Bu yazıda nasıl verileceğini göstereceğiz Trigonometride bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları ve sayı. Burada notasyonlardan bahsedeceğiz, girdi örnekleri vereceğiz ve grafiksel çizimler vereceğiz. Sonuç olarak trigonometri ve geometrideki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları arasında bir paralellik kuralım.
Sayfada gezinme.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımı
Bir okul matematik dersinde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fikrinin nasıl oluştuğunu görelim. Geometri derslerinde dik üçgende dar bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımı verilmektedir. Daha sonra dönme açısının ve sayısının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantından bahseden trigonometri incelenir. Tüm bu tanımları sunalım, örnekler verelim ve gerekli yorumları verelim.
Dik üçgende dar açı
Geometri dersinden dik üçgendeki dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımlarını biliyoruz. Bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak verilirler. Formülasyonlarını verelim.
Tanım.
Dik üçgende dar açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının kosinüsü bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının tanjantı– karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.
Tanım.
Bir dik üçgende dar açının kotanjantı- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları da burada tanıtılmıştır - sırasıyla sin, cos, tg ve ctg.
Örneğin, eğer ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgense, bu durumda A dar açısının sinüsü, karşı BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir, yani sin∠A=BC/AB.
Bu tanımlar, bir dik üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından ve ayrıca bir akut açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplamanıza olanak tanır. bilinen değerler Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve kenarlardan birinin uzunluğunu kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulun. Örneğin, bir dik üçgende AC kenarının 3'e ve AB hipotenüsünün 7'ye eşit olduğunu bilseydik, dar açı A'nın kosinüsünün değerini tanım gereği hesaplayabilirdik: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Dönüş açısı
Trigonometride açıya daha geniş bakmaya başlarlar - dönme açısı kavramını tanıtırlar. Dönme açısının büyüklüğü, dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı değildir; derece cinsinden (ve radyan cinsinden) dönme açısı -∞'dan +∞'a kadar herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilebilir.
Bu açıdan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları dar bir açıya göre değil, isteğe bağlı büyüklükte bir açıya (dönme açısına) göre verilmiştir. Bunlar, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıcı olan O noktası etrafında bir α açısı kadar döndükten sonra sözde başlangıç noktası A(1, 0)'ın gittiği A 1 noktasının x ve y koordinatları aracılığıyla verilir. ve birim çemberin merkezi.
Tanım.
Dönme açısının sinüsüα, A1 noktasının koordinatıdır, yani sinα=y.
Tanım.
Dönme açısının kosinüsüα'ya A 1 noktasının apsisi denir, yani cosα=x.
Tanım.
Dönme açısının tanjantıα, A1 noktasının ordinatının apsisine oranıdır, yani tanα=y/x.
Tanım.
Dönme açısının kotanjantıα, A1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır, yani ctgα=x/y.
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır, çünkü başlangıç noktasının α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktanın apsisini ve ordinatını her zaman belirleyebiliriz. Ancak teğet ve kotanjant herhangi bir açı için tanımlanmamıştır. Başlangıç noktasının sıfır apsisli (0, 1) veya (0, −1) bir noktaya gittiği α açıları için tanjant tanımlanmamıştır ve bu, 90°+180° k, k∈Z (π) açılarında meydana gelir. /2+π·k rad). Aslında bu tür dönme açılarında tgα=y/x ifadesi sıfıra bölünmeyi içerdiğinden bir anlam ifade etmemektedir. Kotanjanta gelince, başlangıç noktasının sıfır koordinatlı (1, 0) veya (−1, 0) noktaya gittiği α açıları için tanımlanmamıştır ve bu, 180° k, k ∈Z açıları için meydana gelir. (π·k rad).
Yani herhangi bir dönme açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır, 90°+180°k hariç tüm açılar için teğet tanımlanır, k∈Z (π/2+πk rad) ve 180° ·k hariç tüm açılar için kotanjant tanımlanır , k∈Z (π·k rad).
Tanımlar, bizim tarafımızdan zaten bilinen sin, cos, tg ve ctg tanımlarını içerir; bunlar aynı zamanda sinüs, kosinüs, teğet ve dönme açısının kotanjantını belirtmek için de kullanılır (bazen tan ve cot tanımlarını teğet ve kotanjanta karşılık gelen olarak bulabilirsiniz) . Dolayısıyla 30 derecelik bir dönme açısının sinüsü sin30° olarak yazılabilir, tg(−24°17') ve ctgα girdileri −24 derece 17 dakika dönme açısının tanjantına ve dönme açısı α'nın kotanjantına karşılık gelir. . Bir açının radyan ölçüsünü yazarken "rad" ifadesinin sıklıkla atlandığını hatırlayın. Örneğin, üç pi rad'lık bir dönme açısının kosinüsü genellikle cos3·π olarak gösterilir.
