanı P(α)'ya eşittir (yani P(x)'in x = α'daki değeri).

Eğer α sayısı P(x) polinomunun kökü ise, bu polinom x -α'ya kalansız bölünebilir.

Örnek.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)'i (x-1)'e bölün: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 veya x-3=0, x=3; Cevap: x1 =2,x2 =3.

Çözüm:İkinci dereceden denklemleri hızlı ve rasyonel bir şekilde çözme yeteneği, daha fazlasını çözmek için gereklidir. karmaşık denklemlerörneğin kesirli rasyonel denklemler, denklemler daha yüksek dereceler, iki ikinci dereceden denklemler ve lisede trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemler. İkinci dereceden denklemleri çözmek için bulunan tüm yöntemleri inceledikten sonra, sınıf arkadaşlarımıza standart yöntemlere ek olarak transfer yöntemini (6) kullanarak çözmelerini ve daha erişilebilir oldukları için denklemleri katsayıların (7) özelliğini kullanarak çözmelerini tavsiye edebiliriz. anlamaya.

Edebiyat:

1. Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. - M., Eğitim, 1990.
2. Cebir 8. sınıf: 8. sınıf ders kitabı. Genel Eğitim kurumlar Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ed. S. A. Telyakovsky 15. baskı, revize edildi. - M.: Eğitim, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi. Öğretmenler için el kitabı. / Ed. V.N. Daha genç. - M.: Eğitim, 1964.

Sadece. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada

verilen denklemi standart bir forma getirmek gerekir, yani. forma:

Eğer denklem size bu formda verilmişse ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur. En önemli şey bunu doğru yapmaktır

tüm katsayıları belirleyin, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı . Gördüğünüz gibi X'i bulmak için

kullanırız sadece a, b ve c. Onlar. katsayılar ikinci dereceden denklem. Sadece dikkatlice koy

değerler a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. İle değiştiriyoruz onların işaretler!

Örneğin, denklemde:

A =1; B = 3; C = -4.

Değerleri değiştiriyoruz ve yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b Ve İle. Daha doğrusu ikame ile

kökleri hesaplamak için formüle negatif değerler. Formülün ayrıntılı bir kaydı burada kurtarmaya geliyor

belirli numaralarla. Hesaplamalarda sorun yaşıyorsanız yapın!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Tüm işaretler ve parantezlerle hiçbir şeyi kaçırmadan, her şeyi ayrıntılı, dikkatli bir şekilde açıklıyoruz:

İkinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin.

İlk randevu. Daha önce tembel olmayın ikinci dereceden denklem çözme standart forma getirin.

Bu ne anlama gelir?

Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.

Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Eksilerden kurtulun. Nasıl? Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz.

Kendin için karar ver. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! İle Vieta teoremi.

Verilen ikinci dereceden denklemleri çözmek için; eğer katsayı

x 2 +bx+c=0,

Daha sonrax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−B

Tam ikinci dereceden bir denklem için a≠1:

x 2 +Bx+C=0,

tüm denklemi şuna böl: A:

→ →

Nerede x 1 Ve X 2 - denklemin kökleri.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Çarpmak

ortak paydalı denklem.

Çözüm. Pratik tavsiye:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa her şeyi çarparak onu ortadan kaldırırız

-1'e göre denklemler.

3. Katsayılar kesirli ise, denklemin tamamını karşılık gelen sayıyla çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

faktör.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm şu şekilde kolayca kontrol edilebilir:

İlk seviye

İkinci dereceden denklemler. Kapsamlı rehber (2019)

"İkinci dereceden denklem" terimindeki anahtar kelime "ikinci dereceden"dir. Bu, denklemin mutlaka bir değişkenin (aynı x) karesini içermesi gerektiği ve x'lerin üçüncü (veya daha büyük) kuvvetinin olmaması gerektiği anlamına gelir.

Birçok denklemin çözümü ikinci dereceden denklemlerin çözülmesine bağlıdır.

Bunun başka bir denklem değil, ikinci dereceden bir denklem olduğunu belirlemeyi öğrenelim.

