Kõige rohkem ekv. praktikas tuleb kasutada aritmeetilist keskmist, mida saab arvutada lihtsa ja kaalutud aritmeetilise keskmisena.
Aritmeetiline keskmine (CA)-n Kõige tavalisem meediumitüüp. Seda kasutatakse juhtudel, kui kogu populatsiooni muutuja tunnuse maht on selle üksikute ühikute omaduste väärtuste summa. Sotsiaalsete nähtuste puhul on iseloomulik varieeruva atribuudi mahtude liitsus (summeerimine), mis määrab KA rakendusala ja selgitab selle levimust üldistava näitajana, Näiteks: üldine palgafond on kõigi töötajate töötasude summa.
CA arvutamiseks peate jagama kõigi iseloomulike väärtuste summa nende arvuga. CA-d rakendatakse kahel kujul.
Kõigepealt kaaluge lihtsat aritmeetilist keskmist.
1-CA lihtne (esialgne, määrav vorm) võrdub keskmistatud atribuudi üksikute väärtuste lihtsummaga, mis on jagatud nende väärtuste koguarvuga (kasutatakse, kui atribuudil on rühmitamata ind.väärtused):
Tehtud arvutused saab kokku võtta järgmise valemiga:
(1)
kus 
- muutuva tunnuse keskmine väärtus, st lihtne aritmeetiline keskmine;
tähendab summeerimist, st üksikute tunnuste liitmist;
x- muutuva tunnuse individuaalsed väärtused, mida nimetatakse variantideks;
n - rahvastikuüksuste arv
Näide1, on vaja leida ühe töölise (lukksepa) keskmine toodang, kui on teada, mitu detaili igaüks 15 töölisest valmistas, s.o. hulk ind. atribuudi väärtused, tk .: 21; kakskümmend; kakskümmend; 19; 21; 19; kaheksateist; 22; 19; kakskümmend; 21; kakskümmend; kaheksateist; 19; kakskümmend.
CA simple arvutatakse valemiga (1), tk .:
Näide2... Arvutame KA tinglike andmete põhjal 20 kaubandusettevõttesse kaasatud kaupluse kohta (tabel 1). Tabel 1
Kaubandusettevõtte Vesna kaupluste jaotus kaubanduspindade kaupa, ruutmeetrit. M
|
Kauplus nr. |
Kauplus nr. | ||
Poe keskmise pindala arvutamiseks ( 
) tuleb liita kõigi kaupluste pindalad ja jagada tulemus kaupluste arvuga:
Seega on selle kaubandusettevõtete rühma keskmine kaupluse pind 71 ruutmeetrit.
Seetõttu peate CA lihtsa määramiseks jagama antud atribuudi kõigi väärtuste summa selle atribuudiga ühikute arvuga.
2
kus f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
kaal (samade märkide kordumise sagedus); - tunnuste sageduse korrutiste summa; – üksuste koguarv populatsioonis.
(2)
Kus NS- valikuvõimalused;
f- sagedus (kaal).
Kaalutud SA on variantide ja neile vastavate sageduste korrutiste summa jagamine kõigi sageduste summaga. Sagedused ( f CA valemis esinevaid ) nimetatakse tavaliselt kaalud, mille tulemusel kaalude arvestamisel arvutatud CA nimetatakse kaalutuks.
Illustreerime kaalutud CA arvutamise tehnikat ülaltoodud näite 1 abil. Selleks rühmitame lähteandmed ja paigutame need tabelisse.
Grupeeritud andmete keskmine määratakse järgmiselt: esmalt korrutatakse valikud sagedustega, seejärel liidetakse korrutised ja saadud summa jagatakse sageduste summaga.
Vastavalt valemile (2) on kaalutud CA võrdne, tk .: 
NS
Vesna kaupluste jaotus kaubanduspindade kaupa, ruut. m
Seega on tulemus sama. See on aga juba kaalutud aritmeetiline keskmine väärtus.
