يصادف الطلاب مفهوم الهرم قبل وقت طويل من دراسة الهندسة. إلقاء اللوم على عجائب الدنيا المصرية العظيمة الشهيرة. لذلك ، عند بدء دراسة هذا متعدد السطوح الرائع ، يتخيله معظم الطلاب بوضوح. جميع المشاهد أعلاه في الشكل الصحيح. ماذا او ما الهرم الصحيح، وما هي الخصائص التي ستتم مناقشتها بشكل أكبر.

في تواصل مع

تعريف

هناك العديد من التعريفات للهرم. منذ العصور القديمة ، كانت تحظى بشعبية كبيرة.

على سبيل المثال ، عرّفها إقليدس على أنها شخصية صلبة ، تتكون من طائرات تتلاقى ، بدءًا من واحد ، عند نقطة معينة.

قدم مالك الحزين صياغة أكثر دقة. أصر على أنه كان الرقم له قاعدة ومستويات على شكل مثلثات ،تتقارب عند نقطة واحدة.

بناءً على التفسير الحديث ، يتم تقديم الهرم على شكل متعدد الوجوه المكاني ، ويتألف من أشكال مثلثة معينة من k-gon و k لها نقطة مشتركة واحدة.

دعونا نلقي نظرة فاحصة، ما العناصر التي تتكون منها؟

• يعتبر k-gon أساس الشكل ؛
• تبرز الأشكال ثلاثية الزوايا مثل جوانب الجزء الجانبي ؛
• الجزء العلوي ، الذي تنشأ منه العناصر الجانبية ، يسمى الجزء العلوي ؛
• تسمى جميع الأجزاء التي تربط الرأس بالحواف ؛
• إذا تم إنزال خط مستقيم من أعلى إلى مستوى الشكل بزاوية 90 درجة ، فإن الجزء المحاط بالفضاء الداخلي هو ارتفاع الهرم ؛
• في أي عنصر جانبي إلى جانب متعدد السطوح لدينا ، يمكنك رسم عمودي يسمى apothem.

يتم حساب عدد الحواف باستخدام الصيغة 2 * k ، حيث k هو عدد جوانب k-gon. كم عدد الوجوه التي يمكن تحديدها في متعدد الوجوه مثل الهرم من خلال التعبير k + 1.

مهم!الهرم ذو الشكل المنتظم هو شكل مجسم مستو قاعدته هو k-gon وله جوانب متساوية.

الخصائص الأساسية

الهرم الصحيح له العديد من الخصائصالتي هي فريدة بالنسبة لها. دعنا نذكرهم:

1. القاعدة هي شكل من الأشكال الصحيحة.
2. حواف الهرم ، التي تحد العناصر الجانبية ، لها قيم عددية متساوية.
3. العناصر الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.
4. تقع قاعدة ارتفاع الشكل في مركز المضلع ، بينما هي في نفس الوقت النقطة المركزية للمكتوب والموصوف.
5. تميل جميع الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.
6. جميع الأسطح الجانبية لها نفس زاوية الميل بالنسبة للقاعدة.

بفضل جميع الخصائص المدرجة ، تم تبسيط أداء حسابات العناصر بشكل كبير. بناءً على الخصائص المذكورة أعلاه ، نولي اهتمامًا ل علامتان:

1. في حالة احتواء المضلع في دائرة ، سيكون للأوجه الجانبية زوايا متساوية مع القاعدة.
2. عند وصف دائرة حول مضلع ، فإن جميع حواف الهرم المنبثقة من الرأس سيكون لها نفس الطول وزوايا متساوية مع القاعدة.

المربع قائم

هرم رباعي الزوايا منتظم - متعدد الوجوه على أساس مربع.

لها أربعة أوجه جانبية ، وهي متساوية في المظهر.

على مستوى ، يتم رسم مربع ، لكنها تستند إلى جميع خصائص الشكل الرباعي العادي.

على سبيل المثال ، إذا كان من الضروري توصيل جانب مربع بقطره ، فسيتم استخدام الصيغة التالية: القطر يساوي حاصل ضرب جانب المربع والجذر التربيعي لاثنين.

على أساس مثلث منتظم

الهرم المثلثي المنتظم هو متعدد الوجوه قاعدته 3-gon منتظم.

