Как да изчислим ръчно корена на число. Изследователска работа на тема: "Извличане на квадратни корени от големи числа без калкулатор"

При решаване на различни задачи от курса по математика и физика учениците и студентите често се сблъскват с необходимостта от извличане на корени от втора, трета или n-та степен. Разбира се, в ерата на информационните технологии няма да е трудно да се реши подобен проблем с калкулатор. Има обаче ситуации, когато е невъзможно да се използва електронен асистент.

Например, забранено е да носите електроника на много изпити. Освен това калкулаторът може да не е под ръка. В такива случаи е полезно да знаете поне някои методи за ръчно изчисляване на радикалите.

Един от най-простите начини за изчисляване на корените е да с помощта на специална таблица. Какво е това и как да го използвате правилно?

С помощта на таблицата можете да намерите квадрата на произволно число от 10 до 99. В същото време редовете на таблицата съдържат десетки стойности, а колоните съдържат единични стойности. Клетката в пресечната точка на ред и колона съдържа квадрата на двуцифрено число. За да изчислите квадрата от 63, трябва да намерите ред със стойност 6 и колона със стойност 3. На пресечната точка намираме клетка с числото 3969.

Тъй като извличането на корена е обратната операция на квадратурата, за да извършите това действие, трябва да направите обратното: първо да намерите клетката с числото, чийто радикал искате да изчислите, след това да определите отговора от стойностите на колоната и реда. Като пример помислете за изчисляването на квадратния корен от 169.

Намираме клетка с това число в таблицата, хоризонтално определяме десетки - 1, вертикално намираме единици - 3. Отговор: √169 = 13.

По същия начин можете да изчислите корените на кубичната и n-та степен, като използвате съответните таблици.

Предимството на метода е неговата простота и липса на допълнителни изчисления. Недостатъците са очевидни: методът може да се използва само за ограничен диапазон от числа (числото, за което се намира коренът, трябва да бъде между 100 и 9801). Освен това няма да работи, ако даденото число не е в таблицата.

Разлагане на глави

Ако таблицата с квадрати не е под ръка или с нейна помощ е било невъзможно да се намери коренът, можете да опитате разложете числото под корена на прости множители. Първичните фактори са тези, които могат да бъдат разделени напълно (без остатък) само по себе си или с едно. Примерите биха били 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.н.

Помислете за изчисляването на корена, като използвате примера √576. Нека го разложим на прости фактори. Получаваме следния резултат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Използвайки основното свойство на корените √a² = a, ние се отърваваме от корените и квадратите, след което изчисляваме отговора: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Какво да направите, ако някой от факторите няма своя собствена двойка? Например, помислете за изчислението на √54. След факторинг получаваме резултата в следната форма: Несвалящата се част може да се остави под корена. За повечето задачи по геометрия и алгебра такъв отговор ще се брои за окончателен. Но ако има нужда от изчисляване на приблизителни стойности, можете да използвате методите, които ще бъдат обсъдени по-късно.

Методът на Херон

Какво да направите, когато трябва да знаете поне приблизително какъв е извлеченият корен (ако е невъзможно да получите цяло число)? Бърз и доста точен резултат се получава чрез прилагане на метода на Херон.. Същността му се състои в използването на приблизителна формула:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

където R е числото, чийто корен трябва да бъде изчислен, a е най-близкото число, чиято стойност на корена е известна.

Нека да видим как работи методът на практика и да преценим колко е точен. Нека изчислим на какво е равно √111. Най-близкото число до 111, чийто корен е известен, е 121. Така R = 111, a = 121. Заменете стойностите във формулата:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Сега нека проверим точността на метода:

10,55² = 111,3025.

Грешката на метода е приблизително 0,3. Ако точността на метода трябва да се подобри, можете да повторите стъпките, описани по-рано:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Нека проверим точността на изчислението:

10,536² = 111,0073.

След многократно прилагане на формулата грешката стана съвсем незначителна.

Изчисляване на корена чрез разделяне на колона

Този метод за намиране на стойността на квадратния корен е малко по-сложен от предишните. Въпреки това, той е най-точният сред другите методи за изчисление без калкулатор..

Да кажем, че трябва да намерите квадратния корен с точност до 4 знака след десетичната запетая. Нека анализираме алгоритъма за изчисление, използвайки примера на произволно число 1308.1912.

