Какъв е коренът на квадратно уравнение? Решаване на квадратни уравнения, формула за корен, примери

Някои задачи по математика изискват способността да се изчислява стойността на корен квадратен. Такива проблеми включват решаване на уравнения от втори ред. В тази статия ще представим ефективен методизчисления квадратни корении го използвайте, когато работите с формули за корените на квадратно уравнение.

Какво е квадратен корен?

В математиката това понятие съответства на символа √. Исторически данни сочат, че е използван за първи път около първата половина на 16 век в Германия (първият немски труд по алгебра от Кристоф Рудолф). Учените смятат, че посоченият символ е трансформиран латиница r (radix означава "корен" на латински).

Коренът на всяко число е равен на стойността, чийто квадрат съответства на радикалния израз. На езика на математиката това определение ще изглежда така: √x = y, ако y 2 = x.

Коренът на положително число (x > 0) също е положително число (y > 0), но ако вземете корена на отрицателно число (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Ето два прости примера:

√9 = 3, тъй като 3 2 = 9; √(-9) = 3i, тъй като i 2 = -1.

Итеративна формула на Heron за намиране на стойностите на квадратни корени

Горните примери са много прости и изчисляването на корените в тях не е трудно. Трудности започват да се появяват при намиране на коренни стойности за всяка стойност, която не може да бъде представена като квадрат естествено число, например √10, √11, √12, √13, да не говорим за факта, че на практика е необходимо да се намерят корени за нецели числа: например √(12,15), √(8,5) и така нататък.

Във всички горепосочени случаи трябва да се използва специален метод за изчисляване на квадратния корен. Понастоящем са известни няколко такива метода: например разширение на серия Тейлър, разделяне на колони и някои други. От всички известни методиМоже би най-простият и най-ефективен е да се използва итеративната формула на Херон, която е известна още като вавилонския метод за определяне на квадратни корени (има доказателства, че древните вавилонци са го използвали в своите практически изчисления).

Нека е необходимо да се определи стойността на √x. Формулата за намиране на корен квадратен е следващ изглед:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), където lim n->∞ (a n) => x.

Нека дешифрираме тази математическа нотация. За да изчислите √x, трябва да вземете определено число a 0 (може да е произволно, но за да получите бързо резултата, трябва да го изберете така, че (a 0) 2 да е възможно най-близо до x. След това го заменете в посочената формула за изчисляване на квадратния корен и получаване на ново число 1, което вече ще бъде по-близо до желаната стойност.След това трябва да замените 1 в израза и да получите 2. Тази процедура трябва да се повтаря, докато се изисква се получава точност.

Пример за използване на итеративната формула на Heron

Описаният по-горе алгоритъм за получаване на квадратен корен от дадено число може да звучи доста сложен и объркващ за мнозина, но в действителност всичко се оказва много по-просто, тъй като тази формула се сближава много бързо (особено ако е избрано успешно число 0) .

Нека дадем прост пример: трябва да изчислите √11. Нека изберем 0 = 3, тъй като 3 2 = 9, което е по-близо до 11 отколкото 4 2 = 16. Като заместим във формулата, получаваме:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Няма смисъл да продължаваме с изчисленията, тъй като установихме, че 2 и 3 започват да се различават едва от 5-ия знак след десетичната запетая. По този начин беше достатъчно да се приложи формулата само 2 пъти, за да се изчисли √11 с точност до 0,0001.

В наши дни калкулаторите и компютрите се използват широко за изчисляване на корени, но е полезно да запомните маркираната формула, за да можете ръчно да изчислите точната им стойност.

Уравнения от втори ред

Разбирането какво е квадратен корен и способността да се изчислява се използва при решаването на квадратни уравнения. Тези уравнения се наричат равенства с едно неизвестно, чиято обща форма е показана на фигурата по-долу.

Тук c, b и a представляват някои числа, а a не трябва да е равно на нула, а стойностите на c и b могат да бъдат напълно произволни, включително равни на нула.

Всички стойности на x, които отговарят на равенството, посочено на фигурата, се наричат неговите корени (това понятие не трябва да се бърка с квадратния корен √). Тъй като разглежданото уравнение е от 2-ри ред (x 2), тогава не може да има повече от два корена за него. Нека разгледаме по-нататък в статията как да намерим тези корени.

