- apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem risti pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
- külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmnurgad, mis koonduvad tipus;
- külgmised ribid ( AS , BS , Cs , DS ) - külgpindade ühised küljed;
- püramiidi tipp (t. S) - külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
- kõrgus ( NII ) - risti segment, mis tõmmatakse läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
- püramiidi diagonaallõige- püramiidi osa, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
- alus (ABCD) - hulknurk, kuhu püramiidi tipp ei kuulu.
Püramiidi omadused.
1. Kui kõik külgribid on ühesuurused, siis:
- püramiidi aluse lähedal asuvat ringi on lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
- külgmised ribid moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad;
- pealegi kehtib ka vastupidi, st. kui külgservad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi püramiidi aluse lähedal ja püramiidi tipp on projitseeritud selle ringi keskpunkti, siis on kõigil püramiidi külgservadel sama suurus.
2. Kui külgpindade kaldenurk aluse tasapinna suhtes on sama suur, siis:
- püramiidi aluse lähedal asuvat ringi on lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
- külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
- külgpinna pindala on ½ aluse perimeetri korrutisest külgpinna kõrgusega.
3. Sfääri saab kirjeldada püramiidi lähedal, kui püramiidi põhjas asub hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskpunkte. Sellest teoreemist järeldame, et sfääri saab kirjeldada nii mis tahes kolmnurkse kui ka iga korrapärase püramiidi ümber.
4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.
Lihtsaim püramiid.
Nurkade arvu järgi jaguneb püramiidi põhi kolmnurkseks, nelinurkseks jne.
Püramiid tahe kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne - viiseeder ja nii edasi.
Kolmnurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on kolmnurk. Selle püramiidi kõrgus on risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle alusele.
Püramiidi kõrguse leidmine
Kuidas leida püramiidi kõrgust? Väga lihtne! Mis tahes kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks võite kasutada mahuvalemit: V = (1/3) Sh, kus S on aluse pindala, V on püramiidi ruumala, h on selle kõrgus. Sellest valemist tuletage kõrguse valem: kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks peate püramiidi ruumala korrutama 3-ga ja jagama saadud väärtuse aluse pindalaga, see on: h = (3V) / S. Kuna kolmnurkse püramiidi alus on kolmnurk, saate kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada valemit. Kui teame: kolmnurga S pindala ja selle külje z, siis pindalavalemiga S = (1/2) γh: h = (2S) / γ, kus h on püramiidi kõrgus, γ on kolmnurga serv; nurk kolmnurga külgede ja kahe külje vahel, siis järgmise valemiga: S = (1/2) γφsinQ, kus γ, φ on kolmnurga küljed, leiame kolmnurga pindala. Nurga Q siinuse väärtus tuleb leida siinustabelist, mis on Internetis kättesaadav. Järgmisena asendame pindala väärtuse kõrguse valemiga: h = (2S) / γ. Kui ülesanne nõuab kolmnurkpüramiidi kõrguse arvutamist, siis on püramiidi ruumala juba teada.
Regulaarne kolmnurkne püramiid
Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi, st püramiidi, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, kõrgus, teades serva γ väärtust. Sel juhul on püramiidi servad võrdkülgsete kolmnurkade küljed. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on: h = γ√ (2/3), kus γ on võrdkülgse kolmnurga serv, h on püramiidi kõrgus. Kui aluse pindala (S) on teadmata ja antud on vaid hulktahuka serva pikkus (γ) ja ruumala (V), siis tuleb eelmise sammu valemis vajalik muutuja asendada. selle ekvivalendiga, mida väljendatakse serva pikkusena. Kolmnurga pindala (tavaline) võrdub 1/4 selle kolmnurga külje pikkuse korrutisega 3 ruutjuurega. Asendage see valem aluse pindala asemel eelmine valem ja saame järgmise valemi: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). Tetraeedri ruumala saab väljendada selle serva pikkusega, siis saab joonise kõrguse arvutamise valemist eemaldada kõik muutujad ja jätta ainult kujundi kolmnurkse tahu külg. Sellise püramiidi ruumala saab arvutada, jagades selle tahu kuubipikkuse ruutjuurega 2 korrutisega 12-ga.