Eelmises näites arvutasime aritmeetilise keskmise eeldusel, et absoluutsed sagedused (poe arv) on teada. Kuid paljudel juhtudel puuduvad absoluutsed sagedused, kuid suhtelised sagedused on teada või, nagu neid tavaliselt nimetatakse, sagedused, mis näitavad osa või sageduste osakaal kogu elanikkonnast.
CA kaalutud kasutuse arvutamisel sagedused võimaldab teil arvutusi lihtsustada, kui sagedust väljendatakse suurte mitmekohaliste numbritega. Arvutamine toimub samamoodi, kuid kuna keskmist suurendatakse 100-ga, tuleks tulemus jagada 100-ga.
Siis näeb aritmeetilise kaalutud keskmise valem välja järgmine:
kus d- sagedus, st. iga sageduse osatähtsus kõigi sageduste kogusummas.
(3)Meie näites 2 määrame esmalt kaupluste osakaalu gruppide kaupa ettevõtte "Vesna" kaupluste koguarvust. Seega vastab esimese rühma erikaal 10% 
... Saame järgmised andmed Tabel3
Mis on aritmeetiline keskmine
Mitme suuruse aritmeetiline keskmine on nende suuruste summa ja nende arvu suhe.
Teatud arvude jada aritmeetiline keskmine on kõigi nende arvude summa, jagatud liikmete arvuga. Seega on aritmeetiline keskmine arvurea keskmine.
Mis on mitme arvu aritmeetiline keskmine? Ja need on võrdsed nende arvude summaga, mis jagatakse selles summas olevate liikmete arvuga.
Kuidas leida aritmeetiline keskmine
Mitme arvu aritmeetilise keskmise arvutamises või leidmises pole midagi keerulist, piisab kõigi esitatud arvude liitmisest ja saadud summa jagamisest liikmete arvuga. Tulemuseks on nende arvude aritmeetiline keskmine.
Vaatame seda protsessi lähemalt. Mida me peame tegema, et arvutada aritmeetiline keskmine ja saada selle arvu lõpptulemus.
Esiteks, selle arvutamiseks peate määrama numbrite komplekti või nende arvu. See komplekt võib sisaldada suuri ja väikeseid numbreid ning nende arv võib olla ükskõik milline.
Teiseks tuleb kõik need arvud nende summa saamiseks liita. Loomulikult, kui arvud on lihtsad ja nende arv on väike, saab arvutused teha käsitsi üles kirjutades. Ja kui numbrite komplekt on muljetavaldav, siis on parem kasutada kalkulaatorit või arvutustabelit.
Ja neljandaks tuleb liitmisel saadud summa jagada arvude arvuga. Selle tulemusena saame tulemuse, mis on selle seeria aritmeetiline keskmine.
Mille jaoks on aritmeetiline keskmine?
Aritmeetiline keskmine võib olla kasulik mitte ainult matemaatikatundide näidete ja ülesannete lahendamisel, vaid ka muudel inimese igapäevaelus vajalikel eesmärkidel. Sellisteks otstarveteks võib olla aritmeetilise keskmise arvutamine, et arvutada välja keskmine rahaline kulu kuus või arvutada teel veedetud aeg, ka selleks, et välja selgitada külastatavus, tootlikkus, liikumiskiirus, saagikus ja palju muud.
Proovime näiteks välja arvutada, kui palju aega kulub teil kooli jõudmiseks. Iga kord kooli minnes või koju naastes veedad teel erinevat aega, sest kui sul on kiire, siis läheb kiiremini ja seetõttu kulub teele vähem aega. Kuid koju naastes võite minna aeglaselt, suheldes klassikaaslastega, imetledes loodust ja seetõttu kulub teel rohkem aega.
Seetõttu ei saa te teel veedetud aega täpselt määrata, kuid tänu aritmeetilisele keskmisele saate ligikaudu teada teel veedetud aja.
Oletame, et esimesel päeval pärast nädalavahetust veetsite teel kodust kooli viisteist minutit, teisel päeval võttis teekond kakskümmend minutit, kolmapäeval läbisite distantsi kahekümne viie minutiga, sama ajaga tegid teed neljapäeval ja reedel sul polnud kiiret ja naasid pooleks tunniks.