Örnek 1.

Paydadan kurtulalım ve denklemin her terimini şununla çarpalım:

Her şeyi sol tarafa taşıyalım ve terimleri X'in kuvvetlerine göre azalan şekilde sıralayalım.

Artık bu denklemin ikinci dereceden olduğunu güvenle söyleyebiliriz!

Örnek 2.

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Bu denklem, başlangıçta içinde olmasına rağmen ikinci dereceden değildir!

Örnek 3.

Her şeyi şununla çarpalım:

Korkutucu? Dördüncü ve ikinci dereceler... Ancak yerine koyarsak basit ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu görürüz:

Örnek 4.

Orada gibi görünüyor, ama daha yakından bakalım. Her şeyi sol tarafa taşıyalım:

Bakın, bu azaltılmış - ve artık basit bir doğrusal denklem!

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Örnekler:

Yanıtlar:

1. kare;
2. kare;
3. kare değil;
4. kare değil;
5. kare değil;
6. kare;
7. kare değil;
8. kare.

Matematikçiler geleneksel olarak tüm ikinci dereceden denklemleri aşağıdaki türlere ayırırlar:

• İkinci dereceden denklemleri tamamlayın- katsayıların ve serbest terim c'nin sıfıra eşit olmadığı denklemler (örnekte olduğu gibi). Ek olarak, tam ikinci dereceden denklemler arasında verildi- bunlar katsayının olduğu denklemlerdir (birinci örnekteki denklem sadece tamamlanmış değil, aynı zamanda azaltılmış!)

• Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu denklemler:

  Eksikler çünkü bazı unsurlar eksik. Ancak denklem her zaman x kareyi içermelidir!!! Aksi takdirde, artık ikinci dereceden bir denklem değil, başka bir denklem olacaktır.

Neden böyle bir ayrım yaptılar? Görünüşe göre bir X kare var ve tamam. Bu bölüm çözüm yöntemlerine göre belirlenir. Her birine daha ayrıntılı olarak bakalım.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Öncelikle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye odaklanalım; bunlar çok daha basit!

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem türleri vardır:

1. , bu denklemde katsayı eşittir.
2. , bu denklemde serbest terim eşittir.
3. , bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

1. i. Karekök almayı bildiğimize göre bu denklemden ifade edelim.

İfade negatif veya pozitif olabilir. Kareli bir sayı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayı çarpıldığında sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır, yani: eğer öyleyse, o zaman denklemin çözümü yoktur.

Ve eğer öyleyse, o zaman iki kök elde ederiz. Bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Önemli olan, daha az olamayacağını bilmeniz ve her zaman hatırlamanızdır.

Bazı örnekleri çözmeye çalışalım.

Örnek 5:

Denklemi çözün

Artık geriye kalan tek şey kökü sol ve sağ taraftan çıkarmaktır. Sonuçta köklerin nasıl çıkarılacağını hatırlıyor musunuz?

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!!!

Örnek 6:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 7:

Denklemi çözün

Ah! Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok!

Kökleri olmayan bu tür denklemler için matematikçiler özel bir simge (boş küme) geliştirdiler. Ve cevap şu şekilde yazılabilir:

Cevap:

Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Kökünü çıkarmadığımız için burada herhangi bir kısıtlama yoktur.
Örnek 8:

Denklemi çözün

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Böylece,

Bu denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin en basit türü (her ne kadar hepsi basit olsa da, değil mi?). Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Burada örneklere yer vermeyeceğiz.

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme

Tam bir ikinci dereceden denklemin, form denkleminin bir denklemi olduğunu hatırlatırız;

İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözmek bunlardan biraz daha zordur (sadece biraz).

Hatırlamak, Herhangi bir ikinci dereceden denklem bir diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Diğer yöntemler bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümde ustalaşın.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

Bu yöntemi kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek çok basittir, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse denklemin bir kökü vardır. Özel dikkat adım at. Diskriminant () bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin yalnızca bir kökü olacaktır.
• Eğer öyleyse, bu adımda diskriminantın kökünü çıkaramayacağız. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.