Asendades selle avaldise eelmise valemiga, saame arvutamiseks järgmise valemi: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2/3) = (1/3) γ√6. Samuti saab sfääri sisse kirjutada tavalise kolmnurkse prisma ja teades ainult sfääri raadiust (R), saate leida tetraeedri kõrguse. Tetraeedri serva pikkus on: γ = 4R / √6. Asendage muutuja γ selle avaldisega eelmises valemis ja saage valem: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Sama valemi võib saada teades tetraeedrisse kantud ringi raadiust (R). Sel juhul on kolmnurga serva pikkus 12 korda ruutjuur 6 ja raadius. Asendame selle avaldise eelmise valemiga ja saame: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.
Kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi kõrgust
Et vastata küsimusele, kuidas leida püramiidi kõrguse pikkust, peate teadma sada sellist tavalist püramiidi. Nelinurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on nelinurk. Kui ülesande tingimustes on meil: püramiidi ruumala (V) ja aluse pindala (S), siis on hulktahuka kõrguse (h) arvutamise valem järgmine - jagage maht korrutatuna 3-ga pindalaga S: h = (3V) / S. Kui püramiidi ruudukujuline alus on teada: antud ruumala (V) ja küljepikkus γ, asendage ala (S) eelmises valemis külje pikkuse ruuduga: S = γ 2; H = 3 V / γ 2. Korrapärase püramiidi kõrgus h = SO läbib täpselt ringi keskpunkti, mida kirjeldatakse aluse lähedal. Kuna selle püramiidi alus on ruut, on punkt O diagonaalide AD ja BC ristumiskoht. Meil on: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Edasi leiame täisnurksest kolmnurgast SOC (Pythagorase teoreemi järgi): SO = √ (SC 2 -OC 2). Nüüd teate, kuidas leida õige püramiidi kõrgus.
Õpilased seisavad silmitsi püramiidi kontseptsiooniga juba ammu enne geomeetria õppimist. Selle põhjuseks on kuulsad suured Egiptuse maailmaimed. Seetõttu kujutab enamik õpilasi selle imelise hulktahuka uurimist alustades seda juba selgelt ette. Kõik eelnimetatud maamärgid on õige kujuga. Mis on juhtunud õige püramiid, ja millised omadused sellel on ning sellest räägitakse edaspidi.
Kokkupuutel
Definitsioon
Püramiidi määratlusi on palju. Alates iidsetest aegadest on see nautinud suurt populaarsust.
Näiteks defineeris Euclid seda kui kehakuju, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.
Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see oli kuju, kes sellel on alus ja tasapinnad kolmnurkade kujul, koonduvad ühel hetkel.
Kaasaegse tõlgenduse põhjal on püramiid kujutatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurkse kujuga kujundist, millel on üks ühine punkt.
Mõtleme selle üksikasjalikumalt välja, millistest elementidest see koosneb:
- K-gooni peetakse joonise aluseks;
- 3-poolsed figuurid on külgmise osa küljed;
- ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse ülaosaks;
- kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
- kui sirgjoon on ülaosast 90-kraadise nurga all joonise tasapinnale langetatud, on selle siseruumi suletud osaks püramiidi kõrgus;
- igas külgmises elemendis saab meie hulktahuka külje külge tõmmata risti, mida nimetatakse apoteemiks.
Servade arv arvutatakse valemiga 2 * k, kus k on k-nurga külgede arv. Mitmetahulise hulktahu, näiteks püramiidi tahku saab määrata avaldise k + 1 abil.
Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasapinnaks on võrdsete külgedega k-gon.
Põhiomadused
Õige püramiid omab palju omadusi, mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:
- Alus on korrapärase kujuga kujund.
- Püramiidi servad, mis piirasid külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
- Külgmised elemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
- Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskpunkti, samal ajal on see sisse kirjutatud ja kirjeldatava keskpunktiks.
- Kõik külgmised ribid on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
- Kõikidel külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.
Kõik need omadused muudavad liikmete arvutuste tegemise palju lihtsamaks. Ülaltoodud omaduste põhjal juhime tähelepanu kaks märki:
- Kui hulknurk mahub ringi, on külgpinnad alusega võrdsed nurgad.
- Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust väljuvad püramiidi servad sama pikkusega ja võrdsete nurkade all alusega.
See põhineb ruudul
Regulaarne nelinurkne püramiid - ruudul põhinev hulktahukas.
Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.
Tasapinnal on kujutatud ruut, kuid need põhinevad kõigil korrapärase nelinurga omadustel.
Näiteks kui peate ühendama ruudu külje selle diagonaaliga, kasutage järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.
See põhineb tavalisel kolmnurgal
Regulaarne kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille põhjas on tavaline 3-nurkne.
Kui alus on korrapärane kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.
Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:
- ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
- kõigi sisemiste servade suurus on samuti 60 kraadi;
- mis tahes tahk võib toimida alusena;
- joonise sees on võrdsed elemendid.
