Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

proširenje i produbljivanje ideja učenika o problemima riješenim aritmetičkom progresijom; organizacija aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije;
razvijanje sposobnosti za samostalno sticanje novih znanja, korištenje već stečenih znanja za postizanje postavljenog zadatka;
razvoj želje i potrebe za generalizacijom dobijenih činjenica, razvoj samostalnosti.

Zadaci:

generalizovati i sistematizovati postojeća znanja na temu „Aritmetička progresija“;
izvesti formule za izračunavanje sume prvih n članova aritmetičke progresije;
naučiti kako primijeniti dobijene formule u rješavanju različitih zadataka;
skrenuti pažnju učenicima na redosled radnji pri pronalaženju vrednosti brojevnog izraza.

Oprema:

kartice sa zadacima za rad u grupama i parovima;
evaluacijski papir;
prezentacija"Aritmetička progresija".

I. Ažuriranje osnovnih znanja.

1. Samostalni rad u parovima.

1. opcija:

Dajte definiciju aritmetičke progresije. Zapišite ponavljajuću formulu koja definira aritmetičku progresiju. Pozdrav primjer aritmetičke progresije i ukazati na njegovu razliku.

Druga opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku, dva učenika na poleđini ploče pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad partnera u odnosu na ploču. (Liste sa odgovorima se predaju).

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelju. Ja sam zamislio neku aritmetičku progresiju. Samo mi postavite dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. član ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Pitanja učenika.

Koji je šesti pojam u progresiji i koja je razlika?
Koji je osmi pojam u progresiji i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, onda ih nastavnik može stimulisati - "zabraniti" d (razliku), odnosno nije dozvoljeno pitati u čemu je razlika. Možete postavljati pitanja: šta je šesti termin progresije, a šta osmi termin progresije?

Zadatak 2.

Na tabli je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut tabli. Učenici zovu broj broja, a nastavnik odmah poziva sam broj. Objasni kako to radim?

Nastavnik pamti formulu za n. član a n = 3n - 2 i, zamjenjujući date vrijednosti od n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n.

II. Izjava o obrazovnom problemu.

Predlažem da rešim drevni problem koji datira iz 2. milenijuma pre nove ere, koji je pronađen u egipatskim papirusima.

Zadatak:„Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma između 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda jednaka je 1/8 mjere“.

Kako je ovaj zadatak povezan s temom aritmetičke progresije? (Svaki sljedeći dobiva 1/8 mjere više, što znači razliku d = 1/8, 10 osoba, što znači n = 10.)
Šta mislite šta znači broj 10? (Zbroj svih članova progresije.)
Šta još trebate znati da biste lako i jednostavno podijelili ječam prema uvjetu zadatka? (Prvi termin u progresiji.)

Cilj lekcije- dobijanje zavisnosti zbira članova progresije od njihovog broja, prvog člana i razlike, te provjeravanje da li je zadatak u antičko doba bio ispravno riješen.

Prije nego što zaključimo formulu, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

I to su riješili na sljedeći način:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera - prosječan udio;
2) 1 mjera ∙ = 2 mjere - udvostručena prosjek dijeliti.
Udvostručeno prosjek udio je zbir udjela 5. i 6. ljudi.
3) 2 mjere - 1/8 mjera = 1 7/8 mjera - duplo više od petog lica.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - udio kvinte; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješenje problema.

1. Rad u grupama

Grupa I: Pronađite zbir 20 uzastopnih prirodnih brojeva: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Uglavnom

II grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o Malom Gausu).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Izlaz:

III grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Izlaz:

IV grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 101.

Izlaz:

Ova metoda za rješavanje razmatranih problema naziva se “Gaussova metoda”.

2. Svaka grupa predstavlja rješenje problema na tabli.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Pronađimo ovaj iznos zaključivanjem na sličan način:

4. Jesmo li riješili zadatak?(Da.)

IV. Primarno razumevanje i primena dobijenih formula u rešavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog problema pomoću formule.