1. Разделете листа хартия на 2 части с вертикална линия и след това начертайте друга линия от него вдясно, малко под горния ръб. Записваме числото от лявата страна, като го разделяме на групи от 2 цифри, като се движим вдясно и вляво от десетичната запетая. Първата цифра вляво може да бъде без двойка. Ако знакът липсва от дясната страна на числото, тогава трябва да се добави 0. В нашия случай получаваме 13 08.19 12.
2. Нека изберем най-голямото число, чийто квадрат ще бъде по-малък или равен на първата група цифри. В нашия случай това е 3. Нека го напишем горе вдясно; 3 е първата цифра на резултата. В долния десен ъгъл показваме 3 × 3 = 9; това ще е необходимо за последващи изчисления. Извадете 9 от 13 в колона, получаваме остатъка 4.
3. Нека добавим следващата двойка числа към остатъка 4; получаваме 408.
4. Умножете числото горе вдясно по 2 и го напишете долу вдясно, като добавите _ x _ = към него. Получаваме 6_ x _ =.
5. Вместо тирета, трябва да замените същото число, по-малко или равно на 408. Получаваме 66 × 6 \u003d 396. Нека напишем 6 в горния десен ъгъл, тъй като това е втората цифра от резултата. Извадете 396 от 408, получаваме 12.
6. Нека повторим стъпки 3-6. Тъй като числата, пренесени надолу, са в дробната част на числото, е необходимо да поставите десетична запетая горе вдясно след 6. Нека запишем удвоения резултат с тирета: 72_ x _ =. Подходящо число би било 1: 721 × 1 = 721. Нека го запишем като отговор. Нека извадим 1219 - 721 = 498.
7. Нека изпълним последователността от действия, дадена в предишния параграф, още три пъти, за да получим необходимия брой десетични знаци. Ако няма достатъчно знаци за по-нататъшни изчисления, към текущото число вляво трябва да се добавят две нули.

В резултат получаваме отговора: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ако проверите действието с калкулатор, можете да се уверите, че всички знаци са определени правилно.

Побитово изчисляване на стойността на квадратния корен

Методът е много точен. Освен това е съвсем разбираемо и не изисква запаметяване на формули или сложен алгоритъм на действия, тъй като същността на метода е да изберете правилния резултат.

Нека извлечем корена от числото 781. Нека разгледаме подробно последователността на действията.

1. Разберете коя цифра от стойността на квадратния корен ще бъде най-висока. За да направите това, нека квадратираме 0, 10, 100, 1000 и т.н. и да разберем между кое от тях се намира коренното число. Получаваме това 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Да вземем стойността на десетките. За да направим това, ще се редуваме да повишаваме на степен 10, 20, ..., 90, докато не получим число, по-голямо от 781. За нашия случай получаваме 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Стойността на резултата n ще бъде в рамките на 20< n <30.
3. Подобно на предишната стъпка, се избира стойността на цифрата на единиците. Последователно квадратираме 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = Получаваме 784.< n < 28.
4. Всяка следваща цифра (десети, стотни и т.н.) се изчислява по същия начин, както е показано по-горе. Изчисленията се извършват до достигане на необходимата точност.

Преди появата на калкулаторите, учениците и учителите са изчислявали квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на квадратния корен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

Стъпки

Разлагане на глави

Разложете коренното число на фактори, които са квадратни числа.В зависимост от основния номер ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да се вземе целия квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават първоначалното число. Например, факторите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни фактори са фактори , които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите коренното число на квадратни фактори.

• Например, изчислете квадратния корен от 400 (ръчно). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни фактори. 400 е кратно на 100, тоест дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да бъде разложено на квадратни множители 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Квадратният корен от произведението на някои членове е равен на произведението на квадратните корени на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b. Използвайте това правило и вземете квадратния корен от всеки квадратен фактор и умножете резултатите, за да намерите отговора.

   • В нашия пример вземете корен квадратен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ако радикалното число не се разлага на два квадратни фактора (а в повечето случаи е така), няма да можете да намерите точния отговор като цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите коренното число на квадратен фактор и обикновен фактор (число, от което не може да се вземе целия квадратен корен). Тогава ще вземете корен квадратен от квадратния фактор и ще вземете корена от обикновения фактор.

   • Например, изчислете квадратния корен от числото 147. Числото 147 не може да бъде разложено на два квадратни множителя, но може да бъде разложено на следните фактори: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, оценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратни числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до коренното число. Ще получите стойността на корена като десетична дроб, която трябва да се умножи по числото зад знака за корен.

