Как да намерим най-малкото общо кратно?
Как да намерите NOC
Ето видео, което ще ви даде два начина да намерите най-малкото общо кратно (LCM). След като се упражнявате да използвате първия от предложените методи, можете по-добре да разберете кое е най-малкото общо кратно.
- Представяме всяко число като произведение на неговите прости множители:
- Записваме степените на всички прости множители:
- Избираме всички прости делители (множители) с най-големи мощности, умножаваме ги и намираме LCM:
- Първата стъпка е да разложим тези числа на прости множители.
- Изписваме факторите, които са включени в разширяването на числото 30. Това е 2 x 3 x 5.
- Сега трябва да ги умножим по липсващия коефициент, който имаме, когато разширяваме 42, което е 7. Получаваме 2 x 3 x 5 x 7.
- Намираме на какво е равно 2 x 3 x 5 x 7 и получаваме 210.
- Разлагаме двете числа на прости множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
- Намаляваме същите множители на едно от числата. В нашия случай 2 * 2 съвпадат, нека ги намалим за числото 12, тогава за 12 ще остане един фактор: 3.
- Намерете произведението на всички останали множители: 2*2*2*3=24
Трябва да намерим всеки множител на всяко от двете числа, за които намираме най-малкото общо кратно, и след това да умножим един по друг множителите, които съвпадат в първото и второто число. Резултатът от продукта ще бъде необходимото кратно.
Например, имаме числата 3 и 5 и трябва да намерим LCM (най-малкото общо кратно). нас трябва да се размножавати три и пет за всички числа, започващи от 1 2 3 ...и така нататък, докато видим същото число и на двете места.
Умножете три и получете: 3, 6, 9, 12, 15
Умножете по пет и получете: 5, 10, 15
Методът на разлагане на прости множители е най-класическият метод за намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа. Този метод е ясно и просто демонстриран в следния видеоклип:
Събирането, умножението, деленето, привеждането до общ знаменател и други аритметични операции са много вълнуващо занимание; примерите, които заемат цял лист хартия, са особено увлекателни.
Така че намерете общото кратно на две числа, което ще бъде най-малкото число, на което се делят двете числа. Бих искал да отбележа, че не е необходимо да прибягвате до формули в бъдеще, за да намерите това, което търсите, ако можете да броите в главата си (и това може да се тренира), тогава самите числа изскачат в главата ви и тогава фракциите се чупят като ядки.
Първо, нека научим, че можете да умножите две числа едно по друго и след това да намалите това число и да разделите последователно на тези две числа, така че ще намерим най-малкото кратно.
Например две числа 15 и 6. Умножете и вземете 90. Това е очевидно по-голям брой. Освен това 15 се дели на 3 и 6 се дели на 3, което означава, че също делим 90 на 3. Получаваме 30. Опитваме се 30 да раздели 15 е равно на 2. И 30 да раздели 6 е равно на 5. Тъй като 2 е границата, се превръща че най-малкото кратно на числата е 15 и 6 ще бъде 30.
С по-големи числа ще е малко по-трудно. но ако знаете кои числа дават нулев остатък при деление или умножение, тогава по принцип няма големи трудности.
Представям друг начин за намиране на най-малкото общо кратно. Нека го разгледаме с ясен пример.
Трябва да намерите LCM на три числа наведнъж: 16, 20 и 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
Така резултатът от изчислението беше числото 560. То е най-малкото общо кратно, тоест се дели на всяко от трите числа без остатък.
Най-малкото общо кратно е число, което може да се раздели на няколко дадени числа, без да остава остатък. За да изчислите такава цифра, трябва да вземете всяко число и да го разложите на прости фактори. Тези числа, които съвпадат, се премахват. Оставя всеки един по един, умножава ги помежду си на свой ред и получава желаното - най-малкото общо кратно.
NOC, или най-малко общо кратно, е най-малкото естествено число от две или повече числа, което се дели на всяко от дадените числа без остатък.
Ето пример как да намерите най-малкото общо кратно на 30 и 42.
За 30 е 2 х 3 х 5.
За 42 това е 2 х 3 х 7. Тъй като 2 и 3 са в разширението на числото 30, ние ги задраскваме.
В резултат откриваме, че LCM на числата 30 и 42 е 210.
За намиране на най-малкото общо кратно, трябва да изпълните няколко прости стъпки последователно. Нека да разгледаме това като използваме две числа като пример: 8 и 12
Проверявайки, се уверяваме, че 24 се дели и на 8, и на 12 и това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от тези числа. Тук сме намери най-малкото общо кратно.
Ще се опитам да обясня, като използвам числата 6 и 8 като пример, това е число, което може да бъде разделено на тези числа (в нашия случай 6 и 8) и няма да има остатък.
И така, първо започваме да умножаваме 6 по 1, 2, 3 и т.н. и 8 по 1, 2, 3 и т.н.
Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно за две или всеки друг брой числа.
Калкулатор за намиране на GCD и LCM
Намерете GCD и LOC
Намерени GCD и LOC: 5806
Как да използвате калкулатора
- Въведете числа в полето за въвеждане
- Ако въведете неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
- щракнете върху бутона „Намиране на GCD и LOC“.
Как се въвеждат числа
- Числата се въвеждат разделени с интервал, точка или запетая
- Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на GCD и LCM на дълги числа не е трудно
Какво представляват GCD и NOC?
Най-голям общ делителняколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.
Как да проверим дали едно число се дели на друго число без остатък?
За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, можете да проверите делимостта на някои от тях и техните комбинации.
Някои признаци за делимост на числата
1. Тест за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.
2. Тест за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на три. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали то се дели на 3. Дори ако сборът от цифрите е много голям, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:Преброяваме сбора на числата: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.
3. Тест за делимост на число на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.
4. Тест за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:Преброяваме сбора на числата: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.
Как да намерим GCD и LCM на две числа
Как да намерите gcd на две числа
Повечето по прост начинИзчисляването на най-големия общ делител на две числа е да се намерят всички възможни делители на тези числа и да се избере най-големият от тях.
Нека разгледаме този метод, като използваме примера за намиране на GCD(28, 36):
- Разлагаме и двете числа: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
- Изчисляваме произведението на тези множители: 1 2 2 = 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.
Как да намерим LCM на две числа
Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият метод е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим gcd на тези числа. Нека разгледаме само него.
За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намереното GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:
- Намерете произведението на числата 28 и 36: 28·36 = 1008
- НОД(28, 36), както вече е известно, е равно на 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.
Намиране на GCD и LCM за няколко числа
Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За да направите това, числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Можете също да използвате следната връзка, за да намерите gcd на няколко числа: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).
Подобна връзка се прилага за най-малкото общо кратно: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.
- Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Нека намерим общите множители: 1, 2 и 2.
- Техният продукт ще даде НОД: 1·2·2 = 4
- Сега нека намерим LCM: за да направим това, нека първо намерим LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- За да намерите LCM на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
Но много естествени числа се делят и на други естествени числа.
например:
Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числата. Разделител естествено число а- е естествено число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два делителя композитен .
Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ b- това е числото, на което се делят без остатък и двете дадени числа аИ b.
Общи кратниняколко числа е число, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички общи кратни винаги има най-малкото, in в този случайтова е 90. Това число се нарича най-малкатаобщо кратно (CMM).
LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.
Най-малко общо кратно (LCM). Свойства.
Комутативност:
Асоциативност:
По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:
Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ пе делител на всички други общи кратни мИ п. Освен това, набор от общи кратни м, нсъвпада с множеството кратни на LCM( м, н).
Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.
така че Функция на Чебишев. И също така:
Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).
Какво следва от закона за разпределение на простите числа.
Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).
НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:
1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:
2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:
Къде p 1 ,...,p k- различни прости числа и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число не е в разширението).
Тогава NOC ( а,b) се изчислява по формулата:
С други думи, разлагането на LCM съдържа всички прости множители, включени в поне едно от разлаганията на числа а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този множител.
