Koncept srednje linije trapeza
Prvo, prisjetimo se koja se figura zove trapez.
Definicija 1
Trapez je četverougao kod kojeg su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.
U ovom slučaju, paralelne stranice nazivaju se osnovama trapeza, a ne paralelne - stranice trapeza.
Definicija 2
Srednja linija trapeza je segment koji spaja sredine stranica trapeza.
Teorema srednje linije trapeza
Sada uvodimo teoremu o srednjoj liniji trapeza i dokazujemo je vektorskom metodom.
Teorema 1
Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je polovini njihovog zbira.
Dokaz.
Neka nam je dat trapez $ABCD$ sa bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trapeza
Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za sabiranje vektora. S jedne strane, to shvatamo
Na drugoj strani
Sabiranjem posljednje dvije jednakosti dobijamo
Pošto su $M$ i $N$ sredine stranica trapeza, imamo
Dobijamo:
Dakle
Iz iste jednakosti (pošto su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerne i, prema tome, kolinearne), dobijamo da je $MN||AD$.
Teorema je dokazana.
Primjeri zadataka na konceptu srednje linije trapeza
Primjer 1
Stranice trapeza su $15\cm$ i $17\cm$ respektivno. Opseg trapeza je $52\cm$. Pronađite dužinu srednje linije trapeza.
Rješenje.
Označite srednju liniju trapeza sa $n$.
Zbir strana je
Prema tome, pošto je obim $52\ cm$, zbir baza je
Dakle, prema teoremi 1, dobijamo
odgovor:$10\cm$.
Primjer 2
Krajevi prečnika kružnice su $9$ cm odnosno $5$ cm od njegove tangente. Pronađite prečnik ove kružnice.
Rješenje.
Neka nam je dana kružnica sa centrom $O$ i prečnikom $AB$. Nacrtajte tangentu $l$ i konstruirajte udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtajmo poluprečnik $OH$ (slika 2).
Slika 2.
Pošto su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i pošto je $OH$ poluprečnik, onda je $OH\bot l$, dakle $OH | \levo|AD\right||BC$. Iz svega ovoga dobijamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova srednja linija. Prema teoremi 1, dobijamo
Četvorougao sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.
Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.
Srednja linija trapeza
Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.
Teorema:
Ako je prava linija koja siječe sredinu jedne stranice paralelna s osnovama trapeza, tada ona siječe drugu stranu trapeza na pola.
Teorema:
Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - strane
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.
Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.
Srednja linija trougla
Segment prave koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelna je sa trećom stranom i njena dužina je polovina dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe polovište jedne strane trougla paralelna s drugom stranom datog trougla, tada prepolovi treću stranu.
AM = MC i BN = NC =>
Primjena svojstava srednje linije trokuta i trapeza
Podjela segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Rješenje:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Povezujemo A 5 sa B i povlačimo prave kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One seku AB na B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2
Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na još jedan broj jednakih dijelova, trebamo projektirati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.
U ovom članku za vas je napravljen još jedan izbor zadataka s trapezom. Uslovi su nekako povezani sa njegovom srednjom linijom. Tipovi zadataka su preuzeti iz otvorene banke tipičnih zadataka. Ako želite, možete osvježiti svoje teorijsko znanje. Blog je već pokrio zadatke čiji su uslovi povezani, kao i. Ukratko o srednjoj liniji:
Srednja linija trapeza spaja sredine stranica. Paralelan je bazama i jednak njihovom poluzbiru.
Prije rješavanja problema, razmotrimo teoretski primjer.
Dat je trapez ABCD. Dijagonala AC koja se siječe sa srednjom linijom formira tačku K, dijagonala BD tačku L. Dokazati da je odsječak KL jednak polovini razlike baza.
Zapazimo prvo činjenicu da srednja linija trapeza prepolovi svaki segment čiji krajevi leže na njegovim osnovama. Ovaj zaključak se nameće sam od sebe. Zamislite segment koji spaja dvije tačke baza, on će ovaj trapez podijeliti na dva druga. Ispada da će segment paralelan sa bazama trapeza i koji prolazi kroz sredinu stranice s druge strane proći kroz njegovu sredinu.
Takođe se zasniva na Talesovoj teoremi:
Ako se na jednoj od dvije prave linije uzastopno položi nekoliko jednakih segmenata i kroz njihove krajeve se povuku paralelne linije koje sijeku drugu ravnu liniju, tada će odsjeći jednake segmente na drugoj pravoj liniji.