2. Primjena formule u rješavanju različitih problema.

3. Vježbe za formiranje sposobnosti primjene formule pri rješavanju problema.

A) Ne. 613

S obzirom: ( a n) - aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Nađi: S 1500

Rješenje: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,

B) Dato: ( a n) - aritmetička progresija;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Nađi: n
Rješenje:

V. Samostalan rad uz međusobnu provjeru.

Denis je otišao da radi kao kurir. U prvom mjesecu, njegova plata je bila 200 rubalja, u svakom sljedećem mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je zaradio za godinu dana?

S obzirom: ( a n) - aritmetička progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Nađi: S 12
Rješenje:

Odgovor: Denis je za godinu dana primio 4.380 rubalja.

Vi. Brifing za domaći zadatak.

str 4.3 - naučite izvođenje formule.
№№ 585, 623 .
Napravite problem koji bi se riješio korištenjem formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije.

Vii. Sumiranje lekcije.

1. Evaluacijski list

2. Nastavite rečenice

Danas na lekciji sam naučio...
Naučene formule ...
Mislim da …

3. Možete li pronaći zbir brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Obrazovanje", 2009.

Ako je svaki prirodan broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da je dato numerički niz :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 su pozvani prvi član niza , broj a 2 — drugi mandat , broj a 3 — treći itd. Broj a n su pozvani n-ti član niza , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susedna člana a n i a n +1 član sekvence a n +1 su pozvani naknadno (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste naveli niz, morate navesti metodu koja vam omogućava da pronađete člana niza s bilo kojim brojem.

Često je niz dat sa formule n -tog pojma , odnosno formula koja vam omogućava da odredite člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se specificirati formulom

a n= 2n - 1,

i redoslijed izmjenjivanja 1 i -1 - po formuli

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurzivna formula, to jest formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mogu biti final i beskrajno .

Slijed se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajno ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvocifrenih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajno. ◄

Sekvenca se poziva povećanje ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Sekvenca se poziva smanjivanje ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - rastući redoslijed;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - opadajući niz. ◄

Zove se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, naprotiv, ne povećavaju monotoni niz .

Monotoni nizovi, posebno, su uzlazni nizovi i silazni nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između narednih i prethodnih članova date aritmetičke progresije je uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d su pozvani razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je naznačiti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d ona n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronađite trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očigledno

a n=	a n-1 + a n + 1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Koristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

dakle,

a n + 1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Zapiši to n -ti član aritmetičke progresije može se naći ne samo kroz a 1 , ali i sve prethodne a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

onda očigledno

a n=	a n-k + a n + k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je poluzbiru članova ove aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju, jednakost je tačna:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

prvi n članovi aritmetičke progresije jednak je proizvodu poluzbira ekstremnih članova sa brojem članova:

Otuda, posebno, slijedi da ako je potrebno zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je zadana aritmetička progresija, tada vrijednosti a 1 , a n, d, n iS n povezane sa dve formule:

Stoga, ako se daju vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombinirane u sistem dviju jednadžbi s dvije nepoznate.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

ako d > 0 , onda se povećava;
ako d < 0 , tada se smanjuje;
ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija poziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n ispunjen je uslov:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana date geometrijske progresije u odnosu na prethodni je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q su pozvani nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi izraz i nazivnik.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i imenilac q ona n th pojam se može naći po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očigledno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i narednih članova.

Pošto je i obrnuti iskaz tačan, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak proizvodu druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da je niz dat formulom b n= -3 2 n , je eksponencijalna progresija. Koristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

dakle,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Zapiši to n -ti član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očigledno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je proizvodu članova ove progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije sa nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je data geometrijska progresija, tada su vrijednosti b 1 , b n, q, n i S n povezane sa dve formule:

Dakle, ako su date vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se iz ovih formula određuju odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine, kombinirane u sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i imenilac q sljedeće monotonih svojstava :

progresija je uzlazna ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija naizmjenična: njeni neparni članovi imaju isti predznak kao i prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da naizmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Djelo prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija, čiji je modul nazivnika manji 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija možda nije opadajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom, niz se mijenja. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije je broj na koji je zbir prvog n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n ... Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija usko su povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija sa razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija sa nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija sa nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija sa nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Prvi nivo

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019)

Numerički niz

Pa sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Bez obzira koliko brojeva napišemo, uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek jedan.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana :.

u našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan niz brojeva. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije neprekidnih proporcija, koju su zauzeli stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, dodan istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se sa.