إذا كانت القاعدة عبارة عن مثلث عادي ، وكانت الحواف الجانبية مساوية لحواف القاعدة ، فإن هذا الشكل يسمى رباعي الوجوه.

جميع وجوه رباعي الوجوه متساوية الأضلاع 3-gons. في هذه الحالة ، تحتاج إلى معرفة بعض النقاط وعدم إضاعة الوقت فيها عند الحساب:

• زاوية ميل الأضلاع إلى أي قاعدة 60 درجة ؛
• قيمة جميع الوجوه الداخلية هي أيضًا 60 درجة ؛
• يمكن لأي وجه أن يكون بمثابة قاعدة ؛
• المرسومة داخل الشكل هي عناصر متساوية.

أقسام متعدد السطوح

في أي متعدد الوجوه هناك عدة أنواع من الأقسامطائرة. غالبًا ما يعملون في دورة الهندسة المدرسية مع اثنين:

• محوري؛
• أساس مواز.

يتم الحصول على قسم محوري عن طريق تقاطع متعدد السطوح مع مستوى يمر عبر الرأس والحواف الجانبية والمحور. في هذه الحالة ، المحور هو الارتفاع المرسوم من الرأس. مستوى القطع محدود بخطوط التقاطع مع جميع الوجوه ، مما ينتج عنه مثلث.

انتباه!في الهرم المنتظم ، القسم المحوري هو مثلث متساوي الساقين.

إذا كانت طائرة القطع تسير بالتوازي مع القاعدة ، فإن النتيجة هي الخيار الثاني. في هذه الحالة ، لدينا في سياق شخصية مشابهة للقاعدة.

على سبيل المثال ، إذا كانت القاعدة مربعة ، فسيكون القسم الموازي للقاعدة أيضًا مربعًا ، بحجم أصغر فقط.

عند حل المشكلات في ظل هذه الحالة ، يتم استخدام علامات وخصائص تشابه الأشكال ، على أساس نظرية طاليس. بادئ ذي بدء ، من الضروري تحديد معامل التشابه.

إذا تم رسم المستوى بالتوازي مع القاعدة ، وقطع الجزء العلوي من متعدد السطوح ، فيتم الحصول على هرم مبتور منتظم في الجزء السفلي. ثم يقال إن قواعد متعدد السطوح المقطوعة هي مضلعات متشابهة. في هذه الحالة ، تكون الوجوه الجانبية شبه منحرف متساوي الساقين. القسم المحوري هو أيضا متساوي الساقين.

من أجل تحديد ارتفاع مجسم متعدد السطوح ، من الضروري رسم الارتفاع في مقطع محوري ، أي في شبه منحرف.

المساحات السطحية

المشاكل الهندسية الرئيسية التي يجب حلها في دورة الهندسة المدرسية هي إيجاد مساحة سطح الهرم وحجمه.

هناك نوعان من مساحة السطح:

• منطقة العناصر الجانبية
• مساحة السطح بأكملها.

يتضح من العنوان نفسه ما يدور حوله. يشمل السطح الجانبي العناصر الجانبية فقط. ويترتب على ذلك أنه للعثور عليه ، تحتاج ببساطة إلى جمع مساحات المستويات الجانبية ، أي مناطق متساوي الساقين 3-أضلاع. دعنا نحاول اشتقاق صيغة مساحة العناصر الجانبية:

1. مساحة متساوي الساقين 3-gon هي Str = 1/2 (aL) ، حيث a هو جانب القاعدة ، L هو apothem.
2. يعتمد عدد المستويات الجانبية على نوع k-gon في القاعدة. على سبيل المثال ، الهرم المنتظم رباعي الزوايا له أربع مستويات جانبية. لذلك ، من الضروري إضافة مناطق من أربعة أشكال Sside = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4a * L . يتم تبسيط التعبير بهذه الطريقة لأن القيمة 4a = POS ، حيث يكون POS هو محيط القاعدة. والتعبير 1/2 * Rosn هو نصف محيطه.
3. لذلك ، نستنتج أن مساحة العناصر الجانبية للهرم المنتظم تساوي حاصل ضرب نصف محيط القاعدة والقسم: Sside \ u003d Rosn * L.

تتكون مساحة السطح الكامل للهرم من مجموع مساحات المستويات الجانبية والقاعدة: Sp.p. = Sside + Sbase.

بالنسبة لمساحة القاعدة ، يتم استخدام الصيغة هنا وفقًا لنوع المضلع.