Bu noktanın sonucu olarak, dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantından bahsederken "dönme açısı" ifadesinin veya "dönme" kelimesinin sıklıkla atlandığını belirtmekte fayda var. Yani, "dönme açısı alfanın sinüsü" ifadesi yerine genellikle "alfa açısının sinüsü" veya daha kısası "sinüs alfa" ifadesi kullanılır. Aynı durum kosinüs, teğet ve kotanjant için de geçerlidir.
Ayrıca bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, 0 ila 90 derece arasındaki bir dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için verilen tanımlarla tutarlı olduğunu söyleyeceğiz. Bunu meşrulaştıracağız.
Sayılar
Tanım.
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı t, dönme açısının sırasıyla t radyan cinsinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantına eşit bir sayıdır.
Örneğin, 8 π sayısının kosinüsü tanım gereği sayıdır. kosinüse eşit 8·π rad açısı. Ve 8·π rad açısının kosinüsü bire eşittir, dolayısıyla 8·π sayısının kosinüsü 1'e eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Her t gerçek sayısının, dikdörtgen koordinat sisteminin başlangıcında merkezi olan birim çember üzerindeki bir nokta ile ilişkilendirilmesi ve sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın bu noktanın koordinatları aracılığıyla belirlenmesinden oluşur. Buna daha detaylı bakalım.
Gerçek sayılar ile çember üzerindeki noktalar arasında nasıl bir ilişki kurulduğunu gösterelim:
- 0 sayısına A(1, 0) başlangıç noktası atanır;
- pozitif sayı t birim çember üzerindeki bir noktayla ilişkilidir; başlangıç noktasından itibaren daire boyunca saat yönünün tersine hareket edersek ve t uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız;
- negatif sayı t birim çemberin noktasıyla ilişkilidir; başlangıç noktasından itibaren daire boyunca saat yönünde hareket edersek ve |t| uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız. .
Şimdi t sayısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına geçiyoruz. t sayısının A 1 (x, y) çemberi üzerinde bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım (örneğin &pi/2; sayısı A 1 (0, 1) noktasına karşılık gelir).
Tanım.
Sayının sinüsü t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen noktanın koordinatıdır, yani sint=y.
Tanım.
Sayının kosinüsü t'ye birim çemberin t sayısına karşılık gelen noktasının apsisi denir, yani maliyet=x.
Tanım.
Sayının tanjantı t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranıdır, yani tgt=y/x. Başka bir eşdeğer formülasyonda, bir t sayısının tanjantı, bu sayının sinüsünün kosinüsüne oranıdır, yani tgt=sint/maliyettir.
Tanım.
Sayının kotanjantı t, apsisin birim çember üzerindeki t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatına oranıdır, yani ctgt=x/y. Başka bir formülasyon şudur: t sayısının tanjantı, t sayısının kosinüsünün t sayısının sinüsüne oranıdır: ctgt=maliyet/sint.
Burada az önce verilen tanımların bu paragrafın başında verilen tanımla tutarlı olduğunu görüyoruz. Aslında birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen nokta, başlangıç noktasının t radyan açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktayla çakışmaktadır.
Bu noktayı yine de açıklığa kavuşturmakta fayda var. Diyelim ki sin3 girişimiz var. 3 sayısının sinüsünden mi, yoksa 3 radyanlık dönme açısının sinüsünden mi bahsettiğimizi nasıl anlayabiliriz? Bu genellikle bağlamdan açıkça anlaşılır, aksi halde muhtemelen temel bir öneme sahip değildir.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
Önceki paragrafta verilen tanımlara göre, her bir dönme açısı α, cosα değerinin yanı sıra çok spesifik bir sinα değerine de karşılık gelir. Ayrıca 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) dışındaki tüm dönüş açıları tgα değerlerine, 180°k dışındaki tüm dönüş açıları ise k∈Z (πk rad ) – değerlere karşılık gelir. ctga'dan. Bu nedenle sinα, cosα, tanα ve ctgα, α açısının fonksiyonlarıdır. Başka bir deyişle bunlar açısal argümanın işlevleridir.