To jest, u ovom slučaju, K je sredina AC, a L je sredina BD. Dakle, EK je srednja linija trougla ABC, LF je srednja linija trougla DCB. Prema svojstvu srednje linije trougla:
Sada možemo da izrazimo segment KL u terminima baza:
Dokazan!
Ovaj primjer nije samo dat. U zadacima za samostalno rješavanje postoji upravo takav zadatak. Samo to ne kaže da segment koji povezuje sredine dijagonala leži na srednjoj liniji. Razmotrite zadatke:
27819. Pronađite srednju liniju trapeza ako su njegove osnove 30 i 16.
Računamo po formuli:
27820. Srednja linija trapeza je 28, a manja osnova je 18. Pronađite veću osnovu trapeza.
Izrazimo veću bazu:
Na ovaj način:
27836. Okomita spuštena sa vrha tupog ugla na veću osnovu jednakokračnog trapeza dijeli ga na dijelove dužine 10 i 4. Pronađite srednju liniju ovog trapeza.
Da biste pronašli srednju liniju, morate znati baze. Osnovu AB je lako pronaći: 10+4=14. Pronađite DC.
Konstruirajmo drugu okomitu DF:
Segmenti AF, FE i EB će biti jednaki 4, 6 i 4. Zašto?
U jednakokračnom trapezu, okomice spuštene na veću osnovu dijele ga na tri segmenta. Dva od njih, koji su kraci odsječenih pravokutnih trougla, jednaka su jedna drugoj. Treći segment je jednak manjoj osnovici, jer se pri konstruisanju navedenih visina formira pravougaonik, a u pravougaoniku su suprotne stranice jednake. U ovom zadatku:
Tako je DC=6. Računamo:
27839. Osnove trapeza su u omjeru 2:3, a srednja linija je 5. Pronađite manju osnovu.
Hajde da uvedemo koeficijent proporcionalnosti x. Tada je AB=3x, DC=2x. možemo napisati:
Dakle, manja baza je 2∙2=4.
27840. Opseg jednakokračnog trapeza je 80, njegova srednja linija jednaka je bočnoj strani. Pronađite stranu trapeza.
Na osnovu uslova možemo napisati:
Ako srednju liniju označimo kroz x, dobićemo:
Druga jednačina se već može napisati kao:
27841. Srednja linija trapeza je 7, a jedna od njegovih osnova je 4 veća od druge. Pronađite veću osnovu trapeza.
Označimo manju bazu (DC) sa x, tada će veća (AB) biti jednaka x + 4. Možemo snimati
Dobili smo da je manja baza rana od pet, što znači da je veća jednaka 9.
27842. Srednja linija trapeza je 12. Jedna od dijagonala dijeli ga na dva segmenta, čija je razlika 2. Pronađite veću osnovu trapeza.
Lako možemo pronaći veću osnovu trapeza ako izračunamo segment EO. To je srednja linija u trouglu ADB, i AB=2∙EO.
šta imamo? Kaže se da je srednja linija jednaka 12 i da je razlika između segmenata EO i OF jednaka 2. Možemo zapisati dvije jednačine i riješiti sistem:
Jasno je da je u ovom slučaju moguće odabrati par brojeva bez izračunavanja, to su 5 i 7. Ali, ipak, riješit ćemo sistem:
Dakle EO=12–5=7. Dakle, veća baza je jednaka AB=2∙EO=14.
27844. U jednakokračnom trapezu, dijagonale su okomite. Visina trapeza je 12. Pronađite njegovu srednju liniju.
Odmah napominjemo da visina povučena kroz točku presjeka dijagonala u jednakokračnom trapezu leži na osi simetrije i dijeli trapez na dva jednaka pravokutna trapeza, odnosno da su osnove ove visine podijeljene na pola.
Čini se da da bismo izračunali prosječnu liniju, moramo pronaći osnove. Ovdje nastaje mala slijepa ulica ... Kako, znajući visinu, u ovom slučaju izračunati baze? I ne kako! Mogu se izgraditi mnogi takvi trapezi sa fiksnom visinom i dijagonalama koje se seku pod uglom od 90 stepeni. Kako biti?
Pogledajte formulu za srednju liniju trapeza. Uostalom, ne moramo znati same baze, dovoljno je znati njihov zbir (ili poluzbir). Ovo možemo da uradimo.
Kako se dijagonale sijeku pod pravim uglom, formiraju se jednakokraki pravokutni trokuti visine EF:
Iz navedenog slijedi da je FO=DF=FC, a OE=AE=EB. Zapišimo sada koliko je jednaka visina izražena kroz segmente DF i AE:
Dakle, srednja linija je 12.
