Koji su višekratnici prirodnog broja nok. Delitelji i višekratnici

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik?

Moramo pronaći svaki faktor svakog od dva broja za koji nalazimo najmanji zajednički višekratnik, a zatim pomnožiti jedan s drugim faktore koji se poklapaju u prvom i drugom broju. Rezultat proizvoda će biti traženi višestruki.

Na primjer, imamo brojeve 3 i 5 i moramo pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik). Nas treba umnožiti i tri i pet za sve brojeve počevši od 1 2 3 ... i tako sve dok ne vidimo isti broj na oba mjesta.

Pomnožite tri i dobijete: 3, 6, 9, 12, 15

Pomnožite sa pet i dobijete: 5, 10, 15

Metoda faktorizacije prostih brojeva je najklasičnija metoda za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) nekoliko brojeva. Ova metoda je jasno i jednostavno prikazana u sljedećem videu:

Sabiranje, množenje, dijeljenje, svođenje na zajednički nazivnik i druge aritmetičke operacije su vrlo uzbudljive aktivnosti; posebno su fascinantni primjeri koji zauzimaju cijeli list papira.

Dakle, pronađite zajednički višekratnik dva broja, koji će biti najmanji broj sa kojim su dva broja podijeljena. Napominjem da u budućnosti nije potrebno pribjegavati formulama da biste pronašli ono što tražite, ako možete računati u glavi (a to se može istrenirati), onda vam u glavi iskaču sami brojevi i tada razlomci pucaju kao orasi.

Za početak, naučimo da možete pomnožiti dva broja jedan s drugim, a zatim smanjiti ovu brojku i podijeliti naizmjenično sa ova dva broja, tako da ćemo pronaći najmanji višekratnik.

Na primjer, dva broja 15 i 6. Pomnožite i dobijete 90. Ovo je očigledno veći broj. Štaviše, 15 je deljivo sa 3, a 6 je deljivo sa 3, što znači da takođe delimo 90 sa 3. Dobijamo 30. Pokušavamo da 30 podelimo 15 jednako je 2. A 30 podelimo 6 je jednako 5. Pošto je 2 granica, pretvara se da je najmanji višekratnik za brojeve 15, a 6 će biti 30.

Sa većim brojevima to će biti malo teže. ali ako znate koji brojevi daju nulti ostatak pri dijeljenju ili množenju, onda, u principu, nema velikih poteškoća.

• Kako pronaći NOC

  Evo videa koji će vam dati dva načina da pronađete najmanji zajednički višekratnik (LCM). Nakon što uvježbate korištenje prve od predloženih metoda, možete bolje razumjeti koji je najmanji zajednički višekratnik.

Predstavljam još jedan način za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika. Pogledajmo to sa jasnim primjerom.

Morate pronaći LCM od tri broja odjednom: 16, 20 i 28.

• Svaki broj predstavljamo kao proizvod njegovih prostih faktora:
• Zapisujemo snage svih primarnih faktora:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Odaberemo sve proste djelitelje (množitelje) s najvećim potencijama, pomnožimo ih i pronađemo LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Tako je rezultat izračuna bio broj 560. To je najmanji zajednički višekratnik, odnosno djeljiv je sa svakim od tri broja bez ostatka.

Najmanji zajednički višekratnik je broj koji se može podijeliti na nekoliko datih brojeva bez ostavljanja ostatka. Da biste izračunali takvu cifru, morate uzeti svaki broj i razložiti ga na jednostavne faktore. Oni brojevi koji se podudaraju se uklanjaju. Ostavlja sve jednog po jednog, pomnožite ih redom i dobijete željeni - najmanji zajednički višekratnik.

NOC, ili najmanji zajednički višekratnik, je najmanji prirodan broj od dva ili više brojeva koji je djeljiv sa svakim od datih brojeva bez ostatka.

Evo primjera kako pronaći najmanji zajednički višekratnik 30 i 42.

• Prvi korak je rastavljanje ovih brojeva u proste faktore.

Za 30 je 2 x 3 x 5.

Za 42, ovo je 2 x 3 x 7. Pošto su 2 i 3 u proširenju broja 30, precrtavamo ih.

• Zapisujemo faktore koji su uključeni u proširenje broja 30. To je 2 x 3 x 5.
• Sada ih trebamo pomnožiti sa faktorom koji nedostaje, koji imamo kada proširimo 42, a to je 7. Dobijamo 2 x 3 x 5 x 7.
• Nalazimo koliko je jednako 2 x 3 x 5 x 7 i dobijamo 210.

Kao rezultat, nalazimo da je LCM brojeva 30 i 42 210.