Hulktahuka lõiked
Igas hulktahukas on neid mitut tüüpi sektsiooni lennuk. Sageli töötatakse kooli geomeetria kursusel kaks:
- aksiaalne;
- paralleelselt.
Telglõige saadakse siis, kui hulktahukas tasapind lõikub tipu, külgservade ja teljega. Sel juhul on teljeks ülalt tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.
Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.
Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, on tulemuseks teine variant. Sel juhul on meil alusega sarnane ristlõike joonis.
Näiteks kui aluses on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksema suurusega.
Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutatakse jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil... Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.
Kui tasapind on alusega paralleelne ja see lõikab ära hulktahuka ülemise osa, siis saadakse alumisse ossa korrapärane kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka tüved on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgpinnad võrdhaarsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.
Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja joonestada kõrgus telglõikes ehk trapetsis.
Pinnaalad
Peamised geomeetriaülesanded, mida tuleb kooli geomeetria kursusel lahendada, on püramiidi pindala ja ruumala leidmine.
Pindala väärtusi on kahte tüüpi:
- külgmiste elementide pindala;
- kogu pinna pindala.
Nimest endast on aru saada, millega tegu. Külgpind sisaldab ainult külgelemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:
- Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str = 1/2 (aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
- Külgtasandite arv sõltub k-nda goni tüübist aluses. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad S pool = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * L. Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus 4a = Rosn, kus Rosn on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2 * Rosn on selle poolperimeeter.
- Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgelementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri korrutisega apoteemiga: Sbok = Rosn * L.
Püramiidi kogupindala koosneb külgtasandite ja aluse pindalade summast: Sp.p. = Sside + Sbase.
Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.
Tavalise püramiidi ruumala võrdub põhitasandi pindala korrutisega kõrgusega, jagatud kolmega: V = 1/3 * Sbase * H, kus H on hulktahuka kõrgus.
Mis on geomeetrias õige püramiid
Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused
Definitsioon
Püramiid on hulktahukas, mis koosneb hulknurgast \ (A_1A_2 ... A_n \) ja \ (n \) kolmnurgast, mille tipp on \ (P \) (mis ei asu hulknurga tasapinnal) ja mille vastasküljed langevad kokku hulknurk.
Nimetus: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Näide: viisnurkne püramiid \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).
Kolmnurgad \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) jne. kutsutakse külgmised näod püramiidid, segmendid \ (PA_1, PA_2 \) jne. - külgmised ribid, hulknurk \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - alus, punkt \ (P \) - tipp.
Kõrgus püramiidid on risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse tasapinnaga.
Püramiidi, mille põhjas on kolmnurk, nimetatakse tetraeeder.
Püramiidi nimetatakse õige kui selle alus on tavaline hulknurk ja üks järgmistest tingimustest on täidetud:
\ ((a) \) püramiidi külgservad on võrdsed;
\ (b) \) püramiidi kõrgus läbib aluse lähedal kirjeldatud ringi keskpunkti;
\ (c) \) külgmised ribid on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
\ ((d) \) külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
Regulaarne tetraeeder- see on kolmnurkne püramiid, mille kõik tahud on võrdsed võrdkülgsed kolmnurgad.
Teoreem
Tingimused \ ((a), (b), (c), (d) \) on samaväärsed.
Tõestus
Joonistame püramiidi kõrguse \ (PH \). Olgu \ (\ alfa \) püramiidi aluse tasapind.
1) Tõestame, et \ ((a) \) eeldab \ ((b) \). Olgu \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).
Sest \ (PH \ perp \ alfa \), siis \ (PH \) on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgjoonega, seega on kolmnurgad ristkülikukujulised. Seega on need kolmnurgad võrdsed ühises jalas \ (PH \) ja hüpotenuusides \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Seega \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Seega on punktid \ (A_1, A_2, ..., A_n \) punktist \ (H \) samal kaugusel, seega asuvad nad samal ringil raadiusega \ (A_1H \). Definitsiooni järgi on see ring ümbritsetud hulknurga \ (A_1A_2 ... A_n \) ümber.
2) Tõestame, et \ ((b) \) eeldab \ ((c) \).
\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) ristkülikukujuline ja võrdne kahe jalaga. Seega on ka nende nurgad võrdsed, seega \ (\ nurk PA_1H = \ nurk PA_2H = ... = \ nurk PA_nH \).
3) Tõestame, et \ ((c) \) eeldab \ ((a) \).
