Figura ograničena grafikom neprekidne nenegativne funkcije $f(x)$ na segmentu $$ i linijama $y=0, \ x=a$ i $x=b$ naziva se krivolinijski trapez.
Površina odgovarajućeg krivolinijskog trapeza izračunava se po formuli:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Uvjetno ćemo podijeliti probleme za pronalaženje površine krivolinijskog trapeza na tipove od 4$. Pogledajmo svaku vrstu detaljnije.
Tip I: zakrivljeni trapez je eksplicitno specificiran. Zatim odmah primijenite formulu (*).
Na primjer, pronađite površinu krivolinijskog trapeza ograničenu grafom funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ i linijama $y=0, \ x=1$ i $x =3$.
Nacrtajmo ovaj zakrivljeni trapez.
Koristeći formulu (*), nalazimo površinu ovog krivolinijskog trapeza.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\levo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Tip II: zakrivljeni trapez je specificiran implicitno. U ovom slučaju, prave linije $x=a, \ x=b$ obično nisu specificirane ili su djelimično navedene. U ovom slučaju, morate pronaći točke presjeka funkcija $y=f(x)$ i $y=0$. Ove tačke će biti tačke $a$ i $b$.
Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=1-x^(2)$ i $y=0$.
Hajde da pronađemo tačke preseka. Da bismo to učinili, izjednačavamo desnu stranu funkcija.
Dakle, $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo ovaj zakrivljeni trapez.
Nađimo površinu ovog zakrivljenog trapeza.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \levo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Tip III: površina figure ograničena presjekom dvije neprekidne nenegativne funkcije. Ova brojka neće biti zakrivljeni trapez, što znači da ne možete izračunati njegovu površinu pomoću formule (*). Kako biti? Ispada da se površina ove figure može naći kao razlika između površina krivolinijskih trapeza ograničenih gornjom funkcijom i $y=0$ ($S_(uf)$), i niža funkcija i $y=0$ ($S_(lf)$), pri čemu ulogu $x=a, \ x=b$ imaju $x$ koordinate presječnih tačaka ovih funkcija, tj.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Najvažnija stvar pri izračunavanju takvih površina je da ne “promašite” sa izborom gornje i donje funkcije.
Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu funkcijama $y=x^(2)$ i $y=x+6$.
Nađimo tačke preseka ovih grafova:
Prema Vietovoj teoremi,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
To jest, $a=-2,\b=3$. Nacrtajmo figuru:
Dakle, gornja funkcija je $y=x+6$, a donja funkcija je $y=x^(2)$. Zatim pronalazimo $S_(uf)$ i $S_(lf)$ koristeći formulu (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\levo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (jedinice$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Zamijenimo ono što smo pronašli u (**) i dobićemo:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jedinice$^(2)$).
Tip IV: površina figure ograničena funkcijom(ama) koja ne zadovoljava uvjet nenegativnosti. Da biste pronašli površinu takve figure, morate biti simetrični oko ose $Ox$ ( drugim riječima, stavite "minuse" ispred funkcija) prikažite područje i, koristeći metode navedene u tipovima I – III, pronađite površinu prikazane oblasti. Ovo područje će biti potrebno područje. Prvo, možda ćete morati pronaći točke presjeka grafova funkcija.
Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=x^(2)-1$ i $y=0$.
Nađimo točke presjeka grafova funkcija:
one. $a=-1$, i $b=1$. Nacrtajmo područje.
Prikažimo područje simetrično:
$y=0 \ \Strelica desno \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Strelica desno \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Rezultat je krivolinijski trapez omeđen grafom funkcije $y=1-x^(2)$ i $y=0$. Ovo je problem pronaći zakrivljeni trapez drugog tipa. Već smo to riješili. Odgovor je bio: $S= 1\frac(1)(3)$ (jedinice $^(2)$). To znači da je površina potrebnog krivolinijskog trapeza jednaka:
$S=1\frac(1)(3)$ (jedinice$^(2)$).
Površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu
Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na času sam rekao da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jedno korisna činjenica. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.
To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira određenu krivu na ravni (uvijek se može nacrtati po želji), a sam definitivni integral je numerički jednaka površini odgovarajući zakrivljeni trapez.
Primjer 1
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prvo i najvažniji trenutak rješenja - crtež. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.
Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija tačku po tačku, tehnika konstrukcije točka po tačku može se naći u referentnom materijalu.
Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):
Neću zasjeniti zakrivljeni trapez; ovdje je očito o kojem području je riječ. Rješenje se nastavlja ovako:
Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:
odgovor:
Ko ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule 
, pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja.
Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. IN u ovom slučaju"na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne stane u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.
Primjer 2
Izračunajte površinu figure ograničene linijama, , i osi
Ovo je primjer za nezavisna odluka. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?
Primjer 3
Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.
Rješenje: Napravimo crtež: 
Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose, tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju: 
Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijsko značenje, onda može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .
Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:
To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Bolje je ne koristiti ovu metodu, ako je moguće.
Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Tehnika građenja tačku po tačku za različite grafove detaljno je razmotrena u pomoći Grafovi i svojstva elementarne funkcije . Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.
Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež: 
Ponavljam da se pri konstruisanju po tačkama granice integracije najčešće otkrivaju „automatski“.
A sada radna formula: Ako na segmentu postoji neka kontinuirana funkcija veće ili jednako neke kontinuirane funkcije, tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:
Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od
Završeno rješenje može izgledati ovako:
Željena figura ograničena je parabolom iznad i pravom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:
odgovor:
Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule 
. Budući da je os određena jednadžbom, a graf funkcije se nalazi ispod ose, tada 
A sada par primjera za vlastito rješenje
Primjer 5
Primjer 6
Pronađite površinu figure ograničenu linijama , .
Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... pronađena je površina pogrešne figure, upravo ovako je nekoliko puta zeznuo tvoj ponizni sluga. Evo pravi slučaj iz života:
Primjer 7
Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .
Prvo napravimo crtež: 
Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se pojavi da morate pronaći površinu figure koja je zasjenjena zeleno!
Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:
1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;
2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.
Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
odgovor:
Primjer 8
Izračunajte površinu figure ograničene linijama,
Hajde da predstavimo jednačine u "školskom" obliku i napravimo crtež tačku po tačku: 
Iz crteža je jasno da je naša gornja granica „dobra“: .
Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to? Možda ? Ali gde je garancija da je crtež napravljen sa savršenom tačnošću, može se ispostaviti da... Ili korijen. Šta ako smo pogrešno napravili graf?
U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.
Nađimo tačke preseka prave i parabole.
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu: 
Dakle, .
Dalje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima, proračuni ovdje nisu najjednostavniji.
Na segmentu 
, prema odgovarajućoj formuli: 
odgovor: 
Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.
Primjer 9
Izračunajte površinu figure ograničene linijama , ,
Rješenje: Hajde da prikažemo ovu figuru na crtežu. 
Da biste nacrtali crtež tačku po tačku, morate znati izgled sinusoidi (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se naći u trigonometrijska tabela. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati šematski crtež, na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.
Ovdje nema problema sa granicama integracije, one slijede direktno iz uslova: “x” se mijenja od nule do “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:
Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle:
(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali iz trigonometrijske funkcije . Ovo je tipična tehnika, štipamo jedan sinus.
(2) Koristite osnovnu trigonometrijski identitet as 
(3) Promijenimo varijablu , tada:
Nove oblasti integracije:
Svi koji su stvarno loši sa zamjenama, neka izvuku lekciju. Metoda zamjene u neodređeni integral . Za one koji ne razumiju algoritam zamjene u određenom integralu, posjetite stranicu Definitivni integral. Primjeri rješenja.
U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili proučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.
Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:
- Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
- Sposobnost rješavanja određenog integrala korištenjem poznata formula Newton-Leibniz;
- Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
- Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.
Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:
1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.
2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke presjeka grafova međusobno i vidimo da li su naše grafičko rješenje sa analitičkim.
3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Hajde da razmotrimo različiti primjeri o pronalaženju površine figure pomoću integrala.
3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:
Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.
3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.
Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koji potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.
Članak nije dovršen.
Primjer1 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2
Konstruirajmo figuru (vidi sliku) Konstruiramo pravu liniju x + 2y – 4 = 0 koristeći dvije tačke A(4;0) i B(0;2). Izražavajući y kroz x, dobijamo y = -0,5x + 2. Koristeći formulu (1), gdje je f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, nalazimo
S = = [-0,25=11,25 sq. jedinice
Primjer 2. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 i y = 0.
Rješenje. Konstruirajmo figuru.
Konstruirajmo pravu liniju x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Konstruirajmo pravu liniju x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Nađimo tačku preseka pravih rešavanjem sistema jednačina:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Da bismo izračunali traženu površinu, trokut AMC podijelimo na dva trokuta AMN i NMC, jer kada se x promijeni iz A u N, površina je ograničena pravom linijom, a kada se x promijeni iz N u C - pravom linijom
Za trougao AMN imamo: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
Za trougao NMC imamo: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Izračunavanjem površine svakog trokuta i sabiranjem rezultata nalazimo:
sq. jedinice
sq. jedinice
9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metara. jedinice Provjerite: = 0,5AC = 0,5 sq. jedinice
Primjer 3. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
U ovom slučaju morate izračunati površinu zakrivljenog trapeza ograničenog parabolom y = x 2 , prave x = 2 i x = 3 i osa Ox (vidi sliku) Koristeći formulu (1) nalazimo površinu krivolinijskog trapeza
= = 6 sq. jedinice
Primjer 4. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - x 2 + 4 i y = 0
Konstruirajmo figuru. Tražena površina je zatvorena između parabole y = - x 2 + 4 i osa Ox.
Nađimo tačke preseka parabole sa Ox osom. Uz pretpostavku da je y = 0, nalazimo x = Budući da je ova figura simetrična oko ose Oy, izračunavamo površinu figure koja se nalazi desno od ose Oy i udvostručujemo dobijeni rezultat: = +4x]sq. jedinice 2 = 2 sq. jedinice
Primjer 5. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Ovdje morate izračunati površinu krivolinijskog trapeza ograničenog gornjom granom parabole 2 = x, osa Ox i prave linije x = 1 i x = 4 (vidi sliku)
Prema formuli (1), gdje je f(x) = a = 1 i b = 4, imamo = (= kvadratne jedinice.
Primjer 6 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Potrebna površina ograničena je poluvalom sinusoida i Ox osi (vidi sliku).
Imamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. jedinice
Primjer 7. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - 6x, y = 0 i x = 4.
Slika se nalazi ispod ose Ox (vidi sliku).
Stoga, njegovu površinu nalazimo pomoću formule (3)
= =
Primjer 8. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = i x = 2. Iz tačaka konstruirajte y = krivu (vidi sliku). Dakle, nalazimo površinu figure koristeći formulu (4)
Primjer 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Ovdje trebate izračunati površinu zatvorenu krugom x 2 + y 2 = r 2 , tj. površina kruga poluprečnika r sa centrom u početku. Nađimo četvrti dio ove oblasti uzimajući granice integracije od 0
prije; imamo: 1 = = [
dakle, 1 =
Primjer 10. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y= x 2 i y = 2x
Ova brojka je ograničena parabolom y = x 2 i prava y = 2x (vidi sliku) Da bismo odredili presečne tačke datih pravih, rešavamo sistem jednačina: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2
Koristeći formulu (5) za pronalaženje površine, dobijamo
= }
Učitavanje...