Намиране на корените на квадратно уравнение (формула)

Този метод за решаване на разглеждания тип равенства се нарича още универсален метод или дискриминантен метод. Може да се използва за всякакви квадратни уравнения. Формулата за дискриминанта и корените на квадратното уравнение е следната:

То показва, че корените зависят от стойността на всеки от трите коефициента на уравнението. Освен това изчислението на x 1 се различава от изчислението на x 2 само по знака пред квадратния корен. Радикалният израз, който е равен на b 2 - 4ac, не е нищо повече от дискриминанта на въпросното равенство. Дискриминантът във формулата за корените на квадратно уравнение играе важна роля, защото определя броя и вида на решенията. Така че, ако е равно на нула, тогава ще има само едно решение, ако е положително, тогава уравнението има два реални корена и накрая, отрицателен дискриминант води до два комплексни корена x 1 и x 2.

Теорема на Виета или някои свойства на корените на уравнения от втори ред

В края на 16-ти век един от основателите на съвременната алгебра, французин, изучавайки уравнения от втори ред, успява да получи свойствата на неговите корени. Математически те могат да бъдат записани така:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

И двете равенства могат лесно да бъдат получени от всеки, за да направите това, трябва само да извършите съответните математически операции с корените, получени чрез формулата с дискриминанта.

Комбинацията от тези два израза с право може да се нарече втората формула за корените на квадратно уравнение, което дава възможност да се познаят решенията му без използване на дискриминант. Тук трябва да се отбележи, че въпреки че и двата израза са винаги валидни, е удобно да се използват за решаване на уравнение само ако то може да бъде факторизирано.

Задачата за консолидиране на придобитите знания

Нека да решим математическа задача, в която ще демонстрираме всички техники, разгледани в статията. Условията на задачата са следните: трябва да намерите две числа, за които произведението е -13, а сумата е 4.

Това условие веднага ни напомня за теоремата на Vieta; използвайки формулите за сумата от квадратни корени и техния продукт, ние пишем:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ако приемем, че a = 1, тогава b = -4 и c = -13. Тези коефициенти ни позволяват да създадем уравнение от втори ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Нека използваме формулата с дискриминанта и да получим следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тоест проблемът беше сведен до намирането на числото √68. Обърнете внимание, че 68 = 4 * 17, тогава, използвайки свойството квадратен корен, получаваме: √68 = 2√17.

Сега нека използваме разглежданата формула за квадратен корен: a 0 = 4, тогава:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Няма нужда да изчислявате 3, тъй като намерените стойности се различават само с 0,02. Така √68 = 8,246. Замествайки го във формулата за x 1,2, получаваме:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Както виждаме, сумата от намерените числа наистина е равна на 4, но ако намерим произведението им, то ще бъде равно на -12,999, което удовлетворява условията на задачата с точност до 0,001.

Продължаваме да изучаваме темата " решаване на уравнения" Вече се запознахме с линейните уравнения и преминаваме към запознаване квадратни уравнения.

Първо ще разгледаме какво е квадратно уравнение, как се записва в обща форма и ще дадем свързани определения. След това ще използваме примери, за да разгледаме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. След това ще преминем към решаване на пълни уравнения, ще получим формулата на корена, ще се запознаем с дискриминанта на квадратно уравнение и ще разгледаме решения на типични примери. И накрая, нека проследим връзките между корените и коефициентите.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем разговор за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и сродни определения. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Дефиниция и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа, а a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат уравнения от втора степен. Това се дължи на факта, че квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора специалност.

Посоченото определение ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a, b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 и коефициентът a се нарича първи, или най-високият, или коефициентът на x 2, b е вторият коефициент, или коефициентът на x, а c е свободният член .

Например, нека вземем квадратно уравнение под формата 5 x 2 −2 x −3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е равен на −2, а свободният член е равен на −3. Моля, обърнете внимание, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, кратката форма на квадратното уравнение е 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(−2) ·x+(−3)=0 .

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и/или b са равни на 1 или −1, тогава те обикновено не присъстват изрично в квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на тяхното записване. Например в квадратното уравнение y 2 −y+3=0 водещият коефициент е единица, а коефициентът на y е равен на −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Нарича се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 дадено квадратно уравнение. В противен случай квадратното уравнение е недокоснат.