Sarnaselt esimese punktiga kolmnurgad \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) ristkülikukujuline ja piki jalga ja teravnurk. See tähendab, et ka nende hüpotenuusid on võrdsed, st \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).
4) Tõestame, et \ ((b) \) eeldab \ ((d) \).
Sest korrapärases hulknurgas langevad ümberringjoone ja siseringjoone keskpunktid kokku (üldiselt nimetatakse seda punkti korrapärase hulknurga keskpunktiks), siis \ (H \) on ümberringjoone keskpunkt. Joonistame punktist \ (H \) aluse külgedele ristid: \ (HK_1, HK_2 \) jne. Need on sisse kirjutatud ringi raadiused (definitsiooni järgi). Seejärel vastavalt TTP-le (\ (PH \) - tasapinnaga risti, \ (HK_1, HK_2 \) jne - külgedega risti olevad projektsioonid) kaldus \ (PK_1, PK_2 \) jne. risti külgedega \ (A_1A_2, A_2A_3 \) jne. vastavalt. Seega definitsiooni järgi \ (\ nurk PK_1H, \ nurk PK_2H \) võrdne külgpindade ja aluse vaheliste nurkadega. Sest kolmnurgad \ (PK_1H, PK_2H, ... \) on võrdsed (ristkülikukujulisena kahes harus), siis nurgad \ (\ nurk PK_1H, \ nurk PK_2H, ... \) on võrdsed.
5) Tõestame, et \ ((d) \) eeldab \ ((b) \).
Sarnaselt neljanda punktiga on kolmnurgad \ (PK_1H, PK_2H, ... \) võrdsed (ristkülikukujulised haru ja teravnurgaga), seega on lõigud \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) võrdsed. Seega on definitsiooni järgi \ (H \) ringi keskpunkt, mis on kirjutatud alusele. Aga kuna korrapäraste hulknurkade korral langevad ümberringjoone keskpunktid ja ümberringjoone keskpunktid kokku, siis \ (H \) on ümberringjoone keskpunkt. Thtd.
Tagajärg
Tavalise püramiidi külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.
Definitsioon
Tavalise püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem.
Korrapärase püramiidi kõigi külgpindade apoteemid on üksteisega võrdsed ning on ka mediaanid ja poolitajad.
Olulised märkused
1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse kõrguste (ehk poolitajate ehk mediaanide) lõikepunkti (alus on korrapärane kolmnurk).
2. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunkti (alus on ruut).
3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunkti (alus on korrapärane kuusnurk).
4. Püramiidi kõrgus on risti mis tahes aluses oleva sirgjoonega.
Definitsioon
Püramiidi nimetatakse ristkülikukujuline kui selle üks külgserv on risti aluse tasapinnaga.
Olulised märkused
1. Ristkülikukujulisel püramiidil on põhjaga risti olev serv püramiidi kõrgus. See tähendab, et \ (SR \) on kõrgus.
2. Sest \ (SR \) on risti mis tahes sirgjoonega alusest, siis \ (\ kolmnurk SRM, \ kolmnurk SRP \)- täisnurksed kolmnurgad.
3. Kolmnurgad \ (\ kolmnurk SRN, \ kolmnurk SRK \)- ka ristkülikukujuline.
See tähendab, et iga kolmnurk, mille moodustab see serv ja diagonaal, mis ulatub selle serva tipust, mis asub aluses, on ristkülikukujuline.
\ [(\ Suur (\ tekst (püramiidi maht ja pindala))) \]
Teoreem
Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga püramiidi põhipinna korrutisest püramiidi kõrgusega: \
Tagajärjed
Olgu \ (a \) aluse külg, \ (h \) püramiidi kõrgus.
1. Korrapärase kolmnurkpüramiidi ruumala on \ (V _ (\ tekst (parempoolne kolmnurkne pür.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),
2. Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala on \ (V _ (\ tekst (parempoolne neli pür.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).
3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala on \ (V _ (\ tekst (parem kuueteistkümnend)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).
4. Korrapärase tetraeedri ruumala on \ (V _ (\ tekst (parempoolne tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).
Teoreem
Tavalise püramiidi külgpindala on võrdne aluse perimeetri poolkorrutisega apoteemi järgi.
\ [(\ Suur (\ tekst (kärbitud püramiid))) \]
Definitsioon
Vaatleme suvalist püramiidi \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Joonestame püramiidi põhjaga paralleelse tasapinna läbi punkti, mis asub püramiidi külgserval. See tasapind jagab püramiidi kaheks hulktahukaks, millest üks on püramiid (\ (PB_1B_2 ... B_n \)) ja teine on nn. kärbitud püramiid(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).