حجم الهرم المنتظميساوي حاصل ضرب منطقة المستوى الأساسي والارتفاع مقسومًا على ثلاثة: V = 1/3 * Sbase * H ، حيث H هو ارتفاع متعدد السطوح.

ما هو الهرم المنتظم في الهندسة

خصائص هرم رباعي الزوايا منتظم

هرم. الهرم المقطوع

هرميسمى متعدد السطوح ، أحد وجوهه عبارة عن مضلع ( قاعدة ) ، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات برأس مشترك ( الوجوه الجانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صحيح ، إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وتم إسقاط قمة الهرم في مركز القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف رباعي الوجوه .

ضلع جانبييسمى الهرم جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الأضلاع الجانبية للهرم العادي متساوية مع بعضها البعض ، وجميع الوجوه الجانبية متساوية في مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم مرسوم من القمة عتمة . قسم قطري يسمى قسم الهرم بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

مساحة السطح الجانبيةالهرم يسمى مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية في الهرم متساوية الأطوال ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع الوجوه في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم التعسفي ، تكون الصيغة صحيحة:

أين الخامس- الصوت؛

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

حهو ارتفاع الهرم.

بالنسبة للهرم العادي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح أ- صيدلانية

ح- ارتفاع؛

S ممتلئ

الجانب S.

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

الخامسهو حجم الهرم المنتظم.

هرم مبتوريسمى جزء الهرم المحاط بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع الصحيح يسمى جزء الهرم المنتظم ، محاطًا بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسسهرم مبتور - مضلعات مماثلة. الوجوه الجانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع يسمى المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع عبارة عن قطعة تربط رؤوسها التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري يسمى جزء الهرم المقطوع بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

بالنسبة للهرم المقطوع ، الصيغ صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2 - مناطق القواعد العلوية والسفلية ؛

S ممتلئهي المساحة الإجمالية ؛

الجانب S.هي مساحة السطح الجانبية

ح- ارتفاع؛

الخامسهو حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع العادي ، فإن الصيغة التالية صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 - محيط القاعدة ؛

ح أ- عرافة هرم مبتور منتظم.

مثال 1في هرم مثلثي منتظم ، تكون الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة 60º. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 18).

الهرم منتظم ، مما يعني أن القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع وأن جميع وجوه الأضلاع متساوية في مثلثات متساوية الساقين. الزاوية ثنائية الأضلاع في القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. ستكون الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عمودين: أي يظهر الجزء العلوي من الهرم في وسط المثلث (مركز الدائرة المحصورة والدائرة المنقوشة في المثلث ABC). زاوية ميل الضلع الجانبي (على سبيل المثال SB) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع SBهذه الزاوية ستكون الزاوية SBD. للعثور على الظل ، تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو OB. دع طول المقطع BDهو 3 أ. نقطة االقطعة المستقيمة BDينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: من نجد:

إجابه:

مثال 2أوجد حجم هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم إذا كانت أقطار قاعدته سم و سم وكان الارتفاع 4 سم.

المحلول.لإيجاد حجم الهرم المقطوع ، نستخدم الصيغة (4). لإيجاد مساحات القواعد ، تحتاج إلى إيجاد جوانب مربعات القاعدة ، مع معرفة أقطارها. ضلعي القاعدتين 2 سم و 8 سم على التوالي ، وهذا يعني مساحات القواعد واستبدال جميع البيانات في الصيغة ، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابه: 112 سم 3.

مثال 3أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع طول ضلعه قاعدته 10 سم و 4 سم ، وارتفاع الهرم 2 سم.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة القواعد والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الحالة ، يبقى الارتفاع فقط غير معروف. تجده من أين لكن 1 هعمودي من نقطة لكن 1 على مستوى القاعدة السفلية ، أ 1 د- عمودي من لكن 1 في تيار متردد. لكن 1 ه\ u003d 2 سم ، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. للعثور على DEسنقوم بعمل رسم إضافي ، حيث سنصور منظرًا علويًا (الشكل 20). نقطة ا- إسقاط مراكز القاعدة العلوية والسفلية. منذ ذلك الحين (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعمهو نصف قطر الدائرة المنقوشة و أومهو نصف قطر الدائرة المنقوشة:

MK = DE.