* Generalno, ovo je problem, kao što ste shvatili, za usmeni iskaz. Ali siguran sam da je potrebno detaljno objašnjenje. I tako... Ako pogledate sliku (pod uslovom da se tokom konstruisanja posmatra ugao između dijagonala), jednakost FO=DF=FC, i OE=AE=EB odmah upada u oči.
Kao dio prototipova, postoje i vrste zadataka sa trapezom. Izgrađena je na listu u ćeliji i potrebno je pronaći srednju liniju, strana ćelije je obično 1, ali može postojati i druga vrijednost.
27848. Pronađite srednju liniju trapeza A B C D ako su stranice kvadratnih ćelija 1.
Jednostavno je, izračunavamo baze po ćelijama i koristimo formulu: (2 + 4) / 2 = 3
Ako su baze izgrađene pod uglom u odnosu na ćelijsku mrežu, postoje dva načina. Na primjer!
Ciljevi lekcije:
1) upoznati učenike sa pojmom srednje linije trapeza, razmotriti njena svojstva i dokazati ih;
2) naučiti kako se gradi srednja linija trapeza;
3) razvijati sposobnost učenika da pri rešavanju zadataka koriste definiciju srednje linije trapeza i svojstva srednje linije trapeza;
4) nastaviti da razvija sposobnost učenika da pravilno govore, koristeći potrebne matematičke termine; dokazati svoje gledište;
5) razvijati logičko mišljenje, pamćenje, pažnju.
Tokom nastave
1. Provjera domaćeg zadatka odvija se tokom časa. Domaći zadatak je bio usmeni, zapamtite:
a) definicija trapeza; vrste trapeza;
b) određivanje srednje linije trougla;
c) svojstvo srednje linije trougla;
d) znak srednje linije trougla.
2. Učenje novog gradiva.
a) Trapez ABCD je prikazan na tabli.
b) Nastavnik nudi da zapamti definiciju trapeza. Svaki stol ima dijagram nagoveštaja koji pomaže pri pamćenju osnovnih pojmova u temi „Trapez” (vidi Dodatak 1). Dodatak 1 izdaje se za svaki stol.
Učenici crtaju trapez ABCD u svojoj svesci.
c) Nastavnik predlaže prisjetiti se u kojoj se temi susreo pojam srednje linije („Srednja linija trougla“). Učenici se prisjećaju definicije srednje linije trougla i njegovog svojstva.
e) Zapišite definiciju srednje linije trapeza, prikazujući je u svesci.
srednja linija Trapez se naziva segment koji povezuje sredine njegovih stranica.
Svojstvo srednje linije trapeza u ovoj fazi ostaje nedokazano, tako da sljedeća faza lekcije uključuje rad na dokazu svojstva srednje linije trapeza.
Teorema. Srednja linija trapeza paralelna je sa njegovim osnovama i jednaka je polovini njihovog zbira.
Dato: ABCD - trapez,
MN - srednja linija ABCD
Dokazati, šta:
1. BC || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Možemo da zapišemo neke posledice koje slede iz uslova teoreme:
AM=MB, CN=ND, BC || AD.
Samo na osnovu navedenih svojstava nemoguće je dokazati šta se traži. Sistem pitanja i vježbi treba da dovede učenike do želje da povežu srednju liniju trapeza sa središnjom linijom nekog trougla, čija svojstva već poznaju. Ako nema prijedloga, onda možemo postaviti pitanje: kako konstruirati trougao za koji bi segment MN bio središnja linija?
Napišimo dodatnu konstrukciju za jedan od slučajeva.
Nacrtajmo pravu BN koja siječe produžetak stranice AD u tački K.
Pojavljuju se dodatni elementi - trokuti: ABD, BNM, DNK, BCN. Ako dokažemo da je BN = NK, to će značiti da je MN srednja linija ABD, a onda možemo koristiti svojstvo srednje linije trougla i dokazati neophodno.
dokaz:
1. Uzmite u obzir BNC i DNK, u njima:
a) CNB =DNK (svojstvo vertikalnih uglova);
b) BCN = NDK (osobina unutrašnjih poprečnih ležećih uglova);
c) CN = ND (posljedica hipoteze teoreme).
Dakle, BNC = DNK (sa strane i dva susjedna ugla).
Q.E.D.
Dokaz se može izvesti usmeno na času, a restaurirati i zapisati u svesku kod kuće (po nahođenju nastavnika).