Sayısal bir argümanın sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları hakkında da benzer şekilde konuşabiliriz. Gerçekte, her t gerçek sayısı, maliyetin yanı sıra çok spesifik bir sint değerine de karşılık gelir. Ek olarak, π/2+π·k, k∈Z dışındaki tüm sayılar tgt değerlerine ve π·k, k∈Z sayıları - ctgt değerlerine karşılık gelir.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarına denir temel trigonometrik fonksiyonlar.
Açısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarıyla mı yoksa sayısal bir argümanla mı uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır. Aksi takdirde bağımsız değişkeni hem açının bir ölçüsü (açısal argüman) hem de sayısal bir argüman olarak düşünebiliriz.
Ancak okulda esas olarak sayısal fonksiyonları, yani argümanları ve karşılık gelen fonksiyon değerleri sayı olan fonksiyonları inceliyoruz. Bu nedenle, özellikle işlevlerden bahsediyorsak, trigonometrik işlevleri sayısal argümanların işlevleri olarak düşünmeniz önerilir.
Geometri ve trigonometri tanımları arasındaki ilişki
Dönme açısı α'nın 0 ila 90 derece arasında değiştiğini düşünürsek, trigonometri bağlamında dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları bir sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tamamen tutarlıdır. Geometri dersinde verilen dik üçgende dar açı. Bunu meşrulaştıralım.
Birim çemberi dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de gösterelim. Başlangıç noktasını A(1, 0) olarak işaretleyelim. Bunu 0 ila 90 derece arasında değişen bir α açısı kadar döndürelim, A 1 (x, y) noktasını elde ederiz. A 1 H dikmesini A 1 noktasından Ox eksenine bırakalım.
Bir dik üçgende A 1 OH olduğunu görmek kolaydır. açıya eşit dönme α, bu açıya bitişik OH ayağının uzunluğu A 1 noktasının apsisine eşittir, yani |OH|=x, köşenin karşısındaki A 1 H ayağının uzunluğu koordinatına eşittir A 1 noktası, yani |A 1 H|=y ve OA 1 hipotenüsünün uzunluğu birim çemberin yarıçapı olduğundan bire eşittir. Bu durumda, geometri tanımı gereği, bir A 1 OH dik üçgenindeki bir α dar açısının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir, yani sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ve trigonometrinin tanımı gereği, dönme açısı a'nın sinüsü A1 noktasının ordinatına eşittir, yani sinα=y. Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü belirlemenin, α 0 ila 90 derece arasında olduğunda dönme açısı α'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğunu gösterir.
Benzer şekilde, bir a dar açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, a dönme açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tutarlı olduğu gösterilebilir.
Kaynakça.
- Geometri. 7-9 sınıflar: ders kitabı genel eğitim için kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, vb.]. - 20. baskı. M.: Eğitim, 2010. - 384 s.: hasta. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometri: Ders Kitabı. 7-9 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov. - 2. baskı - M.: Eğitim, 2001. - 224 s.: hasta. - ISBN 5-09-010803-X.
- Cebir ve temel işlevler : öğretici 9. sınıf öğrencileri için lise/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Düzenleyen: Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru O. N. Golovin - 4. baskı. M.: Eğitim, 1969.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: hasta - ISBN 5-09-002727-7
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir ve analizin başlangıcı. Sınıf 10. Saat 2'de Bölüm 1: öğretici Eğitim Kurumları(profil düzeyi)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - I.: Eğitim, 2010.- 368 s.: hasta.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
Bu yazımızda kapsamlı bir şekilde ele alacağız. Temel trigonometrik kimlikler, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve bu trigonometrik fonksiyonlardan herhangi birinin bilinen bir diğeri aracılığıyla bulunmasını sağlayan eşitliklerdir.
Bu yazımızda analiz edeceğimiz ana trigonometrik özdeşlikleri hemen listeleyelim. Bunları bir tablo halinde yazalım ve aşağıda bu formüllerin çıktılarını verip gerekli açıklamaları yapacağız.
Sayfada gezinme.
Bir açının sinüsü ve kosinüsü arasındaki ilişki
Bazen yukarıdaki tabloda listelenen ana trigonometrik özdeşlikler hakkında değil, tek bir tane hakkında konuşurlar. temel trigonometrik kimlik tür 
. Bu gerçeğin açıklaması oldukça basittir: Eşitlikler, ana trigonometrik özdeşliğin her iki parçasını sırasıyla ve ve eşitliklere bölerek elde edilir. 