Örnek 9:

Denklemi çözün

Aşama 1 atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir.

Aşama 3.

Cevap:

Örnek 10:

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin tek kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap:

Örnek 11:

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, diskriminantın kökünü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.

Artık bu tür cevapları nasıl doğru bir şekilde yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: kök yok

2. İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi.

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bir denklem türü vardır (a katsayısı şuna eşit olduğunda):

Bu tür denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmek çok kolaydır:

Köklerin toplamı verildiİkinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.

Örnek 12:

Denklemi çözün

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü .

Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün şuna eşittir:

Sistemi oluşturup çözelim:

• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 14:

Denklemi çözün

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Cevap:

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

İkinci dereceden denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir denklemidir.

Sayıya en yüksek veya denir ilk katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - Ücretsiz Üye.

Neden? Çünkü denklem hemen doğrusal hale gelirse, çünkü Kaybolacak.

Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denkleme eksik denir. Eğer tüm terimler yerli yerindeyse denklem tamamlanmıştır.

Çeşitli ikinci dereceden denklem türlerinin çözümleri

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

Öncelikle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerine bakalım - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türlerini ayırt edebiliriz:

I., bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

II. , bu denklemde katsayı eşittir.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.

Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Kareli bir sayı negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Bir problemin çözümü olmadığını kısaca yazmak için boş küme simgesini kullanırız.

Cevap:

Yani bu denklemin iki kökü var: ve.

Cevap:

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürün sıfıra eşittir. Bu, aşağıdaki durumlarda denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım ve kökleri bulalım:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, ikinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki ayırıcının köküne dikkat ettiniz mi? Ancak diskriminant negatif olabilir. Ne yapalım? 2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, denklemin kökleri vardır:
• Eğer öyleyse, denklem aynı köklere ve aslında bir köke sahipse:

  Bu tür köklere çift kök denir.

• Eğer öyleyse, diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Neden mümkün? farklı miktarlar kökler? Hadi dönelim geometrik anlamda ikinci dereceden denklem. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel bir durumda, . Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir. Bir parabol, ekseni hiç kesmeyebilir veya onu bir noktada (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesebilir.

Ayrıca katsayı parabolün dallarının yönünden de sorumludur. Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarıya, eğer ise aşağıya doğru yönlendirilir.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Cevap: .

Cevap:

Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır: sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.

Vieta teoreminin yalnızca indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü . Diğer katsayılar: ; .

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün şuna eşittir:

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Dolayısıyla ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; .

Örnek #2:

Çözüm:

Çarpımı veren sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

ve: toplamda veriyorlar.

ve: toplamda veriyorlar. Elde etmek için, sözde köklerin ve sonuçta ürünün işaretlerini değiştirmek yeterlidir.

Cevap:

Örnek #3:

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatiftir ve bu nedenle köklerin çarpımı negatif bir sayı. Bu ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı eşittir modüllerinin farklılıkları.

Çarpımı veren ve farkı eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

ve: farkları eşit - uymuyor;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun. Geriye kalan tek şey köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak. Toplamlarının eşit olması gerektiğinden, modülü daha küçük olan kök negatif olmalıdır: . Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek #4:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Serbest terim negatif olduğundan köklerin çarpımı negatiftir. Bu da ancak denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür.

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:

Açıkçası, yalnızca kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek #5:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Köklerin toplamı negatiftir, yani en azından köklerden biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan her iki kökün de eksi işareti olduğu anlamına gelir.

Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

Açıkçası, kökler sayılardır ve.

Cevap:

Katılıyorum, bu kötü ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kökleri bulmak çok uygun. Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın.

Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır. Kullanımından faydalanabilmeniz için eylemleri otomatikleştirmeniz gerekmektedir. Bunun için beş örnek daha çözün. Ama hile yapmayın: diskriminant kullanamazsınız! Yalnızca Vieta teoremi:

Bağımsız çalışma için görev çözümleri:

Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta teoremine göre:

Her zamanki gibi seçime şu parçayla başlıyoruz:

Uygun değil çünkü miktar;

: miktar tam ihtiyacınız olan şeydir.