وفقا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابه:

مثال 4في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدتهما أو ب (أ> ب). يشكل كل جانب زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد مساحة السطح الكلية للهرم.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 21). المساحة الإجمالية للهرم SABCDيساوي مجموع مساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع وجوه الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة ، فإن الرأس يُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة ا- إسقاط الرأس سعند قاعدة الهرم. مثلث SODهو الإسقاط المتعامد للمثلث CSDإلى مستوى القاعدة. وفقًا للنظرية الخاصة بمنطقة الإسقاط المتعامد لشكل مسطح ، نحصل على:

وبالمثل ، فهذا يعني وهكذا ، تم تقليل المشكلة إلى إيجاد منطقة شبه المنحرف ا ب ت ث. ارسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة اهو مركز دائرة منقوشة في شبه منحرف.

نظرًا لأنه يمكن نقش دائرة في شبه منحرف ، إذن أو حسب نظرية فيثاغورس لدينا

سيساعد مقطع الفيديو التعليمي هذا المستخدمين في الحصول على فكرة حول موضوع Pyramid. الهرم الصحيح. في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفًا. فكر في ماهية الهرم العادي وما خصائصه. ثم نثبت النظرية على السطح الجانبي لهرم منتظم.

في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفًا.

ضع في اعتبارك المضلع أ 1 أ 2...ا ن، التي تقع في المستوى α ، ونقطة ص، والتي لا تقع في المستوى α (الشكل 1). دعنا نربط النقطة صمع القمم أ 1 ، أ 2 ، أ 3, … ا ن. احصل على نمثلثات: أ 1 أ 2 ص, أ 2 أ 3 صوهلم جرا.

تعريف. متعدد الوجوه RA 1 A 2 ...، صنع من ن-Gon أ 1 أ 2...ا نو نمثلثات RA 1 أ 2, RA 2 أ 3 …را ن أ ن-1 ، يسمى ن- هرم الفحم. أرز. واحد.

أرز. واحد

خذ بعين الاعتبار هرم رباعي الزوايا PABCD(الصورة 2).

ص- قمة الهرم.

ا ب ت ث- قاعدة الهرم.

RA- ضلع جانبي.

AB- حافة القاعدة.

من وجهة نظر صإسقاط عمودي RNعلى متن الطائرة ا ب ت ث. العمودية المرسومة هي ارتفاع الهرم.

أرز. 2

يتكون السطح الكلي للهرم من السطح الجانبي ، أي مساحة جميع الوجوه الجانبية ، ومنطقة القاعدة:

S ممتلئ \ u003d جانب S + S رئيسي

الهرم يسمى صحيحا إذا:

• قاعدته مضلع منتظم ؛
• الجزء الذي يربط قمة الهرم بمركز القاعدة هو ارتفاعه.

شرح على مثال هرم رباعي الزوايا منتظم

النظر في هرم منتظم رباعي الزوايا PABCD(تين. 3).

ص- قمة الهرم. قاعدة الهرم ا ب ت ث- شكل رباعي منتظم ، أي مربع. نقطة انقطة تقاطع الأقطار هي مركز المربع. وسائل، ROهو ارتفاع الهرم.

أرز. 3

تفسير: على اليمين ن-Gon ، يتطابق مركز الدائرة المنقوشة ومركز الدائرة المحددة. يسمى هذا المركز بمركز المضلع. يقولون أحيانًا أن الجزء العلوي مُسقط في المنتصف.

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم عادي ، مرسوم من قمته عتمةوالمشار إليها ح أ.

1. جميع الحواف الجانبية للهرم العادي متساوية ؛

2. الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.

دعونا نثبت هذه الخصائص باستخدام مثال هرم منتظم رباعي الزوايا.

معطى: RABSD- هرم رباعي الزوايا منتظم ،

ا ب ت ث- ميدان،

ROهو ارتفاع الهرم.

يثبت:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = DAP انظر الشكل. أربعة.

أرز. أربعة

دليل - إثبات.

ROهو ارتفاع الهرم. هذا هو مستقيم ROعمودي على المستوى ABC، وبالتالي مباشرة AO ، VO ، SOو فعلالكذب فيه. لذا فإن المثلثات ROA، ROV، ROS، ROD- مستطيلي.