Ve 
sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından takip edin. Bunu aşağıdaki paragraflarda daha ayrıntılı olarak konuşacağız.
Yani, trigonometrik özdeşliğin adı verilen, özellikle ilgi çekici olan eşitliktir.
Ana trigonometrik özdeşliği kanıtlamadan önce formülasyonunu veriyoruz: bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı aynı şekilde bire eşittir. Şimdi bunu kanıtlayalım.
Temel trigonometrik özdeşlik şu durumlarda sıklıkla kullanılır: trigonometrik ifadeleri dönüştürme. Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesine olanak sağlar. Temel trigonometrik kimlik daha az sıklıkla kullanılmaz. Ters sipariş: birim herhangi bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı ile değiştirilir.
Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant
Bir bakış açısının sinüs ve kosinüsü ile teğet ve kotanjantı birleştiren kimlikler ve 
sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını hemen takip edin. Aslında, tanım gereği sinüs, y'nin ordinatıdır, kosinüs, x'in apsisidir, teğet, ordinatın apsise oranıdır, yani, 
ve kotanjant apsisin koordinata oranıdır, yani, 
.
Kimliklerin bu kadar açık olması sayesinde Teğet ve kotanjant genellikle apsis ve ordinat oranıyla değil, sinüs ve kosinüs oranıyla tanımlanır. Yani bir açının tanjantı, sinüsün bu açının kosinüsüne oranıdır ve kotanjant da kosinüsün sinüse oranıdır.
Bu paragrafın sonunda belirtmek gerekir ki, kimlikler ve İçerdiği trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu tüm açılarda gerçekleşir. Dolayısıyla formül, (aksi halde payda sıfır olur ve sıfıra bölmeyi tanımlamadık) dışında herhangi biri için geçerlidir ve formül - hepsi için farklı, burada z herhangi bir değerdir.
Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki
Daha da belirgin trigonometrik özdeşlikönceki ikisine göre, formun bir açısının teğetini ve kotanjantını birleştiren özdeşliktir . Bunun dışındaki tüm açılar için geçerli olduğu açıktır, aksi takdirde teğet veya kotanjant tanımlanmaz.
Formülün kanıtı Çok basit. Tanım gereği ve nereden 
. Kanıt biraz daha farklı bir şekilde gerçekleştirilebilirdi. O zamandan beri , O 
.
Yani anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantı .
Sinüs ve kosinüs başlangıçta dik üçgenlerdeki miktarları hesaplama ihtiyacından doğmuştur. Bir dik üçgende açıların derece ölçüsü değiştirilmezse, bu kenarların uzunluğu ne kadar değişirse değişsin en boy oranının daima aynı kaldığı fark edildi.
Sinüs ve kosinüs kavramları bu şekilde tanıtıldı. Bir dik üçgende dar açının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranıdır ve kosinüs, hipotenüse komşu olan tarafın oranıdır.
Kosinüs ve sinüs teoremleri
Ancak kosinüsler ve sinüsler dik üçgenlerden daha fazlası için kullanılabilir. Herhangi bir üçgenin geniş veya dar açısının veya kenarının değerini bulmak için kosinüs ve sinüs teoremini uygulamak yeterlidir.
Kosinüs teoremi oldukça basittir: "Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir."
Sinüs teoreminin iki yorumu vardır: küçük ve genişletilmiş. Minöre göre: “Bir üçgende açılar karşı kenarlarla orantılıdır.” Bu teorem genellikle bir üçgenin çevrelenen dairesinin özelliği nedeniyle genişletilir: "Bir üçgende açılar karşıt kenarlarla orantılıdır ve bunların oranı çevrelenen dairenin çapına eşittir."
Türevler
Türev, bir fonksiyonun argümanındaki değişikliğe göre ne kadar hızlı değiştiğini gösteren matematiksel bir araçtır. Türevler geometride ve birçok teknik disiplinde kullanılır.
Problemleri çözerken trigonometrik fonksiyonların türevlerinin tablo değerlerini bilmeniz gerekir: sinüs ve kosinüs. Sinüsün türevi kosinüstür ve kosinüs sinüstür ancak eksi işareti vardır.
Matematikte uygulama
Sinüsler ve kosinüsler özellikle dik üçgenlerin ve bunlarla ilgili problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır.
