Aires et volumes de formes différentes. Comment trouver le volume en mètres cubes

Tout corps géométrique peut être caractérisé par une surface (S) et un volume (V). La surface et le volume ne sont pas du tout la même chose. Un objet peut avoir un V relativement petit et un grand S, par exemple, c'est ainsi que fonctionne le cerveau humain. Le calcul de ces indicateurs pour des formes géométriques simples est beaucoup plus facile.

Boîte : définition, types et propriétés

Un parallélépipède est un prisme quadrangulaire avec un parallélogramme à sa base. Pourquoi auriez-vous besoin d'une formule pour trouver le volume d'une figure ? Les livres, les cartons d'emballage et bien d'autres choses de la vie quotidienne ont une forme similaire. Les pièces des immeubles d'habitation et de bureaux sont généralement des parallélépipèdes rectangulaires. Pour installer une ventilation, des climatiseurs et déterminer le nombre d'éléments chauffants dans une pièce, il est nécessaire de calculer le volume de la pièce.

La figure a 6 faces - des parallélogrammes et 12 arêtes, deux faces choisies arbitrairement sont appelées bases. Le parallélépipède peut être de plusieurs types. Les différences sont dues aux angles entre les nervures adjacentes. Les formules pour trouver les V de différents polygones sont légèrement différentes.

Si 6 faces d'une figure géométrique sont des rectangles, alors elle est aussi appelée rectangulaire. Un cube est un cas particulier de parallélépipède dans lequel les 6 faces sont des carrés égaux. Dans ce cas, pour trouver V, vous devez trouver la longueur d'un seul côté et l'élever à la troisième puissance.

Pour résoudre des problèmes, vous aurez besoin de connaître non seulement les formules toutes faites, mais aussi les propriétés d'une figure. La liste des principales propriétés d'un prisme rectangulaire est petite et très facile à comprendre :

Les bords opposés de la forme sont égaux et parallèles. Cela signifie que les côtes opposées ont la même longueur et le même angle.
Toutes les faces latérales d'un parallélépipède droit sont des rectangles.
Les quatre diagonales principales d'une figure géométrique se coupent en un point et sont divisées en deux.
Le carré de la diagonale du parallélépipède est égal à la somme des carrés des mesures de la figure (suite du théorème de Pythagore).

théorème de Pythagore indique que la somme des aires des carrés construits sur les jambes d'un triangle rectangle est égale à l'aire d'un triangle construit sur l'hypoténuse du même triangle.

La preuve de cette dernière propriété peut être vue dans l'image ci-dessous. La solution au problème est simple et ne nécessite pas d'explications détaillées.

La formule du volume d'un parallélépipède rectangle

La formule pour trouver tous les types de formes géométriques est la même : V = S * h, où V est le volume requis, S est l'aire de la base du parallélépipède, h est la hauteur de chute du sommet opposé et perpendiculaire à la base. Dans un rectangle, h coïncide avec l'un des côtés de la figure, donc pour trouver le volume d'un prisme rectangulaire, il faut multiplier trois dimensions.

Le volume est généralement exprimé en cm3. Connaissant les trois valeurs de a, b et c, il n'est pas du tout difficile de trouver le volume de la figure. Le type de problème le plus courant à l'examen consiste à trouver le volume ou la diagonale d'un parallélépipède. Il est impossible de résoudre de nombreuses tâches USE typiques sans la formule du volume du rectangle. Un exemple de tâche et la conception de sa solution sont illustrés dans la figure ci-dessous.

Note 1... L'aire de surface d'un prisme rectangulaire peut être trouvée en multipliant par 2 la somme des aires des trois faces de la figure : la base (ab) et deux faces latérales adjacentes (bc + ac).

Note 2... La surface des faces latérales est facile à trouver en multipliant le périmètre de la base par la hauteur du parallélépipède.

Basé sur la première propriété des parallélépipèdes AB = A1B1, et la face B1D1 = BD. Selon les corollaires du théorème de Pythagore, la somme de tous les angles d'un triangle rectangle est de 180 ° et la jambe, qui fait face à un angle de 30 °, est égale à l'hypoténuse. En appliquant cette connaissance pour un triangle, nous pouvons facilement trouver les longueurs des côtés AB et AD. Ensuite, nous multiplions les valeurs obtenues et calculons le volume du parallélépipède.

Formule pour trouver le volume d'un parallélépipède incliné

Pour trouver le volume d'un parallélépipède incliné, il faut multiplier l'aire de la base de la figure par la hauteur abaissée à la base donnée depuis le coin opposé.

Ainsi, le V requis peut être représenté sous la forme de h - le nombre de feuilles avec une surface S de la base, de sorte que le volume du jeu est la somme des V de toutes les cartes.