Според това определение, квадратни уравнения x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 и т.н. – дадени, във всяка от тях първият коефициент е равен на единица. A 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, техните водещи коефициенти са различни от 1.

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете страни на водещия коефициент, можете да отидете до редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или, подобно на него, няма корени.

Нека разгледаме пример за това как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Просто трябва да разделим двете страни на първоначалното уравнение на водещия коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, което е същото, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и след това (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, от където . Така получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

Отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

Дефиницията на квадратно уравнение съдържа условието a≠0. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 + b x + c = 0 да е квадратно, тъй като когато a = 0 то всъщност се превръща в линейно уравнение във формата b x + c = 0.

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълна, ако поне един от коефициентите b, c е равен на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Такива имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващите дискусии.

Ако коефициентът b е нула, тогава квадратното уравнение приема формата a·x 2 +0·x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a·x 2 +c=0. Ако c=0, тоест квадратното уравнение има формата a·x 2 +b·x+0=0, тогава то може да бъде пренаписано като a·x 2 +b·x=0. И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им - непълни квадратни уравнения.

Така уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0.2=0 са примери за пълни квадратни уравнения и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията в предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

a·x 2 =0, на него съответстват коефициентите b=0 и c=0;
a x 2 +c=0, когато b=0;
и a·x 2 +b·x=0, когато c=0.

Нека разгледаме по ред как се решават непълните квадратни уравнения от всеки от тези типове.

a x 2 =0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете части на различно от нула число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 =0 е нула, тъй като 0 2 =0. Това уравнение няма други корени, което се обяснява с факта, че за всяко ненулево число p е в сила неравенството p 2 >0, което означава, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 =0 има един корен x=0.

Като пример даваме решението на непълното квадратно уравнение −4 x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 =0, единственият му корен е x=0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Кратко решение в този случай може да се напише по следния начин:
−4 x 2 =0,
х 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Сега нека да разгледаме как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е нула и c≠0, тоест уравнения от вида a x 2 +c=0. Знаем, че преместването на член от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак, както и разделянето на двете страни на уравнението на ненулево число дава еквивалентно уравнение. Следователно можем да извършим следните еквивалентни трансформации на непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0:

преместете c в дясната страна, което дава уравнението a x 2 =−c,
и разделяме двете страни на a, получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2, тогава ) или положителна (например, ако a=−2 и c=6, тогава ), не е нула , тъй като по условие c≠0. Нека разгледаме случаите поотделно.

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си спомним за , тогава коренът на уравнението веднага става очевиден; това е числото, тъй като . Лесно е да се досетите, че числото също е коренът на уравнението, наистина, . Това уравнение няма други корени, което може да се покаже, например, от противоречие. Хайде да го направим.

Нека означим корените на току-що обявеното уравнение като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има още един корен x 2, различен от посочените корени x 1 и −x 1. Известно е, че заместването на неговите корени в уравнение вместо x превръща уравнението в правилно числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме изваждане член по член на правилни числени равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 −x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаем, че произведението на две числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, което е едно и също, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така че стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1. Това доказва, че уравнението няма корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението, което

няма корени, ако,
има два корена и , ако .

Нека разгледаме примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0.

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0. След преместване на свободния член в дясната страна на уравнението, той ще приеме формата 9 x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9, получаваме . Тъй като от дясната страна се оказа отрицателно число, тогава това уравнение няма корени, следователно оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7=0 няма корени.

Нека решим друго непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Преместваме деветката от дясната страна: −x 2 =−9. Сега разделяме двете страни на −1, получаваме x 2 =9. От дясната страна има положително число, от което заключаваме, че или . След това записваме крайния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се занимаем с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0. Непълните квадратни уравнения под формата a x 2 + b x = 0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, намирайки се от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да извадим общия множител x извън скоби. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение във формата x·(a·x+b)=0. И това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения x=0 и a·x+b=0, последното от които е линейно и има корен x=−b/a.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 +b·x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждането на x извън скобите дава уравнението. Това е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Решаваме полученото линейно уравнение: , и разделяме смесеното число на обикновена дроб, намираме . Следователно корените на оригиналното уравнение са x=0 и .

