Всяко геометрично тяло може да се характеризира с повърхност (S) и обем (V). Площта и обемът изобщо не са едно и също нещо. Един обект може да има сравнително малко V и голямо S, например, така работи човешкият мозък. Изчислете тези показатели за прости геометрични формимного по-просто.
Паралелепипед: определение, видове и свойства
Паралелепипедът е четириъгълна призма с паралелограм в основата си. Защо може да се нуждаете от формула за намиране на обема на фигура? Книги, опаковъчни кутии и много други неща от Ежедневието. Помещенията в жилищни и офис сгради обикновено са правоъгълни паралелепипеди. За да инсталирате вентилация, климатизация и да определите броя на нагревателните елементи в помещението, е необходимо да изчислите обема на помещението.
Фигурата има 6 лица - успоредници и 12 ръба, две произволно избрани лица се наричат основи. Паралелепипедът може да бъде от няколко вида. Разликите се дължат на ъглите между съседните ръбове. Формулите за намиране на Vs на различни полигони са малко по-различни.
Ако 6-те лица на една геометрична фигура са правоъгълници, тогава тя се нарича още правоъгълна. Кубът е специален случайпаралелепипед, в който всичките 6 лица са равни квадрати. В този случай, за да намерите V, трябва да намерите дължината само на едната страна и да я повдигнете на трета степен.
За да решавате проблеми, ще ви трябват познания не само за готови формули, но и за свойствата на фигурата. Списъкът с основните свойства на правоъгълна призма е малък и много лесен за разбиране:
- Противоположните страни на фигурата са равни и успоредни. Това означава, че противоположните ребра са еднакви по дължина и ъгъл на наклон.
- Всички странични стени на прав паралелепипед са правоъгълници.
- Четирите главни диагонала на геометрична фигура се пресичат в една точка и се разделят наполовина от нея.
- Квадратът на диагонала на паралелепипед е равен на сумата от квадратите на размерите на фигурата (следва от Питагоровата теорема).
Питагорова теоремагласи, че сумата от площите на квадратите, изградени върху страните на правоъгълен триъгълник, е равна на площта на триъгълник, изграден върху хипотенузата на същия триъгълник.
Доказателството за последното свойство може да се види на изображението по-долу. Процесът на решаване на проблема е прост и не изисква подробни обяснения.
Формула за обем на правоъгълен паралелепипед
Формулата за намиране за всички видове геометрични фигури е една и съща: V=S*h, където V е необходимият обем, S е площта на основата на паралелепипеда, h е височината, спусната от противоположния връх и перпендикулярно на основата. В правоъгълник h съвпада с една от страните на фигурата, така че за да намерите обема на правоъгълна призма, трябва да умножите три измерения.
Обемът обикновено се изразява в cm3. Познавайки и трите стойности на a, b и c, намирането на обема на фигура изобщо не е трудно. Най-често срещаният тип задача на Единния държавен изпит е намирането на обема или диагонала на паралелепипед. Решете много типични Задачи за единен държавен изпитНевъзможно е без формулата за обем на правоъгълник. Пример за задача и дизайна на нейното решение е показан на фигурата по-долу.
Бележка 1. Площта на повърхността на правоъгълна призма може да се намери чрез умножаване по 2 на сумата от площите на трите лица на фигурата: основата (ab) и две съседни странични лица (bc + ac).
Бележка 2. Повърхността на страничните повърхности може лесно да се определи чрез умножаване на периметъра на основата по височината на паралелепипеда.
Въз основа на първото свойство на паралелепипеда AB = A1B1 и лицето B1D1 = BD. Според следствията от Питагоровата теорема, сумата от всички ъгли в правоъгълен триъгълнике равно на 180°, а катетът, лежащ срещу ъгъл от 30°, е равен на хипотенузата. Прилагайки това знание към триъгълник, можем лесно да намерим дължината на страните AB и AD. След това умножаваме получените стойности и изчисляваме обема на паралелепипеда.
Формула за намиране на обема на наклонен паралелепипед
За да намерите обема на наклонен паралелепипед, е необходимо да умножите площта на основата на фигурата по височината, спусната до дадената основа от противоположния ъгъл.
По този начин изискваното V може да бъде представено под формата на h - броя на листовете с основна площ S, така че обемът на тестето се състои от Vs на всички карти.