Leiame kõigi viie päeva aritmeetilise keskmise, lisades aja. Niisiis,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Nüüd jagame selle summa päevade arvuga
Selle meetodi abil õppisite, et teekond kodust kooli võtab teie ajast umbes kakskümmend kolm minutit.
Kodutöö
1. Kasutage mõnda lihtsat arvutust, et leida oma klassi õpilaste arvu aritmeetiline keskmine nädalas.
2. Leidke aritmeetiline keskmine:
3. Lahendage probleem:
Kui statsionaarse juhusliku protsessi arvude hulga elementide arv kaldub lõpmatuseni, kaldub aritmeetiline keskmine juhusliku suuruse matemaatilisele ootusele.
Sissejuhatus
Tähistame arvude hulka X = (x 1 , x 2 , …, x n), siis valimi keskmist tähistatakse tavaliselt horisontaalse ribaga muutuja kohal (hääldatakse " x joonega").
Kreeka tähte μ kasutatakse tavaliselt kogu numbrikomplekti aritmeetilise keskmise tähistamiseks. Juhusliku muutuja puhul, mille keskmine väärtus on määratud, on μ tõenäosuslik keskmine või juhusliku suuruse matemaatiline ootus. Kui komplekt X on juhuslike arvude kogum, mille tõenäosuslik keskmine on μ, siis mis tahes valimi jaoks x i sellest kogumist μ = E ( x i) on selle valimi matemaatiline ootus.
Praktikas on erinevus μ ja x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))μ on tüüpiline muutuja, kuna näete pigem valimit kui kogu populatsiooni. Seega, kui valim esitada juhuslikult (tõenäosusteooria mõttes), siis x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(kuid mitte μ) saab käsitleda kui juhuslikku suurust, mille tõenäosusjaotus valimil (keskmise tõenäosusjaotus).
Mõlemad kogused arvutatakse samal viisil:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ kuvastiil (\ riba (x)) = (\ frac (1) (n)) \ summa _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)Näited
- Kolme arvu puhul lisage need ja jagage 3-ga:
- Nelja numbri puhul lisage need ja jagage 4-ga:
Pidev juhuslik suurus
Kui on mingi funktsiooni integraal f (x) (\ displaystyle f (x))üks muutuja, siis selle funktsiooni aritmeetiline keskmine lõigul [a; b] (\ displaystyle) defineeritud läbi kindla integraali:
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)See tähendab, et b> a. (\ displaystyle b> a.)
Mõned keskmise kasutamise probleemid
Tugevuse puudumine
Kuigi aritmeetilist keskmist kasutatakse sageli keskmiste või keskmiste trendidena, ei ole see kindel statistika, mis tähendab, et aritmeetilist keskmist mõjutavad tugevalt "suured kõrvalekalded". Tähelepanuväärne on see, et suure kaldsuse koefitsiendiga jaotuste puhul ei pruugi aritmeetiline keskmine vastata mõistele "keskmine" ja tugeva statistika keskmised väärtused (näiteks mediaan) võivad keskmist trendi paremini kirjeldada.
Klassikaline näide on keskmise sissetuleku arvutamine. Aritmeetilist keskmist võib valesti tõlgendada kui mediaani, millest võib järeldada, et suurema sissetulekuga inimesi on rohkem, kui nad tegelikult on. “Keskmist” sissetulekut tõlgendatakse nii, et enamiku inimeste sissetulek on selle numbri lähedal. See "keskmine" (aritmeetilise keskmise tähenduses) sissetulek on suurem kui enamiku inimeste sissetulek, kuna kõrge sissetulek suure kõrvalekaldega keskmisest muudab aritmeetilise keskmise tugevalt viltu (seevastu mediaansissetulek "vastupanu") selline eelarvamus). See “keskmine” sissetulek ei ütle aga midagi mediaansissetuleku lähedase inimeste arvu kohta (ega ei ütle midagi modaalse sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta). Sellegipoolest, kui võtta kergekäeliselt mõisteid "keskmine" ja "enamus inimesi", võite teha vale järelduse, et enamiku inimeste sissetulek on suurem, kui nad tegelikult on. Näiteks Washingtoni osariigi Medina "keskmise" netosissetuleku aruanne, mis arvutatakse kõigi elanike aasta netosissetulekute aritmeetilise keskmisena, annaks Bill Gatesi tõttu üllatavalt suure arvu. Vaatleme näidist (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeetiline keskmine on 3,17, kuid viis väärtust kuuest on sellest keskmisest madalamad.