След придобиване на необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има формула за корен. Нека го запишем формула за корените на квадратно уравнение: , Където D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Вписването по същество означава, че.

Полезно е да знаете как е получена формулата за корен и как се използва при намиране на корените на квадратни уравнения. Нека разберем това.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0. Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

Можем да разделим двете страни на това уравнение на ненулево число a, което води до следното квадратно уравнение.
Сега изберете пълен квадратот лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
На този етап е възможно последните два термина да се прехвърлят от дясната страна с противоположния знак, имаме .
И нека трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнение, което е еквивалентно на оригиналното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0.

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишните параграфи, когато разглеждахме. Това ви позволява да направите следните заключенияотносно корените на уравнението:

ако , тогава уравнението няма реални решения;
ако , тогава уравнението има формата , следователно, , от което се вижда единственият му корен;
ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корени на уравнението и следователно на оригиналното квадратно уравнение зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4·a 2 винаги е положителен, тоест от знака на израза b 2 −4·a·c. Този израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминант на квадратно уравнениеи обозначени с буквата д. Оттук е ясна същността на дискриминанта - по стойността и знака му правят извод дали квадратното уравнение има реални корени и ако има, какъв е техният брой - един или два.

Нека се върнем към уравнението и го пренапишем, като използваме дискриминантната нотация: . И правим изводи:

ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ако D=0, тогава това уравнение има един корен;
накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или, които могат да бъдат пренаписани във формата или и след разширяване и привеждане на дробите към общ знаменател получаваме.

Така че изведехме формулите за корените на квадратното уравнение, те изглеждат като , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4·a·c.

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е равен на нула, и двете формули дават една и съща стойност на корена, съответстваща на уникално решение на квадратното уравнение. И с отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, се сблъскваме с извличане на корен квадратен от отрицателно число, което ни отвежда извън обхвата и училищна програма. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексно спрегнаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика, когато решавате квадратни уравнения, можете веднага да използвате формулата на корена, за да изчислите техните стойности. Но това е по-скоро свързано с намирането на сложни корени.

Но в училищния курс по алгебра обикновено говорим не за сложни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да намерите дискриминанта, да се уверите, че е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени), и едва след това изчислете стойностите на корените.

Горното разсъждение ни позволява да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, трябва:

използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4·a·c, изчислете стойността му;
заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
изчислете единствения корен на уравнението по формулата, ако D=0;
намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате формулата за корен, ако дискриминантът е положителен.

Тук просто отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, можете също да използвате формулата; тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за използване на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека разгледаме решения на три квадратни уравнения с положителен, отрицателен и нулев дискриминант. След като се справим с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Нека да започнем.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2·x−6=0.

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритъма първо трябва да изчислите дискриминанта; за да направите това, заместваме посочените a, b и c във формулата на дискриминанта, имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на формулата за корен, получаваме , тук можете да опростите получените изрази, като направите преместване на множителя отвъд знака за коренпоследвано от намаляване на фракцията:

Отговор:

Да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

Отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решаването на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5, b=6 и c=2. Ние заместваме тези стойности в дискриминантната формула, която имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да зададете сложни корени, използвайте добре позната формулакорени на квадратно уравнение и изпълнете операции с комплексни числа:

Отговор:

няма истински корени, сложните корени са: .

Нека отбележим още веднъж, че ако дискриминантът на квадратно уравнение е отрицателен, тогава в училище те обикновено незабавно записват отговор, в който посочват, че няма реални корени и сложни корени не се намират.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение, където D=b 2 −4·a·c ви позволява да получите формула с по-компактна форма, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент за x (или просто с коефициент, имащ формата 2·n, например, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Да я измъкнем.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от формата a x 2 +2 n x+c=0. Нека намерим корените му, използвайки формулата, която знаем. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)и след това използваме коренната формула:

Нека обозначим израза n 2 −a c като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата , където D 1 =n 2 −a·c.

Лесно се вижда, че D=4·D 1, или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част от дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знака на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втори коефициент 2·n, трябва

Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена, като използвате формулата.

Нека разгледаме решаването на примера с помощта на формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Това означава, че можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тук a=5, n=−3 и c=−32, и да изчислите четвъртата част от дискриминанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на подходящата коренна формула:

Имайте предвид, че беше възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се извърши повече изчислителна работа.

Отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да започнете да изчислявате корените на квадратно уравнение с помощта на формули, няма да навреди да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение?“ Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x−6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0.

Обикновено опростяването на формата на квадратно уравнение се постига чрез умножаване или деление на двете страни на определено число. Например, в предишния параграф беше възможно да се опрости уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0, като се разделят двете му страни на 100.

Подобна трансформация се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай двете страни на уравнението обикновено се разделят на абсолютните стойности на неговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6. Разделяйки двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6, стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0.

А умножаването на двете страни на квадратно уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробните коефициенти. В този случай умножението се извършва чрез знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако двете страни на квадратното уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6, тогава то ще приеме по-простата форма x 2 +4·x−18=0.

В заключение на тази точка отбелязваме, че те почти винаги се отърват от минуса при най-високия коефициент на квадратно уравнение чрез промяна на знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например, обикновено се преминава от квадратното уравнение −2 x 2 −3 x+7=0 към решението 2 x 2 +3 x−7=0.

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на уравнението чрез неговите коефициенти. Въз основа на формулата за корен можете да получите други връзки между корени и коефициенти.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета са от вида и . По-специално, за даденото квадратно уравнение сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, като разгледаме формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x + 22 = 0, можем веднага да кажем, че сборът от неговите корени е равен на 7/3, а произведението на корените е равно на 22 /3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение чрез неговите коефициенти: .

Библиография.

Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

“, тоест уравнения от първа степен. В този урок ще разгледаме това, което се нарича квадратно уравнениеи как да го решим.

Какво е квадратно уравнение?

важно!

Степента на уравнението се определя от най-високата степен, на която стои неизвестното.

Ако максималната степен, в която неизвестното е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
х 2 + 0,25 х = 0
x 2 − 8 = 0

важно! Общата форма на квадратно уравнение изглежда така:

A x 2 + b x + c = 0

„a“, „b“ и „c“ са дадени числа.

„а“ е първият или най-високият коефициент;
“b” е вторият коефициент;
“c” е безплатен член.

За да намерите „a“, „b“ и „c“, трябва да сравните вашето уравнение с общата форма на квадратното уравнение „ax 2 + bx + c = 0“.

Нека се упражним да определяме коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Уравнението	Коефициенти
а = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

х 2 + 0,25 х = 0

а = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

а = 1
b = 0
c = −8

Как се решават квадратни уравнения

За разлика от линейните уравнения, за решаване на квадратни уравнения се използва специален метод. формула за намиране на корени.

Помня!

За да решите квадратно уравнение, трябва:

редуцирайте квадратното уравнение до общ вид"ax 2 + bx + c = 0". Тоест от дясната страна трябва да остане само „0“;
използвайте формула за корени:

Нека да разгледаме пример как да използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратно уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнението „x 2 − 3x − 4 = 0“ вече е сведено до общата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, просто трябва да кандидатстваме формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека определим коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Във формулата “x 1;2 = ” радикалният израз често се заменя
“b 2 − 4ac” за буквата “D” и се нарича дискриминант. Концепцията за дискриминант е разгледана по-подробно в урока „Какво е дискриминант“.

Нека да разгледаме друг пример за квадратно уравнение.

x 2 + 9 + x = 7x

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо редуцираме уравнението до общата форма “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да използвате формулата за корените.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

х = 3
Отговор: x = 3

Има моменти, когато квадратните уравнения нямат корени. Тази ситуация възниква, когато формулата съдържа отрицателно число под корена.

Надявам се, че след изучаването на тази статия ще научите как да намирате корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения; за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Кои квадратни уравнения се наричат пълни? Това уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решим пълно квадратно уравнение, трябва да изчислим дискриминанта D.

D = b 2 – 4ac.

В зависимост от стойността на дискриминанта ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x = (-b)/2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. Решете уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Отговор: – 3,5; 1.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения, използвайки диаграмата на Фигура 1.

С помощта на тези формули можете да решите всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате да уравнението беше написано като полином от стандартната форма

А х 2 + bx + c,в противен случай може да направите грешка. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином от стандартната форма (мономът с най-голям показател трябва да е първи, т.е. А х 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член с.

