Erineva kujuga alad ja mahud. Kuidas leida mahtu kuupmeetrites

Iga geomeetrilist keha saab iseloomustada pindala (S) ja ruumala (V) järgi. Pindala ja maht pole üldse üks ja sama asi. Objektil võib olla näiteks suhteliselt väike V ja suur S, nii töötab inimese aju. Nende näitajate arvutamine lihtsate geomeetriliste kujundite jaoks on palju lihtsam.

Lahter: määratlus, tüübid ja omadused

Rööptahukas on nelinurkne prisma, mille põhjas on rööpkülik. Miks võib olla vaja valemit figuuri helitugevuse leidmiseks? Sarnase kujuga on raamatud, pakkekarbid ja palju muud igapäevaelust. Elamu- ja büroohoonete ruumid on tavaliselt ristkülikukujulised rööptahukad. Ventilatsiooni, kliimaseadmete paigaldamiseks ja kütteelementide arvu määramiseks ruumis on vaja arvutada ruumi maht.

Joonisel on 6 nägu - rööpkülikud ja 12 serva, kahte suvaliselt valitud nägu nimetatakse alusteks. Rööptahukad võivad olla mitut tüüpi. Erinevused tulenevad külgnevate ribide vahelistest nurkadest. Erinevate hulknurkade V -de leidmise valemid on veidi erinevad.

Kui geomeetrilise kujundi 6 nägu on ristkülikud, siis nimetatakse seda ka ristkülikukujuliseks. Kuup on rööptahuka erijuhtum, kus kõik 6 nägu on võrdsed ruudud. Sel juhul peate V leidmiseks välja selgitama ainult ühe külje pikkuse ja tõstma selle kolmanda astmeni.

Probleemide lahendamiseks vajate teadmisi mitte ainult valmisvalemite, vaid ka figuuri omaduste kohta. Ristkülikukujulise prisma peamiste omaduste loend on väike ja seda on väga lihtne mõista:

Kuju vastasservad on võrdsed ja paralleelsed. See tähendab, et vastas asuvad ribid on sama pikkuse ja kaldenurgaga.
Kõik sirgjoonelise külgpinnad on ristkülikud.
Geomeetrilise kujundi neli peamist diagonaali lõikuvad ühes punktis ja on jagatud pooleks.
Rööptahuka diagonaali ruut võrdub joonise mõõtmiste ruutude summaga (tuleneb Pythagorase teoreemist).

Pythagorase teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga jalgadele ehitatud ruutude pindalade summa on võrdne sama kolmnurga hüpotenuusile ehitatud kolmnurga pindalaga.

Viimase omaduse tõestust on näha alloleval pildil. Probleemi lahendus on lihtne ega vaja üksikasjalikke selgitusi.

Ristkülikukujulise rööptahuka mahu valem

Igat tüüpi geomeetriliste kujundite leidmise valem on sama: V = S * h, kus V on nõutav ruumala, S on rööptahuka aluse pindala, h on vastast tipust langenud kõrgus ja alusega risti. Ristkülikus langeb h kokku joonise ühe küljega, nii et ristkülikukujulise prisma mahu leidmiseks tuleb korrutada kolm mõõdet.

Mahtu väljendatakse tavaliselt cm3. Teades kõiki kolme väärtust a, b ja c, pole joonise helitugevust üldse raske leida. Kõige tavalisem probleem eksamil on rööptahuka helitugevuse või diagonaali leidmine. Ilma ristküliku ruumala valemita on võimatu lahendada paljusid tüüpilisi USE ülesandeid. Ülesande näide ja selle lahenduse disain on näidatud alloleval joonisel.

Märkus 1... Ristkülikukujulise prisma pindala saab leida, korrutades 2 -ga joonise kolme näo pindade summa: alus (ab) ja kaks külgnevat külgpinda (bc + ac).

Märkus 2... Külgpindade pindala on lihtne leida, korrutades aluse ümbermõõdu rööptahuka kõrgusega.