Pokušajte odrediti koji su nizovi brojeva aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Razumijete? Uporedimo naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Prethodnoj vrijednosti možemo dodati broj progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nam nije preostalo mnogo da sumiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri sabiranju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte pobliže nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo kako se dodaje vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:

Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći na ovaj način vrijednost člana date aritmetičke progresije.

Izračunati? Uporedite svoje beleške sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovest ćemo je u opći oblik i dobiti:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije su rastuće, a ponekad i opadajuće.

Uzlazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost članova veća od prethodne.
Na primjer:

Smanjenje- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi za izračunavanje pojmova u rastućim i opadajućim člancima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo kakav će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Tako smo se pobrinuli da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo dobijene rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo zadatak - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da smo dobili sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, a, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplicirano, ali ako su nam dati brojevi u uvjetu? Priznajte, postoji šansa da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite, je li moguće riješiti ovaj problem u jednoj radnji pomoću bilo koje formule? Naravno, da, i upravo nju ćemo sada pokušati da povučemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

prethodni član progresije je:
sljedeći član progresije je:

Hajde da sumiramo prethodne i naredne članove progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije udvostručena vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost člana progresije sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, potrebno ih je sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredak, jer to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate gotovo sve o progresiji! Ostaje samo jedna formula za učenje, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss ...

Kad je Karl Gauss imao 9 godina, učitelj koji se bavio provjerom rada učenika drugih razreda postavio je sljedeći problem na satu: "Izračunajte zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo." Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (to je bio Karl Gauss) za minut dao tačan odgovor na problem, dok je većina drskovolja iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Karl Gauss primijetio je određeni obrazac koji lako možete primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir datih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako je u zadatku potrebno pronaći zbir njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo datu progresiju. Pažljivo pogledajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.

Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

A sad mi reci koliko ima takvih parova u datoj progresiji? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobijamo da je ukupan zbir:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će sljedeća:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu za zbir, formulom th člana.
sta si uradio

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je dat Karlu Gausu: izračunajte sami koliki je zbir brojeva koji počinju od -tog i zbir brojeva koji počinju od -tog.

Koliko si dobio?
Gauss je utvrdio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jeste li tako odlučili?

Zapravo, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant u 3. stoljeću, a sve to vrijeme duhoviti ljudi su koristili svojstva aritmetičke progresije do krajnjih granica.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najambicioznije gradilište tog doba - izgradnju piramide ... Slika prikazuje jednu njenu stranu.

Gdje kažete napredak ovdje? Pogledajte pažljivo i pronađite uzorak u broju blokova pijeska u svakom redu zida piramide.

Nije li to aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u bazu. Nadam se da nećete brojati prelazeći prstom po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako:.
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (broj blokova brojat ćemo na dva načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se skupilo? Bravo, savladali ste zbir članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je cigli od pijeska potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor je blokovi:

Vježbati

Zadaci:

Maša je u formi do ljeta. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti sedmicama, ako je na prvom treningu radila čučnjeve.
Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako trupci služe kao osnova zidanja.

odgovori:

Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
(sedmice = dani).
odgovor: Nakon dvije sedmice, Maša treba da čučne jednom dnevno.
Prvi neparni broj, zadnji broj.
Razlika aritmetičke progresije.
Broj neparnih brojeva u pola je, međutim, provjerit ćemo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:
Brojevi sadrže neparne brojeve.
Zamijenite dostupne podatke formulom:
odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u jednak je.
Sjetimo se problema piramide. Za naš slučaj, a, pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda samo u gomili slojeva, tj.
Zamijenimo podatke u formulu:
odgovor: U zidovima ima balvana.

Hajde da sumiramo

- numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može biti uzlazno i opadajuće.
Pronalaženje formule-ti član aritmetičke progresije zapisuje se formulom -, gdje je broj brojeva u progresiji.
Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
Zbroj članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:

, gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Numerički niz

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem i jedinim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana :.

Vrlo je zgodno ako se taj izraz niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

specificira redoslijed:

Formula je sljedećeg slijeda:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).