Когато решавате редуцирано квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент във втория член, можете да използвате други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълно квадратно уравнение вторият член има четен коефициент (b = 2k), тогава можете да решите уравнението, като използвате формулите, показани на диаграмата на Фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при х 2 е равно на едно и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да бъде дадено за решение или може да бъде получено чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента А, застанал на х 2 .

Фигура 3 показва диаграма за решаване на редуцирания квадрат
уравнения. Нека да разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3х 2 + 6x – 6 = 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3

Можете да забележите, че коефициентът на x в това уравнение е четно число, тоест b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. Тогава нека се опитаме да решим уравнението, като използваме формулите, показани в диаграмата на фигура D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и извършвайки делението, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x – 2 = 0. Решете това уравнение, като използвате формулите за намаленото квадратно уравнение
уравнения фигура 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3.

Както виждаме, при решаването на това уравнение чрез различни формулиполучихме същия отговор. Следователно, след като сте усвоили напълно формулите, показани на диаграмата на фигура 1, вие винаги ще можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Нека приложим към квадратичния тричлен ax 2 + bx + c същите трансформации, които извършихме в § 13, когато доказахме теоремата, че графиката на функцията y = ax 2 + bx + c е парабола.
Ние имаме

Обикновено изразът b 2 - 4ac се обозначава с буквата D и се нарича дискриминант на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант на квадратния трином ax + bx + c).

По този начин

Това означава, че квадратното уравнение ax 2 + them + c = O може да бъде пренаписано във формата

Всяко квадратно уравнение може да се трансформира във форма (1), което е удобно, както ще видим сега, за да се определи броят на корените на квадратно уравнение и да се намерят тези корени.

Доказателство. Ако Д< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время лява странауравнение (1) приема неотрицателни стойности за всякакви стойности на x. Това означава, че няма нито една стойност на x, която да удовлетворява уравнение (1), и следователно уравнение (1) няма корени.

Пример 1.Решете уравнението 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Решение. Тук a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Тъй като Д< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доказателство. Ако D = 0, тогава уравнение (1) приема формата

е единственият корен на уравнението.

Бележка 1. Помните ли, че x = - е абсцисата на върха на параболата, която служи за графика на функцията y = ax 2 + them + c? Защо това
стойността се оказа единственият корен на квадратното уравнение ax 2 + тях + c - 0? „Ковчегът“ се отваря просто: ако D е 0, тогава, както установихме по-рано,

Графика на същата функция е парабола с връх в точка (вижте например фиг. 98). Това означава, че абсцисата на върха на параболата и единственият корен на квадратното уравнение за D = 0 са едно и също число.

Пример 2.Решете уравнението 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Решение. Тук a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Тъй като D = 0, тогава по теорема 2 това квадратно уравнение има един корен. Този корен се намира по формулата

Отговор: 2.5.

Бележка 2. Имайте предвид, че 4x 2 - 20x +25 е перфектен квадрат: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Ако бяхме забелязали това веднага, щяхме да решим уравнението така: (2x - 5) 2 = 0, което означава 2x - 5 = 0, от което получаваме x = 2,5. Като цяло, ако D = 0, тогава

ax 2 + bx + c = - отбелязахме това по-рано в Забележка 1.
Ако D > 0, тогава квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 има два корена, които се намират по формулите

Доказателство. Нека пренапишем квадратното уравнение ax 2 + b x + c = 0 във формата (1)

Да сложим
По условие D > 0, което означава, че дясната страна на уравнението е положително число. Тогава от уравнение (2) получаваме това

И така, даденото квадратно уравнение има два корена:

Бележка 3. В математиката рядко се случва въведеният термин да няма, образно казано, битова предистория. Да вземем нещо ново
понятие - дискриминант. Запомнете думата „дискриминация“. Какво означава? Означава унижение на едни и издигане на други, т.е. различно отношение
ция на различни хора. И двете думи (дискриминант и дискриминация) идват от латинското discriminans - „разграничаващ“. Дискриминантът разграничава квадратните уравнения по броя на корените.

Пример 3.Решете уравнението 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Решение. Тук a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Тъй като D > 0, то съгласно теорема 3 това квадратно уравнение има два корена. Тези корени се намират по формули (3)

Всъщност ние разработихме следното правило:

Правило за решаване на уравнението
ax 2 + bx + c = 0

Това правило е универсално; важи както за пълни, така и за непълни квадратни уравнения. Въпреки това, непълните квадратни уравнения обикновено не се решават с помощта на това правило; по-удобно е да ги решим, както направихме в предишния параграф.