Sinüs ve kosinüslerin rahatlığı teknolojiye de yansır. Karmaşık şekilleri ve nesneleri "basit" üçgenlere ayıran kosinüs ve sinüs teoremlerini kullanarak açıları ve kenarları değerlendirmek kolaydı. Çoğunlukla en boy oranları ve derece ölçümleri hesaplamalarıyla uğraşan mühendisler, tablo dışı açıların kosinüslerini ve sinüslerini hesaplamak için çok fazla zaman ve çaba harcadılar.
Daha sonra binlerce sinüs, kosinüs, teğet ve farklı açılardan kotanjant değerlerini içeren Bradis tabloları kurtarmaya geldi. İÇİNDE Sovyet zamanı bazı öğretmenler öğrencilerini Bradis tablolarının sayfalarını ezberlemeye zorladı.
Radyan, uzunluğu yarıçapa veya 57,295779513° dereceye eşit olan bir yayın açısal değeridir.
Derece (geometride) - bir dairenin 1/360'ı veya dik açının 1/90'ı.
π = 3,141592653589793238462… (Pi'nin yaklaşık değeri).
Açılar için kosinüs tablosu: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Açı x (derece olarak) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Açı x (radyan cinsinden) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2xπ/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2 x π |
| çünkü x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Öncelikle yarıçapı 1 ve merkezi (0;0) olan bir daire düşünün. Herhangi bir αЄR için, 0A yarıçapı, 0A ile 0x ekseni arasındaki açının radyan ölçüsü α'ya eşit olacak şekilde çizilebilir. Saat yönünün tersine yön pozitif kabul edilir. A yarıçapının sonunun koordinatları (a,b) olsun.
sine'un tanımı
Tanım: Açıklanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ordinatına eşit olan b sayısı sinα ile gösterilir ve α açısının sinüsü olarak adlandırılır.
Örnek: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
cosine'un tanımı
Tanım: Açıklanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ucunun apsisine eşit olan a sayısı, cosα ile gösterilir ve α açısının kosinüsü olarak adlandırılır.
Örnek: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Bu örneklerde, birim yarıçapın ve birim çemberin ucunun koordinatları cinsinden bir açının sinüs ve kosinüsünün tanımı kullanılır. Daha görsel bir gösterim için, bir birim daire çizmeniz ve karşılık gelen noktaları bunun üzerine çizmeniz, ardından kosinüsü hesaplamak için apsislerini ve sinüsü hesaplamak için koordinatları saymanız gerekir.
Teğet tanımı
Tanım: x≠π/2+πk, kЄZ için tgx=sinx/cosx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. tgx fonksiyonunun tanım alanı, x=π/2+πn, nЄZ hariç tüm gerçek sayılardır.
Örnek: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Bu örnek öncekine benzer. Bir açının tanjantını hesaplamak için bir noktanın ordinatını apsisine bölmeniz gerekir.
cotangent'un tanımı
Tanım: x≠πk, kЄZ için ctgx=cosx/sinx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. Ctgx = fonksiyonunun tanım alanı, x=πk, kЄZ noktaları dışındaki tüm gerçek sayılardır.
Normal dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım
Kosinüs, sinüs, teğet ve kotanjantın ne olduğunu daha açık hale getirmek için. Açısı y olan normal bir dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım ve a,b,c kenarları. Hipotenüs c, sırasıyla bacaklar a ve b. Hipotenüs c ile kenar b y arasındaki açı.
Tanım: Y açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranıdır: siny = a/c
Tanım: Y açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır: cosy = v/c
Tanım: Y açısının tanjantı karşı tarafın komşu kenara oranıdır: tgy = a/b
Tanım: Y açısının kotanjantı, komşu tarafın karşı tarafa oranıdır: ctgy= in/a
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant da trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır.
Bize bir açı verilirse sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının bizim tarafımızdan bilindiğine inanılıyor! Ve tam tersi. Sırasıyla bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde açıyı biliyoruz. Hatta her açı için trigonometrik fonksiyonların yazıldığı özel tablolar bile oluşturulmuştur.
Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometride kullanımını inceleyen bir matematik bilimi dalıdır. Trigonometrinin gelişimi o günlerde başladı Antik Yunan. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamlarının bu bilimin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.
Bu makale trigonometrinin temel kavramlarına ve tanımlarına ayrılmıştır. Temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanmış ve gösterilmiştir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Başlangıçta argümanı açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları bir dik üçgenin kenarlarının oranı cinsinden ifade ediliyordu.
Trigonometrik fonksiyonların tanımları
Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.