Tuginedes rööptahukate esimesele omadusele AB = A1B1 ja nägu B1D1 = BD. Vastavalt Pythagorase teoreemi järeldustele on täisnurkse kolmnurga kõigi nurkade summa 180 ° ja jalg, mis asub 30 ° nurga vastas, võrdub hüpotenuusiga. Rakendades neid teadmisi kolmnurga puhul, leiame hõlpsalt külgede AB ja AD pikkused. Seejärel korrutame saadud väärtused ja arvutame rööptahuka ruumala.

Valem kaldu rööptahuka mahu leidmiseks

Kaldus rööptahuka helitugevuse leidmiseks peate korrutama joonise aluse ala vastandnurgast antud alusele langetatud kõrgusega.

Seega saab nõutavat V -d esitada kujul h - lehtede arv aluse pindalaga S, seega on teki maht kõigi kaartide V -de summa.

Näiteid probleemide lahendamisest

Ühtse eksami ülesanded tuleb sooritada teatud aja jooksul. Tüüpilised ülesanded ei sisalda reeglina palju arvutusi ja keerukaid murde. Sageli pakutakse õpilasele, kuidas leida ebaregulaarse geomeetrilise kujundi helitugevust. Sellistel juhtudel tuleks meeles pidada lihtsat reeglit, et kogumaht on võrdne V komponentide summaga.

Nagu näete ülaltoodud pildil olevast näitest, pole selliste probleemide lahendamisel midagi rasket. Keerulisemate sektsioonide ülesanded eeldavad teadmisi Pythagorase teoreemi ja selle tagajärgede kohta, samuti joonise diagonaali pikkuse valemit. Testiülesannete edukaks lahendamiseks piisab, kui eelnevalt tutvuda tüüpiliste ülesannete näidistega.

Mõõtke kõik vajalikud vahemaad meetrites. Paljude kolmemõõtmeliste kujundite mahtu saab sobivate valemite abil hõlpsalt arvutada. Kõiki valemitesse sisestatud väärtusi tuleb aga mõõta meetrites. Seega, enne kui ühendate väärtused valemiga, veenduge, et neid kõiki mõõdetakse meetrites või olete teisendanud muud ühikud meetriteks.

1 mm = 0,001 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m

Ristkülikukujuliste vormide (ristkülikukujuline rööptahukas, kuup) mahu arvutamiseks kasutage järgmist valemit: maht = L × W × H(pikkus ja laius korrutatakse kõrgusega). Seda valemit võib vaadelda joonise ühe näo pindala korrutisena selle näoga risti oleva serva järgi.

Näiteks arvutame 4 m pikkuse, 3 m laiuse ja 2,5 m kõrguse ruumi ruumala. Selleks korrutage pikkus lihtsalt laiuse ja kõrgusega:
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Selle ruumi maht on 30 m 3.
Kuup on kolmemõõtmeline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Seega saab kuubi ruumala arvutamise valemi kirjutada kujul: maht = L 3 (või W 3 või H 3).

Silindrikujude mahu arvutamiseks kasutage valemit: pi× R 2 × H. Silindri mahu arvutamisel vähendatakse ümmarguse aluse pindala korrutamist ballooni kõrguse (või pikkusega). Leidke ringikujulise aluse pindala, korrutades pi (3.14) ringi raadiuse ruuduga (R) (raadius on kaugus ringi keskpunktist selle ringi mis tahes punktini). Seejärel korrutage tulemus silindri mahu leidmiseks silindri kõrgusega (H). Kõiki väärtusi mõõdetakse meetrites.

Näiteks arvutame 1,5 m läbimõõduga ja 10 m sügavusega kaevu ruumala. Raadiuse saamiseks jagage läbimõõt 2 -ga: 1,5 / 2 = 0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Kaevu maht on 17,66 m 3.

Palli mahu arvutamiseks kasutage valemit: 4/3 x pi× R 3. See tähendab, et peate teadma ainult palli raadiust (R).

Näiteks arvutame 10 m läbimõõduga õhupalli ruumala. Raadiuse saamiseks jagage läbimõõt 2 -ga: 10/2 = 5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) × 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Õhupalli maht on 523,6 m 3.

Koonusekujuliste kujundite mahu arvutamiseks kasutage valemit: 1/3 x pi× R 2 × H. Koonuse ruumala on võrdne 1/3 silindri ruumalast, millel on sama kõrgus ja raadius.

Arvutame näiteks 3 cm raadiusega ja 15 cm kõrguse jäätisepulga mahu.Metriteks teisendades saame: vastavalt 0,03 m ja 0,15 m.
- 1/3 x (3,14) x 0,03 2 x 0,15
- = 1/3 x (3,14) x 0,0009 x 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Jäätisekoonuse maht on 0,000141 m 3.

Ebakorrapäraste kujundite mahu arvutamiseks kasutage mitut valemit. Selleks proovige kuju murda mitmeks tavaliseks kujuks. Seejärel leidke iga sellise kuju maht ja lisage tulemused.

Arvutame näiteks väikese aida mahu. Hoiul on silindrikujuline korpus, mille kõrgus on 12 m ja raadius 1,5 m. Hoidlal on ka 1 m kõrgune kooniline katus. Arvutades eraldi katuse mahu ja eraldi kere mahu, leiame selle kogumahu. ait:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3,14) x 1,5 2 x 12 + 1/3 x (3,14) x 1,5 2 x 1
- = (3,14) x 2,25 x 12 + 1/3 x (3,14) x 2,25 x 1
- = (3,14) x 27 + 1/3 x (3,14) x 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Tera säilitamise maht on 87,178 m 3.

Videokursus "Hangi A" sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika eksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik matemaatika ühtse riigieksami ülesanded 1-13. Sobib ka matemaatika põhieksami sooritamiseks. Kui soovite eksami sooritada 90-100 punkti eest, peate 1. osa lahendama 30 minutiga ja vigadeta!

Eksami ettevalmistuskursus 10.-11. Klassile, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja ülesande 13 (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on rohkem kui 70 punkti eksamil ja ilma sajapunktiline ega humanitaarteaduste üliõpilane ei saa ilma nendeta hakkama.

Kõik teooria, mida vajate. Kiired lahendused, lõksud ja eksami saladused. Lahendas FIPI ülesannete pangalt kõik 1. osa asjakohased ülesanded. Kursus vastab täielikult eksami-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtne ja arusaadav.

Sadu USE ülesandeid. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtne ja kergesti meeldejääv probleemide lahendamise algoritm. Geomeetria. Teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi USE -ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, abivalmid petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Mõistmise asemel punnitamine. Keerukate mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.

Kõik teooria, mida vajate. Kiired lahendused, lõksud ja eksami saladused. Lahendas FIPI ülesannete pangalt kõik 1. osa asjakohased ülesanded. Kursus vastab täielikult eksami-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtne ja arusaadav.

Ja muistsed egiptlased kasutasid meie meetoditega sarnaseid meetodeid erineva kujuga alade arvutamiseks.

Nende raamatutes "Algus" kuulus Vana -Kreeka matemaatik Eukleides kirjeldas üsna palju meetodeid paljude geomeetriliste kujundite pindalade arvutamiseks. Esimesed käsikirjad Venemaal, mis sisaldavad geomeetrilist teavet, kirjutati XVI dollari sajandil. Need kirjeldavad reegleid erineva kujuga kujundite alade leidmiseks.

Täna saate kaasaegseid meetodeid kasutades leida suure täpsusega mis tahes kujuga ala.

Mõelge ühele lihtsamale kujule - ristkülikule - ja selle ala leidmise valemile.

Ristküliku pindala valem

Mõelge joonisele (joonis 1), mis koosneb $ 8 $ ruutudest, mille küljed on $ 1 $ cm. Ühe ruudu pindalaga $ 1 $ cm nimetatakse ruutsentimeetriks ja see on kirjutatud kui $ 1 \ cm ^ 2 dollarit.

Selle joonise pindala (joonis 1) on võrdne $ 8 \ cm ^ 2 $.

Joonise pindala, mille saab jagada mitmeks ruuduks, mille küljed on $ 1 \ cm $ (näiteks $ p $), on võrdne $ p \ cm ^ 2 $.

Teisisõnu, joonise pindala on võrdne nii palju $ cm ^ 2 $, kui palju ruute, mille külg on $ 1 \ cm $, saab murda.

Mõelge ristkülikule (joonis 2), mis koosneb $ 3 $ ribadest, millest igaüks on jagatud $ 5 $ ruutudeks, mille küljed on $ 1 \ cm $. kogu ristkülik koosneb $ 5 \ cdot 3 = 15 $ sellistest ruutudest ja selle pindala on $ 15 \ cm ^ 2 $.

Pilt 1.

Joonis 2.

Arvude ala tähistatakse tavaliselt tähega $ S $.

Ristküliku pindala leidmiseks peate selle pikkuse korrutama laiusega.

Kui tähistame selle pikkust tähega $ a $ ja laiust tähega $ b $, näeb ristküliku pindala valem välja järgmine:

Määratlus 1

Kujundeid nimetatakse võrdne, kui kujud üksteise peale asetatuna langevad kokku. Võrdsetel kujudel on võrdsed alad ja perimeetrid.

Joonise pindala võib leida selle osade pindalade summana.

Näide 1

Näiteks joonisel $ 3 $ on ristkülik $ ABCD $ jagatud joonega $ KLMN $ kaheks osaks. Ühe osa pindala on $ 12 \ cm ^ 2 $ ja teise osa on $ 9 \ cm ^ 2 $. Siis on ristküliku $ ABCD $ pindala võrdne $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. Leiame ristküliku pindala valemi abil:

Nagu näete, on mõlema meetodi abil leitud alad võrdsed.

Joonis 3.

Joonis 4.

Jaotis $ AC $ jagab ristküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks: $ ABC $ ja $ ADC $. See tähendab, et iga kolmnurga pindala on võrdne poolega kogu ristküliku pindalast.

Määratlus 2

Nimetatakse ristkülikut, millel on võrdsed küljed ruut.

Kui tähistame ruudu külje tähega $ a $, leitakse ruudu pindala valemiga:

Siit ka numbri $ a $ nimeruut.

Näide 2

Näiteks kui ruudu külg on $ 5 $ cm, on selle pindala:

Köited

Kaubanduse ja ehituse arenguga iidsete tsivilisatsioonide päevil tekkis vajadus leida mahud. Matemaatikas on geomeetria osa, mis käsitleb ruumiliste kujundite uurimist, mida nimetatakse stereomeetriaks. Seda eraldi matemaatika valdkonda mainiti juba IV IV sajandi sajandil eKr.

Muistsed matemaatikud töötasid välja lihtsate arvude - kuubi ja rööptahuka - mahu arvutamise meetodi. Kõik tolle aja struktuurid olid täpselt sellise kujuga. Kuid tulevikus leiti meetodeid keerukamate kujundite kujundite mahu arvutamiseks.

Ristkülikukujulise rööptahuka maht

Kui täidate vormi märja liivaga ja seejärel keerate selle ümber, saame mahulise näitaja, mida iseloomustab maht. Kui teete sama vormi kasutades mitu sellist kujundit, saate sama mahuga figuure. Kui täidate vormi veega, siis on ka vee maht ja liivakuju maht võrdsed.

Joonis 5.

Saate võrrelda kahe anuma mahtu, täites ühe veega ja valades selle teise anumasse. Kui teine anum on täielikult täidetud, on anumate maht võrdne. Kui sellisel juhul jääb vesi esimesse, siis on esimese anuma maht suurem kui teise. Kui esimesest anumast vett valades ei ole võimalik teist anumat täielikult täita, on esimese anuma maht väiksem kui teise.

Mahtu mõõdetakse järgmiste ühikutega:

$ mm ^ 3 $ - kuupmillimeeter,

$ cm ^ 3 $ - kuupsentimeetrit,

$ dm ^ 3 $ - kuupdetsimeeter,

$ m ^ 3 $ - kuupmeeter,

$ km ^ 3 $ - kuupkilomeeter.