Da pronađemo najmanji zajednički višekratnik, morate izvršiti nekoliko jednostavnih koraka u nizu. Pogledajmo ovo koristeći dva broja kao primjer: 8 i 12

1. Oba broja činimo u proste faktore: 8=2*2*2 i 12=3*2*2
2. Smanjujemo iste faktore jednog od brojeva. U našem slučaju, 2 * 2 se poklapaju, smanjimo ih za broj 12, tada će za 12 ostati jedan faktor: 3.
3. Pronađite proizvod svih preostalih faktora: 2*2*2*3=24

Provjeravajući, uvjeravamo se da je 24 djeljivo i sa 8 i sa 12, a ovo je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Tu smo pronađen najmanji zajednički višekratnik.

Pokušat ću objasniti koristeći kao primjer brojeve 6 i 8. Najmanji zajednički višekratnik je broj koji se može podijeliti ovim brojevima (u našem slučaju 6 i 8) i neće biti ostatka.

Dakle, prvo počinjemo da množimo 6 sa 1, 2, 3, itd. i 8 sa 1, 2, 3, itd.

Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik za dva ili bilo koji drugi broj brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM

Pronađite GCD i LOC

Pronađeno GCD i LOC: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• Ako unesete netačne znakove, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
• kliknite na dugme "Pronađi GCD i LOC".

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmakom, tačkom ili zarezom
• Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško

Šta su GCD i NOC?

Najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim, njihovim kombinovanjem, možete provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Test djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: pogledaj u zadnja cifra: 8 znači da je broj djeljiv sa dva.

2. Test djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa tri. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako je zbir cifara vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.

3. Test djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.

4. Test djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći gcd dva broja

Većina na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja je pronaći sve moguće djelitelje ovih brojeva i odabrati najveći od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Faktoriramo oba broja: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 = 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik od dva broja. Prva metoda je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj se razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također možete koristiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Sličan odnos se primjenjuje na najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov proizvod će dati GCD: 1·2·2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, morate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Ali mnogi prirodni brojevi su također djeljivi sa drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cjelinom (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelje brojeva. Razdjelnik prirodni broj a- je prirodan broj koji dijeli dati broj a bez traga. Zove se prirodan broj koji ima više od dva djelitelja kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj kojim su oba data broja podijeljena bez ostatka a I b.

Uobičajeni višestruki nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, in u ovom slučaju ovo je 90. Ovaj broj se zove najmanjizajednički višestruk (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

komutativnost:

asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, onda:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štaviše, skup zajedničkih višekratnika m, n poklapa se sa skupom višekratnika LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teoretskih funkcija brojeva.

dakle, Čebiševljeva funkcija. i:

Ovo slijedi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu sa LCM:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prosti broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) se izračunava po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, i uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračunavanja LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastavljaju brojeve na proste faktore;

- prenesite najveće proširenje (proizvod faktora željenog proizvoda) u faktore željenog proizvoda veliki broj od datih), a zatim dodajte faktore iz proširenja drugih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se pojavljuju u njemu manje puta;

— rezultirajući proizvod prostih faktora će biti LCM datih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višestruki jedan od drugog ili nemaju iste faktore u ekspanziji, tada je njihov LCM jednak proizvodu ovih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjuju se faktorom 3 (broj 21), rezultirajući proizvod (84) će biti najmanji broj koji je djeljiv sa 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 su dopunjeni faktorom 5 od broja 25, rezultirajući proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je sa svim datim brojevima bez ostatka. Ovo najmanje proizvoda od mogućih (150, 250, 300...), kojima su svi dati brojevi višekratnici.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak proizvodu datih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve ove brojeve pomnožiti zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak (LCM) nekoliko brojeva trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao proizvod njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelioce (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stepen svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove moći.

Primjer. Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Rješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Uobičajeni višestruki

Jednostavno rečeno, svaki cijeli broj koji je djeljiv sa svakim od datih brojeva jeste zajednički višestruki dati cijeli brojevi.

Možete pronaći zajednički višekratnik dva ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Izračunajte zajednički višekratnik dva broja: $2$ i $5$.

Rješenje.

Po definiciji, zajednički višekratnik $2$ i $5$ je $10$, jer to je višekratnik broja $2$ i broja $5$:

Uobičajeni višekratnici brojeva $2$ i $5$ takođe će biti brojevi $–10, 20, –20, 30, –30$, itd., jer svi su podijeljeni na brojeve $2$ i $5$.

Napomena 1

Nula je zajednički višekratnik bilo kojeg broja cijelih brojeva koji nisu nula.

Prema svojstvima djeljivosti, ako je određeni broj zajednički višekratnik više brojeva, tada će i broj suprotan po predznaku biti zajednički višekratnik datih brojeva. To se može vidjeti iz razmatranog primjera.

Za date cijele brojeve uvijek možete pronaći njihov zajednički višekratnik.

Primjer 2

Izračunajte zajednički višekratnik $111$ i $55$.

Rješenje.

Pomnožimo date brojeve: $111\div 55=6105$. Lako je provjeriti da je broj $6105$ djeljiv brojem $111$ i brojem $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

Dakle, $6105$ je zajednički višekratnik $111$ i $55$.