Liitintress
Kui numbrid korrutada, kuid mitte voltida, peate kasutama geomeetrilist, mitte aritmeetilist keskmist. Kõige sagedamini juhtub see juhtum finantsinvesteeringute tasuvuse arvutamisel.
Näiteks kui aktsiad langesid esimesel aastal 10% ja kasvasid teisel aastal 30%, siis on vale arvutada nende kahe aasta “keskmist” kasvu aritmeetilise keskmisena (-10% + 30%). / 2 = 10%; õige keskmise annab sel juhul kumulatiivne aastane kasvumäär, mille juures on aastane kasv vaid umbes 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Põhjus on selles, et protsentidel on iga kord uus lähtepunkt: 30% on 30%. numbrist, mis on väiksem kui esimese aasta alguses: kui aktsia oli alguses 30 dollaril ja langes 10%, siis teise aasta alguses on see 27 dollarit. Kui aktsia kallineb 30%, on selle väärtus teise aasta lõpus 35,1 dollarit. Selle kasvu aritmeetiline keskmine on 10%, kuid kuna aktsia on 2 aastaga vaid 5,1 dollarit, annab keskmine 8,2% tõus lõpptulemuseks 35,1 dollarit:
[30 dollarit (1–0,1) (1 + 0,3) = 30 dollarit (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 dollarit]. Kui kasutame samamoodi 10% aritmeetilist keskmist, ei saa me tegelikku väärtust: [$ 30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $ 36,3].
Liitintress 2. aasta lõpus: 90% * 130% = 117%, see tähendab kokku 17% tõus ja keskmine aastane liitintress 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ ligikaudu 108,2 \%), see tähendab, et aasta keskmine kasv on 8,2%.
Juhised
Peamine artikkel: Sihtkoha statistika
Mõne tsükliliselt muutuva muutuja (näiteks faasi või nurga) aritmeetilise keskmise arvutamisel tuleks olla eriti ettevaatlik. Näiteks on numbrite 1 ja 359 keskmine 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ kuvastiil (\ frac (1 ^ (\ ring) +359 ^ (\ ring)) (2)) =) 180. See number on vale kahel põhjusel.
Tsüklilise muutuja keskmine väärtus, mis on arvutatud ülaltoodud valemi abil, nihutatakse kunstlikult tegelikust keskmisest numbrivahemiku keskkoha suunas. Seetõttu arvutatakse keskmist teistmoodi, nimelt valitakse keskmiseks kõige väiksema dispersiooniga arv (keskpunkt). Samuti kasutatakse lahutamise asemel modulaarset kaugust (st ümbermõõdu kaugust). Näiteks mooduli kaugus 1 ° ja 359 ° vahel on 2 °, mitte 358 ° (ringil vahemikus 359 ° kuni 360 ° == 0 ° - üks kraad, vahemikus 0 ° kuni 1 ° - ka 1 °, kokku -2 °).
Kolm last läksid metsa marjule. Vanem tütar leidis 18 marja, keskmine - 15 ja noorem vend - 3 marja (vt joon. 1). Nad tõid marjad mu emale, kes otsustas marjad võrdselt ära jagada. Mitu marju sai iga laps?
Riis. 1. Probleemi illustratsioon
Lahendus
(yag.) - lapsed kogusid kõike
2) Jagage marjade koguarv laste arvuga:
(yag.) sai iga lapse
Vastus: iga laps saab 12 marja.
Ülesandes 1 on vastuses saadud arv aritmeetiline keskmine.
Aritmeetiline keskmine mitut arvu nimetatakse jagatiseks, mis jagatakse nende arvude summa nende arvuga.