Пример 4.Решете уравнения:

а) x 2 + 3x - 5 = 0; б) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; в) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Решение: а) Тук a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Тъй като D > 0, това квадратно уравнение има два корена. Намираме тези корени с помощта на формули (3)

Б) Както показва опитът, по-удобно е да се работи с квадратни уравнения, в които водещият коефициент е положителен. Следователно, първо умножаваме двете страни на уравнението по -1, получаваме

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Тук a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Тъй като D = 0, това квадратно уравнение има един корен. Този корен се намира по формулата x = -. означава,

Това уравнение може да бъде решено по различен начин: тъй като
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, тогава получаваме уравнението (Зх - I) 2 = 0, откъдето намираме Зх - 1 = 0, т.е. x = .

c) Тук a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Тъй като D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математиците са практични, икономични хора. Защо, казват те, използвайте толкова дълго правило за решаване на квадратно уравнение, по-добре е веднага да напишете обща формула:

Ако се окаже, че дискриминантът D = b 2 - 4ac е отрицателно число, тогава написаната формула няма смисъл (под знака за квадратен корен има отрицателно число), което означава, че няма корени. Ако се окаже, че дискриминантът е равен на нула, тогава получаваме

Тоест един корен (те също така казват, че квадратното уравнение в този случай има два еднакви корена:

И накрая, ако се окаже, че b 2 - 4ac > 0, тогава получаваме два корена x 1 и x 2, които се изчисляват по същите формули (3), както е посочено по-горе.

Самото число в този случай е положително (както всяко Корен квадратенот положително число), а двойният знак пред него означава, че в един случай (при намиране на x 1) това положително число се добавя към числото - b, а в друг случай (при намиране на x 2) това положително число е отстранени
прочетете от числото - b.

Имате свобода на избор. Искате ли да решите подробно квадратното уравнение, като използвате правилото, формулирано по-горе; Ако искате, запишете формула (4) веднага и я използвайте, за да направите необходимите изводи.

Пример 5. Решете уравнения:

Решение, а) Разбира се, можете да използвате формули (4) или (3), като вземете предвид, че в в такъв случай Но защо да правите неща с дроби, когато е по-лесно и най-важното по-приятно да се справяте с цели числа? Нека се отървем от знаменателите. За да направите това, трябва да умножите двете страни на уравнението по 12, тоест по най-малкия общ знаменател на дробите, които служат като коефициенти на уравнението. Получаваме

откъдето 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Сега нека използваме формула (4)

B) Отново имаме уравнение с дробни коефициенти: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Нека умножим двете страни на уравнението по 100, тогава ще получим уравнение с цели коефициенти:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
След това използваме формула (4):

Едно просто изчисление показва, че дискриминантът (радикалният израз) е отрицателно число. Това означава, че уравнението няма корени.

Пример 6.Решете уравнението
Решение. Тук, за разлика от предишния пример, е за предпочитане да се действа по правилото, а не по съкратената формула (4).

Имаме a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Тъй като D > 0, квадратното уравнение има два корена, които ще търсим с помощта на формули (3)

Пример 7.Решете уравнението
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Решение. Това квадратно уравнение се различава от всички квадратни уравнения, разгледани досега по това, че коефициентите не са конкретни числа, а буквени изрази. Такива уравнения се наричат уравнения с буквени коефициенти или уравнения с параметри. В този случай параметърът (буквата) p е включен във втория коефициент и свободния член на уравнението.
Нека намерим дискриминанта:

Пример 8. Решете уравнението px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Решение. Това също е уравнение с параметър p, но за разлика от предишния пример, то не може да бъде решено веднага с помощта на формули (4) или (3). Факт е, че посочените формули са приложими за квадратни уравнения, но все още не можем да кажем това за дадено уравнение. Наистина, какво ще стане, ако p = 0? Тогава
уравнението ще приеме формата 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, т.е. x - 1 = 0, от което получаваме x = 1. Сега, ако знаете със сигурност, че , тогава можете да приложите формулите за корените на квадратната уравнение: