Децата в училище учат правилата за съкращаване на дроби в 6 клас. В тази статия първо ще ви кажем какво означава това действие, след което ще ви обясним как да преобразувате съкратима дроб в несъкратима дроб. Следващата точка ще бъдат правилата за намаляване на дроби и след това постепенно ще стигнем до примерите.
Какво означава „намаляване на дроб“?
Така че всички знаем това обикновени дробисе разделят на две групи: редуцируеми и нередуцируеми. Още от имената можете да разберете, че тези, които са свиваеми, са свити, а тези, които са несъкратими, не са свити.
- Да се намали дроб означава да се разделят знаменателят и числителят на техния (различен от един) положителен делител. Резултатът, разбира се, е нова дроб с по-малък знаменател и числител. Получената дроб ще бъде равна на първоначалната дроб.
Струва си да се отбележи, че в книгите по математика със задачата „намаляване на дроб“ това означава, че трябва да намалите първоначалната дроб до тази нередуцируема форма. Ако говорим с прости думи, след което разделете знаменателя и числителя на най-големия им общ делители има намаление.
Как да намалим дроб. Правила за намаляване на дроби (6 клас)
Така че тук има само две правила.
- Първото правило за съкращаване на дроби е първо да намерите най-големия общ множител на знаменателя и числителя на вашата дроб.
- Второто правило: разделете знаменателя и числителя на най-големия общ делител, като в крайна сметка получавате несъкратима дроб.
Как да намалим неправилна дроб?
Правилата за съкращаване на дроби са идентични с правилата за съкращаване на неправилни дроби.
За да намалите неправилна дроб, първо ще трябва да разложите знаменателя и числителя на прости множители и едва след това да намалите общите множители.
Намаляване на смесени фракции
Правилата за съкращаване на дроби важат и за съкращаване на смесени дроби. Има само малка разлика: не можем да докосваме цялата част, а да намалим дробта или да преобразуваме смесената дроб в неправилна дроб, след това да я намалим и отново да я преобразуваме в правилна дроб.
Има два начина за намаляване на смесените фракции.
Първо: запишете дробната част на прости множители и след това оставете цялата част.
Вторият начин: първо го преобразувайте в неправилна дроб, запишете я в обикновени множители, след това намалете дробта. Преобразувайте вече получената неправилна дроб в правилна.
Примери могат да се видят на снимката по-горе.
Силно се надяваме, че сме успели да помогнем на вас и вашите деца. В края на краищата те често са невнимателни в клас, така че трябва да учат по-интензивно у дома сами.
В тази статия ще разгледаме подробно как намаляване на дроби. Първо, нека обсъдим какво се нарича намаляване на дроб. След това нека поговорим за редуцирането на съкратима дроб до несъкратима форма. След това ще получим правилото за намаляване на дроби и накрая ще разгледаме примери за прилагането на това правило.
Навигация в страницата.
Какво означава намаляване на дроб?
Знаем, че обикновените дроби се делят на съкратими и несъкратими. От имената можете да познаете, че съкратимите дроби могат да бъдат съкратени, но несъкратимите не могат.
Какво означава намаляване на дроб? Намалете фракцията- това означава да разделим числителя и знаменателя на техните положителни и различни от единица. Ясно е, че в резултат на намаляване на дроб се получава нова дроб с по-малък числител и знаменател и поради основното свойство на дробта получената дроб е равна на първоначалната.
Например, нека намалим обикновената дроб 8/24, като разделим нейния числител и знаменател на 2. С други думи, нека намалим дробта 8/24 с 2. Тъй като 8:2=4 и 24:2=12, това намаление води до дробта 4/12, която е равна на първоначалната дроб 8/24 (вижте равни и неравни дроби). В резултат на това имаме.