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Основното число е 3. Най-близките квадратни числа до него са числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). По този начин стойността на √3 е между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близка до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в основния знак: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ако направите изчисленията на калкулатор, ще получите 12.13, което е доста близко до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Основното число е 35. Най-близките квадратни числа до него са числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). По този начин стойността на √35 е между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само 1 по-малко от 36), можем да кажем, че √35 е малко по-малко от 6. Проверката с калкулатор ни дава отговор 5.92 - бяхме прави.

4. Друг начин е да разложите коренното число на прости множители.Първичните фактори са числа, които се делят само на 1 и самите себе си. Напишете простите множители в редица и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от знака на корена.

   • Например, изчислете квадратния корен от 45. Разлагаме коренното число на прости фактори: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 може да бъде извадено от коренния знак: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Помислете за друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Имате три множителя 2; вземете няколко от тях и ги извадете от знака на корена.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можем да оценим √2 и √11 и да намерим приблизителен отговор.

   Изчисляване на квадратния корен ръчно

   Използване на разделяне на колони

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото разделяне и дава точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, и след това начертайте хоризонтална линия вдясно и малко под горния ръб на листа до вертикалната линия. Сега разделете коренното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 се изписва като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим квадратния корен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете числото горе вляво като "7 80, 14". Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Отговорът (коренът на даденото число) ще бъде изписан горе вдясно.

   2. Като се има предвид първата двойка числа (или едно число) отляво, намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и вземете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Напишете намереното n в горния десен ъгъл и запишете квадрата n долу вдясно.

      • В нашия случай първото число вляво ще бъде числото 7. Следва 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) отляво.Запишете резултата от изчислението под изваждането (квадратът на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7, за да получите 3.

   4. Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете числото в горния десен ъгъл и напишете резултата долу вдясно с добавено "_×_=".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това, удвояване на числото от горния десен ъгъл дава 4. Напишете "4_×_=" от долния десен ъгъл.

   5. Попълнете празните места вдясно.

      • В нашия случай, ако поставим числото 8 вместо тирета, тогава 48 x 8 \u003d 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 е добре. Напишете 7 вместо тирета и вземете: 47 x 7 \u003d 329. Напишете 7 от горния десен ъгъл - това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число вляво, намерете разликата и я напишете под извадената.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако разрушената двойка числа е дробната част от оригиналното число, тогава поставете разделителя (запетая) на целочислената и дробната част в желания квадратен корен от горния десен ъгъл. Отляво пренесете следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде разрушена, ще бъде дробната част от числото 780,14, така че поставете разделителя на целочислената и дробната част в желания квадратен корен от горния десен ъгъл. Разрушете 14 и запишете долу вляво. Удвояване на горния десен (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намерете най-голямото число на мястото на тирета вдясно (вместо тирета трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по-малък или равен на текущото число отляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знака за квадратния корен, напишете двойка нули до текущото число вляво и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпки, докато получите необходимата точност на отговора (брой десетични знаци).

   Разбиране на процеса

   За да овладеете този метод, представете си числото, чийто квадратен корен трябва да намерите като площта на квадрата S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчислете стойността на L, за която L² = S.

   Въведете буква за всяка цифра във вашия отговор.Означете с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

   Посочете буква за всяка двойка водещи цифри.Означете със S a първата двойка цифри в стойността S, със S b втората двойка цифри и т.н.

   Обяснете връзката на този метод с дългото деление.Както при операцията за деление, при която всеки път се интересуваме само от една следваща цифра от делимото число, при изчисляване на квадратния корен работим с двойка цифри в последователност (за да получим следващата една цифра в стойността на квадратния корен) .

   1. Разгледайте първата двойка цифри Sa от числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия квадратен корен.В този случай първата цифра A от търсената стойност на квадратния корен ще бъде такава цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (тоест търсим такова A, което удовлетворява неравенството A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест търсим число d, за което неравенството е вярно: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Мислено си представете квадрата, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е S. A, B, C са числа в числото L. Можете да го напишете по различен начин: 10A + B \u003d L (за две -цифрено число) или 100A + 10B + C \u003d L (за трицифрено число) и така нататък.