Примери за решаване на проблеми
Задачите от единния изпит трябва да бъдат изпълнени в рамките на определено време. Типичните задачи, като правило, не съдържат голямо количествоизчисления и сложни дроби. Често ученик е попитан как да намери обема на неправилна геометрична фигура. В такива случаи трябва да запомните простото правило, че общият обем е равен на сумата от Vs на съставните части.
Както можете да видите от примера на изображението по-горе, няма нищо трудно при решаването на такива проблеми. Задачите от по-сложните раздели изискват познаване на Питагоровата теорема и следствията от нея, както и формулата за дължината на диагонала на фигура. За успешно решаване на тестови задачи е достатъчно предварително да се запознаете с образци на типични задачи.
Измерете всички необходими разстояния в метри.Обемът на много триизмерни фигури може лесно да се изчисли с помощта на подходящите формули. Въпреки това, всички стойности, заместени във формули, трябва да се измерват в метри. Ето защо, преди да включите стойности във формулата, уверете се, че всички те са измерени в метри или че сте преобразували други мерни единици в метри.
- 1 mm = 0,001 m
- 1 cm = 0,01 m
- 1 км = 1000 м
За да изчислите обема на правоъгълни фигури (правоъгълник, куб), използвайте формулата: обем = Д × Ш × В(дължина по ширина по височина). Тази формула може да се разглежда като произведение на повърхността на едно от лицата на фигурата и ръба, перпендикулярен на това лице.
- Например, нека изчислим обема на стая с дължина 4 м, ширина 3 м и височина 2,5 м. За да направите това, просто умножете дължината по ширината и по височината:
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Обемът на тази стая е 30 м 3.
- Кубът е триизмерна фигура с равни страни. Така формулата за изчисляване на обема на куб може да бъде написана като: обем = L 3 (или W 3, или H 3).
За да изчислите обема на фигурите под формата на цилиндър, използвайте формулата: пи× R 2 × H. Изчисляването на обема на цилиндъра се свежда до умножаване на площта на кръглата основа по височината (или дължината) на цилиндъра. Намерете площта на кръглата основа, като умножите pi (3.14) по квадрата на радиуса на кръга (R) (радиусът е разстоянието от центъра на кръга до всяка точка, разположена на този кръг). След това умножете резултата по височината на цилиндъра (H) и ще намерите обема на цилиндъра. Всички стойности се измерват в метри.
- Например, нека изчислим обема на кладенец с диаметър 1,5 м и дълбочина 10 м. Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса: 1,5/2 = 0,75 м.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Обемът на кладенеца е 17,66 м 3.
За да изчислите обема на топка, използвайте формулата: 4/3 х пи× R 3 . Тоест трябва да знаете само радиуса (R) на топката.
- Например, нека изчислим обема балон с горещ въздухс диаметър 10 м. Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса: 10/2=5 м.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) × 125
- = 4,189 × 125
- = 523.6. Обемът на балона е 523,6 м 3.
За да изчислите обема на конусовидни фигури, използвайте формулата: 1/3 х пи× R 2 × H. Обемът на конус е равен на 1/3 от обема на цилиндър, който има същата височина и радиус.
- Например, нека изчислим обема на фунийка за сладолед с радиус 3 см и височина 15 см. Преобразувайки в метри, получаваме: съответно 0,03 м и 0,15 м.
- 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
- = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Обемът на фунийка сладолед е 0,000141 m 3.
За да изчислите обема на неправилни форми, използвайте няколко формули.За да направите това, опитайте се да разделите фигурата на няколко фигури с правилна форма. След това намерете обема на всяка такава фигура и сумирайте резултатите.
- Например, нека изчислим обема на малък хамбар. Складът има цилиндрично тяло с височина 12 м и радиус 1,5 м. Складът има и коничен покрив с височина 1 м. Като изчислим отделно обема на покрива и отделно обема на тялото, ние можете да намерите общия обем на житницата:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3.14) × 1.5 2 × 12 + 1/3 x (3.14) × 1.5 2 × 1
- = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
- = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87.178. Обемът на хамбара е равен на 87,178 м 3.
Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.
Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.
И древните египтяни са използвали методи за изчисляване на площите на различни фигури, подобни на нашите методи.
В моите книги "начало"известният древногръцки математик Евклид описва доста голямо числометоди за изчисляване на площите на много геометрични фигури. Първите ръкописи в Русия, съдържащи геометрична информация, са написани през 16 век. Те описват правилата за намиране на площите на фигури с различни форми.