Näide 1
Meil on kaks arvu: 10 ja 12. Leidke nende aritmeetiline keskmine.
Lahendus
1) Määrake nende arvude summa:.
2) Nende arvude arv on 2, seega on nende arvude aritmeetiline keskmine:.
Vastus: 10 ja 12 aritmeetiline keskmine on 11.
Näide 2
Meil on viis arvu: 1, 2, 3, 4 ja 5. Leidke nende aritmeetiline keskmine.
Lahendus
1) Nende arvude summa on:.
2) Definitsiooni järgi on aritmeetiline keskmine arvude summa jagamise jagatis nende arvuga. Meil on viis numbrit, nii et aritmeetiline keskmine on:
Vastus: numbrite tingimuse andmete aritmeetiline keskmine on 3.
Lisaks sellele, et seda pidevalt soovitatakse klassiruumis leida, on aritmeetilise keskmise leidmine igapäevaelus väga kasulik. Oletame näiteks, et tahame minna Kreekasse puhkama. Õigete riiete valimiseks vaatame praegust temperatuuri selles riigis. Üldist ilmapilti me aga ei tea. Seetõttu on vaja välja selgitada näiteks Kreeka õhutemperatuur nädalaks ja leida nende temperatuuride aritmeetiline keskmine.
Näide 3
Temperatuur Kreekas nädalas: esmaspäev -; teisipäev - ; kolmapäev -; neljapäeval - ; reede - ; laupäeval - ; Pühapäeval -. Arvutage nädala keskmine temperatuur.
Lahendus
1) Arvutame temperatuuride summa:.
2) Jagage saadud summa päevade arvuga:.
Vastus: nädala keskmine temperatuur u.
Aritmeetilise keskmise leidmise oskust võib vaja minna ka jalgpallimeeskonna mängijate keskmise vanuse määramiseks, st selleks, et teha kindlaks, kas meeskond on kogenud või mitte. Kõigi mängijate vanused tuleb kokku võtta ja jagada nende arvuga.
2. ülesanne
Kaupmees müüs õunu. Algul müüs ta neid hinnaga 85 rubla 1 kg kohta. Nii et ta müüs 12 kg. Seejärel langetas ta hinna 65 rubla peale ja müüs ülejäänud 4 kg õunu maha. Mis oli õunte keskmine hind?
Lahendus
1) Arvutame välja, kui palju kaupmees kokku teenis. Ta müüs 12 kilogrammi hinnaga 85 rubla 1 kg kohta: 
(hõõruda).
Ta müüs 4 kilogrammi hinnaga 65 rubla 1 kg kohta: (rubla).
Seega on teenitud raha kogusumma võrdne: (rubla).
2) Müüdud õunte kogukaal on:.
3) Jagage saadud rahasumma müüdud õunte kogumassiga ja saate 1 kg õunte keskmiseks hinnaks: (rubla).
Vastus: 1 kg müüdud õunte keskmine hind on 80 rubla.
Aritmeetiline keskmine aitab teil hinnata andmeid tervikuna, võtmata iga väärtust eraldi.
Siiski ei ole alati võimalik kasutada aritmeetilise keskmise mõistet.
Näide 4
Laskur tulistas märklauda kaks lasku (vt joonis 2): esimesel korral tabas ta märklauast meetri kõrgemale ja teisel korral meetri võrra madalamale. Aritmeetiline keskmine näitab, et ta tabas täpselt keskpunkti, kuigi eksis mõlemal korral.
Riis. 2. Illustratsioon näiteks
Selles tunnis tutvusime aritmeetilise keskmise mõistega. Õppisime selle mõiste määratlust, õppisime arvutama mitme arvu aritmeetilist keskmist. Õppisime ka selle kontseptsiooni praktilist rakendamist.
- N. Ya. Vilenkin. Matemaatika: õpik. 5 cl eest. üldine uchr. - Toim. 17. - M .: Mnemosina, 2005. )
- Igoril oli kaasas 45 rubla, Andreil 28 ja Denisel 17 rubla.
- Kogu oma raha eest ostsid nad 3 kinopiletit. Kui palju üks pilet maksis?
Laadimine...