      • Позволявам (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Не забравяйте, че 10A+B е число, чието B означава единици, а A означава десетки. Например, ако A=1 и B=2, тогава 10A+B е равно на числото 12. (10A+B)²е площта на целия квадрат, 100A²е площта на големия вътрешен квадрат, B²е площта на малкия вътрешен квадрат, 10A×Bе площта на всеки от двата правоъгълника. Като добавите площите на описаните фигури, ще намерите площта на оригиналния квадрат.

Какво е корен квадратен?

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Тази концепция е много проста. Естествено, бих казал. Математиците се опитват да намерят реакция за всяко действие. Има събиране и има изваждане. Има умножение и има деление. Има квадратура ... Значи също има извличане на квадратен корен!Това е всичко. Това действие ( вземане на квадратен корен) в математиката се обозначава с тази икона:

Самата икона се нарича красивата дума " радикален".

Как да извлечем корена?По-добре е да се помисли примери.

Колко е корен квадратен от 9? И кое число на квадрат ще ни даде 9? 3 на квадрат ни дава 9! Тези:

Колко е корен квадратен от нула? Няма проблем! Какво число на квадрат нула дава? Да, той самият дава нула! означава:

Хванат какво е квадратен корен?След това разглеждаме примери:

Отговори (в безпорядък): 6; един; 4; 9; 5.

Решили? Наистина, много е по-лесно!

Но... Какво прави човек, когато види някаква задача с корени?

Човек започва да копнее ... Той не вярва в простотата и лекотата на корените. Въпреки че изглежда знае какво е квадратен корен...

Това е така, защото човек е пренебрегнал няколко важни момента, когато изучава корените. Тогава тези прищявки брутално си отмъщават на тестове и изпити...

Точка първа. Корените трябва да се разпознават с поглед!

Колко е корен квадратен от 49? Седем? Точно така! Как разбра, че има седем? Постави седем на квадрат и получи 49? Точно така! Моля, имайте предвид, че извлечете коренаот 49 трябваше да направим обратната операция - квадрат 7! И гледайте да не пропуснем. Или могат да пропуснат...

В това се крие трудността извличане на корен. Квадратуравсяко число е възможно без проблеми. Умножете числото само по себе си в колона - и това е всичко. Но за извличане на коренняма такава проста и безпроблемна технология. отчитат Вдигниотговорете и го проверете за удари с квадратура.

Този сложен творчески процес - избор на отговор - е значително опростен, ако вие помняквадрати на популярни числа. Като таблица за умножение. Ако, да речем, трябва да умножите 4 по 6 - не събирате четирите 6 пъти, нали? Отговорът веднага изскача 24. Въпреки че не всеки го има, да ...

За безплатна и успешна работа с корени е достатъчно да знаете квадратите на числата от 1 до 20. Освен това, тами обратно.Тези. трябва да можете лесно да назовете и двете, да речем, 11 на квадрат и корен квадратен от 121. За да постигнете това запомняне, има два начина. Първият е да научите таблицата на квадратите. Това ще помогне много с примери. Второто е да се решат повече примери. Страхотно е да запомните таблицата на квадратите.

И без калкулатори! Само за проверка. В противен случай ще забавите безмилостно по време на изпита ...

Така, какво е квадратен коренИ как извличане на корени- Мисля, че е разбираемо. Сега нека разберем ОТ КАКВО можете да ги извлечете.

Точка втора. Рут, не те познавам!

От кои числа можете да вземете квадратен корен? Да, почти всяка. По-лесно е да се разбере какво забранено еизвлечете ги.

Нека се опитаме да изчислим този корен:

За да направите това, трябва да вземете число, което на квадрат ще ни даде -4. Ние избираме.

Какво не е избрано? 2 2 дава +4. (-2) 2 дава +4 отново! Това е... Няма числа, които, когато са на квадрат, ще ни дадат отрицателно число! Въпреки че знам числата. Но няма да ви кажа.) Отидете в колежа и разберете сами.

Същата история ще бъде с всяко отрицателно число. Оттук и заключението:

Израз, в който отрицателно число е под знака квадратен корен - няма смисъл! Това е забранена операция. Забранено като деление на нула. Имайте предвид този факт!Или с други думи:

Не можете да извлечете квадратен корен от отрицателни числа!

Но от всичко останало - можете. Например, възможно е да се изчисли

На пръв поглед това е много трудно. Вземете дроби, но направете квадрат ... Не се притеснявайте. Когато се занимаваме със свойствата на корените, подобни примери ще бъдат сведени до същата таблица с квадрати. Животът ще стане по-лесен!