Днес с помощта съвременни методиможете да намерите площта на всяка фигура с голяма точност.
Нека разгледаме една от най-простите фигури - правоъгълник - и формулата за намиране на неговата площ.
Формула за площ на правоъгълник
Нека разгледаме фигура (фиг. 1), която се състои от $8$ квадратчета със страна $1$ см. Площта на един квадрат със страна $1$ см се нарича квадратен сантиметър и се записва $1\ cm^2 $.
Площта на тази фигура (фиг. 1) ще бъде равна на $8\cm^2$.
Площта на фигура, която може да бъде разделена на няколко квадрата със страна $1\ cm$ (например $p$), ще бъде равна на $p\ cm^2$.
С други думи, площта на фигурата ще бъде равна на толкова $cm^2$, на колко квадрата със страна $1\ cm$ може да се раздели тази фигура.
Нека разгледаме правоъгълник (фиг. 2), който се състои от $3$ ивици, всяка от които е разделена на $5$ квадратчета със страна $1\ cm$. целият правоъгълник се състои от $5\cdot 3=15$ такива квадратчета, а площта му е $15\cm^2$.
Снимка 1.
Фигура 2.
Площта на фигурите обикновено се обозначава с буквата $S$.
За да намерите площта на правоъгълник, трябва да умножите дължината му по ширината му.
Ако означим дължината му с буквата $a$, а ширината му с буквата $b$, тогава формулата за площта на правоъгълник ще изглежда така:
Определение 1
Цифрите се наричат равенако, когато се наслагват една върху друга, фигурите съвпадат. Еднакви фигури имат равни площии равни периметри.
Площта на фигура може да се намери като сбор от площите на нейните части.
Пример 1
Например на фигура $3$ правоъгълникът $ABCD$ е разделен на две части с линия $KLMN$. Площта на едната част е $12\ cm^2$, а другата е $9\ cm^2$. Тогава площта на правоъгълника $ABCD$ ще бъде равна на $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Намерете площта на правоъгълника, като използвате формулата:
Както можете да видите, площите, намерени и при двата метода, са равни.
Фигура 3.
Фигура 4.
Отсечката $AC$ разделя правоъгълника на два равни триъгълника: $ABC$ и $ADC$. Това означава, че площта на всеки триъгълник е равна на половината от площта на целия правоъгълник.
Определение 2
Правоъгълник с равни страниНаречен квадрат.
Ако означим страната на квадрат с буквата $a$, тогава площта на квадрата ще бъде намерена по формулата:
Оттук произлиза именният квадрат на числото $a$.
Пример 2
Например, ако страната на квадрат е $5$ cm, тогава неговата площ е:
Обеми
С развитието на търговията и строителството през дните на древните цивилизации възниква необходимостта от намиране на обеми. В математиката има клон на геометрията, който се занимава с изучаването на пространствени фигури, наречен стереометрия. Споменавания за този отделен клон на математиката са открити още през $IV$ век пр.н.е.
Древните математици са разработили метод за изчисляване на обема на прости фигури - куб и паралелепипед. Всички сгради от онова време са били с такава форма. Но по-късно бяха открити методи за изчисляване на обема на фигури с по-сложни форми.
Обем на правоъгълен паралелепипед
Ако напълните форма с мокър пясък и след това я обърнете, получавате триизмерна фигура, което се характеризира с обем. Ако направите няколко такива фигури с една и съща форма, ще получите фигури с еднакъв обем. Ако напълните формата с вода, тогава обемът на водата и обемът на пясъчната фигура също ще бъдат равни.
Фигура 5.
Можете да сравните обемите на два съда, като напълните единия с вода и я налеете във втория съд. Ако вторият съд е напълно пълен, тогава съдовете имат равни обеми. Ако в първия остане вода, то обемът на първия съд е по-голям от обема на втория. Ако при изливане на вода от първия съд не е възможно да се напълни напълно вторият съд, тогава обемът на първия съд е по-малък от обема на втория.
Обемът се измерва с помощта на следните единици:
$mm^3$ -- кубичен милиметър,
$cm^3$ -- кубичен сантиметър,
$dm^3$ -- кубичен дециметър,
$m^3$ -- кубичен метър,
$km^3$ -- кубичен километър.
Зареждане...