النظر في مربع ا ب ت ث. ويترتب على خصائص المربع أن AO = BO = CO = فعل.

ثم المثلثات القائمة ROA، ROV، ROS، RODساق RO- عامة و أرجل AO ، VO ، SOو فعلمتساوية ، لذا فإن هذين المثلثين متساويان في قدمين. من المساواة بين المثلثات يتبع المساواة بين المقاطع ، RA = PB = PC = PD.تم إثبات النقطة 1.

شرائح ABو الشمسمتساوية لأنهما أضلاع نفس المربع ، RA = RV = الكمبيوتر. لذا فإن المثلثات AVRو VCR -متساوي الساقين ومتساوية من ثلاث جهات.

وبالمثل ، نحصل على المثلثات ABP ، BCP ، CDP ، DAPمتساوية الساقين ومتساوية ، وهو الأمر المطلوب لإثباته في البند 2.

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والهيكل:

للإثبات ، نختار هرمًا مثلثًا منتظمًا.

معطى: رافسهو هرم مثلثي منتظم.

AB = BC = AC.

RO- ارتفاع.

يثبت: . انظر الشكل. 5.

أرز. 5

دليل - إثبات.

رافسهو هرم مثلثي منتظم. هذا هو AB= أس = ق. يترك ا- مركز المثلث ABC، ومن بعد ROهو ارتفاع الهرم. قاعدة الهرم مثلث متساوي الأضلاع. ABC. لاحظ أن .

مثلثات RAV ، RVS ، RSA- مثلثات متساوية الساقين (حسب الخاصية). الهرم المثلثي له ثلاثة وجوه جانبية: RAV ، RVS ، RSA. إذن ، مساحة السطح الجانبي للهرم هي:

جانب S = 3S RAB

لقد تم إثبات النظرية.

نصف قطر دائرة منقوشة في قاعدة هرم رباعي الزوايا 3 م ، ارتفاع الهرم 4 م ، أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.

معطى: هرم رباعي الزوايا منتظم ا ب ت ث,

ا ب ت ث- ميدان،

ص= 3 م

RO- ارتفاع الهرم ،

RO= 4 م.

تجد: جانب S. انظر الشكل. 6.

أرز. 6

المحلول.

وفقًا للنظرية المثبتة ،.

أوجد ضلع القاعدة أولًا AB. نعلم أن نصف قطر الدائرة المدرجة في قاعدة هرم رباعي الزوايا يساوي 3 م.

ثم م.

أوجد محيط المربع ا ب ت ثبطول 6 أمتار:

خذ بعين الاعتبار المثلث بى سى دى. يترك م- الجانب الأوسط العاصمة. لان ا- وسط BD، ومن بعد (م).

مثلث DPC- متساوي الساقين. م- وسط العاصمة. هذا هو، RM- الوسيط ، ومن ثم الارتفاع في المثلث DPC. ثم RM- عبادة الهرم.

ROهو ارتفاع الهرم. ثم مباشرة ROعمودي على المستوى ABC، وبالتالي المباشر أومالكذب فيه. دعونا نعثر على صيدلة RMمن مثلث قائم الزاوية ذاكرة للقراءة فقط.

يمكننا الآن إيجاد السطح الجانبي للهرم:

إجابه: 60 م 2

نصف قطر دائرة محصورة بالقرب من قاعدة هرم مثلثي منتظم هو m ومساحة السطح الجانبي 18 م 2. أوجد طول الفلك.

معطى: ABCP- هرم مثلثي منتظم ،

AB = BC = SA ،

ص= م ،

الجانب S = 18 م 2.

تجد:. انظر الشكل. 7.

أرز. 7

المحلول.

في مثلث قائم الزاوية ABCبالنظر إلى نصف قطر الدائرة المحددة. دعونا نجد الضلع ABهذا المثلث باستخدام نظرية الجيب.

بمعرفة ضلع المثلث المنتظم (م) ، نجد محيطه.

طبقًا للنظرية المتعلقة بمساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم حيث ح أ- عبادة الهرم. ثم:

إجابه: 4 م.

لذلك ، قمنا بفحص ماهية الهرم ، ما هو الهرم العادي ، أثبتنا النظرية على السطح الجانبي للهرم المنتظم. في الدرس التالي سوف نتعرف على الهرم المقطوع.