Exemples de résolution de problèmes

Les tâches de l'examen unifié doivent être terminées dans un certain délai. En règle générale, les tâches typiques ne contiennent pas beaucoup de calculs et de fractions complexes. On demande souvent à l'élève comment trouver le volume d'une figure géométrique irrégulière. Dans de tels cas, il faut se rappeler la règle simple selon laquelle le volume total est égal à la somme des composants V.

Comme vous pouvez le voir sur l'exemple de l'image ci-dessus, il n'y a rien de difficile à résoudre de tels problèmes. Les tâches des sections plus complexes supposent la connaissance du théorème de Pythagore et de ses conséquences, ainsi que la formule de la longueur de la diagonale d'une figure. Pour résoudre avec succès les tâches de test, il suffit de se familiariser à l'avance avec les exemples de tâches typiques.

Mesurez toutes les distances requises en mètres. Le volume de nombreuses formes tridimensionnelles peut être facilement calculé à l'aide des formules appropriées. Cependant, toutes les valeurs entrées dans les formules doivent être mesurées en mètres. Par conséquent, avant de substituer des valeurs dans la formule, assurez-vous qu'elles sont toutes mesurées en mètres ou que vous avez converti d'autres unités en mètres.

1 mm = 0,001 m
1cm = 0,01m
1km = 1000m

Pour calculer le volume des formes rectangulaires (parallélépipède rectangle, cube) utilisez la formule : volume = L × l × H(longueur fois largeur fois hauteur). Cette formule peut être considérée comme le produit de la surface d'une des faces de la figure par l'arête perpendiculaire à cette face.

Par exemple, calculons le volume d'une pièce de 4 m de long, 3 m de large et 2,5 m de haut. Pour cela, il suffit de multiplier la longueur par la largeur et par la hauteur :
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Le volume de cette pièce est 30m3.
Un cube est une figure tridimensionnelle dont tous les côtés sont égaux. Ainsi, la formule de calcul du volume d'un cube peut s'écrire sous la forme : volume = L 3 (ou W 3, ou H 3).

Pour calculer le volume des formes cylindriques, utilisez la formule : pi× R 2 × H. Le calcul du volume d'un cylindre se réduit à multiplier l'aire d'une base circulaire par la hauteur (ou la longueur) du cylindre. Trouvez l'aire d'une base circulaire en multipliant pi (3,14) par le carré du rayon du cercle (R) (le rayon est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel point de ce cercle). Multipliez ensuite votre résultat par la hauteur du cylindre (H) pour trouver le volume du cylindre. Toutes les valeurs sont mesurées en mètres.

Par exemple, calculons le volume d'un puits d'un diamètre de 1,5 m et d'une profondeur de 10 m. Divisez le diamètre par 2 pour obtenir le rayon : 1,5 / 2 = 0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Le volume du puits est 17,66 m3.

Pour calculer le volume d'une balle, utilisez la formule : 4/3 x pi× R3. Autrement dit, il vous suffit de connaître le rayon (R) de la balle.

Par exemple, calculons le volume d'un ballon de 10 m de diamètre. Divisez le diamètre par 2 pour obtenir le rayon : 10/2 = 5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) x 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Le volume du ballon est 523,6 m3.

Pour calculer le volume des formes en forme de cône, utilisez la formule : 1/3 x pi× R 2 × H. Le volume du cône est égal à 1/3 du volume du cylindre, qui a la même hauteur et le même rayon.

Par exemple, calculons le volume d'un cornet de crème glacée d'un rayon de 3 cm et d'une hauteur de 15 cm. En convertissant en mètres, nous obtenons : 0,03 m et 0,15 m, respectivement.
- 1/3 x (3,14) x 0,03 2 x 0,15
- = 1/3 x (3,14) x 0,0009 x 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Le volume du cornet de crème glacée est 0,000141 m3.

Utilisez plusieurs formules pour calculer le volume de formes irrégulières. Pour ce faire, essayez de diviser la forme en plusieurs formes régulières. Trouvez ensuite le volume de chacune de ces formes et additionnez les résultats.

Par exemple, calculons le volume d'un petit grenier. Le stockage a un corps cylindrique de 12 m de haut et un rayon de 1,5 m.Le stockage a également un toit conique de 1 m de haut.En calculant séparément le volume du toit et séparément le volume du corps, on peut trouver le volume total du grenier:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3.14) x 1.5 2 x 12 + 1/3 x (3.14) x 1.5 2 x 1
- = (3,14) x 2,25 x 12 + 1/3 x (3,14) x 2,25 x 1
- = (3,14) x 27 + 1/3 x (3,14) x 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Le volume de stockage des céréales est 87,178 m 3.

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Et les anciens Égyptiens utilisaient des méthodes pour calculer les aires de différentes formes, similaires à nos méthodes.

Dans leurs livres "Les débuts" le célèbre mathématicien grec Euclide a décrit un assez grand nombre de méthodes pour calculer les aires de nombreuses figures géométriques. Les premiers manuscrits en Russie, qui contiennent des informations géométriques, ont été écrits au XVIe $ siècle. Ils décrivent les règles pour trouver les aires de figures de formes diverses.