Açının kosinüsü (cos α) - bitişik bacağın hipotenüse oranı.
Açı teğeti (t g α) - karşı tarafın bitişik tarafa oranı.
Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik tarafın karşı tarafa oranı.
Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!
Bir örnek verelim.
Dik açılı ABC üçgeninde, A açısının sinüsü, BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı -1'den 1'e kadardır. Yani sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Teğet ve kotanjantın değer aralığı sayı doğrusunun tamamıdır, yani bu işlevler herhangi bir değeri alabilir.
Yukarıda verilen tanımlar dar açılar için geçerlidir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı olmayan bir dönme açısı kavramı ortaya çıkar. Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir. .
Bu bağlamda keyfi büyüklükte bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabiliriz. Merkezi Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan bir birim çember düşünelim.
Koordinatları (1, 0) olan başlangıç noktası A, birim çemberin merkezi etrafında belirli bir α açısı boyunca döner ve A 1 noktasına gider. Tanım A 1 (x, y) noktasının koordinatları cinsinden verilmiştir.
Dönme açısının sinüsü (sinüsü)
Dönme açısı α'nın sinüsü, A1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y
Dönme açısının kosinüsü (cos)
Dönme açısı α'nın kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x
Dönme açısının tanjantı (tg)
Dönme açısı α'nın tanjantı, A1 (x, y) noktasının ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x
Dönme açısının kotanjantı (ctg)
Dönme açısı α'nın kotanjantı, A1 noktasının (x, y) apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y
Sinüs ve kosinüs herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır çünkü bir noktanın dönme sonrasında apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant için durum farklıdır. Döndürme sonrasında bir nokta sıfır apsisli (0, 1) ve (0, - 1) bir noktaya gittiğinde teğet tanımsızdır. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölünmeyi içerdiği için anlamsızdır. Durum kotanjant için de benzerdir. Aradaki fark, bir noktanın ordinatının sıfıra gittiği durumlarda kotanjantın tanımlı olmamasıdır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.
Teğet, α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Pratik örnekleri çözerken “α dönme açısının sinüsü” demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da neyin tartışıldığının bağlamdan zaten açıkça anlaşıldığını ima etmektedir.
Sayılar
Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımına ne dersiniz?
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.
Örneğin, 10 π sayısının sinüsü, 10 π rad dönme açısının sinüsüne eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Şimdi ona daha yakından bakalım.
Herhangi bir gerçek sayı T Birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasındaki merkezle ilişkilidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları üzerinden belirlenir.
Çemberin başlangıç noktası koordinatları (1, 0) olan A noktasıdır.
Pozitif sayı T
Negatif sayı T başlangıç noktasının daire etrafında saat yönünün tersine hareket etmesi ve t yolunu geçmesi durumunda gideceği noktaya karşılık gelir.
Artık bir sayı ile bir daire üzerindeki bir nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçiyoruz.
T'nin sinüsü (günahı)
Bir sayının sinüsü T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın koordinatı T. günah t = y
Kosinüs (cos) t
Bir sayının kosinüsü T- birim çemberin sayıya karşılık gelen noktasının apsisi T. çünkü t = x
T'nin tanjantı (tg)
Bir sayının tanjantı T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t çünkü t
En son tanımlar bu paragrafın başında verilen tanıma uygundur ve çelişmez. Sayıya karşılık gelen dairenin üzerine gelin T, bir açıyla döndükten sonra başlangıç noktasının gittiği noktaya denk gelir T radyan.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90° + 180°k dışındaki tüm α açıları gibi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) belirli bir teğet değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda belirtildiği gibi, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α'lar için tanımlanır.
sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer şekilde, sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan bahsedebiliriz. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar bir teğet değere karşılık gelir. Benzer şekilde kotanjant, π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için tanımlanır.
Trigonometrinin temel fonksiyonları
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.
Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır.
En başta verilen tanımlara ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları, bir dik üçgenin en boy oranlarının verdiği geometrik tanımlarla tamamen tutarlıdır. Hadi gösterelim.
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde merkezi olan bir birim çemberi ele alalım. A (1, 0) başlangıç noktasını 90 dereceye kadar bir açıyla döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende, A 1 O H açısı a dönme açısına eşittir, O H bacağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Açının karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim dairenin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.
Geometrideki tanıma uygun olarak, α açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer alacak şekilde dönme açısı a'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde kosinüs, tanjant ve kotanjant için tanımların uygunluğu gösterilebilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Yükleniyor...