Cevap: ; .

Görev 2.

Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam eşit olmalı ve çarpım da eşit olmalıdır.

Ama olmaması gerektiği için, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; .

Görev 3.

Hımm... Nerede o?

Tüm terimleri tek bir bölüme taşımanız gerekir:

Köklerin toplamı çarpıma eşittir.

Tamam, dur! Denklem verilmemiştir. Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlere uygulanabilir. Bu yüzden önce bir denklem vermeniz gerekiyor. Eğer liderlik edemiyorsanız, bu fikirden vazgeçin ve sorunu başka bir yolla (örneğin, ayrımcıyla) çözün. İkinci dereceden bir denklem vermenin baş katsayıyı eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

Harika. O zaman köklerin toplamı eşittir ve çarpım.

Burada armut bombardımanı yapmak kadar kolay: sonuçta bu bir asal sayı (totoloji için özür dilerim).

Cevap: ; .

Görev 4.

Ücretsiz üye negatiftir. Bunun nesi özel? Ve gerçek şu ki, köklerin farklı işaretleri olacak. Ve şimdi seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerindeki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak bir üründür.

Yani kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler. Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, çünkü.

Cevap: ; .

Görev 5.

İlk önce ne yapmalısın? Bu doğru, denklemi verin:

Tekrar: Sayının faktörlerini seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalıdır:

Kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, yani eksi daha büyük bir köke sahip olacaktır.

Cevap: ; .

Özetleyeyim:

1. Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
2. Vieta teoremini kullanarak kökleri seçim yoluyla sözlü olarak bulabilirsiniz.
3. Denklem verilmezse veya serbest terimin uygun bir faktör çifti bulunmazsa, o zaman tam kök yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, bir diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam kareyi seçme yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler kısaltılmış çarpma formüllerinden (toplamın veya farkın karesi) terimler biçiminde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra denklem, türün tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi biçiminde sunulabilir.

Örneğin:

Örnek 1:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Örnek 2:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Genel olarak dönüşüm şöyle görünecek:

Bu şu anlama gelir: .

Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Bu ayrımcılıktır! Diskriminant formülünü tam olarak bu şekilde elde ettik.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden denklem- bu, - bilinmeyenin, - ikinci dereceden denklemin katsayılarının, - serbest terimin olduğu formun bir denklemidir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem: .

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

• katsayı ise denklem şuna benzer: ,
• serbest bir terim varsa denklem şu şekildedir: ,
• eğer ve ise denklem şuna benzer: .

1. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edelim: ,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

• eğer öyleyse denklemin çözümü yok,
• eğer öyleyse denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım: ,

2) Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .

2. Formun ikinci dereceden tam denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant kullanarak çözüm

1) Denklemi standart forma getirelim: ,

2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayalım:

3) Denklemin köklerini bulun:

• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan kökleri vardır:
• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse denklemin kökleri yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemi) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , A.

2.3. Tam kare seçme yöntemiyle çözüm

Formun ikinci dereceden bir denkleminin kökleri varsa, şu şekilde yazılabilir: .

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

İÇİNDE modern toplum kare değişkeni içeren denklemlerle işlem yapabilme yeteneği birçok faaliyet alanında faydalı olabilir ve bilimsel ve teknik gelişmelerde pratikte yaygın olarak kullanılır. Bunun kanıtı denizcilik tasarımında bulunabilir ve nehir tekneleri, uçaklar ve füzeler. Bu tür hesaplamaları kullanarak, en büyük hareket yörüngeleri farklı bedenler uzay nesneleri dahil. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler yalnızca ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılmaktadır. Yürüyüş gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda bunlara ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi bileşen faktörlerine ayıralım

Bir denklemin derecesi, ifadenin içerdiği değişkenin derecesinin maksimum değeri ile belirlenir. 2'ye eşitse, böyle bir denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır.