Добре дроби. Но все още срещаме изрази като:

Нищо грешно. Все същото. Корен квадратен от две е числото, което, когато се постави на квадрат, ще ни даде двойка. Само числото е напълно нечетно... Ето го:

Интересното е, че тази дроб никога не свършва... Такива числа се наричат ​​ирационални. В квадратни корени това е най-често срещаното нещо. Между другото, затова се наричат ​​изрази с корени ирационално. Ясно е, че писането на такава безкрайна дроб през цялото време е неудобно. Следователно, вместо безкрайна дроб, те я оставят така:

Ако при решаването на примера получите нещо, което не може да се извлече, като например:

след това го оставяме така. Това ще бъде отговорът.

Трябва ясно да разберете какво има под иконите

Разбира се, ако се вземе коренът на числото гладка, трябва да го направите. Отговорът на задачата във формата, например

доста пълен отговор.

И, разбира се, трябва да знаете приблизителните стойности от паметта:

Тези знания помагат много за оценка на ситуацията при сложни задачи.

Точка трета. Най-хитрият.

Основното объркване в работата с корените внася именно тази мода. Той е този, който дава съмнение в себе си ... Нека се справим с тази мода както трябва!

За начало отново извличаме квадратния корен от техните четири. Какво, имам ли ви вече с този корен?) Нищо, сега ще бъде интересно!

Какво число ще даде в квадрата от 4? Е, две, две - чувам недоволни отговори...

правилно. две. Но също минус двеще даде 4 на квадрат ... Междувременно отговорът

правилен и отговор

най-грубата грешка. Като този.

И така, каква е сделката?

Наистина, (-2) 2 = 4. И според дефиницията на корен квадратен от четири минус дведоста подходящ... Това също е корен квадратен от четири.

Но! В училищния курс по математика е обичайно да се разглеждат квадратни корени само неотрицателни числа!Т.е. нула и всички положителни. Дори беше измислен специален термин: от номера а- то неотрицателенчисло, чийто квадрат е а. Отрицателните резултати при извличане на аритметичния квадратен корен просто се изхвърлят. В училище всички квадратни корени - аритметика. Макар че не е упоменато конкретно.

Добре, това е разбираемо. Още по-добре е да не се забърквате с отрицателните резултати... Още не е объркване.

Объркването започва при решаването на квадратни уравнения. Например, трябва да решите следното уравнение.

Уравнението е просто, ние пишем отговора (както се преподава):

Този отговор (впрочем доста правилен) е само съкратена нотация двеотговори:

Спри стоп! Малко по-нагоре написах, че корен квадратен е число винагинеотрицателен! И ето един от отговорите - отрицателен! Разстройство. Това е първият (но не и последният) проблем, който предизвиква недоверие към корените... Нека решим този проблем. Нека запишем отговорите (чисто за разбиране!) така:

Скобите не променят същността на отговора. Просто отделих със скоби знациот корен. Сега ясно се вижда, че самият корен (в скоби) все още е неотрицателно число! И знаците са резултат от решаването на уравнението. В крайна сметка, когато решаваме всяко уравнение, трябва да пишем всичко x, което, когато бъде заменено в оригиналното уравнение, ще даде правилния резултат. Коренът от пет (положителен!) е подходящ за нашето уравнение както с плюс, така и с минус.

Като този. Ако ти просто вземете квадратния коренот всичко, което вие винагиполучи един неотрицателенрезултат. Например:

Защото то - аритметичен квадратен корен.

Но ако решите някакво квадратно уравнение като:

тогава винагиОказва се двеотговор (с плюс и минус):

Защото това е решението на уравнение.

надежда, какво е квадратен коренразбрахте правилно с точките си. Сега остава да разберем какво може да се направи с корените, какви са техните свойства. И какви са прищявките и подводните кутии ... извинете, камъни!)

Всичко това - в следващите уроци.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

корен нстепен на естествено число аномерът е извикан нчиято степен е равна на а. Коренът се обозначава по следния начин: . Извиква се символът √ коренен знакили знак за радикала, номер а - коренно число, н - коренен показател.

Действието, чрез което се намира коренът на дадена степен, се нарича извличане на корен.

Тъй като според дефиницията на понятието корен нта степен

тогава извличане на корен- действието, противоположно на степенуването, с помощта на което според дадената степен и според дадения степен се намира основата на степента.