Пример:
Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:
правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:
- разлагат числата на прости множители;
- прехвърлете най-голямото разширение (произведението на факторите на желания продукт) във факторите на желания продукт голям бройот дадените) и след това добавете фактори от разширяването на други числа, които не се появяват в първото число или се появяват в него по-малко пъти;
— полученото произведение на прости множители ще бъде LCM на дадените числа.
Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.
Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) се допълват с множител 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.
Простите множители на най-голямото число 30 се допълват с множителя 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. това най-малко продуктот възможните (150, 250, 300...), на които всички дадени числа са кратни.
Числата 2,3,11,37 са прости числа, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.
правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.
Друг вариант:
За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:
1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) запишете степените на всички прости множители:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;
4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;
5) умножете тези правомощия.
Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.
Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Записваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Общи кратни
Просто казано, всяко цяло число, което се дели на всяко от дадените числа, е общо кратнодадени цели числа.
Можете да намерите общото кратно на две или повече цели числа.
Пример 1
Изчислете общото кратно на две числа: $2$ и $5$.
Решение.
По дефиниция общото кратно на $2$ и $5$ е $10$, защото то е кратно на числото $2$ и числото $5$:
Общи кратни на числата $2$ и $5$ ще бъдат и числата $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.н., т.к. всички те са разделени на числа $2$ и $5$.
Бележка 1
Нулата е общо кратно на произволен брой ненулеви цели числа.
Според свойствата на делимостта, ако определено число е общо кратно на няколко числа, то противоположното по знак число също ще бъде общо кратно на дадените числа. Това може да се види от разглеждания пример.
За дадени цели числа винаги можете да намерите тяхното общо кратно.
Пример 2
Изчислете общото кратно на $111$ и $55$.
Решение.
Нека умножим дадените числа: $111\div 55=6105$. Лесно се проверява, че числото $6105$ се дели на числото $111$ и на числото $55$:
$6105\div 111=$55;
$6105\div 55=$111.
Така $6105$ е общо кратно на $111$ и $55$.
отговор: Общото кратно на $111$ и $55$ е $6105$.
Но, както вече видяхме от предишния пример, това общо кратно не е единица. Други общи кратни биха били $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.н. Така стигнахме до следния извод:
Бележка 2
Всеки набор от цели числа има безкраен брой общи кратни.
На практика те се ограничават до намиране на общи кратни само на положителни цели (естествени) числа, т.к набор от кратни дадено числои неговата противоположност съвпадат.
Определяне на най-малкото общо кратно
От всички кратни на дадени числа най-често се използва най-малкото общо кратно (LCM).
Определение 2
Най-малкото положително общо кратно на дадени цели числа е най-малко общо кратнотези числа.
Пример 3
Изчислете LCM на числата $4$ и $7$.
Решение.
защото тези числа нямат общи делители, тогава $NOK(4,7)=28$.
отговор: $NOK (4,7)=28$.
Намиране на NOC чрез GCD
защото има връзка между LCM и GCD, с негова помощ можете да изчислите LCM на две положителни цели числа:
Бележка 3
Пример 4
Изчислете LCM на числата $232$ и $84$.
Решение.
Нека използваме формулата, за да намерим LCM чрез GCD:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$
Нека намерим НОД на числата $232$ и $84$ с помощта на евклидовия алгоритъм:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Тези. $НОД(232, 84)=4$.
Нека намерим $LCC (232, 84)$:
$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
отговор: $NOK (232,84)=$4872.
Пример 5
Изчислете $LCD(23, 46)$.
Решение.
защото $46$ се дели на $23$, тогава $gcd (23, 46)=23$. Да намерим LOC:
$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
отговор: $NOK (23,46)=$46.
Така може да се формулира правило:
Бележка 4
Най-големият общ делител и най-малкото общо кратно са ключови аритметични понятия, които ви позволяват да работите без усилие обикновени дроби. LCM и най-често се използват за намиране на общия знаменател на няколко дроби.
Основни понятия
Делителят на цяло число X е друго цяло число Y, на което X се дели без остатък. Например делителят на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Кратно на цяло число X е число Y, което се дели на X без остатък. Например 3 е кратно на 15, а 6 е кратно на 12.
За всяка двойка числа можем да намерим техните общи делители и кратни. Например за 6 и 9 общото кратно е 18, а общият делител е 3. Очевидно двойките могат да имат няколко делителя и кратни, така че изчисленията използват най-големия делител НОД и най-малкото кратно НОК.
Най-малкият делител е безсмислен, тъй като за всяко число винаги е едно. Най-голямото кратно също е безсмислено, тъй като последователността от кратни отива до безкрайност.
Намиране на gcd
Има много методи за намиране на най-голям общ делител, най-известните от които са:
- последователно търсене на делители, избор на общи за двойка и търсене на най-големия от тях;
- разлагане на числата на неделими множители;
- Евклидов алгоритъм;
- двоичен алгоритъм.
Днес в образователни институцииНай-популярни са методите за разлагане на прости множители и алгоритъмът на Евклид. Последното от своя страна се използва при решаване на диофантови уравнения: търсенето на GCD е необходимо, за да се провери уравнението за възможността за разделяне в цели числа.
Намиране на НОК
Най-малкото общо кратно също се определя чрез последователно търсене или разлагане на неделими множители. Освен това е лесно да се намери LCM, ако най-големият делител вече е определен. За числата X и Y LCM и GCD са свързани със следната връзка:
LCD(X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).
Например, ако GCM(15,18) = 3, тогава LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Най-очевидният пример за използване на LCM е намирането на общия знаменател, който е най-малкото общо кратно на дадени дроби.
Взаимопрости числа
Ако една двойка числа няма общи делители, тогава такава двойка се нарича взаимнопроста. НОД за такива двойки винаги е равен на едно и въз основа на връзката между делители и кратни, НОД за взаимнопрости двойки е равен на техния продукт. Например числата 25 и 28 са относително прости, тъй като нямат общи делители и LCM(25, 28) = 700, което съответства на произведението им. Всякакви две неделими числа винаги ще бъдат относително прости.
Общ делител и множествен калкулатор
С помощта на нашия калкулатор можете да изчислите GCD и LCM за произволен брой числа, от които да избирате. Задачи за пресмятане на общи делители и кратни се намират в аритметиката за 5 и 6 клас, но GCD и LCM са ключови понятия в математиката и се използват в теорията на числата, планиметрията и комуникативната алгебра.
Примери от реалния живот
Общ знаменател на дроби
Най-малкото общо кратно се използва при намиране на общия знаменател на няколко дроби. Нека влезе аритметична задачатрябва да съберете 5 дроби:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
За да добавите дроби, изразът трябва да бъде намален до общ знаменател, което свежда до проблема за намиране на LCM. За да направите това, изберете 5 числа в калкулатора и въведете стойностите на знаменателите в съответните клетки. Програмата ще изчисли LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега трябва да изчислите допълнителни фактори за всяка дроб, които се дефинират като съотношението на LCM към знаменателя. Така че допълнителните множители ще изглеждат така:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
След това умножаваме всички дроби по съответния допълнителен фактор и получаваме:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Можем лесно да сумираме такива дроби и да получим резултата като 159/360. Намаляваме дробта с 3 и виждаме крайния отговор - 53/120.
Решаване на линейни диофантови уравнения
Линейните диофантови уравнения са изрази от формата ax + by = d. Ако съотношението d / gcd(a, b) е цяло число, тогава уравнението е разрешимо в цели числа. Нека проверим няколко уравнения, за да видим дали имат цяло число. Първо, нека проверим уравнението 150x + 8y = 37. С помощта на калкулатор намираме НОД (150,8) = 2. Разделете 37/2 = 18,5. Числото не е цяло число, следователно уравнението няма цяло число.
Нека проверим уравнението 1320x + 1760y = 10120. Използвайте калкулатор, за да намерите GCD(1320, 1760) = 440. Разделете 10120/440 = 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно диофантовото уравнение е разрешимо с цели коефициенти .
Заключение
GCD и LCM играят голяма роля в теорията на числата, а самите концепции се използват широко в голямо разнообразие от области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делителии най-малко кратни на произволен брой числа.
Зареждане...