فهرس

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة ، القس. وإضافية - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض.
2. الهندسة. الصف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / Sharygin I. F. - M: Bustard، 1999. - 208 p: ill.
3. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة وملف تعريف للرياضيات / E. في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. - الطبعة السادسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 008. - 233 ص: مريض.

1. بوابة الإنترنت "Yaklass" ()
2. بوابة الإنترنت "مهرجان الأفكار التربوية" الأول من سبتمبر ()
3. بوابة الإنترنت "Slideshare.net" ()

الواجب المنزلي

1. هل يمكن أن يكون المضلع المنتظم هو قاعدة الهرم غير المنتظم؟
2. إثبات أن الحواف غير المتقاطعة للهرم المنتظم متعامدة.
3. أوجد قيمة الزاوية ثنائية الأضلاع في جانب قاعدة الهرم الرباعي الزوايا المنتظم إذا كان حجم الهرم يساوي ضلع قاعدته.
4. رافسهو هرم مثلثي منتظم. أنشئ الزاوية الخطية للزاوية ثنائية الأضلاع عند قاعدة الهرم.

• صيدلة- ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم ، والذي يتم رسمه من قمته (بالإضافة إلى ذلك ، فإن apothem هو طول العمود العمودي ، والذي يتم إنزاله من منتصف مضلع منتظم إلى أحد جوانبه) ؛
• الوجوه الجانبية (ASB، BSC، CSD، DSA) - المثلثات التي تتلاقى في الأعلى ؛
• الضلوع الجانبية ( كما , بكالوريوس , CS , د. ) - الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية ؛
• قمة الهرم (ضد) - النقطة التي تربط الحواف الجانبية والتي لا تقع في مستوى القاعدة ؛
• ارتفاع ( لذا ) - جزء من العمود العمودي ، والذي يتم رسمه من خلال الجزء العلوي من الهرم إلى مستوى قاعدته (ستكون نهايات هذا الجزء أعلى الهرم وقاعدة العمود العمودي) ؛
• مقطع قطري من الهرم- قسم من الهرم يمر عبر الجزء العلوي وقطري القاعدة ؛
• قاعدة (ا ب ت ث) هو مضلع لا ينتمي إليه الجزء العلوي من الهرم.

خصائص الهرم.

1. عندما تكون جميع الحواف الجانبية بنفس الحجم ، عندئذٍ:

• من السهل وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم ، بينما يتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسط هذه الدائرة ؛
• تشكل الأضلاع الجانبية زوايا متساوية مع مستوى القاعدة ؛
• بالإضافة إلى ذلك ، فإن العكس صحيح أيضًا ، أي عندما تشكل الحواف الجانبية زوايا متساوية مع مستوى القاعدة ، أو عندما يمكن وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم وسيتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسط هذه الدائرة ، فإن جميع الحواف الجانبية للهرم لها نفس الحجم.

2. عندما يكون للوجوه الجانبية زاوية ميل لمستوى القاعدة بنفس القيمة ، عندئذٍ:

• بالقرب من قاعدة الهرم ، من السهل وصف دائرة ، بينما يتم إسقاط قمة الهرم في وسط هذه الدائرة ؛
• ارتفاعات الوجوه الجانبية متساوية في الطول ؛
• مساحة السطح الجانبي هي ½ حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع الوجه الجانبي.

3. يمكن وصف الكرة بالقرب من الهرم إذا كانت قاعدة الهرم عبارة عن مضلع يمكن وصف دائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة نقطة تقاطع المستويات التي تمر عبر نقاط المنتصف لحواف الهرم المتعامدة عليها. من هذه النظرية نستنتج أنه يمكن وصف الكرة حول أي مثلث وحول أي هرم منتظم.

4. يمكن نقش كرة في هرم إذا تقاطعت مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم عند النقطة الأولى (شرط ضروري وكاف). ستصبح هذه النقطة مركز الكرة.

أبسط هرم.

وفقًا لعدد أركان قاعدة الهرم ، فهي مقسمة إلى مثلث ، ورباعي الزوايا ، وما إلى ذلك.

الهرم سوف الثلاثي, رباعي الزواياوهكذا ، عندما تكون قاعدة الهرم مثلثًا ، رباعي الأضلاع ، وهكذا. الهرم الثلاثي هو رباعي الوجوه - رباعي السطوح. رباعي الزوايا - خماسي الوجوه وهلم جرا.

تعريف

هرمهو متعدد الوجوه يتكون من مضلع \ (A_1A_2 ... A_n \) و \ (n \) مثلثات برأس مشترك \ (P \) (لا يقع في مستوى المضلع) وجوانب متقابلة تتطابق مع جوانب المضلع.
التعيين: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
مثال: هرم خماسي \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

مثلثات \ (PA_1A_2، \ PA_2A_3 \) إلخ. اتصل الوجوه الجانبيةالأهرامات ، الأجزاء \ (PA_1 ، PA_2 \) ، إلخ. - الضلوع الجانبية، مضلع \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - أساس، نقطة \ (ف \) - قمة.

ارتفاعالأهرامات عمودية تسقط من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

يسمى الهرم الذي يوجد في قاعدته مثلث رباعي الوجوه.

الهرم يسمى صحيح، إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وتم استيفاء أحد الشروط التالية:

\ ((أ) \) حواف الهرم متساوية ؛

\ ((ب) \) يمر ارتفاع الهرم عبر مركز الدائرة المحصورة بالقرب من القاعدة ؛

\ ((ج) \) تميل الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

\ ((د) \) تميل الوجوه الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

منتظم رباعي السطوحهرم مثلثي ، جميع وجوهه متساوية الأضلاع مثلثات.

نظرية

الشروط \ ((أ) ، (ب) ، (ج) ، (د) \) متكافئة.

دليل - إثبات

ارسم ارتفاع الهرم \ (PH \). فليكن \ (\ alpha \) مستوى قاعدة الهرم.

1) دعنا نثبت أن \ ((أ) \) يعني \ ((ب) \). دع \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

لان \ (PH \ perp \ alpha \) ، ثم \ (PH \) عمودي على أي خط يقع في هذا المستوى ، لذا فإن المثلثات قائمة بزاوية. إذن هذه المثلثات متساوية في الساق المشتركة \ (PH \) والوتر \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). إذن \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). هذا يعني أن النقاط \ (A_1، A_2، ...، A_n \) على نفس المسافة من النقطة \ (H \) ، لذلك تقع على نفس الدائرة بنصف قطر \ (A_1H \). هذه الدائرة ، بحكم التعريف ، مقيدة بالمضلع \ (A_1A_2 ... A_n \).

2) دعنا نثبت أن \ ((ب) \) يعني \ ((ج) \).

\ (PA_1H ، PA_2H ، PA_3H ، ... ، PA_nH \)مستطيلة ومتساوية في قدمين. ومن ثم ، فإن زواياهم متساوية أيضًا ، \ (\ زاوية PA_1H = \ زاوية PA_2H = ... = \ زاوية PA_nH \).

3) دعنا نثبت أن \ ((ج) \) يعني \ ((أ) \).

على غرار النقطة الأولى ، مثلثات \ (PA_1H ، PA_2H ، PA_3H ، ... ، PA_nH \)مستطيل الشكل وعلى طول الساق وزاوية حادة. هذا يعني أن الوتر متساوي أيضًا ، أي \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) دعنا نثبت أن \ ((ب) \) يعني \ ((د) \).

لان في المضلع المنتظم ، تتطابق مراكز الدوائر المقيدة والمنقوشة (بشكل عام ، تسمى هذه النقطة مركز المضلع المنتظم) ، ثم \ (H \) هي مركز الدائرة المنقوشة. لنرسم الخطوط العمودية من النقطة \ (H \) إلى جانبي القاعدة: \ (HK_1 ، HK_2 \) ، إلخ. هذه هي أنصاف أقطار الدائرة المنقوشة (بالتعريف). إذن ، وفقًا لـ TTP ، (\ (PH \) عمودي على المستوى ، \ (HK_1 ، HK_2 \) ، إلخ. الإسقاطات متعامدة على الجانبين) مائلة \ (PK_1 ، PK_2 \) ، إلخ. عمودي على الجانبين \ (A_1A_2 ، A_2A_3 \) ، إلخ. على التوالى. لذلك ، بحكم التعريف \ (\ زاوية PK_1H \ زاوية PK_2H \)يساوي الزوايا بين الوجوه الجانبية والقاعدة. لان المثلثات \ (PK_1H، PK_2H، ... \) متساوية (مثل الزاوية اليمنى على قدمين) ، ثم الزوايا \ (\ زاوية PK_1H ، \ زاوية PK_2H ، ... \)متساوية.