Formula N -tog pojma

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj da biste saznali th člana, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći takvu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, koja je formula sada?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? A evo šta:

(to je zato što se zove razlika, koja je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Karl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbroj drugog i posljednjeg, ali jednog jednak, zbir trećeg i trećeg s kraja isti, itd. Koliko će biti takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bi bila:

primjer:
Pronađite zbroj svih dvocifrenih višekratnika.

Rješenje:

Prvi takav broj je. Svaki sljedeći se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th termina za ovu progresiju je:

Koliko je članova u napredovanju ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član u progresiji će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor:.

Sada odlučite sami:

Svakog dana sportista pretrči više m nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u sedmicama ako je pretrčao km m prvog dana?
Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana vozio je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe km? Koliko će kilometara preći posljednjeg dana putovanja?
Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine, ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
.
odgovor:
Ovdje je dato: potrebno je pronaći.
Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
.
Zamijenite vrijednosti:
Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
Izračunajmo pređenu udaljenost za zadnji dan koristeći formulu th termina:
(km).
odgovor:
Dato:. Pronađi:.
Ne može biti lakše:
(trljati).
odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

napisan po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Instrukcije

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D u koracima progresija Očigledno je da je zbir proizvoljnog n-tog člana aritmetike progresija ima oblik: An = A1 + (n-1) d. Zatim poznajete jednog od članova progresija, član progresija i korak progresija, možete, odnosno broj člana napretka. Očigledno, to će biti određeno formulom n = (An-A1 + d) / d.

Sada neka bude poznat m-ti pojam progresija i još jednog člana progresija- n-ti, ali n, kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju. progresija može se izračunati po formuli: d = (An-Am) / (n-m). Tada je n = (An-Am + md) / d.

Ako je poznat zbir nekoliko elemenata aritmetike progresija, kao i njegov prvi i zadnji, onda se može odrediti i broj ovih elemenata. progresija biće jednako: S = ((A1 + An) / 2) n. Tada je n = 2S / (A1 + An) - chdenov progresija... Koristeći činjenicu da je An = A1 + (n-1) d, ova formula se može prepisati kao: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Iz ovoga se može izraziti n rješavanjem kvadratne jednadžbe.

Aritmetički niz je takav uređeni skup brojeva čiji se svaki član, osim prvog, razlikuje od prethodnog za isti iznos. Ova konstanta se naziva razlika progresije ili njenog koraka i može se izračunati iz poznatih članova aritmetičke progresije.

Instrukcije

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uslova zadatka, da biste izračunali razliku (d), jednostavno oduzmite prethodni od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivna ili negativna, ovisno o tome da li se progresija povećava. U opštem obliku, zapišite rješenje za proizvoljan par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par članova takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi bilo koji drugi proizvoljno izabran, također je moguće sastaviti formulu za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju mora biti poznat redni broj (i) proizvoljno odabranog člana niza. Da biste izračunali razliku, saberite oba broja, a rezultat podijelite rednim brojem proizvoljnog člana, umanjenim za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Ako je, pored proizvoljnog člana aritmetičke progresije s ordinalom i, poznat još jedan član s ordinalom u, promijenite formulu iz prethodnog koraka u skladu s tim. U ovom slučaju, razlika (d) progresije će biti zbir ova dva člana podijeljen s razlikom njihovih rednih brojeva: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) će postati nešto složenija ako se u zadatku daju vrijednost njenog prvog člana (a₁) i zbir (Sᵢ) datog broja (i) prvih članova aritmetičkog niza uslovima. Da biste dobili željenu vrijednost, podijelite iznos s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite s brojem članova koji čine zbir, umanjenim za jedan. Općenito, zapišite formulu za izračunavanje diskriminanta na sljedeći način: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Prilikom izučavanja algebre u opšteobrazovnoj školi (9. razred) jedna od važnih tema je izučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije – geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Šta je aritmetička progresija?

Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju razmatrane progresije, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Aritmetički ili je skup uređenih racionalnih brojeva, čiji se svaki član razlikuje od prethodnog po nekoj konstantnoj vrijednosti. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređene serije brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.