Formül diliyle konuşursak, nasıl görünürse görünsün, belirtilen ifadeler her zaman istenildiği zaman forma getirilebilir. Sol Taraf ifadesi üç terimden oluşur. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi olan bir değişken), bx (katsayısıyla karesi olmayan bir bilinmeyen) ve c (serbest bir bileşen, yani sıradan bir sayı). Sağ taraftaki tüm bunlar 0'a eşittir. Böyle bir polinomun, ax 2 hariç kendisini oluşturan terimlerden birinin eksik olması durumunda, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Bu tür problemlerin çözümüne yönelik örneklerde öncelikle bulunması kolay olan değişkenlerin değerleri dikkate alınmalıdır.

İfadenin sağ tarafında iki terim var gibi görünüyorsa, daha doğrusu ax 2 ve bx, x'i bulmanın en kolay yolu değişkeni parantezlerin dışına çıkarmaktır. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Daha sonra, ya x=0 olduğu ya da problemin şu ifadeden bir değişken bulmakta olduğu açıkça ortaya çıkıyor: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca biri sıfır olduğunda 0 ile sonuçlanacağını belirtir.

Örnek

x=0 veya 8x - 3 = 0

Sonuç olarak denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0,375.

Bu tür denklemler, koordinatların orijini olarak alınan belirli bir noktadan itibaren hareket etmeye başlayan yerçekiminin etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim şu biçimi alır: y = v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, cismin yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği bulabilirsiniz. Ama bunu daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Faktoringe Alma

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunların daha karmaşık durumlarda çözülmesini mümkün kılar. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerine bakalım.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu ikinci dereceden trinomial tamamlandı. Öncelikle ifadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım. Bunlardan iki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak elimizde 8 ve 25 olmak üzere iki kök var.

9. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci dereceden değil, üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde de bir değişken bulmasına olanak tanır.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli çarpanlara ayırdığımızda bunlardan üç tane vardır, yani (x+1), (x-3) ve (x+ 3).

Sonuç olarak bu denklemin üç kökü olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Kare kök

Tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin başka bir durumu, harf dilinde sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde temsil edilen bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim aktarılır. Sağ Taraf ve bundan sonra eşitliğin her iki tarafından karekök alınır. Bu durumda genellikle denklemin iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, değişkenin sıfıra eşit olduğu, hiç terim içermeyen eşitlikler ve sağ tarafın negatif olduğu ifadelerin çeşitleri olabilir. İkinci durumda, yukarıdaki eylemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü o uzak zamanlarda matematiğin gelişimi büyük ölçüde arazi parsellerinin alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacıyla belirlendi.

Bu tür problemlere dayanarak ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini de düşünmeliyiz.

Diyelim ki uzunluğu genişliğinden 16 metre daha fazla olan dikdörtgen bir arsa var. Alanının 612 m2 olduğunu biliyorsanız sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.

Başlamak için önce gerekli denklemi oluşturalım. Alanın genişliğini x ile gösterirsek uzunluğu (x+16) olur. Yazılmış olanlardan, alanın, problemimizin koşullarına göre 612 olan x(x+16) ifadesiyle belirlendiği anlaşılmaktadır. Bu, x(x+16) = 612 anlamına gelir.

İkinci dereceden denklemlerin tam çözümü, ki bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafta hala iki faktör bulunsa da çarpımları hiç 0'a eşit olmadığından burada farklı yöntemler kullanılıyor.

diskriminant

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapalım, ardından dış görünüş Bu ifadenin şekli şöyle görünecektir: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda, a=1, b=16, c=-612 olan bir ifade aldığımız anlamına gelir.

Bu, ikinci dereceden denklemleri bir diskriminant kullanarak çözmenin bir örneği olabilir. Burada gerekli hesaplamalar şemaya göre yapılır: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı miktar sadece ikinci dereceden bir denklemde gerekli miktarları bulmayı mümkün kılmakla kalmaz, aynı zamanda miktarı da belirler. olası seçenekler. D>0 ise iki tane var; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda diskriminant şuna eşittir: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösteriyor. Eğer k'yı biliyorsanız ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanızı sağlar.

Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 =18, x 2 =-34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın boyutları negatif büyüklüklerle ölçülemez, yani x (yani arsanın genişliği) 18 m olur.Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18 +16=34 ve çevre 2(34+ 18)=104(m2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemler çalışmamıza devam ediyoruz. Bunlardan birkaçının örnekleri ve ayrıntılı çözümleri aşağıda verilecektir.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına taşıyalım, bir dönüşüm yapalım yani standart denilen denklem türünü elde edip sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Benzerlerini toplayarak diskriminantı belirliyoruz: D = 49 - 48 = 1. Bu, denklemimizin iki kökü olacağı anlamına gelir. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplayalım, yani birincisi 4/3'e, ikincisi ise 1'e eşit olacaktır.

2) Şimdi farklı türden gizemleri çözelim.

Burada herhangi bir kök olup olmadığını bulalım x 2 - 4x + 5 = 1? Kapsamlı bir cevap elde etmek için polinomu karşılık gelen olağan forma indirgeyelim ve diskriminantı hesaplayalım. Yukarıdaki örnekte ikinci dereceden denklemi çözmeye gerek yoktur çünkü sorunun özü bu değildir. Bu durumda D = 16 - 20 = -4, yani gerçekte köklerin olmadığı anlamına gelir.

Vieta teoremi

İkinci dereceden denklemleri yukarıdaki formülleri ve diskriminantı kullanarak, ikincisinin değerinden karekök alındığında çözmek uygundur. Ancak bu her zaman gerçekleşmez. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini elde etmenin birçok yolu vardır. Örnek: Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. Adını 16. yüzyılda Fransa'da yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan bir kişiden almıştır. Portresi makalede görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen şu şekildeydi. Denklemin köklerinin sayısal olarak toplamının -p=b/a olduğunu ve çarpımlarının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x2 + 21x - 54 = 0

Basit olması açısından ifadeyi dönüştürelim:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremini kullanalım, bu bize şunu verecektir: Köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Kontrol ettikten sonra bu değişken değerlerinin gerçekten ifadeye uyduğundan emin olacağız.

Parabol grafiği ve denklemi

İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematik bilmecelerine biraz daha detaylı bakalım. Tanımlanan türdeki herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik olarak çizilen böyle bir ilişkiye parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Her parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir nokta vardır. Eğer a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere tüm denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. X değişkeninin değeri ise grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b/2a formülü kullanılarak bulunabilir. Ve ortaya çıkan değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani ordinat eksenine ait olan parabolün tepe noktasının ikinci koordinatını bulabilirsiniz.

Bir parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birçok örneği vardır, ancak aynı zamanda genel modeller de vardır. Şimdi onlara bakalım. a>0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak 0'ın negatif değer alması durumunda mümkün olacağı açıktır. Ve bir için<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de doğrudur. Yani ikinci dereceden bir fonksiyonun görsel temsilini elde etmek kolay değilse ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyebilir ve ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseniyle kesişme noktalarını bilerek bir grafik oluşturmak daha kolaydır.

Tarihten

Eskiden kare değişkeni içeren denklemleri kullanarak sadece matematiksel hesaplamalar yapmakla kalmıyor, geometrik şekillerin alanlarını da belirliyorlardı. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanlarındaki büyük keşiflerin yanı sıra astrolojik tahminler yapmak için de bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyorlardı.

Modern bilim adamlarının önerdiği gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Bu, çağımızdan dört yüzyıl önce oldu. Elbette onların hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden kökten farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığından haberleri yoktu. Ayrıca herhangi bir modern okul çocuğunun bildiği diğer inceliklere de aşina değillerdi.

Belki de Babil'deki bilim adamlarından bile önce, Hintli bilge Baudhayama ikinci dereceden denklemleri çözmeye başladı. Bu, İsa'nın döneminden yaklaşık sekiz yüzyıl önce gerçekleşti. Doğru, ikinci dereceden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.