Kärbitud püramiidil on kaks alust – hulknurgad \ (A_1A_2 ... A_n \) ja \ (B_1B_2 ... B_n \), mis on üksteisega sarnased.
Tüvipüramiidi kõrgus on ülemise aluse mingist punktist tõmmatud risti alumise aluse tasapinnaga.
Olulised märkused
1. Kõik kärbitud püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised.
2. Korrapärase tüvipüramiidi (st korrapärase püramiidi lõikamisel saadud püramiidi) aluste keskpunkte ühendav segment on kõrgus.
Siit leiate põhiteavet püramiidide ning nendega seotud valemite ja mõistete kohta. Neid kõiki õpitakse eksamiks valmistudes matemaatikajuhendaja käe all.
Mõelge tasapinnale, hulknurgale 
selles lamamine ja punkt S, mis selles ei lama. Ühendage S hulknurga kõigi tippudega. Saadud hulktahukat nimetatakse püramiidiks. Joonelõike nimetatakse külgribideks. Hulknurka nimetatakse püramiidi põhjaks ja punkti S püramiidi tipuks. Sõltuvalt arvust n nimetatakse püramiidi kolmnurkseks (n = 3), nelinurkseks (n = 4), püramiidiks (n = 5) jne. Kolmnurkse püramiidi alternatiivne nimi on tetraeeder... Püramiidi kõrgust nimetatakse risti, mis on langetatud selle tipust aluse tasapinnale. 
Püramiidi nimetatakse õigeks, kui korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrguse alus (risti alus) on selle keskpunkt.
Juhendaja kommentaar:
Ärge ajage segi mõisteid "tavaline püramiid" ja "õige tetraeedr". Tavalises püramiidis ei pruugi külgservad olla võrdsed aluse servadega, kuid tavalises tetraeedris on kõik 6 serva serva võrdsed. See on tema määratlus. Lihtne on tõestada, et võrdsus eeldab hulknurga keskpunkti P kokkulangemist kõrguse alusega, seega on tavaline tetraeedr korrapärane püramiid.
Mis on Apothema?
Püramiidi apoteem on selle külgpinna kõrgus. Kui püramiid on õige, on kõik selle apoteemid võrdsed. Vastupidine ei vasta tõele. 
Matemaatika juhendaja oma terminoloogiast: töö püramiididega on 80% üles ehitatud kahte tüüpi kolmnurkade kaudu:
1) Sisaldab apoteemi SK ja kõrgust SP
2) Sisaldab külgserva SA ja selle projektsiooni PA 
Nendele kolmnurkadele viitamise lihtsustamiseks on matemaatikaõpetajal mugavam helistada neist esimene apoteemiline, ja teiseks rannikuala... Kahjuks ei leia seda terminoloogiat ühestki õpikust ja õpetaja peab selle ühepoolselt sisestama.
Püramiidi ruumala valem:
1) 
, kus on püramiidi aluse pindala ja püramiidi kõrgus
2), kus on sisse kirjutatud sfääri raadius ja püramiidi kogupindala.
3) 
, kus MN on mis tahes kahe ristumisserva kaugus ja on rööpküliku pindala, mille moodustavad ülejäänud nelja serva keskpunktid.
Püramiidi kõrguse põhiomadus:
Punkt P (vt joonis) langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) Kõik apoteemid on võrdsed
2) Kõik külgpinnad on aluse poole võrdselt kallutatud
3) Kõik apoteemid on püramiidi kõrgusele võrdselt kaldu
4) Püramiidi kõrgus on kõigi külgpindade suhtes võrdselt kaldu
Matemaatika juhendaja kommentaar: Pange tähele, et kõigil punktidel on üks ühine omadus: nii või teisiti on kõikjal kaasatud külgpinnad (apoteemid on nende elemendid). Seetõttu võib juhendaja pakkuda vähem täpset, kuid meeldejätmiseks mugavamat sõnastust: punkt P langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui selle külgpindade kohta on võrdne teave. Selle tõestamiseks piisab, kui näidata, et kõik apoteemilised kolmnurgad on võrdsed.
Punkt P ühtib püramiidi aluse lähedal kirjeldatud ringi keskpunktiga, kui on tõene üks kolmest tingimusest:
1) Kõik külgmised servad on võrdsed
2) Kõik külgmised ribid on võrdselt aluse poole kaldu
3) Kõik külgmised ribid on võrdselt kõrgusele kaldu
Laadimine ...