Корен квадратен

Корен квадратен от число ае числото, чийто квадрат е а.

Операцията, чрез която се изчислява квадратният корен, се нарича вземане на квадратен корен.

Извличане на квадратен корен- обратното действие на квадратурата (или повдигане на число на втора степен). Когато квадратирате число, трябва да намерите неговия квадрат. При извличане на квадратния корен квадратът на числото е известен, от него се изисква да се намери самото число.

Следователно, за да проверите правилността на предприетото действие, можете да повдигнете намерения корен до втора степен и ако степента е равна на числото на корена, тогава коренът е намерен правилно.

Помислете за извличане на квадратен корен и неговата проверка с пример. Изчисляваме или (коренният показател със стойност 2 обикновено не се записва, тъй като 2 е най-малкият показател и трябва да се помни, че ако няма степен над коренния знак, тогава експонентът 2 се подразбира), за това се нуждаем за да се намери числото, когато се повиши до второ степента ще бъде 49. Очевидно това число е 7, тъй като

7 7 = 7 2 = 49.

Изчисляване на квадратния корен

Ако даденото число е 100 или по-малко, тогава квадратният корен от него може да се изчисли с помощта на таблицата за умножение. Например, корен квадратен от 25 е 5, защото 5 x 5 = 25.

Сега помислете за начин да намерите квадратния корен на произволно число, без да използвате калкулатор. Например, да вземем числото 4489 и да започнем да изчисляваме стъпка по стъпка.

1. Нека определим от кои цифри трябва да се състои желаният корен. Тъй като 10 2 = 10 10 = 100 и 100 2 = 100 100 = 10 000, става ясно, че желаният корен трябва да бъде по-голям от 10 и по-малък от 100, т.е. се състои от десетки и единици.
2. Намерете броя на десетките на корена. Умножаването на десетици произвежда стотици, нашето число е 44, така че коренът трябва да съдържа толкова много десетки, че квадратът от десетици дава приблизително 44 стотици. Следователно в корена трябва да има 6 десетки, защото 60 2 = 3600 и 70 2 = 4900 (това е твърде много). Така разбрахме, че нашият корен съдържа 6 десетки и няколко единици, тъй като е в диапазона от 60 до 70.
3. Таблицата за умножение ще помогне да се определи броят на единиците в корена. Поглеждайки към числото 4489, виждаме, че последната цифра в него е 9. Сега гледаме таблицата за умножение и виждаме, че 9 единици могат да бъдат получени само чрез квадратура на числата 3 и 7. Така коренът на числото ще бъде 63 или 67.
4. Проверяваме числата 63 и 67, които получихме, като ги направим на квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Нека разгледаме този алгоритъм с пример. Да намерим

1-ва стъпка. Разделяме числото под корена на две цифри (от дясно наляво):

2-ра стъпка. Извличаме квадратния корен от първото лице, тоест от числото 65, получаваме числото 8. Под първото лице записваме квадрата на числото 8 и изваждаме. Приписваме второто лице (59) на остатъка:

(числото 159 е първият остатък).

3-та стъпка. Удвояваме намерения корен и записваме резултата отляво:

4-та стъпка. Отделяме в остатъка (159) една цифра вдясно, отляво получаваме броя на десетките (той е равен на 15). След това разделяме 15 на удвоената първа цифра на корена, тоест на 16, тъй като 15 не се дели на 16, тогава в частното получаваме нула, която записваме като втора цифра на корена. И така, в коефициента получихме числото 80, което удвояваме отново и разрушаваме следващото лице

(числото 15901 е вторият остатък).

5-та стъпка. Отделяме една цифра отдясно във втория остатък и разделяме полученото число 1590 на 160. Резултатът (число 9) се записва като третата цифра на корена и се приписва на числото 160. Полученото число 1609 се умножава по 9 и намираме следния остатък (1420):

По-нататъшните действия се извършват в последователността, посочена в алгоритъма (коренът може да бъде извлечен с необходимата степен на точност).

Коментирайте. Ако коренният израз е десетична дроб, тогава цялата му част се разделя на две цифри от дясно наляво, дробната част се разделя на две цифри отляво надясно и коренът се извлича според посочения алгоритъм.

ДИДАКТИЧЕСКИ МАТЕРИАЛ

1. Вземете корен квадратен от числото: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.