Odgovori: Zajednički višekratnik od 111$ i 55$ je 6105$.

Ali, kao što smo već vidjeli iz prethodnog primjera, ovaj zajednički višekratnik nije jedan. Drugi uobičajeni višekratnici bi bili $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050 $, itd. Tako smo došli do sljedećeg zaključka:

Napomena 2

Svaki skup cijelih brojeva ima beskonačan broj zajedničkih višekratnika.

U praksi su ograničeni na pronalaženje zajedničkih višekratnika samo pozitivnih cijelih (prirodnih) brojeva, jer skup višekratnika dati broj i njegova suprotnost se poklapaju.

Određivanje najmanjeg zajedničkog višekratnika

Od svih višekratnika datih brojeva, najčešće se koristi najmanji zajednički višekratnik (LCM).

Definicija 2

Najmanji pozitivni zajednički višekratnik datih cijelih brojeva je najmanji zajednički višekratnik ovi brojevi.

Primjer 3

Izračunajte LCM brojeva $4$ i $7$.

Rješenje.

Jer ovi brojevi nemaju zajednički djelitelji, zatim $NOK(4,7)=28$.

Odgovori: $NOK (4,7)=28$.

Pronalaženje NOC-a putem GCD-a

Jer postoji veza između LCM-a i GCD-a, uz njegovu pomoć možete izračunati LCM od dva pozitivna cijela broja:

Napomena 3

Primjer 4

Izračunajte LCM brojeva $232$ i $84$.

Rješenje.

Koristimo formulu da pronađemo LCM kroz GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Nađimo GCD brojeva $232$ i $84$ koristeći Euklidov algoritam:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

One. $GCD(232, 84)=4$.

Nađimo $LCC (232, 84)$:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Odgovori: NOK (232,84)=4872 USD.

Primjer 5

Izračunajte $LCD(23, 46)$.

Rješenje.

Jer $46$ je djeljivo sa $23$, tada je $gcd (23, 46)=23$. Nađimo LOC:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Odgovori: NOK (23,46)=46 USD.

Dakle, može se formulisati pravilo:

Napomena 4

Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik su ključni aritmetički koncepti koji vam omogućavaju da radite bez napora obične frakcije. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Delitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X podijeljen bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv sa X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik od 15, a 6 je višekratnik od 12.

Za bilo koji par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički djelitelj je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očigledno, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u proračunima koriste najveći djelitelj GCD i najmanji višestruki LCM.

Najmanji djelitelj je besmislen, jer je za bilo koji broj uvijek jedan. Najveći umnožak je također besmislen, jer niz višekratnika ide u beskonačnost.

Pronalaženje gcd

Postoji mnogo metoda za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

• sekvencijalno traženje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
• dekompozicija brojeva na nedjeljive faktore;
• Euklidski algoritam;
• binarni algoritam.

Danas u obrazovne institucije Najpopularnije su metode faktorizacije osnovnih faktora i Euklidov algoritam. Potonji se, pak, koristi pri rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a je potrebno da bi se provjerila mogućnost rezolucije u cijelim brojevima.

Pronalaženje NOC-a

Najmanji zajednički višekratnik se također određuje sekvencijalnim pretraživanjem ili dekompozicijom na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na primjer, ako je GCM(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočigledniji primjer korištenja LCM je pronalaženje zajedničkog nazivnika, koji je najmanji zajednički višekratnik dati razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva koprostor. Gcd za takve parove je uvijek jednak jedan, a na osnovu veze između djelitelja i višekratnika, gcd za koprime parove jednak je njihovom proizvodu. Na primjer, brojevi 25 i 28 su relativno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom proizvodu. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti relativno prosti.

Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator

Koristeći naš kalkulator možete izračunati GCD i LCM za proizvoljan broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, ali GCD i LCM su ključni pojmovi u matematici i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog života

Zajednički nazivnik razlomaka

Najmanji zajednički višekratnik se koristi kada se pronađe zajednički nazivnik nekoliko razlomaka. Pusti unutra aritmetički problem treba da zbrojite 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za dodavanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definisani kao omjer LCM-a i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Nakon toga, pomnožimo sve razlomke odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Lako možemo sabrati takve razlomke i dobiti rezultat kao 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačan odgovor - 53/120.

Rješavanje linearnih Diofantovih jednadžbi

Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d/gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva ​​u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednačina da vidimo da li imaju cjelobrojno rješenje. Prvo, provjerimo jednačinu 150x + 8y = 37. Koristeći kalkulator, nalazimo GCD (150,8) = 2. Podijelimo 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jednačinu 1320x + 1760y = 10120. Koristite kalkulator da nađete GCD(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobijamo cijeli broj, pa je Diofantov koeficijent tako u jednadžbi .

Zaključak

GCD i LCM igraju veliku ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti se široko koriste u raznim oblastima matematike. Za izračun koristite naš kalkulator najveći djelitelji i najmanji višekratnici bilo kojeg broja brojeva.