Привеждане на обикновени дроби до несъкратима форма
Обикновено крайната цел на редуцирането на дроб е да се получи нередуцируема дроб, която е равна на оригиналната редуцируема дроб. Тази цел може да бъде постигната чрез намаляване на първоначалната редуцируема дроб с нейния числител и знаменател. В резултат на такова намаление винаги се получава несъкратима дроб. Наистина, малка част 
е нередуцируем, тъй като е известно, че 
И 
- . Тук ще кажем, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на една дроб е най-голямото число, с което тази фракция може да бъде намалена.
Така, редуциране на обикновена дроб до несъкратим видсе състои от разделяне на числителя и знаменателя на оригиналната редуцируема дроб на техния gcd.
Нека разгледаме пример, за който се връщаме към дробта 8/24 и я намаляваме с най-големия общ делител на числата 8 и 24, който е равен на 8. Тъй като 8:8=1 и 24:8=3, стигаме до несъкратимата дроб 1/3. Така, .
Обърнете внимание, че фразата „намаляване на дроб“ често означава редуциране на оригиналната дроб до нейната нередуцируема форма. С други думи, намаляването на дроб много често се отнася до разделянето на числителя и знаменателя на техния най-голям общ множител (вместо на който и да е общ множител).
Как да намалим дроб? Правила и примери за съкращаване на дроби
Остава само да разгледаме правилото за съкращаване на дроби, което обяснява как да съкратим дадена дроб.
Правило за съкращаване на дробисе състои от две стъпки:
- първо се намира gcd на числителя и знаменателя на дробта;
- второ, числителят и знаменателят на дробта се разделят на тяхната gcd, което дава несъкратима дроб, равна на първоначалната.
Нека го подредим пример за намаляване на дробспоред посоченото правило.
Пример.
Намалете дробта 182/195.
Решение.
Нека изпълним и двете стъпки, предписани от правилото за съкращаване на дроб.
Първо намираме НОД(182, 195) . Най-удобно е да използвате алгоритъма на Евклид (вижте): 195=182·1+13, 182=13·14, тоест НОД(182, 195)=13.
Сега разделяме числителя и знаменателя на дробта 182/195 на 13 и получаваме несъкратимата дроб 14/15, която е равна на оригиналната дроб. Това завършва намаляването на фракцията.
Накратко решението може да се напише по следния начин: .
Отговор:
Това е мястото, където можем да завършим редуцирането на дроби. Но за да бъде пълна картината, нека разгледаме още два начина за намаляване на дроби, които обикновено се използват в лесни случаи.
Понякога числителят и знаменателят на намалената дроб не са трудни. Намаляването на дроб в този случай е много просто: просто трябва да премахнете всички общи множители от числителя и знаменателя.
Струва си да се отбележи, че този метод следва директно от правилото за съкращаване на дроби, тъй като произведението на всички общи прости множители на числителя и знаменателя е равно на техния най-голям общ делител.
Нека разгледаме решението на примера.
Пример.
Намалете дробта 360/2 940.
Решение.
Нека разделим числителя и знаменателя на прости множители: 360=2·2·2·3·3·5 и 2940=2·2·3·5·7·7. По този начин, 
.
Сега се отърваваме от общите множители в числителя и знаменателя; за удобство просто ги задраскваме: 
.
Накрая умножаваме останалите множители: , и редукцията на дробта е завършена.
Ето кратко резюме на решението: 
.
Отговор:
Нека разгледаме друг начин за намаляване на дроб, който се състои в последователно намаляване. Тук на всяка стъпка дробта се намалява с някакъв общ делител на числителя и знаменателя, който е или очевиден, или се определя лесно с
Много ученици правят същите грешки, когато работят с дроби. И всичко това, защото забравят основните правила аритметика. Днес ще повторим тези правила върху конкретни задачи, които давам в часовете си.
Ето задачата, която предлагам на всички, които се готвят за Единния държавен изпит по математика:
Задача. Една морска свиня изяжда 150 грама храна на ден. Но тя порасна и започна да яде 20% повече. Колко грама фураж изяжда прасето сега?
Не правилно решение. Това е процентен проблем, който се свежда до уравнението:
Много (много) намаляват числото 100 в числителя и знаменателя на дроб:
Това е грешката, която моят ученик направи точно в деня на написването на тази статия. Числата, които са съкратени, са маркирани в червено.
Излишно е да казвам, че отговорът беше грешен. Съдете сами: прасето изяде 150 грама, но започна да яде 3150 грама. Увеличението не е 20%, а 21 пъти, т.е. с 2000%.
За да избегнете подобни недоразумения, запомнете основното правило:
Само множителите могат да бъдат намалени. Сроковете не могат да бъдат намалявани!
Така правилното решение на предишния проблем изглежда така:
Числата, които са съкратени в числителя и знаменателя, са отбелязани в червено. Както можете да видите, числителят е произведение, знаменателят е обикновено число. Следователно намалението е напълно законно.
Работа с пропорции
Друг проблемна зона — пропорции. Особено когато променливата е от двете страни. Например:
Задача. Решете уравнението:
Грешно решение - някои хора буквално ги сърби да съкратят всичко с m:
Намалените променливи са показани в червено. Изразът 1/4 = 1/5 се оказва пълна глупост, тези числа никога не са равни.
И сега - правилното решение. По същество е обикновен линейно уравнение. Може да се реши или чрез преместване на всички елементи на една страна, или чрез основното свойство на пропорцията:
Много читатели ще възразят: „Къде е грешката в първото решение?“ Е, нека разберем. Нека си припомним правилото за работа с уравнения:
Всяко уравнение може да бъде разделено и умножено по всяко число, ненулев.
Пропуснахте ли трика? Можете да делите само с числа ненулев. По-специално, можете да разделите на променлива m само ако m != 0. Но какво ще стане, ако m = 0? Нека заместим и проверим:
Получихме правилното числово равенство, т.е. m = 0 е коренът на уравнението. За останалите m != 0 получаваме израз от вида 1/4 = 1/5, което естествено е неправилно. Следователно няма ненулеви корени.
Изводи: всичко това заедно
И така, за да решите дробни рационални уравнения, запомнете три правила:
- Само множителите могат да бъдат намалени. Добавките не са разрешени. Затова се научете да разделяте числителя и знаменателя на множители;
- Основното свойство на пропорцията: произведението на екстремните елементи е равно на произведението на средните;
- Уравненията могат да се умножават и делят само с числа k, различни от нула. Случаят k = 0 трябва да се провери отделно.
Запомнете тези правила и не правете грешки.
дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроб.
За съкращаване обикновена дроб, трябва да разделите неговия числител и знаменател на едно и също естествено число.
Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.
Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.
Студентът има право да избере всяка форма на запис.
Примери. Опростете дробите.
Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;
разделете знаменателя на 3).
Намалете дроба със 7.
Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.
Получената дроб се намалява с 5.
Нека намалим тази дроб 4)
На 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.
Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.
Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².
Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .
Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14
.
Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .
И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Нека помислим така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 На 3 .
(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Нека разгледаме други основни множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .
За да разберем как да съкращаваме дроби, нека първо да разгледаме един пример.
Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също нещо. И 360, и 420 завършват с цифра, така че можем да намалим тази дроб с 2. В новата дроб и 180, и 210 също се делят на 2, така че намаляваме тази дроб с 2. В числата 90 и 105 сумата от цифрите се дели на 3, така че и двете числа се делят на 3, намаляваме дробта с 3. В новата дроб 30 и 35 завършват на 0 и 5, което означава, че и двете числа се делят на 5, така че намаляваме дробта с 5. Получената дроб от шест седми е несъкратима. Това е окончателният отговор.
Можем да стигнем до същия отговор по различен начин.
И 360, и 420 завършват на нула, което означава, че се делят на 10. Намаляваме дробта с 10. В новата дроб и числителят 36, и знаменателят 42 са разделени на 2. Намаляваме дробта с 2. В следващата дроб, както числителят 18, така и знаменателят 21 са разделени на 3, което означава, че намаляваме дробта с 3. Стигнахме до резултата - шест седми.
И още едно решение.
Следващия път ще разгледаме примери за съкращаване на дроби.
Зареждане...