Neophodno je spomenuti i druge moguće načine dokazivanja ove teoreme:
1. Nacrtajte jednu od dijagonala trapeza i koristite znak i svojstvo srednje linije trougla.
2. Pokrenite CF || BA i razmotrimo paralelogram ABCF i DCF.
3. Pokrenite EF || BA i razmotriti jednakost FND i ENC.
g) U ovoj fazi se daje domaći zadatak: str.84, udžbenik, ur. Atanasyan L.S. (dokaz svojstva srednje linije trapeza na vektorski način), zapisati u svesku.
h) Zadatke za korištenje definicije i svojstva srednje linije trapeza rješavamo prema gotovim crtežima (vidi Dodatak 2). Dodatak 2 daje se svakom učeniku, a rješenja zadataka se ispisuju na istom listu u kratkom obliku.
Područje trapeza. Pozdrav! U ovoj publikaciji ćemo razmotriti ovu formulu. Zašto je tako i kako to razumeti? Ako postoji razumijevanje, onda ga ne morate učiti. Ako samo želite vidjeti ovu formulu i ono što je hitno, možete odmah pomaknuti stranicu))
Sada detaljno i po redu.
Trapez je četvorougao, dve strane ovog četvorougla su paralelne, druge dve nisu. One koje nisu paralelne su osnove trapeza. Druge dvije se zovu strane.
Ako su stranice jednake, tada se trapez naziva jednakokraki. Ako je jedna od stranica okomita na baze, tada se takav trapez naziva pravokutnim.
U klasičnom obliku, trapez je prikazan na sljedeći način - veća baza je na dnu, odnosno manja je na vrhu. Ali niko ne zabranjuje prikazivanje i obrnuto. Evo skica:
Sljedeći važan koncept.
Srednja linija trapeza je segment koji spaja sredine stranica. Srednja linija je paralelna osnovama trapeza i jednaka je njihovom poluzbiru.
Hajdemo sada dublje. Zašto tačno?
Zamislite trapez sa bazama a i b i sa srednjom linijom l, i izvedite neke dodatne konstrukcije: povucite ravne linije kroz osnove, a okomite kroz krajeve srednje linije dok se ne sijeku s osnovama:
*Slovne oznake vrhova i drugih tačaka se ne unose namjerno kako bi se izbjegle nepotrebne oznake.
Vidite, trokuti 1 i 2 su jednaki prema drugom znaku jednakosti trokuta, trokuti 3 i 4 su isti. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost elemenata, odnosno krakova (označeni su redom plavom, odnosno crvenom bojom).
Sada pažnja! Ako mentalno "odsječemo" plavi i crveni segment od donje baze, tada ćemo imati segment (ovo je strana pravokutnika) jednak srednjoj liniji. Dalje, ako odrezane plave i crvene segmente "zalijepimo" na gornju osnovu trapeza, tada ćemo također dobiti segment (ovo je i stranica pravokutnika) jednak srednjoj liniji trapeza.
Jasno? Ispada da će zbir baza biti jednak dvjema medijanama trapeza:
Pogledajte drugo objašnjenje
Uradimo sljedeće - izgradimo pravu liniju koja prolazi kroz donju bazu trapeza i pravu liniju koja će prolaziti kroz tačke A i B:
Dobijamo trouglove 1 i 2, jednaki su po strani i susjednim uglovima (drugi znak jednakosti trokuta). To znači da je rezultujući segment (na skici je označen plavom bojom) jednak gornjoj bazi trapeza.
Sada razmotrite trokut:
* Srednja linija ovog trapeza i srednja linija trougla se poklapaju.
Poznato je da je trokut jednak polovini osnovice paralelne s njim, odnosno:
Ok, razumijem. Sada o površini trapeza.
Formula površine trapeza:
Kažu: površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine.
Odnosno, ispada da je jednak proizvodu srednje linije i visine:
Verovatno ste već primetili da je ovo očigledno. Geometrijski, to se može izraziti na sljedeći način: ako mentalno odsiječemo trokute 2 i 4 od trapeza i stavimo ih na trokute 1 i 3, redom:
Tada dobijamo pravougaonik površine jednake površini našeg trapeza. Površina ovog pravokutnika bit će jednaka umnošku srednje linije i visine, odnosno možemo napisati:
Ali poenta ovdje nije u pisanju, naravno, već u razumijevanju.
Preuzmite (pogledajte) materijal članka u *pdf formatu
To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander.
Učitavanje...