Dajemo primjer. Sljedeći niz brojeva će biti aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., pošto je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati razmatranoj vrsti progresije, jer razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Važne formule

Navedimo sada osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetičke progresije. Označimo sa n n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razlika je označena latiničnim slovom d. Tada su važeći sljedeći izrazi:

Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n = (n-1) * d + a 1.
Da odredimo zbir prvih n članova: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije sa rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da su svi problemi tipa koji se razmatraju izgrađeni na njihovoj upotrebi. Također treba imati na umu da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1.

Primjer 1: pronalaženje nepoznatog člana

Navedimo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.

Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu je potrebno pronaći pet članova.

Već iz formulacije problema proizilazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definisati na dva načina:

Izračunajmo prvo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Isto tako, može se uzeti bilo koja druga dva člana koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d = a n - a n-1, onda je d = a 5 - a 4, odakle dobijamo: a 5 = a 4 + d. Zamijenite poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike razmatrane progresije, pa je prvo morate odrediti kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u posljednjem izrazu dobijamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kao što vidite, obje metode rješenja dovele su do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativna. Takvi nizovi se nazivaju opadajućim, jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.

Primjer 2: Razlika u napredovanju

Sada ćemo malo zakomplikovati zadatak, dat ćemo primjer kako pronaći razliku aritmetičke progresije.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1. U njega zamjenjujemo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dakle, odgovorili smo na prvi dio zadatka.

Da biste vratili niz do 7 pojmova, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Primjer 3: napredovanje

Zakomplikujmo još više stanje problema. Sada je potrebno odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možete navesti sljedeći primjer: s obzirom na dva broja, na primjer - 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih uklapaju još tri pojma.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzimati u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri pojma, tada je 1 = -4 i 5 = 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na problem koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član, koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Odakle: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ovdje nismo dobili cijelu vrijednost razlike, već je to racionalan broj, pa formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajte pronađenu razliku na 1 i vratite nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, što odgovara sa uslovom problema.

Primjer # 4: prvi član progresije

Nastavimo s davanjem primjera aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim zadacima je bio poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugog tipa: neka su data dva broja, gdje je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći broj od kojeg počinje ovaj niz.

Do sada korištene formule pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u opisu problema. Ipak, za svaki član ispisujemo izraze o kojima postoje informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Primljene dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.

Najlakši način za rješavanje ovog sistema je izraziti 1 u svakoj jednačini, a zatim uporediti rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ako sumnjate u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43 pojava progresije, koja je navedena u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da su proračuni koristili zaokruživanje na hiljaditinke.

Primjer 5: iznos

Pogledajmo sada neke primjere s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.

Neka je data numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir ovih 100 brojeva?

Zahvaljujući razvoju računarske tehnologije, moguće je riješiti ovaj problem, odnosno sabrati sve brojeve uzastopno, što će računar učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti u mislima, ako se obrati pažnja da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je napomenuti da je ovaj problem nazvan "Gausov", jer ga je početkom 18. vijeka slavni Nijemac, još sa samo 10 godina, mogao u svojoj glavi riješiti za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite u parovima brojeve na rubovima niza, uvijek dobijete jedan rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će od ovih iznosa biti tačno 50 (100/2), onda je za tačan odgovor dovoljno 50 pomnožiti sa 101.

Primjer 6: zbir članova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: date niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliko će biti jednak zbir njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih članova od 8 do 14, a zatim njihovo sekvencijalno zbrajanje. Budući da postoji nekoliko termina, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se da se ovaj problem riješi drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n>m cijeli brojevi. Napišimo dva izraza za zbir za oba slučaja:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n> m, očito je da 2 zbroja uključuje prvu. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih suma, i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od sume S n), onda dobijamo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). U ovom izrazu potrebno je zamijeniti formule za a n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultirajuća formula je pomalo glomazna; ipak, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.

Kao što se vidi iz datih rješenja, svi zadaci se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego što nastavite s rješavanjem bilo kojeg od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate stanje, jasno shvatite šta je potrebno pronaći i tek onda prijeći na rješenje.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem # 6, moglo bi se stati na formuli S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, i prekinuti opšti problem u zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite članove an i am).

Ako postoji sumnja u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je to učinjeno u nekim od navedenih primjera. Shvatili smo kako pronaći aritmetičku progresiju. Ako to shvatite, nije tako teško.