Aujourd'hui, en utilisant des méthodes modernes, vous pouvez trouver la zone de n'importe quelle forme avec une grande précision.

Considérez l'une des formes les plus simples - un rectangle - et la formule pour trouver son aire.

Formule pour l'aire d'un rectangle

Considérons une figure (Fig. 1) composée de carrés de 8 $ avec des côtés de 1 $ cm. L'aire d'un carré avec des côtés de 1 $ cm s'appelle un centimètre carré et s'écrit $ 1 \ cm ^ 2$.

L'aire de cette figure (Fig. 1) sera égale à 8 $ \ cm ^ 2 $.

L'aire de la figure, qui peut être divisée en plusieurs carrés de côtés 1 $ \ cm $ (par exemple, $ p $), sera égale à $ p \ cm ^ 2 $.

En d'autres termes, l'aire de la figure sera égale à autant de $ cm ^ 2 $, en combien de carrés avec un côté de 1 $ \ cm $ cette figure peut être divisée.

Considérons un rectangle (Fig. 2), constitué de bandes de 3 $, chacune étant divisée en carrés de 5 $ de côtés 1 $ \ cm $. le rectangle entier se compose de 5 $ \ cdot 3 = 15 $ de tels carrés, et son aire est de 15 $ \ cm ^ 2 $.

Image 1.

Figure 2.

La zone des chiffres est généralement désignée par la lettre $ S $.

Pour trouver l'aire d'un rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur.

Si nous notons sa longueur avec la lettre $ a $ et sa largeur avec la lettre $ b $, alors la formule pour l'aire d'un rectangle ressemblera à ceci :

Définition 1

Les chiffres s'appellent égal, si, superposées les unes aux autres, les formes coïncident. Des formes égales ont des aires égales et des périmètres égaux.

L'aire d'une figure peut être trouvée comme la somme des aires de ses parties.

Exemple 1

Par exemple, dans la figure $ 3 $, le rectangle $ ABCD $ est divisé en deux parties par la ligne $ KLMN $. L'aire d'une partie est de 12 $ \ cm ^ 2 $, et l'autre est de 9 $ \ cm ^ 2 $. Alors l'aire du rectangle $ ABCD $ sera égale à $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. Trouvons l'aire du rectangle par la formule :

Comme vous pouvez le voir, les zones trouvées par les deux méthodes sont égales.

Figure 3.

Figure 4.

Le segment $ AC $ divise le rectangle en deux triangles égaux : $ ABC $ et $ ADC $. Cela signifie que l'aire de chacun des triangles est égale à la moitié de l'aire de tout le rectangle.

Définition 2

Un rectangle de côtés égaux s'appelle carré.

Si on désigne le côté du carré par la lettre $ a $, alors l'aire du carré sera trouvée par la formule :

D'où le nom carré du nombre $ a $.

Exemple 2

Par exemple, si le côté d'un carré est de 5 $ cm, alors son aire est :

Volumes

Avec le développement du commerce et de la construction au temps des civilisations antiques, il est devenu nécessaire de trouver des volumes. En mathématiques, il existe une section de géométrie qui traite de l'étude des figures spatiales, appelée stéréométrie. Des mentions de ce domaine distinct des mathématiques ont déjà été rencontrées au IVe siècle av.

Les anciens mathématiciens ont développé une méthode pour calculer le volume de figures simples - un cube et un parallélépipède. Toutes les structures de cette époque étaient exactement de cette forme. Mais plus tard, des méthodes ont été trouvées pour calculer le volume de figures de formes plus complexes.

Volume d'un parallélépipède rectangle

Si vous remplissez le moule avec du sable humide et que vous le retournez ensuite, nous obtenons une figure volumétrique caractérisée par le volume. Si vous faites plusieurs de ces figurines en utilisant le même moule, vous obtiendrez des figurines qui ont le même volume. Si vous remplissez le moule d'eau, le volume d'eau et le volume de la figure de sable seront également égaux.

Figure 5.

Vous pouvez comparer les volumes de deux récipients en remplissant un d'eau et en le versant dans le second récipient. Si le deuxième récipient est complètement rempli, alors les récipients ont des volumes égaux. Si, dans ce cas, il reste de l'eau dans le premier, alors le volume du premier récipient est supérieur au volume du second. Si, en versant de l'eau du premier récipient, il n'est pas possible de remplir complètement le deuxième récipient, alors le volume du premier récipient est inférieur au volume du second.

Le volume est mesuré à l'aide des unités suivantes :

$ mm ^ 3 $ - millimètre cube,

$ cm ^ 3 $ - centimètre cube,

$ dm ^ 3 $ - décimètre cube,

$ m ^ 3 $ - mètre cube,

$ km ^ 3 $ - kilomètre cube.