5) دعونا نثبت أن \ ((د) \) يعني \ ((ب) \).

على غرار النقطة الرابعة ، المثلثات \ (PK_1H ، PK_2H ، ... \) متساوية (مثل المستطيل على طول الساق والزاوية الحادة) ، مما يعني أن المقاطع \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) متساوية. ومن ثم ، بحكم التعريف ، \ (H \) هو مركز دائرة منقوشة في القاعدة. لكن منذ بالنسبة للمضلعات المنتظمة ، تتطابق مراكز الدوائر المنقوشة والمحددة ، ثم \ (H \) هو مركز الدائرة المحددة. Chtd.

عاقبة

الوجوه الجانبية للهرم المنتظم هي مثلثات متساوية الساقين.

تعريف

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم عادي ، مرسوم من قمته عتمة.
تتساوى أعمدة جميع الوجوه الجانبية للهرم المنتظم مع بعضها البعض وهي أيضًا عبارة عن متوسطات ومنصفات.

ملاحظات هامة

1. ينخفض ​​ارتفاع الهرم المثلثي المنتظم إلى نقطة تقاطع ارتفاعات (أو منصفات ، أو متوسطات) القاعدة (القاعدة عبارة عن مثلث عادي).

2. ينخفض ​​ارتفاع الهرم الرباعي الزوايا المنتظم إلى نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة مربعة).

3. ينخفض ​​ارتفاع الهرم السداسي المنتظم إلى نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة سداسية منتظمة).

4. يكون ارتفاع الهرم عموديًا على أي خط مستقيم يقع عند القاعدة.

تعريف

الهرم يسمى مستطيليإذا كانت إحدى حوافها الجانبية متعامدة مع مستوى القاعدة.

ملاحظات هامة

1. بالنسبة للهرم المستطيل ، تكون الحافة العمودية على القاعدة هي ارتفاع الهرم. أي ، \ (SR \) هو الارتفاع.

2. لأن \ (SR \) عموديًا على أي خط من القاعدة ، إذن \ (\ مثلث SRM \ مثلث SRP \)هي مثلثات قائمة.

3. مثلثات \ (\ مثلث SRN \ مثلث SRK \)هي أيضا مستطيلة.
أي أن أي مثلث تكونه هذه الحافة والقطر الخارج من رأس هذه الحافة ، والذي يقع عند القاعدة ، سيكون قائم الزاوية.

\ [(\ كبير (\ نص (حجم ومساحة سطح الهرم))) \]

نظرية

حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة وارتفاع الهرم: \

الآثار

لنفترض \ (أ \) جانب القاعدة ، \ (ح \) ارتفاع الهرم.

1. حجم الهرم الثلاثي المنتظم هو \ (V _ (\ text (المثلث الأيمن pyr.)) = \ dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. حجم الهرم منتظم رباعي الزوايا هو \ (V _ (\ text (right.four.pyre.)) = \ dfrac13a ^ 2h \).

3. حجم الهرم السداسي المنتظم هو \ (V _ (\ text (right.hex.pyr.)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. حجم رباعي السطوح العادية هو \ (V _ (\ text (رباعي اليمين)) = \ dfrac (\ sqrt3) (12) أ ^ 3 \).

نظرية

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والعروة.

\ [(\ كبير (\ نص (هرم مبتور))) \]

تعريف

اعتبر هرمًا عشوائيًا \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). لنرسم مستوى موازيًا لقاعدة الهرم من خلال نقطة معينة تقع على الحافة الجانبية للهرم. هذا المستوى سوف يقسم الهرم إلى جزئين ، أحدهما هرم (\ (PB_1B_2 ... B_n \)) والآخر يسمى هرم مبتور(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).

الهرم المقطوع له قاعدتان - المضلعات \ (A_1A_2 ... A_n \) و \ (B_1B_2 ... B_n \) ، والتي تشبه بعضها البعض.

ارتفاع الهرم المقطوع عمودي مرسوم من نقطة ما في القاعدة العلوية إلى مستوى القاعدة السفلية.

ملاحظات هامة

1. جميع أوجه الهرم المقطوع هي شبه منحرف.

2. الجزء الذي يربط بين مراكز قواعد الهرم المنتظم المقطوع هو الارتفاع.